TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN 11

Khi đó, tất cả số cách chọn liên tiếp 2 sự vật là.. Chọn 3 bông có trong đó phải có ít nhất 2 bông cúc.. CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC P

TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN ĐI ĐẠI HỌC 2018

TOÁN 11

CHUYÊN ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC 2

VẤN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 2

VẤN ĐỀ 2: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 3

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 4

CHUYÊN ĐỀ 2 : TỔ HỢP XÁC SUẤT 7

VẤN ĐỀ 1 : PHÉP ĐẾM 7

VẤN ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON 9

VẤN ĐỀ 3: XÁC SUẤT 9

CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 11

VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 11

VẤN ĐỀ 2: DÃY SỐ 11

VẤN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN 12

CHUYÊN ĐỀ 4 : GIỚI HẠN 14

VẤN ĐỀ 1 : GIỚI HẠN DÃY SỐ 14

VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ 15

VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC 16

VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 16

CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠO HÀM 17

VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC ĐẠO HÀM 17

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 18

VẤN ĐỀ 3: VI PHÂN 18

CHUYÊN ĐỀ 6 : HÌNH HỌC 19

VẤN ĐỀ 1 : MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 19

VẤN ĐỀ 2: MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG 19

VẤN ĐỀ 3: GÓC 23

VẤN ĐỀ 4: KHOẢNG CÁCH 23

TOÁN 11

CHUYÊN ĐỀ 1: LƢỢNG GIÁC

VẤN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

Hàm số

TXĐ: và

Hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn chu kì là

Hàm số

TXĐ: và

Hàm số chẵn và là hàm số tuần hoàn chu kì là

Hàm số

TXĐ: { }

Hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn chu kì là Hàm số

TXĐ: * +

Hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn chu kì là VD: Tập xác định của

TXĐ:

VD: Tập xác định của √

ĐK:

TXĐ: , )

VD: Tập xác định củ /

ĐK:{

{

TXĐ: { }

VD: Tìm GTLN và GTNN của

Có

khi ( )

khi

( )

VD: Tìm GTLN và GTNN của

Có

khi

( )

hi

( )

VD: Xét tính chẵn lẻ của

Kí hiệu ( ) và TXĐ:

Nhắc lại: ( ) là hàm số chẵn { ( ) ( )

Do đó đây là hàm số lẻ ( ) là hàm số lẻ { ( ) ( )

VẤN ĐỀ 2: CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN ) )

)

)

)

)

)

) ( ) ) ( )

) ( ) ) ( )

CUNG LIÊN KẾT ĐỐI BÙ PHỤ ( )

( )

( )

( )

(cos đối) ( )

( )

( )

( )

(sin bù) / /

/ /

(phụ chéo) HƠN KÉM HƠN KÉM ( ) ( )

( ) ( )

(tan cot hơn kém ) / /

/ /

(sin lớn bằng cos nhỏ) CỘNG ( ) (sin thì sin cos cos sin) ( ) (cos thì cos cos sin sin dấu trừ) ( )

NHÂN ĐÔI NHÂN BA

(sin3a bằng 3 sin trừ 4 sỉn) (cos3a bằng 4 cổ trừ 3 cô)

CÔNG THỨC HẠ BẬC

TÍCH – TỔNG T NH THEO

, ( ) ( )- (cos c n c n cos t ừ

, ( ) ( )- (cos t ừ t ừ cos c n

, ( ) ( )- (s n c n c n s n t ừ

TỔNG – TÍCH

(cos c ng cos bằng 2 cos cos)

(cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin)

(sin c ng sin bằng 2 sin cos)

(sin trừ sin bằng 2 cos sin) ( )

(tình mình c ng vớ tình ta, s nh a 2 đứa con mình con ta) √ /

√ /

NHỚ ( )

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 0 ( )(cos đối) 0 (

)(sin bù) ( ) ( )

ĐẶC BIỆT

( ) ( )

( ) ( ) hoặc ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) /

( ) /

( ) /

( ) /

VD: √

[

[

( )

VD: ( )

VD:

/

[

[

( )

[

( )

PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIÊN

Cách giải: Chia 2 vế phương trình cho √ , s u đó áp dụng công thức cộng VD: √

Chia 2 vế pt cho √(√ )

√ /

( )

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Dạng

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA VÀ s

Cách giải X t

Thay vào pt (nhớ )

X t

Chia 2 vế pt cho , giải pt theo

Ghi chú  Có thể giải bằng cách dùng công thức hạ bậc đư về dạng

Cách giải Đặt √ /

với [ √ √ ]

pt

VD:

Xét

(vô lý) Xét

( )

[

[

( )

( )

VD:

Đặt √ /

với [ √ √ ]

( )

√ / /

√ / /

[

/

[

( )

ĐIỀU KIỆN

Phương trình chứa thì Phương trình chứa thì Phương trình chứa

thì

{

CHUYÊN ĐỀ 2 : TỔ HỢP XÁC SUẤT

VẤN ĐỀ 1 : PHÉP ĐẾM

Công việc chi làm 2 trường hợp:

sự vật 2

Khi đó, tất cả số cách chọn liên tiếp 2 sự vật là

( )

( ) ( ) ( )

vật, lấy ra vật rồi sắp xếp thứ

tự, số cách xếp là:

( )

vật, lấy ra vật nhưng không sắp xếp thứ tự, số cách xếp là:

VD: Cho 6 đường thẳng song song với nh u và 8

đường thẳng hác cũng song song với nh u đồng

thời cắt 6 đường thẳng đã cho Hỏi có b o nhiêu

hình bình hành được tạo nên bởi 14 đường thẳng

đã cho?

Giải:

VD: Có 5 bông hồng, 7 bông cúc, 3 bông l n

Tìm số cách Chọn 3 bông từ các bông trên

b Chọn 3 bông ho trong đó có đầy đủ các loại

c Chọn 3 bông có trong đó phải có ít nhất 2 bông cúc

c TH1: 2 bông cúc

Có cách chọn 2 bông cúc từ 7 bông cúc

Có cách chọn 1 bông còn lại từ 8 bông

( )

( )

( ) ( )( )

( )

[ ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )

Giải:

Điều kiện: {

{

∑

∑

Ycbt

VD: Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứ 20 thẻ đƣợc đánh số từ 1 đến 20 Tính xác suất để thẻ

m

,yy



m

1 x x



 xx ,12 m x n  xmn

* + ( ) ( ) ( )

( )

* + ( ) ( ) ( )

( )

* + ( ) ( ) ( )

( )

CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP

SỐ NHÂN

VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

Có nhiều cách để chứng minh một biểu thức ( ) đúng Một trong những cách chính là qui nạp toán học:

1 Kiểm tra với ( ) đúng h y hông

2 Giả sử với ( ) đúng

3 Với , ta chứng minh ( ) đúng

VD: Chứng minh ( ) ( ) với với

Giải:

Với : ( )

Với : Đặt

Giả sử ( ) ( )

Với : Ta chứng minh ( ) ( )

Thật vậy, ( ), ( ) - ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

Vậy hệ thức đúng với mọi

VẤN ĐỀ 2: DÃY SỐ DÃY SỐ Dãy số ( ) là hàm số đi từ đến Có 3 cách xác định dãy số: cho số hạng tổng quát; mô tả; cho hệ thức truy hồi DÃY SỐ TĂNG – DÃY SỐ GIẢM Khi , t có thể dùng

( ) là dãy số tăng

Khi , t có thể dùng

( ) là dãy số tăng

VD: X t tính tăng, giảm củ dãy số cho bởi

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

Giải: Vậy ( ) là dãy số tăng DÃY SỐ BỊ CHẶN  ( ) bị chặn trên

 ( ) bị chặn dưới

 ( ) bị chặn ( ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới | |

VD: Chứng minh dãy số cho bởi

bị chặn

VẤN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

CẤP SỐ CỘNG

1 Định n hĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d,  n  N* (d: công sai)

2 Số hạng tổng quát: un    u1 ( n 1) d với n  2

3 Tính chất các số hạng: 1 1

2

  

k

u với k  2

1 2

2       n n n n u u S u u u =  2 1 ( 1)  2   n u n d CẤP SỐ NHÂN 1 Định n hĩa: (u )n là CSN, q là công bội un1 u qn 2 Số hạng tổng quát: 1 1   n n u u q với n  2 3 Tính chất các số hạng: 2 1 1    k k k u u u với k  2 4 Tổng n số hạn đầu tiên: 1 1 khi 1 (1 ) khi 1 1 n n n S nu q u q S q q            VD: Cho dãy số ( ) với

a Viết 5 số hạng đầu của dãy b Chứng minh ( ) là cấp số cộng Chỉ rõ và c Tính tổng của 100 số hạng đầu Giải: a

b Có ( )

Do đó

Suy ra ( ) là cấp số cộng với

c , ( )( )-

VD: Tìm và của CSC ( ) biết {

Giải: { {

( )

, -

{ {

VD: Cho dãy số ( ) với ( )

a Chứng minh ( ) là cấp số nhân b Lập công thức truy hồi của dãy số c Hỏi số là số hạng thứ mấy của dãy số? Giải: ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

Do đó ( ) là cấp số nhân với

b

c Giả sử là số hạng thứ của dãy số Khi đó

VD: Tìm và của CSN ( ) biết {

Giải: { {

{ ( ( ) )

( )

( )

Giải:

Do đó ( ) bị chặn

[

CHUYÊN ĐỀ 4 : GIỚI HẠN

VẤN ĐỀ 1 : GIỚI HẠN DÃY SỐ

NHỚ

với nguyên dương

với nguyên dương

{ hi hi | | với là hằng số

TÍNH CHẤT (áp dụng khi tồn tại lim ; lim un vn) TÍNH CHẤT

) ( )

) ( )

) ( )

hi ) Khi thì √ √

) }

)

} ) } ( )

PHƯƠNG PHÁP T NH GIỚI HẠN DÃY SỐ

 Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa

luỹ thừa của , ta chia tử và mẫu cho với là số mũ

√

T có | | nên

(

√ ) √

VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ

NHỚ

)

)

với là hằng số ) với nguyên dương ) { hi chẵn hi l

TÍNH CHẤT (dùng khi tồn tại )

)

( )

)

( )

)

( )

hi

) Khi thì √ √

TÍNH CHẤT

} ( )

(bằng hay ta phải xem dấu của và coi hay )

}

}

(bằng hay ta phải xem dấu của và coi hay )

GIỚI HẠN BÊN TRÁI – GIỚI HẠN BÊN PHẢI Giới hạn bên trái, tức khi

Giới hạn bên phải, tức khi

PHƯƠNG PHÁP T NH GIỚI HẠN HÀM SỐ Dạng

(dạng )  Dùng lược đồ Hoocne  Nếu chứa biến trong căn, t nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp Dạng

(dạng )  Chia tử, mẫu cho với là số mũ cao nhất  Nếu chứa biến trong căn, t đư ra ngoài dấu căn (với là số mũ cao nhất trong căn), rồi chia tử và mẫu cho luỹ thừa của Dạng (

) (dạng )

Dạng ( ) (dạng )

 Nhân và chia với biểu thức liên hợp hoặc qui đồng mẫu VD:

( )( )

( )( )

VD

√

( )(√ ) √

VD:

/

/

VD:

√

√

/

√

VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC

HÀM SỐ LIÊN TỤC BÊN TRÁI HÀM SỐ LIÊN TỤC BÊN PHẢI

liên tục trái tại ( ) liên tục phải tại ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ ÍT NHẤT 1 NGHIỆM TRONG KHOẢNG ( )

liên tục trên ,

( ) ( ) } phương trình có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng ( )

VD: Chứng minh phương trình luôn có nghiệm

CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠO HÀM

VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC ĐẠO HÀM

ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM BẢNG ĐẠO HÀM

( )

( ) ( )

(ở đây ( ) ( ))

Hoặc ( )

( ) ( )

( )

( )

(√ ) √ ( )

( )

( )

( )

Thay bởi , nhân thêm

( )

( )

(√ )

√ ( )

( )

( )

( )

ĐẠO HÀM BÊN TRÁI – ĐẠO HÀM BÊN PHẢI Đạo hàm bên trái ( )

( ) ( )

( )

Đạo hàm bên phải ( )

( ) ( )

( )

QUI TẮC ĐẠO HÀM ( ) ( )

/

VD: Bằng định nghĩ , tính đạo hàm của ( ) √ tại

Giải: ( )

( ) ( )

√

( )(√ ) √

VD:

VD: ( )

( ) ( ) ( )

VD: ( )

( ) ( ) ( ) ( )

VD:

( ) ( )

VD: ( )√

( )√ ( ) √ /

√ ( )( )

√

( ) ( )

√

√

VD:

( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )

VD: √

( ) / (√ )

√ √ √

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ( ) DẠNG: ( ) ( )( )

Giải ( ) Thay vào ( )

Thay vào Giải pt

Nhớ: Tiếp tuyến ( ) ( ) ( )

Tiếp tuyến ( ) ( ) ( )

Phươn t ình t ếp tuyến của đồ thị ( ) biết tiếp tuyến qua ( )

 Giả sử tiếp điểm là ( ) Phương trình tiếp tuyến là ( ) ( )( )

 ( ) ( )( ) (pt ẩn )

VD: ( ) Lập pttt tại ( )

Giải:

( )

Pttt là ( )( )

VD: ( ) Lập pttt có hệ số góc là Giải:

( )

Pttt là ( )( )

VD: ( ) Lập pttt qua ( )

Giải:

Pttt là ( )( ) ( )( )

Có ( )( )

( )

( )

VẤN ĐỀ 3: VI PHÂN VI PHÂN NHỚ

Ví dụ: ( ) ( )

( ) ( )

( ) với là hằng số /

DÙNG VI PHÂN TÍNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG ( ) ( ) ( )