TỔNG hợp KIẾN THỨC TOÁN 11 (1)

TỐN THẦY THẬT NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN ĐI ĐẠI HỌC 2018 TOÁN 11 CHUYÊN ĐỀ 1: LƢỢNG GIÁC VẤN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC VẤN ĐỀ 2: CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC VẤN ĐỀ 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ : TỔ HỢP XÁC SUẤT VẤN ĐỀ : PHÉP ĐẾM VẤN ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON VẤN ĐỀ 3: XÁC SUẤT CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 11 VẤN ĐỀ 1: PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 11 VẤN ĐỀ 2: DÃY SỐ 11 VẤN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 12 CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN 14 VẤN ĐỀ : GIỚI HẠN DÃY SỐ 14 VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ 15 VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC 16 VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM 16 CHUN ĐỀ 5: ĐẠO HÀM 17 VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC ĐẠO HÀM 17 VẤN ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 18 VẤN ĐỀ 3: VI PHÂN 18 CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC 19 VẤN ĐỀ : MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 19 VẤN ĐỀ 2: MẶT PHẲNG VÀ ĐƢỜNG THẲNG 19 VẤN ĐỀ 3: GÓC 23 VẤN ĐỀ 4: KHOẢNG CÁCH 23 LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TỐN THẦY THẬT TOÁN 11 CHUYÊN ĐỀ 1: LƢỢNG GIÁC VẤN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Hàm số TXĐ: Hàm số lẻ hàm số tuần hồn chu kì Hàm số TXĐ: Hàm số chẵn hàm số tuần hồn chu kì Hàm số Hàm số TXĐ: { Hàm số lẻ hàm số tuần hồn chu kì VD: Tập xác định TXĐ: VD: Tập xác định ĐK: , ) TXĐ: * TXĐ: } Hàm số lẻ hàm số tuần hồn chu kì VD: Tập xác định củ / √ ĐK: { { { TXĐ: VD: Tìm GTLN GTNN Có khi + VD: Tìm GTLN GTNN Có ( ( } ) ) ( ) hi ( VD: Xét tính chẵn lẻ Kí hiệu ( ) TXĐ: ) Nhắc lại: ( ) hàm số chẵn { ( ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI ( ) NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TOÁN THẦY THẬT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) hàm số lẻ Do hàm số lẻ { ( ) ( ) VẤN ĐỀ 2: CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN ) ) ) ) ) ) ) ( ( ) ) ) ) ) ) ( ( ) ) CUNG LIÊN KẾT ĐỐI ( ( ( ( BÙ ) ( ) ( ( ( ) ) (cos đối) PHỤ ) ) ) ) / / / / (phụ chéo) (sin bù) HƠN KÉM ( ( ) ) ( ( HƠN KÉM ) ) (tan cot ) / / / / (sin lớn cos nhỏ) CỘNG ( ( ) ) (sin sin cos cos sin) (cos cos cos sin sin dấu trừ) NHÂN ĐƠI ( ) NHÂN BA (sin3a sin trừ sỉn) (cos3a cổ trừ cơ) CƠNG THỨC HẠ BẬC TÍCH – TỔNG T NH THEO LỚP TỐN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TỐN THẦY THẬT , ( ) ( )- (cos c n c n cos t , ( ) ( )- (cos t t cos c n , ( ) ( )- (s n c n c n s n t TỔNG – TÍCH (cos c ng cos cos cos) (sin c ng sin sin cos) (cos trừ cos trừ sin sin) (sin trừ sin cos sin) ( ) (tình c ng vớ tình ta, s nh a đứa ta) √ / √ / NHỚ ( ) VẤN ĐỀ 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN ( ) (cos đối) ( )(sin bù) ( ) ( ) ĐẶC BIỆT ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) ( ) ) ) ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / √ VD: VD: [ [ ( / ) [ VD: ( ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TỐN THẦY THẬT ( [ [ ( ) ) PHƢƠNG TRÌNH CỔ ĐIÊN Cách giải: Chia vế phƣơng trình cho √ VD: √ , s u áp dụng cơng thức cộng Chia vế pt cho √(√ ) √ ( / ) PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Dạng Cách giải PHƢƠNG TRÌNH CHỨA VÀ s Cách giải X t Đặt Thay vào pt (nhớ với ) √ / √ / [ √ √ ] X t Chia vế pt cho , giải pt theo Ghi  Có thể giải cách dùng cơng thức hạ bậc đƣ dạng VD: Xét (vô lý) Xét ( pt VD: Đặt [ √ √ ] với ) ( ) √ [ ( [ ( ) [ ) / / [ ĐIỀU KIỆN Phƣơng trình chứa Phƣơng trình chứa / / ( / ) Phƣơng trình chứa LỚP TỐN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI √ TOÁN THẦY THẬT NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI { LỚP TỐN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI TOÁN THẦY THẬT NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI CHUYÊN ĐỀ : TỔ HỢP XÁC SUẤT VẤN ĐỀ : PHÉP ĐẾM QUI TẮC CỘNG Công việc chi làm trƣờng hợp: - Trƣờng hợp 1: có cách - Trƣờng hợp 2: có cách Khi đó, tổng số cách thực HOÁN VỊ vật xếp vào chổ, số cách xếp là: QUI TẮC NHÂN Sự vật có cách Ứng với cách chọn ta có cách chọn vật Khi đó, tất số cách chọn liên tiếp vật CHỈNH HỢP vật, lấy vật xếp thứ tự, số cách xếp là: ( GIAI THỪA ( ) ) ) ( ) Qui ƣớc: Lƣu ý: ( ( TỔ HỢP vật, lấy vật nhƣng không xếp thứ tự, số cách xếp là: ) ( NHỚ Số chi Số chi Số chi Số chi hết cho : tận hết cho : tận hết cho : tận hết cho hi tận VD: Trong lớp có 18 bạn n m, 12 bạn nữ Có b o nhiêu cách chọn Một bạn phụ trách quỹ lớp b H i bạn, có n m nữ Giải: a Có cách chọn b Chọn nam: 18 cách Chọn nữ: 12 cách Do có cách VD: Có cách xếp bốn bạn A; B; C; D vào bốn ghế thành hàng ngang? Giải: Số cách xếp cách VD: Cho đƣờng thẳng song song với nh u đƣờng thẳng hác song song với nh u đồng thời cắt đƣờng thẳng cho Hỏi có b o nhiêu hình bình hành đƣợc tạo nên 14 đƣờng thẳng cho? Giải: ) Số chi hết cho : tổng chữ số chi hết cho Số chi hết cho : tổng chữ số chi hết cho Khi gặp tập số tự nhiên mà có liên qu n số trƣờng hợp VD: Có bơng hồng, bơng cúc, bơng l n Tìm số cách Chọn từ b Chọn bơng ho có đầy đủ loại c Chọn bơng có phải có cúc Giải: a Chọn từ 15 bơng, số cách b Có cách chọn bơng hồng Có cách chọn bơng cúc Có cách chọn bơng lan Do có cách chọn bơng hoa có đầy đủ loại c TH1: bơng cúc Có cách chọn bơng cúc từ bơng cúc Có cách chọn bơng cịn lại từ bơng LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HỒNG MAI – HÀ NỘI TỐN THẦY THẬT NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI Một hình bình hành đƣợc tạo nên từ đƣờng thẳng đƣờng thẳng b n đầu đƣờng thẳng đƣờng thẳng lại Chọn đƣờng từ đƣờng b n đầu có cách Chọn đƣờng từ đƣờng cịn lại có cách Do đó, số hình bình hành Do có cách TH2: bơng cúc Có cách chọn bơng cúc Vậy có tất cách chọn bơng có bơng cúc VD: Từ số 0; 1; 2; 3; 4; lập đƣợc b o nhiêu số tự nhiên có chữ số Khác nh u b Là số lẻ c Là số chẵn d Là số chia hết cho Giải: Gọi ̅̅̅̅̅̅̅ số tự nhiên thỏ đề ( ) a Chọn : cách Chọn cách Do có số b Chọn : cách Chọn : cách Chọn cách Do có c TH1: Chọn : cách Chọn : cách Chọn cách Do có TH2: 2; Chọn : cách Chọn : cách Chọn cách Do có Vậy có d TH1: Chọn : cách Chọn : cách Chọn cách Do có TH2: Chọn : cách Chọn : cách Chọn cách Do có Vậy có VD: Tìm biết Giải: Điều kiện: { ( số ) ( ( ) ( ) ) ( ( )( ) ) ( ) ( ) [ số { Vậy VD: Tìm biết Giải: Điều kiện: { số số ( ( ) { ) ( ( [ ) ) ( ) ( ) Vậy số số số LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TỐN THẦY THẬT VẤN ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON NHỊ THỨC NEWTON ( ) ∑ Chú ý: x x  x m n mn x   x  m n n , m m xm  xm  n , n x m m  xm xm  x1 , x  x m.n , xm  x    , ym  y  x y  (xy) , m n , x  x2 , m ( ) ( xn  x m (với điều kiện x, y có nghĩ tất công thức trên) NHỚ ( ( ) ) ( VD: Khai triển ( ( , ) ) ( ( ) )) ( VD: Tìm số hạng hơng ) h i triển củ ( ) ( ) ) Giải: ( ) ( ∑ Ycbt Số hạng không chứa VD: Chứng minh ) ( ) ∑ ∑ Giải: Ta có: ( Thay ) VẤN ĐỀ 3: XÁC SUẤT XÁC SUẤT ( ) ( ) ( ) Lƣu ý: ( ) ( ) ( ̅) VD: Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp 20 thẻ đƣợc đánh số từ đến 20 Tính xác suất để thẻ đƣợc lấy ghi số a Chẵn b Chia hết cho c Lẻ chia hết cho Giải: * + ( ) Khơng gian mẫu Kí hiệu lần lƣợt biến cố câu a; b; c LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TỐN THẦY THẬT * + * * ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 10 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TOÁN THẦY THẬT CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN VẤN ĐỀ 1: PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC PHƢƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Có nhiều cách để chứng minh biểu thức ( ) Một cách qui nạp toán học: Kiểm tra với ( ) h y hông Giả sử với ( ) Với , ta chứng minh ( ) ( ) ( ) với VD: Chứng minh với Giải: ( ) Với : Với : Đặt ( ) ( ) Giả sử ( ) ( ) Với : Ta chứng minh ( ), ( ) ( ) ( )( ) Thật vậy, ( )( ) ( ) ( ) Vậy hệ thức với VẤN ĐỀ 2: DÃY SỐ DÃY SỐ Dãy số ( ) hàm số từ đến Có cách xác định dãy số: cho số hạng tổng quát; mô tả; cho hệ thức truy hồi DÃY SỐ TĂNG – DÃY SỐ GIẢM ( ) dãy số tăng ( ) dãy số tăng Khi Khi , t dùng , t dùng VD: X t tính tăng, giảm củ dãy số cho ( ( )( ) )( ( Giải: ) ( )( ( )( ) ( )( ) Vậy ( ) dãy số tăng DÃY SỐ BỊ CHẶN  ( ) bị chặn  ( ) bị chặn dƣới  ( ) bị chặn ( ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dƣới )( ) ) )( ) ( VD: Chứng minh dãy số cho | | bị chặn LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 11 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TỐN THẦY THẬT Giải: ( Do ( ) ) bị chặn VẤN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG Định n hĩa: (un) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai) Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d với n  Tính chất số hạng: uk  uk 1  uk 1 với k  2 Sn  u1  u2   un  Tổng n số hạn đầu tiên: n(u1  un ) n  2u1  (n  1)d  = 2 CẤP SỐ NHÂN Định n hĩa: (u n ) CSN, q công bội un1  un q Số hạng tổng quát: un  u1.q n 1 với n  Tính chất số hạng: uk2  uk 1.uk 1 với k   S n  nu1 Tổng n số hạn đầu tiên:  u1 (1  q n ) S   n 1 q VD: Cho dãy số ( ) với a Viết số hạng đầu dãy b Chứng minh ( ) cấp số cộng Chỉ rõ c Tính tổng 100 số hạng đầu Giải: a ( ) b Có Do Suy ( ) cấp số cộng với , c VD: Tìm ( )( CSC ( )- ) biết { Giải: ( { { { , { ) q  q  ( ) VD: Cho dãy số ( ) với a Chứng minh ( ) cấp số nhân b Lập công thức truy hồi dãy số c Hỏi số số hạng thứ dãy số? Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Do ( ) cấp số nhân với b c Giả sử số hạng thứ dãy số Khi VD: Tìm CSN ( - ) biết { Giải: { { { ( ( ) ( ) ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 12 TOÁN THẦY THẬT NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI [ LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 13 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TOÁN THẦY THẬT CHUYÊN ĐỀ : GIỚI HẠN VẤN ĐỀ : GIỚI HẠN DÃY SỐ NHỚ với nguyên dƣơng với ( ( ) ( hi | | hi với số TÍNH CHẤT lim un ;lim ) TÍNH CHẤT (áp dụng tồn ) ) { nguyên dƣơng ) ) } ) ) ) hi ) Khi √ √ } ) } PHƢƠNG PHÁP T NH GIỚI HẠN DÃY SỐ  Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu tử chứa luỹ thừa , ta chia tử mẫu cho với số mũ cao ( )  Nếu biểu thức cho có chứa dƣới dấu nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp VD: √ √ VD: (√ / √ √ √ )(√ √ √ √ √ / ] √ / VD: [ ) / √ [ / √ / / ] / TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Khi | | t có VD: Tính tổng √ √ Giải: √ T có | | √ nên cấp số nhân với công bội ( √ ) √ √ √ LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 14 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TOÁN THẦY THẬT VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ NHỚ ) ) ) ) với số TÍNH CHẤT (dùng tồn ) ( ) ( { với nguyên dƣơng hi chẵn hi l ) ) ) ) ( ) ) Khi hi √ √ TÍNH CHẤT ( } (bằng hay coi ) } } ta phải xem dấu hay (bằng dấu ) ) hay coi ta phải xem hay GIỚI HẠN BÊN TRÁI – GIỚI HẠN BÊN PHẢI Giới hạn bên trái, tức Giới hạn bên phải, tức PHƢƠNG PHÁP T NH GIỚI HẠN HÀM SỐ (dạng ) Dạng  Dùng lƣợc đồ Hoocne  Nếu chứa biến căn, t nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp Dạng ( ) (dạng ) Dạng ( ) (dạng )  Nhân chia với biểu thức liên hợp qui đồng mẫu √ ( VD: VD: )  Chia tử, mẫu cho với số mũ cao  Nếu chứa biến căn, t đƣ dấu (với số mũ cao căn), chia tử mẫu cho luỹ thừa ( )( ) ( )( ) VD: VD (dạng Dạng √ )(√ ) √ / / √ √ / LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 15 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TOÁN THẦY THẬT √ VD: ( / √ ( VD: ) √ ) (do ( VD: (do { ( √ ) ) ( ) ) ( ) ) VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC HÀM SỐ LIÊN TỤC BÊN TRÁI liên tục trái HÀM SỐ LIÊN TỤC BÊN PHẢI liên tục phải ( ) ( ) HÀM SỐ LIÊN TỤC ( ) (áp dụng cho hàm số có dấu [ liên tục ) ( ) (áp dụng cho hàm số có dấu VD: X t tính liên tục củ ( ) hi { ) hi Giải: TXĐ: ( ) VD: Tìm ( để ( ) ) hi { ( ) ( ( ) ) hàm số không liên tục tại hi Giải: TXĐ: ( ) ( ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH liên tục , } phƣơng trình ( ) ( ) VD: Chứng minh phƣơng trình CĨ ÍT NHẤT NGHIỆM TRONG KHOẢNG ( có nghiệm khoảng ( ) ln có nghiệm Giải: Xét ( ) liên tục xác định ( ) ( ) nên ( ) ( ) Do phƣơng trình ln có nghiệm LỚP TỐN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 16 ) NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TỐN THẦY THẬT CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠO HÀM VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM ( ) ( ) ( ) ( (ở ) ( )) ( ) ( ) ( ) Hoặc BẢNG ĐẠO HÀM ( ĐẠO HÀM BÊN TRÁI – ĐẠO HÀM BÊN PHẢI ( ) ( ) Đạo hàm bên trái ( ) ( Đạo hàm bên phải ( ) ) QUI TẮC ĐẠO HÀM ( ) ( ( ) ( ) (√ ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( Thay , nhân thêm ( ( ) ) ( ) ( ) (√ ) √ ) ( ( ) ) ( ) ( ) √ / VD: Bằng định nghĩ , tính đạo hàm ( ) √ Giải: ( ) ( ) ( ) √ ( )(√ ) √ VD: ( VD: VD: ) ) ( ( ) ) ( ( ) VD: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) )√ )√ ) √ ( ( √ ) ( ( VD: ( )( ( ) √ / ) ( ) √ √ VD: ( )( ) ( ( )( ) ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 17 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TOÁN THẦY THẬT ( )( ) ( ( ) ) ( ( VD: ) ) √ ( ) / (√ ) √ √ √ VẤN ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Giải ( ) ( ) Thay vào ) DẠNG: ( ) ( PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ( Tiếp tuyến ( ) Giải pt Phƣơn t ình t ếp tuyến đồ thị ( ) biết tiếp tuyến qua (  Giả sử tiếp điểm ( ) Phƣơng trình tiếp tuyến ( ) ( ) ( )( )  (pt ẩn ) ) VD: ( ) Lập pttt ( VD: ( ) Giải: Pttt VD: ( ) ) Nhớ: Tiếp tuyến ( ) ( ) Thay vào ( ) ( )( )( ( ) Pttt ) Lập pttt qua ( ( ) ( ) ( ) ) ( )( ) Lập pttt có hệ số góc Giải: ( )( ) ) Giải: Pttt Có ( )( ) ( ( )( )( ) ) ( ) ( ) VẤN ĐỀ 3: VI PHÂN VI PHÂN Ví dụ: ( ) ( ) NHỚ ( ( ) ) ( với ) số / DÙNG VI PHÂN TÍNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG ( ) ( ) ( ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 18 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TỐN THẦY THẬT CHUN ĐỀ : HÌNH HỌC 11 VẤN ĐỀ : MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM NHỚ - Trọng tâm: gi o điểm đƣờng trung tuyến - Trực tâm: gi o điểm đƣờng cao - Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp: gi o điểm đƣờng trung trực - Tâm đƣờng tròn nội tiếp: gi o điểm đƣờng phân giác ĐỊNH LÍ TALES TRỌNG TÂM TAM GIÁC HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG sin = đối/huyền cos = kề/huyền t n = đối/kề cot = kề/đối (S n đ học - Cứ khóc hồi - Thơ đừng khóc - Có kẹo DIỆN T CH Tam ác Đƣờng c o Tam giác vng cân Cạnh huyền Hình vng Đƣờng ch o cạnh √ cạnh góc vng √ cạnh √ VẤN ĐỀ 2: MẶT PHẲNG VÀ ĐƢỜNG THẲNG CÁCH XÁC ĐINH MỘT MẶT PHẲNG   điểm không thẳng hàng ● đƣờng thẳng điểm không thuộc đƣờng thẳng đƣờng thẳng cắt ● đƣờng thẳng song song VỊ TR TƢƠNG ĐỐI GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HỒNG MAI – HÀ NỘI 19 TỐN THẦY THẬT ( ) NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI ( ) cắt ( ) ( ) ( ) ( ) VỊ TR TƢƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cắt ( ) ( ) ( ) VỊ TR TƢƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG { ( ) ( ) chéo hông đồng phẳng cắt CÁCH XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIỮA HAI MẶT PHẲNG Cách 1: Tìm h i điểm chung hai mặt Cách 2: Tìm điểm chung hai mặt phẳng phẳng phƣơng gi o tuyến (tức tìm hai mặt phẳng hai ( ) đƣờng thẳng song song với nhau) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Chú ý: Để tìm điểm chung củ h i mặt phẳng với { ( ) ( ) t thƣờng tìm h i đƣờng thẳng đồng phẳng lần lƣợt nằm h i mặt phẳng Gi o điểm, có, củ h i đƣờng thẳng điểm chung cần tìm CÁCH XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Để tìm gi o điểm ( ), ta tìm ( ) đƣờng thẳng cắt ( ) Khi đó: ( ) ( ) chƣ có sẵn ta chọn ( ) qua lấy { Chú ý: Nếu ( ) ( ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 20 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TỐN THẦY THẬT THIẾT DIỆN Thiết diện mặt phẳng ( ) với hình chóp đ giác giới hạn giao tuyến ( ) với mặt hình chóp Nhƣ vậy, để tìm thiết diện ta lần lƣợt tìm gi o tuyến ( ) với mặt củ hình chóp CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG ĐƢỜNG THẲNG Cách 1: Chứng minh h i đƣờng thẳng đồng Cách 2: H i đƣờng thẳng phân phẳng áp dụng phƣơng pháp chứng minh song biệt song song với đƣờng song hình học phẳng (đƣờng trung bình; thẳng thứ b song song với định lí T les…) { Cách 3: Hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến d lần lƣợt h i đƣờng thẳng song song giao tuyến s có trƣờng hợp: ( ) Cách 4: Hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến , đƣờng thẳng nằm ( ) song song với mặt phẳng lại s song song với giao tuyến ( ) ( ) ( ) ( ) } ( ) { [ ( ) ( ) Nhƣ vậy, trƣờng hợp ta cần không trùng với s suy r đƣợc Cách 5: Hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến , đƣờng thẳng song song với hai mặt phẳng s song song với giao tuyến ( ) ( ) ( ) } ( ) Cách 6: Hai mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ hai giao tuyến song song ( ) ( ) ( ) ( ) } ( ) ( ) Cách 7: Ba mặt phẳng cắt theo giao tuyến phân biệt, giao tuyến song song đồng quy ( ) ( ) ( ) ( ) } ( ) ( ) Cách 8: H i đƣờng thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với [ ( ) ( )} đồng quy Nhƣ vậy, ta cần chứng minh đồng quy s suy r đƣợc khơng LỚP TỐN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 21 TOÁN THẦY THẬT NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Cách 2: H i mặt phẳng song song với nh u, Cách 1: Chứng minh đƣờng thẳng không nằm đƣờng thẳng nằm mặt s song song với ( ) song song với đƣờng thẳng nằm mặt ( ) ( )} ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI ĐƢỜNG THẲNG Cách 1: H i đƣờng thẳng vng góc nhƣ góc chúng 90 ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (̂) |⃗⃗⃗⃗ | |⃗⃗⃗⃗ | ( ) ̂ Cách 2: Một đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng s vng góc với đƣờng nằm mặt phẳng ( ) { ( ) Cách 3: Đƣờng thẳng khơng vng góc ( ) đƣờng thẳng nằm ( ) Khi đó, điều kiện cần đủ để vng vng với hình chiếu ( ) hơng vng góc ( ) ( ) } hình chiếu củ ( ) Cách 4: H i đƣờng thẳng song song, đƣờng vuông góc với đƣờng vng góc với đƣờng { CHỨNG MINH ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG Cách 1: Một đƣờng thẳng vng góc với mặt Cách 2: H i đƣờng thẳng phẳng hi hi đƣờng thẳng vng góc với h i song song đƣờng đƣờng thẳng cắt nh u vng góc với mặt phẳng mặt phẳng đƣờng i vng góc mặt phẳng { ( ) cắt nh u ( ) { ( ) ( ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 22 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TỐN THẦY THẬT Cách 3: Một đƣờng thẳng vng góc với h i mặt phẳng song song vng góc với mặt lại ( ) } ( ) ( ) ( ) Cách 4: Hai mặt phẳng cắt vng góc mặt phẳng thứ ba giao tuyến vng góc với mặt phẳng thứ ba ( ) ( ) ( ) ( ) } ( ) ( ) ( ) Cách 5: H i mặt phẳng vng góc, đƣờng nằm mặt vng với giao tuyến vuông với mặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) } ( ) VẤN ĐỀ 3: GĨC Góc đƣờng thẳng mặt phẳng - Tìm gi o điểm ( ) ( )( ( )) - Chọn điểm , dựng - Suy ra, hình chiếu vng góc ( ) ( )) ̂ Do đó, ( ̂ Góc hai mặt phẳng Cách 1: Tìm h i đƣờng thẳng Cách 2: - Xác định - Từ ( ) cho { ( ) ) ( )) Khi đó, (( ̂ ( ) (̂) ( ) , lần lƣợt dựng { ( ) ) ( )) Khi đó, (( ̂ ( ) (̂) VẤN ĐỀ 4: KHOẢNG CÁCH Khoản cách từ m t đ ểm đến đƣờn thẳn , mặt phẳn a Khoản cách từ đ ểm M đến đƣờn thẳn d cho t ƣớc Các bƣớc thực hiện: Bƣớc Trong mặt phẳng M , d hạ MH d với H d Bƣớc Thực việc xác định độ dài MH dự hệ thức lƣợng t m giác, tứ giác, đƣờng tròn, … LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 23 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TOÁN THẦY THẬT  M a M a A M A d d H I K H K  Chú ý: Nếu tồn đƣờng thẳng a qua A song song với d thì: d M,d d A, d AK A d Nếu MA d I , thì: d M ,d MI AI d A, d b Khoản cách từ đ ểm O đến mặt phẳn  O Các bƣớc thực hiện: Bƣớc Tìm hình chiếu H củ O lên  Tìm mặt phẳng qu O vng góc với Tìm Trong mặt phẳng , ẻ OH  H A O s o cho dễ tìm gi o tuyến với thì: d O, I thì: d A, I  ẻ Ox / /d cắt Nếu có đƣờng thẳng d Nếu OA cắt d H Bƣớc Khi OH hoảng cách từ O đến Nếu OA//  O  H hình chiếu vng góc củ O lên  Chú ý: Chọn mặt phẳng H OI AI d A, K H d O, H  O A H K Khoản cách ữa đƣờn thẳng chéo  Đoạn vng góc chung củ h i đƣờng thẳng ch o nh u a, b  Trƣờng hợp  b: - Dựng mặt phẳng - Trong b vng góc với b B dựng BA  A   AB đoạn vng góc chung  Trƣờng hợp b hơng vng góc với nh u Cách 1: (Hình a) Dựng mp song song với b - Lấy điểm M tùy ý b dựng MM  () M Từ M dựng b// b cắt A Từ A dựng AB //MM cắt b B b B a A B M A M' a  b' (Hình a) LỚP TỐN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 24 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TOÁN THẦY THẬT  AB đoạn vng góc chung Cách 2: (Hình b) Dựng mặt phẳng a O, cắt b I - Dựng hình chiếu vng góc b củ b lên - Trong mp   Từ H dựng đƣờng thẳng song song với cắt b B Từ B dựng đƣờng thẳng song song với OH cắt A AB đoạn vuông góc chung Khoảng cách giữ h i đƣờng thẳng ch o nh u a, b , v OH  b H a A d a, b (Hình b) song song với b Khi đó: d a,b Cách Dựng mặt phẳng song song lần lƣợt d H I  AB Cách Dựng mặt phẳng d a,b b' O Cách Dùng đƣờng vuông góc chung: Tìm đoạn vng góc chung AB củ a, b - b B d b, b Khi đó: , LỚP TỐN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 25 ... BUỒN NẾU THẤT BẠI CHUYÊN ĐỀ : TỔ HỢP XÁC SUẤT VẤN ĐỀ : PHÉP ĐẾM QUI TẮC CỘNG Công việc chi làm trƣờng hợp: - Trƣờng hợp 1: có cách - Trƣờng hợp 2: có cách Khi đó, tổng số cách thực HỐN VỊ vật xếp... DÃY SỐ  Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu tử chứa luỹ thừa , ta chia tử mẫu cho với số mũ cao ( )  Nếu biểu thức cho có chứa dƣới dấu nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp VD: √ √ VD: (√... LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 18 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI TOÁN THẦY THẬT CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC 11 VẤN ĐỀ : MỘT SỐ KIẾN THỨC