Giáo án – xác suất thông kê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂN TRÀO KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC GIÁO ÁN HỌC PHẦN: Nhập môn Lý thuyết xác suất thống kê Toán LỚP DẠY: Đại học Tiểu học khóa 2017- 2021 Họ tên giảng viên: Lê Danh Tun Bộ mơn: Tốn Năm học 2017 - 2018 Ngày soạn: Lớp dạy: Ngày dạy: Chương I: CÁC KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT Bài 1: Phép thử Quan hệ biến cố Số tiết: tiết I Mục tiêu: Kiến thức: Cung cấp khái niệm: Phép thử, biến cố, quan hệ biến cố Các định nghĩa xác suất Kỹ năng: Hình thành rèn cho người học kĩ năng: - Phân biệt loại biến cố quan hệ loại biến cố Thái độ: Chủ động tìm tòi, phát khám phá ứng dụng lí thuyết xác suất việc dạy học toán II Chuẩn bị Giảng viên: - Tài liệu chính: [1] Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất - Thống kê , NXB GD Hà Nội , Hà Nội - Tài liệu tham khảo: [2] Trần Diên Hiển, Vũ Viết Yên (2007), Nhập mơn lí thuyết xác suất Thống kê tốn, NXBGD & NXB ĐHSP, Hà Nội [3] Đào Hữu Hồ (2006), Hướng dẫn giải toán Xác suất thống kê, NXB ĐHQG Hà Nội Hà Nội [4] Đỗ Đức Thái - Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn đại xác suất Thống kê, NXB ĐHSP, Hà Nội Sinh viên: - Chuẩn bị tài liệu - Ôn lại kiến thức ( phần đại số tổ hợp chương trình tốn THPT) III Phương pháp, phương tiện dạy học - Thuyết trình, Gợi mở - Vấn đáp - Giáo án, giáo trình IV Nội dung giảng Hoạt động GV SV - Ví dụ: Khối 12 có lớp, lớp 12A1 có 30 học sinh, lớp 12A2 có 35 học sinh, lớp 12A3 có 32 học sinh Cần chọn 10 học sinh trực nhật cho 10 học sinh gồm ba lớp có học sinh lớp 12A1 Hỏi có cách chọn? - Cho phép thử tung hai lần đồng xu, xác định biến cố ngẫu nhiên,biến cố sơ cấp, biến cố thứ cấp…? Nội dung I Các kiến thức bổ trợ, phép thử, loại biến cố, quan hệ biến cố Các kiến thức bổ trợ: a) Quy tắc cộng, quy tắc nhân b) Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp * Chú ý phân biệt chỉnh hợp tổ hợp Phép thử, biến cố: +) Phép thử: thực nhóm điều kiện xác định(có thể lặp lại vơ số lần) +) Một kiện có tính chất xảy hay khơng xảy phép thử thực gọi biến cố ngẫu nhiên Ta dùng chữ A,B,C, để kí hiệu biến cố ngẫu nhiên Ví dụ: Gieo lần đồng xu đồng chất, cân đối thực phép thử có biến cố ngẫu nhiên S:”biến cố xuất mặt sấp” N:”biến cố xuất mặt ngửa” +) Biến cố sơ cấp biến cố ngẫu nhiên mà phân tích thành biến cố nhỏ hơn, kí hiệu  +) Biến cố thứ cấp biến cố ngẫu nhiên phân tích thành biến cố nhỏ Ví dụ: Trong phép thử gieo lần xúc xắc, xét biến cố thứ cấp C:”biến cố xuất số chấm lẻ” +)Biến cố không xảy phép thử thực gọi biến cố rỗng, kí hiệu  Ví dụ: Trong phép thử gieo lần xúc xắc biến cố  :”biến cố xuất mặt chấm” +) Biến cố chắn xảy phép thử gọi biến cố chắn, kí hiệu  Quan hệ biến cố +) Biến cố A kéo theo( thuận lợi) biến cố B xảy A dẫn đến xảy B, kí hiệu A  B Ví dụ: Xét phép thử gieo lần xúc xắc A:”biến cố xuất mặt chấm” B:”biến cố xuất mặt lẻ” +) Biến cố A gọi biến cố B đồng thời A  B B  A, kí hiệu A=B Ví dụ: Xét phép thử gieo lần xúc xắc A:”biến cố xuất mặt lẻ” B:”biến cố không xuất mặt chẵn” +) Biến cố tổng: Tổng hai biến cố A B, kí hiệu A  B biến cố xảy hai biến cố A,B xảy Ví dụ: Xét phép thử gieo lần xúc xắc A:”biến cố xuất mặt chấm” B:”biến cố xuất mặt ba chấm” C:”biến cố xuất mặt năm chấm” A  B  C:”biến cố xuất số mặt lẻ” +) Biến cố hiệu: Hiệu hai biến cố A B, kí hiệu A\B biến cố xảy biến cố A xảy biến cố B không xảy Ví dụ: Xét phép thử gieo lần - Trong Ví dụ biến cố hiệu C: xúc xắc A:”biến cố xuất số biến cố xuất mặt chẵn chấm” chấm lẻ” B:”biến cố xuất mặt A-C biến cố gì? chấm nguyên tố” A\B:”biến cố xuất mặt chấm” +) Biến cố tích: Tích hai biến cố A B, kí hiệu A  B biến cố xảy hai biến cố A,B xảy - Chú ý: hai biến cố đối lập với xung khắc với nhau.nhưng điều ngược lại khơng Ví dụ: Xét phép thử gieo lần xúc xắc A:”biến cố xuất số chấm lẻ” B:”biến cố xuất mặt hai chấm” A B hai biến cố xung khắc khơng phải hai biến cố đối lập Ví dụ: Xét phép thử gieo lần xúc xắc A:”biến cố xuất số chấm lẻ” B:”biến cố xuất mặt số chấm lớn ba chấm” A  B:”biến cố xuất mặt năm chấm” +) Biến cố xung khắc: hai biến cố A B gọi xung khắc với A  B=  Ví dụ: Xét phép thử gieo lần xúc xắc A:”biến cố xuất số chấm lẻ” B:”biến cố xuất mặt chẵn chấm” A  B=  +) Dãy n biến cố B1,B2,…,Bn gọi xung khắc đôi Bi  Bj=  với i#j i,j=1,n +) Hệ đầy đủ biến cố: Dãy n biến cố B1,B2,…,Bn lập thành hệ đầy đủ biến cố thỏa mãn: i) B1  B2  …  Bn=  ii) Bi  Bj=  với i#j i,j=1,n + Nếu biến cố Bi, thỏa mãn hai điều - Ví dụ: Hệ {Qnt, Q1,Q4,Q6} kiện Bi hệ đầy đủ biến cố phép thử biến cố sơ cấp ta nói hệ B1,B2,…,Bn gieo xúc xắc khơng gian biến cố sơ cấp, kí hiệu  (Biến cố chắn; Không gian mẫu) +) Biến cố đối lập: Gọi A =  \A biến cố đối lập biến cố A V Hướng dẫn sinh viên học tập Nhắc lại định nghĩa phép thử, loại biến cố, quan hệ biến cố Xét phép thử gieo hai lần đồng xu, xác định khơng gian mẫu, lấy ví dụ hai biến cố xung khắc? Hướng dẫn  =”SS, SN,NS,NN” A:”biến cố hai lần xuất mặt sấp” B”biến cố xuất mặt ngửa” Thì A B hai biến cố xung khắc A  B=  , A B hai biến cố đối lập Ngày soạn: Lớp dạy: Ngày dạy: Bài 2: Các định nghĩa xác suất Tính chất xác suất Các cơng thức tính xác suất Số tiết: tiết I Mục tiêu: Kiến thức: Cung cấp kiến thức: Các định nghĩa xác suất, tính chất xác suất, cơng thức tính xác suất Kỹ năng: Hình thành rèn cho người học kĩ năng: - Nắm vững định nghĩa xác suất, từ định nghĩa khác xác suất thấy ý nghĩa định nghĩa - Biết tính xác suất định nghĩa - Nắm vững cơng thức tính xác suất vận dụng vào làm dạng tập khác Thái độ: Chủ động tìm tòi, phát khám phá ứng dụng lí thuyết xác suất việc dạy học toán II Chuẩn bị Giảng viên: - Tài liệu chính: [1] Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất - Thống kê , NXB GD Hà Nội , Hà Nội - Tài liệu tham khảo: [2] Trần Diên Hiển, Vũ Viết n (2007), Nhập mơn lí thuyết xác suất Thống kê toán, NXBGD & NXB ĐHSP, Hà Nội [3] Đào Hữu Hồ (2006), Hướng dẫn giải toán Xác suất thống kê, NXB ĐHQG Hà Nội Hà Nội [4] Đỗ Đức Thái - Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn đại xác suất Thống kê, NXB ĐHSP, Hà Nội Sinh viên: - Chuẩn bị tài liệu - Ôn lại kiến thức trước III Phương pháp, phương tiện dạy học - Thuyết trình, Gợi mở - Vấn đáp - Giáo án, giáo trình IV Nội dung giảng Hoạt động GV SV - Ví dụ: Gieo đồng thời sắc cân đối đồng chất.Tìm suất để: i) Tổng số chấm mặt hai xúc sắc ii) Số chấm mặt hai sắc Nội dung xúc xác xúc Chú ý: Vì gieo đồng thời hai súc sắc đồng chất nên cặp (x,y) cặp (y,x) không phân biệt x, y số chấm súc sắc Vậy không gian mẫu  gồm 21 phần tử Còn gieo khơng đồng thời không gian mẫu  gồm 36 phần tử I Các định nghĩa xác suất Định nghĩa cổ điển Cho phép thử có khơng gian mẫu  gồm n phần tử, biến cố A có m phần tử (hay m khả xảy A, hay m thuận lợi xảy tính chất m A) số P(A)= n Ví dụ: Tung đồng xu hai lần liên tiếp Tính xác suất: i) A:”hai lần xuất mặt sấp” ii) B:”một sấp, ngửa” iii) C:”lần thứ mặt sấp” Giải i)Ta có  =”SS,SN,NS,NN” Và A=”SS” nên P(A)= ii) B=”SN,NS” nên P(B)=  2 iii) C=”SS,SN” nên P(C)=  2 Định nghĩa theo thống kê Giả sử ta có n phép thử có m lần xuất biến cố A n phép thử ta - Giả sử cho phép thử gieo xúc sắc xác suất xuất mặt 1 chấm gieo lần I không thấy xuất mặt chấm, lần II không xuất mặt chấm,… câu hỏi đặt số gì?như xác suất xuất mặt chấm phải chứ? - Ví dụ minh họa t/c P( Ql  Qnt )= - Từ cơng thức tính xác suất tích hai biến cố ngẫu nhiên độc lập ta có trường hợp tổng qt cho cơng thức m  P( A) n Xét ví dụ ta có với n phép thử đủ m lớn lim  P( A) = n  n Tính chất xác suất i) Nếu A  B P(A)≤P(B) ii) P(  )=0, P(  )=1 iii) P(A  B)=P(A)+P(B) - P(A  B) iv) P(A\B)=P(A)-P(A.B) vớiP(A  B)= P(A.B) v) P(A)=1-P( A ) vi) 0≤P(A)≤1 *) Hai biến cố ngẫu nhiên độc lập Xét phép thử:”Gieo đồng xu xúc xắc” Mỗi biến cố phép thử có dạng: N  Qk S  Qk ,với k=1,2,…6 Số biến cố phép thử 12 Tìm xác suất biến cố N  B=:”Trên đồng xu xuất mặt ngửa xúc xắc xuất mặt chấm chấm” Có hai biến cố N  Q3 N  Q6 thuận lợi cho biến cố N  B Vì 2 P(N  B)= = =P(N).P(B) 12 Ta nói hai biến cố N biến cố B hai biến cố ngẫu nhiên độc lập với Định nghĩa: Cho A B hai biến cố phép thử Ta nói hai biến cố A B độc lập với nhau, P(A  B)=P(A).P(B) Xác suất có điều kiện Cơng thức xác suất tích Cơng thức xác suất tồn phần Cơng thức Bayes +) Cơng thức xác suất có điều kiện, cơng thức xác suất tích: Giả sử A B hai biến cố ngẫu P( A.B) nhiên P(A)>0 tỉ số xác suất có P( A) điều kiện biến cố B với điều kiện biến cố A P( A.B) xảy kí hiệu P(B/A)= P( A) Từ định nghĩa xác suất có điều kiện, ta suy có lim n  xác suất tích cho hai biến cố cơng thức xác suất tích sau phép thử P(A.B)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B) Ví dụ: Một hộp gồm có 10 bi có bi đỏ bi xanh Lấy liên tiếp khơng hồn lại bi Tìm xác suất để lần I lấy bi đỏ lần II lấy bi xanh? Giải - Trong ví dụ thay câu hỏi Gọi A biến cố:” bi lấy lần I bi đỏ” tính xác suất để lần I bi xanh Gọi B biến cố:”bi lấy lần II bi xanh” lần II bi đỏ xác suất tính Thì ta cần tính P(A.B)=? nào? Ta sử dụng công thức nhân P(A.B)=P(A).P(B/A)= = 10 15 +) Công thức xác suất tồn phần, cơng thức Bayes: Cho B1,B2,…,Bn hệ đầy đủ biến cố phép thử cho trước, A biến cố có liên quan Khi n P(A)=  P( B ).P( A / B ) i 1 i i gọi công thức xác suất toàn phần P( B ).P( A / Bk ) gọi công thức P( Bk / A)  n k  P( Bi ).P( A / Bi ) i 1 - Chú ý: Với phép thử có nhiều hệ đầy đủ biến cố Ví dụ: phép thử gieo xúc xắc hệ B1,B2,…,B6 hệ đầy Bayes Trong P(Bi), i=1,n gọi xác suất tiên nghiệm Ví dụ: Cho ba lơ sản phẩm Lơ thứ I có 30 sản phẩm có 20 sản phẩm tốt 10 sản phẩm xấu Lô thứ II có 30 sản phẩm 30 sản phẩm tốt Lơ thứ III có 30 sản phẩm gồm 15 sản phẩm tốt, 15 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên lơ từ lơ lấy ngẫu nhiên sản phẩm i) Tìm xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt ii) Giả sử sản phẩm lấy sản phẩm tốt Tìm xác suất để sản phẩm lấy lô III Giải i)Gọi A biến cố” sản phẩm lấy sản phẩm tốt” Gọi Bi biến cố” sản phẩm lấy lô thứ i” (i=1,2,3) đủ biến cố Mặt khác với A:”biến cố xuất số chấm lẻ” B:”xuất số chấm chẵn” tạo thành hệ đầy đủ biến cố phép thử Ta có B1,B2,B3 lập thành hệ đầy đủ biến cố Bởi sản phẩm khơng lấy lơ I lấy lơ II lô III Hay B1  B2  B3=  Và ta có B1,B2,B3 đơi xung khắc Theo cơng thức xác xuất tồn phẩn có P(A)=P(B1).P(A/B1)+P(B2).P(A/B2)+ P(B3).P(A/B3) 20 30 15 13 =    30 30 30 18 ii) Giả sử sản phẩm lấy sản phẩm tốt tức A xảy Lời giải ý tìm xác suất điều kiện B3 với điều kiện A xảy Áp dụng công thức Bayes 15 P( B3 ).P( A / B3 ) 30 P(B3/A)=   13 P( A) 13 18 Xác suất nhị thức: Định nghĩa: Dãy n phép thử G1,G2,…,Gn gọi dãy n phép thử Bernoulli thỏa mãn điều kiện sau: i) Dãy độc lập - Ví dụ: n lần phép thử bà mẹ sinh ii) Trong phép thử Gi có biến cố A (mỗi lần sinh con) A xảy dãy n phép thử Bernoulli vì: iii) Xác suất biến cố A xuất phép i) Dãy độc lập thử không thay đổi p ii)Trong phép thử  ={A, A } Bài tốn: Tìm xác suất để n phép thử iii) P(A)=1/2 không thay đổi Bernoulli biến cố A xuất k lần? n lần sinh Giải Kí hiệu xác suất phải tìm Pn(k) Thì Pn(k)= k k nk C n p (1  p) Ví dụ: Gieo 20 lần đồng tiền xu cân đối, đồng chất Tìm xác suất để: i) Có lần xuất mặt sấp ii) Có hai lần xuất mặt sấp Giải Gieo 20 lần đồng tiền cân đối đồng chất xem tiến hành 20 phép thử Bernoulli Xác suất biến cố A”biến cố xuất mặt sấp” không đổi lần gieo Trường hợp 2: Chưa biết  k k ni ( X i  X )2   ni X i2  ( X )2 Xét hai trường hợp:  n i 1 n i 1 TH1: Nếu mẫu cỡ nhỏ (n