Số học là một môn khoa học, nó có vai trò khá quan trọng trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Số học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát hơn, suy luận chặt chẽ lôgíc hơn. Thế giới của những con số thật gần gũi với tất cả mọi người nhưng cũng đầy những bí ẩn cho chúng ta dành trọn cả đời mình để khám phá chúng.
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG NHẬN BIẾT DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO MỘT SỐ TỰ NHIÊN I ĐẶT VẤN ĐỀ Ngun nhân khách quan “Tốn học mơn thể thao trí tuệ” (Kalinin) Thật vậy, nói cách dễ hiểu: Toán học giúp trẻ tư nhạy bén hơn, phát triển khả sáng tạo, khả tư duy, phương pháp làm việc khoa học, đức tính kiên nhẫn, khả xử lí tình khó khăn nhiều phương pháp tối ưu, … Muốn giỏi Toán hay mơn học phải thực hành nhiều Và mong muốn nắm vững kiến thức để học giỏi mơn Tốn nguyện vọng nhiều học sinh Số học mơn khoa học, có vai trò quan trọng việc rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh Số học giúp có nhìn tổng qt hơn, suy luận chặt chẽ lơgíc Thế giới số thật gần gũi với tất người đầy bí ẩn cho dành trọn đời để khám phá chúng Ở trường THCS, phân mơn số học học lớp 6, xun suốt q trình học tốn cấp Tốn học ngày phát triển khơng ngừng, phân mơn Tốn mệnh danh “Bà chúa Tốn học” phân mơn Số học, mơn học mà gọi tên thức lớp 6, kiến thức xun suốt q trình học Tốn tất bậc học Nguyên nhân chủ quan: Đối với học sinh THCS, Số học mảng khó chương trình Tốn THCS Phần lớn học sinh chưa có phương pháp giải tập cách khoa học Nguyên nhân khó khăn mà học sinh gặp phải giải tập Số học chỗ: Lúc đầu giải tập mới, học sinh thấy có đứt quãng cụ thể điều kiện tốn phụ thuộc tốn học trìu tượng diễn ra, điều kiện học sinh thu nhận kiến thức cách giải tập cụ thể kỹ chung việc giải tốn khác chủ yếu Trong ý muốn việc dạy cách giải tập Toán phải dạy cho học sinh tự giải tập tương đối mới, tập đòi hỏi tìm tòi sáng tạo cách giải Việc học mơn tốn (Với mức độ SGK) khơng đòi hỏi học sinh phải có trí thơng minh đặc biệt Tuy nhiên suy học sinh điều học tập dễ dàng nhau, có học sinh tiếp thu tri thức tốn học nhanh chóng sâu sắc mà không cần cố gắng đặc biệt số em khác có cố gắng nhiều không đạt kết Bên cạnh dó, lực tiếp thu phận lớn học sinh hạn chế Các em vừa học vừa phụ giúp cơng việc gia đình Chính vậy, em có thời gian để học tập Vì vậy, việc cho học sinh hiểu lớp vấn đề quan trọng Trong q trình học tập mơn Tốn, nhiều ta cần biết số có chia hết hay khơng chia hết cho số mà khơng cần thực phép chia Muốn ta cần biết dấu hiệu chia hết cho số tự nhiên Ở chương trình Toán tiểu học, việc thực “Rút gọn phân số” dựa tính chất phân số là: “Cùng chia tử số mẫu số cho số tự nhiên khác không”, việc xác định số tự nhiên tiến hành sở dấu hiệu chia hết mà không dùng tới khái niệm ước số chung hay ước số chung lớn Với lý áp dụng số biện pháp rèn luyện kỹ nhận biết dấu hiệu chia hết cho số tự nhiên nhằm giúp học sinh thuận lợi vận dụng làm số tập có liên quan II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Thực trạng vấn đề Trong thực tế để giúp học sinh học tốt mơn tốn nhiệm vụ giáo viên dạy tốn tìm hiểu, nghiên cứu để nắm bắt tình hình chung học sinh Từ tìm biện pháp thích hợp nhằm phát huy mặt mạnh khắc phục mặt yếu học sinh Có giúp tất học sinh phát triển khả tư Và cho học sinh nắm kiến thức bản, đồng thời góp phần phát hiện, đào tạo nhân tài từ năm đầu bậc THCS Một điều kiện thuận lợi em học dấu hiệu chia hết cho 2, 3, tiểu học Đó sở để em nhận biết vận dụng dấu hiệu chia hết cách dễ dàng Giáo viên cần có nhìn tổng quát phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Đồng thời vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với tình hình cụ thể trường, lớp phù hợp với đối tượng học sinh Học sinh cần hiểu nắm bắt kiến thức mà giáo viên truyền đạt, có kỹ vận dụng kiến thức từ học vào việc giải Tốn Biện pháp thực Trong chương trình Tốn tiểu học, học sinh học dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho theo nhóm số Nhóm số xét xem chữ số tận số tự nhiên: “Chia hết cho 2, cho 5” Nhóm số xem tổng chữ số số tự nhiện: “Chia hết cho 3, cho 9” 2.1 Phương pháp Trong chương trình giảng dạy phần sách lớp cải cách, khắc sâu lại kiến thức học dựa vào tính chất “Chia hết tổng” nên học sinh nắm bắt dấu hiệu chia hết cách chặt chẽ cung cấp thêm số dấu hiệu chia hết dựa kiến thức chia theo nhóm số 2.1.1 Nhóm số xét chữ số tận số tự nhiên Số tự nhiên A viết dạng: A = an an−1an−2 a1a0 = 10n an + 10n−1 an−1 + + 101 a1 + a0 Thì: A M2 ⇔ a0 M2 ⇔ a0 ∈ { 0;2;4;6;8} ⇔ a0 ∈ { 0;5} A M5 ⇔ a0 M Ta mở rộng thêm cho học sinh: A M4 ⇔ a1a0 M4 A M25 ⇔ a1a0 M25 A M8 ⇔ a2 a1a0 M A M125 ⇔ a2 a1a0 M 125 2.1.2 Nhóm số xét xem tổng chữ số tự nhiên A = an an−1an−2 a1a0 Vậy: A M9 ⇔ an + an−1 + + a1 + a0 M A M3 ⇔ an + an−1 + + a1 + a0 M Giáo viên cung cấp mở rộng thêm cho học sinh: Nếu số có hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (kể từ phải qua trái) ngược lại chia hết cho 11 chia hết cho 11 11 A M11 ⇔ (a0 + a2 + + an−2 + an ) − ( a1 + a3 + + an−3 + an−1 )M Lưu ý: Số chia hết cho ln chia hết cho số chia hết cho khơng chia hết cho Ví dụ: Xét số 3291 Số 3291 có tổng chữ số là: + + + = 15, 15 chia hết cho khơng chia hết cho 9, 3291 chia hết cho không chia hết cho Số 3291 có (3 + 9) – (2 + 1) = không chia hết cho 11 nên 3291 không chia hết cho 11 Xét số 4653 Số 4653 có tổng chữ số + + + = 18, 18 chia hết cho 18 chia hết cho 9, nên số chia hết cho Số 4653 có (4 + 5) – (6 + 3) = chia hết cho 11 nên 4653 chia hết cho 11 2.1.3 Kết hợp với dấu hiệu chia hết Cách 1: Dấu hiệu chia hết cho 2, cho Những số có tận chia hết cho Ví dụ: Các số 80, 100, 370, 190, … số chia hết cho có chữ số tận số Cách 2: Dấu hiệu chia hết cho Những số chia hết cho chia hết cho Ví dụ: Xét số 390 Ta có: 390 M có chữ số tận 390 M có + + = 12 M Vậy 390 chia hết cho nên chia hết cho 2.2 Hướng dẫn học sinh áp dụng dấu hiệu chia hết để làm tập 2.2.1 Loại tập điền chữ số thích hợp vào dấu * để số chia hết Ví dụ 1: Điền chữ số thích hợp vào dấu * để số 54 * chia hết cho Hướng dẫn học sinh: Số 54 * = 540 + * Để 54 * chia hết cho * ∈ { 0;2;4;6;8} Vậy số tìm là: 540; 542; 544; 546; 548 Ví dụ 2: Điền chữ số vào dấu * để số *85 thoả mãn: a) Chia hết cho b) Chia hết cho Hướng dẫn học sinh: a) Số *85 có chữ số tận ⇒ số *85 M2 Vậy ta không tìm * để *85 chia hết cho b) Số *85 = *80 + có chữ số tận Vậy ta thay * số từ đến số *85 chia hết cho Nên số tìm là: 185; 285; 385; 485; 585; 685; 785; 885; 985 Ví dụ 3: Điền chữ số thích hợp vào dấu * để 3* chia hết cho Hướng dẫn học sinh: Ta có 3* chia hết cho + * + phải chia hết cho + * + = + * M9 ⇒ *=4 Vậy số cần tìm 342 Ví dụ 4: Điền chữ số vào dấu * để *81* chia hết cho 2; 3; 5; (trong số có nhiều dấu *, dấu * khơng thiết phải thay chữ số giống nhau) Hướng dẫn học sinh: Vì *81* chia hết cho nên *81* có * có chữ số tận 0, ta có số *810 Mặt khác ta có *810 chia hết cho Nên * + + + M9 ⇔ * + M9 ⇒ * = (Vì * chữ số số nên 0) Vậy ta có số cần tìm là: 9810 2.2.2 Dạng tập tìm số chia hết cho nhiều số tự nhiên Ví dụ 1: Hãy viết thêm chữ số vào bên phải số 283 cho số chia hết cho 2, cho cho Hướng dẫn học sinh Một số chia hết cho phải có chữ số tận (chữ số hàng đơn vị) Vậy ta cần tìm chữ số hàng chục Gọi chữ số hàng chục *; ta có số cần tìm 283* Tổng chữ số là: + + + * + = 13 + * = 12 + + * Vì 12 M3 nên muốn 283* M3 + * M3 ⇒ * ∈ { 2;5;8} Vậy số cần tìm là: 28320; 28350; 28380 Ví dụ 2: Tìm số có chữ số chia hết cho biết đọc xuôi hay ngược, số có giá trị khơng đổi Hướng dẫn học sinh Số chia hết cho mà đọc ngược lại giá trị không thay đổi nên chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị phải 5, chữ số hàng trăm hàng chục phải giống Vậy số có dạng: **5 Để số **5 M3 thì: + * + * + M3 ⇔ 10 + 2* M3 Do * ∈ { 1;4;7} Vậy số cần tìm là: 5115; 5445; 5775 Lưu ý giáo viên: tốn ta phát triển tốn theo nhiều cách khác (ví dụ thay 2) 2.2.3 Dạng tập dựa vào dấu hiệu nhận biết để phân tích số thừa số ngun tố cách nhanh chóng Ví dụ: Phân tích số 450 thừa số nguyên tố cho biết số cho ước nguyên tố Hướng dẫn học sinh Vì số 450 có chữ số tận 0, nên 450 chia hết cho 5, ta viết: 450 = 45.10 = 45.2.5 Vì 45 M3 (Vì + = M3), nên ta viết: 450 = 15.3.2.5 Vì 15 M3 (Vì + = M3), nên ta viết: 450 = 3.5.3.2.5 Cách làm sau: 450 = 45.10 = 3.15.2.5 = 3.5.3.2.5 = 2.32.52 Vậy số 450 chia hết cho ước nguyên tố là: 2; 3; 2.2.4 Dạng tập khơng cần thực phép tính xét xem tổng đai số có chia hết cho số khơng? Ví dụ 1: Cho tổng A = 270 + 3105 + 150 Không thực phép tính xét xem tổng A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho hay không? Tại sao? Hướng dẫn học sinh Dựa vào dấu hiệu chia hết tính chất chia hết tổng Ta có: A = 270 + 3105 + 150 270M2 Vì: 3105 M2 ⇒ A = 270 + 3105 + 150 M2 150M2 270M ⇒ A = 270 + 3105 + 150M Và: 3105M 150M 270M ⇒ A = 270 + 3105 + 150M Mặt khác: 3105M 150M 270M ⇒ A = 270 + 3105 + 150 M9 Và: 3105M 150 M9 Vậy số A không chia hết cho 2, không chia hết cho A chia hết cho chia hết cho Ví dụ 2: Chứng tỏ với m, n ∈ N, ta có: a 105m + 30n M5 b 261m + 3204n M9 Hướng dẫn học sinh a) Ta có: 105M 5 105mM 5 với m, n ∈ N ⇒ ⇒ 105m + 30nM 30M 30nM b) Ta có: 261M 261mM 9 với m, n ∈ N ⇒ ⇒ 261m + 3204nM 3204M 3204nM 9 2.2.5 Loại tập nhận biết phân số tối giản rút gọn phân số Ví dụ: Trong phân số sau: a) Phân số phân số tối giản? 12 10 75 57 ; ; ; ; ; 18 15 100 58 b) Hãy rút gọn phân số phân số tối giản Hướng dẫn học sinh a) Các phân số tối giản là: 57 ; ; 58 (Học sinh dễ dàng nhận biết phân số tối giản tử mẫu phân số tối giản không chia hết cho số tự nhiên khác 1) b) Rút gọn phân số lại Ta có: 12 12 : = = (Chia tử số mẫu số cho vì: = ƯCLN(12;18)) 18 18 : 10 10 : = = (Chia tử số mẫu số cho vì: = ƯCLN(10;15)) 15 15 : 75 75 : 25 = = 100 100 : 25 (Chia tử số mẫu số cho 25 vì: 25 = ƯCLN(75;100)) 2.2.6 Loại tập tổng hợp Giải toán chia hết Dùng cho học sinh giỏi Có thể vận dụng dấu hiệu chia hết có liên quan đến số nguyên tố, số nguyên tố xét đến dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9, cho 11, … Ví dụ: Chứng minh với n ∈ N số: A = n(n + 1)(2n + 1) M6 Hướng dẫn học sinh Nếu n = 3k (k ∈ N) A M3 Nếu n = 3k + (k ∈ N) 2n + = 6k + M3 Nếu n = 3k + (k ∈ N) n + = 3k + M3 Ngồi tích n(n + 1) tích hai tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1) M2 ⇒ A M2 10 AM2 Vì AM Nên A M2.3 hay A M6 UCLN (2;3) = 1 Ví dụ 2: Chứng minh với n ∈ N thì: A = (10n + 18n – 1) M27 Hướng dẫn học sinh Ta có: A = (10n + 18n – 1) = 10n – + 18n = 999 99 14 43 + 18n n số = 9.(111 11 14 43 + 2n) n số Vậy A M9 14 43 + 2n)M Mà (111 11 n số + n ) = n + 111 11 − n Vì (111 11 ÷ 14 43 14 43 n số n số 111 11 Ta có: 14 43 có tổng chữ số n n số 14 43 − n)M ⇒ (111 11 n số (111 11 + 2n)M Vậy 14 43 n số nên A 9.3 hay A 27 14 43 + 2n)M Vì A M9 (111 11 M M n số Vậy A = (10n + 18n – 1) M27 2.3 Biện pháp phối hợp Sử dụng số trò chơi giúp học sinh rèn luyện kỹ sau: 2.3.1 Trò chơi: “Tìm nhanh số chia hết” Ví dụ: Cho số 21780; 325; 1980; 176 Hãy cho biết số chia hết cho số số sau 2; 3; 5; 9? 11 Hướng dẫn học sinh a) Số 21780 chia hết cho có chữ số tận Chia hết cho tổng chữ số chia hết cho b) 325 chia hết cho có chữ số tận c) 176 chia hết cho có cữ số tận (chữ số chẵn) d) 1980 chia hết cho có chữ số tận Chia hết cho tổng chữ số chia hết cho 2.3.2 Trò chơi: “Ghép số” tạo thành số chia hết Yêu cầu học sinh chơi theo nhóm, số phát cho số cần ghép Khi quản trò hiệu lệnh nhóm ghép số có lại để tạo số chia hết theo yêu cầu Ví dụ: Dùng ba bốn chữ số 8; 3; 1; Hãy ghép thành số tự nhiên có ba chữ số cho số a) Chia hết cho b) Chia hết cho mà không chia hết cho Hướng dẫn học sinh Trong bốn chữ số 8; 3; 1; có ba chữ số có tổng chia hết co 8; 1; Vậy số lập là: 810; 180; 108; 801 Trong bốn chữ số 8; 3; 1; có ba chữ số có tổng chia hết cho mà không chia hết cho 8; 3; Vậy số lập là: 831; 813; 183; 138; 318; 381 2.3.3 Trò chơi: “Tìm số dư” Yêu cầu: Giáo viên cho số số bảng, yêu cầu học sinh nhóm quan sát nhanh cho nhận xét yêu cầu tìm số chia cho dư 1; chia dư 2; … Học sinh quan sát nhanh đọc số đó, đại diện nhóm ghi lên bảng phần phụ đánh dấu kết Kết thúc trò chơi nhóm ghi nhiều số thắng Ví dụ: Cho số 213; 1543; 827; 1546; 468; 1527; 2468; 3666; 10 11 Hãy tìm số dư chia số cho 12 Hướng dẫn học sinh - Số chia cho dư 1011 - Số chia cho dư 2468 - Số chia cho dư 3666 - Số chia cho dư 213; 1527 - Số chia cho dư 1548 - Số chia cho dư 827 - Số chia cho dư 468 2.3.4 Trò chơi “Thay chữ số” Thay dấu * chữ chữ số thích hợp để phép tính sau - TOANHOC HOCTOAN Giáo viên yêu cầu học sinh chơi theo * 02 * 65 nhóm, phát động trò chơi nhóm tiến hành làm Sau khoảng thời gian định giáo viên cho nhóm trình bày quan điểm ⇒ nhận xét đánh giá Hướng dẫn học sinh Ta xét cột hàng triệu ta có T = 9, H = Số TOANHOC HOCTOAN có tổng chữ số nên: TOANHOC − HOCTOANM Ta dễ thấy dấu * cột trăm nghìn 0, dấu * hàng trăm Từ cột hàng trăm cột hàng nghìn ta có N = Cột hàng đơn vị có C = (vì C – = 5) Cột hàng vạn có A = (vì A – – = 0) Cột hàng chục có O = (vì O – có số tận 6) Vậy ta có phép tính: - 9482147 1479482 8002665 13 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua thời gian tổ chức thực đề tài, với sửa chữa, bổ sung sau tiết dạy, thân tự nhận xét, đúc rút kinh nghiệm cách tiến hành đề tài Nhìn chung học sinh tiến học tập, em hăng say sôi tiết học Kết đạt sau: Sau học xong phần “Dấu hiệu chia hết” học sinh nắm vững dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho hiểu sở lý luận dấu hiệu dựa tính chất chia hết tổng Học sinh biết vận dụng dấu hiệu để nhận số, tổng, hiệu có chia hết hay không chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho cách thành thạo Nó giúp cho học sinh rèn luyện tính xác phát biểu vận dụng dấu hiệu chia hết vào làm tập Rèn luyện cho học sinh tính ham học hỏi, tư khoa học, u thích mơn Toán học, tạo cảm giác hứng thú học tập Sau làm kiểm tra đánh giá kết tiếp thu kiến thức học sinh, kết đạt sau: Số Điểm TB TS % 0 36 III Điểm - TS % 25,0 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 14 Điểm – TS % 16 44,4 Điểm - 10 TS % 11 30,6 Phân môn số học học lớp với nội dung học tương đối đơn giản Song làm để phát huy tính tư tích cực, sáng tạo cho học sinh vấn đề không đơn giản Để đạt điều đòi hỏi người giáo viên khơng nắm vững tri thức tương ứng mà phải nắm vững kỹ truyền thụ tri thức Giáo viên phải biết kích thích ý học sinh, phát huy tính tự lập tích cực sáng tạo học sinh Trên bước đầu tự mày mò nghiên cứu thử nghiệm tơi, chắn nhiều sai sót số hạn chế định, cần phải rút kinh nghiệm bổ sung dần để giúp đỡ học sinh ngày nắm vững kiến thức cách sâu sắc toàn diện Kỹ nhận biết nhanh, xác dấu hiệu chia hết cho số tự nhiên thường gặp tính toán Để làm tốt biện pháp việc rèn luyện kỹ cho học sinh theo ý chủ quan tôi, cần ý quan điểm sau: - Giáo dục ý thức ham học tập cho học sinh từ đầu ấn tượng quan trọng - Yêu cầu bắt buộc học sinh phải thuộc lòng bảng tính nhân chia, rèn kỹ tính nhẩm nhanh - Trên sở nội dung chương trình tốn lớp bậc tiểu học, giáo viên phải hệ thống hoá kiến thức kỹ tính tốn, tính nhẩm, chủ yếu cộng, trừ, nhân, chia Và có biện pháp lồng ghép phù hợp với giảng dạy, ôn tập, luyện tập học cụ thể - Hướng dẫn phương pháp học tập đặc trưng cho học sinh giúp em tốn thời gian mà thuộc mau, nhớ lâu, vận dụng tốt - Phải tạo tình có vấn đề buộc em phải tự tìm cách tháo gỡ, có phát triển lực tư sáng tạo học sinh - Rèn cho học sinh kỹ phân tích điều kiện tốn để nhìn thấy chung, trìu tượng riêng, phát triển khả khái quát hoá cho học sinh 15 - Phải dạy cho học sinh tự giải tập tương đối mới, đòi hỏi có tìm tòi sáng tạo cách giải - Rèn luyện cho học sinh giải tập có kết dựa vào suy luận trìu tượng - Trong phương pháp cách diễn đạt sức truyền cảm giáo viên qua lời giảng quan trọng, giúp học sinh dễ dàng tiếp thu hay khó tiếp thu, thích hay khơng thích Cho nên thân giáo viên phải nghiên cứu kỹ trước đến lớp, trau dồi kiến thức, rèn luyện cho phong thái tự tin, giọng nói dễ nghe, dễ lôi ý học sinh Trên số kinh nghiệm thân rút từ thực tế giảng dạy Với cố gắng thân song tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý đồng nghiệp để thân ngày cành tiến Tiên Kiên, ngày tháng 11 năm 2017 Người viết Lê Thị Thu Hiền 16 ... ý: Số chia hết cho ln chia hết cho số chia hết cho khơng chia hết cho Ví dụ: Xét số 3291 Số 3291 có tổng chữ số là: + + + = 15, 15 chia hết cho không chia hết cho 9, 3291 chia hết cho khơng chia. .. … số chia hết cho có chữ số tận số Cách 2: Dấu hiệu chia hết cho Những số chia hết cho chia hết cho Ví dụ: Xét số 390 Ta có: 390 M có chữ số tận 390 M có + + = 12 M Vậy 390 chia hết cho nên chia. .. nhanh số chia hết Ví dụ: Cho số 21780; 325; 1980; 176 Hãy cho biết số chia hết cho số số sau 2; 3; 5; 9? 11 Hướng dẫn học sinh a) Số 21780 chia hết cho có chữ số tận Chia hết cho tổng chữ số chia