Mô hình hóa toán học trong dạy học xác suất thống kê ở trường phổ thông

Connaître la formule & comprendre la signification - Calculer la probabilité d’un événement selon la définition classique; - Appliquer les règles de l’addition, de la multiplication pour

MOBILISATION DE LA MATHÉMATISATION

DANS L’ENSEIGNEMENT DES PROBABILITÉS À L’ÉCOLE GÉNÉRALE

Nguyen Thi Tan An Doctorante 2009-2013

1 Probabilités dans les programmes

2 « Littératie propabiliste »

3 Processus de mathématisation

4 Recherche

5 Discussion et conclusion

Programme de mathématiques 11 - option avancée

(11 séances)

§ Événements et probabilité d’un événement

§ Règles de calcul des probabilités

§ Variables aléatoires discrètes

Notions de base: expérience, univers, événement lié à une expérience, ensemble

descriptif d’un événement, résultats favorables à un événement, réunion & intersection de 2 événements, 2 événements incompatibles, 2 événements indépendants

- Notion de variable aléatoire discrète & ses caractéristiques importantes telles que espérance, variance & écart-type Connaître la formule & comprendre la signification

- Calculer la probabilité d’un événement selon la définition classique;

- Appliquer les règles de l’addition, de la multiplication pour résoudre quelques problèmes simples;

- Établir le tableau de distribution de probabilité, calculer l’espérance, la variance, l’écart-type d’une variable aléatoire discrète simple;

No

d’or

dre

Types de tâches Savoir

mathématique attendu

Nombre d’exercice

1 Calculer la probabilité Définition classique 18/38

(47.4%) Règle de l’addition

et/ou règle de la multiplication

10/38 (26.3%)

2 Calculer

l’espérance,

la variance,

l’écart-type

Tableau de distribution de probabilité donné

Formule(s) de l’espérance, de la variance, de l’écart-type

5/38 (13.2%)

Tableau de distribution de probabilité à établir

3/38 (7.9%)

3 Calculer la valeur moyenne

d’une variable aléatoire discrète Formule de l’espérance 1/38 (2.6%)

Exercices dans manuel: 28/38 ≈ 73.7%, ayant le contenu réel

Types de tâches principaux: 1 et 2

2 « littératie probabiliste »

Réalité: prévision financière, météorologie, risque sanitaire, risque de faillite des entreprises, politique d’assurance, chance de gagner dans

un jeu

 Chaque individu doit établir une littératie des probabilités pour répondre efficacement à chacune des situations mentionnées.

Iddo Gal (2005):

• Les probabilités sont un domaine important des mathématiques que l’élève a le droit d’apprendre comme une partie de l’éducation comtemporaine;

• Les probabilités fournissent aux élèves les connaissances nécessaires à la vie  Élèves deviennent les citoyens ayant « la littératie probabiliste »

littératies mathématiques

littératie quantitative

littératie numérique littératie spatiale

littératie probabiliste

littératie statistique

Schéma 1 Liens entre littératie probabiliste et littératies mathématiques

littératie probabiliste est la capacité de comprendre, d’interpréter,

de donner des jugements critiques devant les situations ayant des éléments probabilistes rencontrés dans la vie quotidienne

littératie probabiliste

- Connaissance probabiliste de

base

- Connaissance mathématique

- Connaissance de la situation

- Connaissance linguitique

- Esprit critique

- Croyance, attitude

- Position, point de vue

Tableau 2 Composants de la littératie probabiliste

3 Processus de mathématisation

Mathématisation (ou Modélisation mathématique): processus de

transformation d’un problème réel en un problème mathématique par la mise en place & la résolution des modèles mathématiques, la représentation & l’évaluation de la solution dans la situation réelle, l’amélioration du modèle si la solution est inacceptable (PISA, 2006).

Résultat réel

Résultat mathématiq

ue

Situation réelle

Modèle mathématiq

ue

(1)

(2)

(3) (4)

Schéma 2 Processus de mathématisation

Étape 1 – Transformation du problème réel en problème mathématique Étape 2 - Résolution

Étape 3 – Transformation du résultat mathématique en résultat réel Étape 4 - Réflexion

4 Recherche

Comment les élèves résolvent-ils les situations probabilistes réelles? Comment introduire le processus de mathématisation dans l’enseignement pour aider les élèves à se développer la littératie probabiliste?

Concevoir la recherche

• 2 groupes d’èlèves de classe 11, une situation à résoudre pour chaque groupe

• Élèves ont appris le chapitre “Combinatoire & probabilités”

• Chaque groupe se divise en 3 sou-groupes: contact avec situation  travail individuel  discussion en groupe  mise en commun de la résolution

• 2 situations réelles: contenu mathématique appartenant au programme, contexte: tombola

• Chaque sous-groupe: observé par un enseignant qui note les avis d’élèves

et pose les questions concernant la mathématisation en cas nécessaire

• Analyse: se concentre sur les étapes du processus de mathématisation (implicite) lorsque les élèves résolvent une situation probabiliste réelle

Reconnaître les informations importantes de la situation;

“Interpréter” l’exigence de la situation  Calculer la probabilité que Thuy gagne;

Choisir les outils pour résoudre:

- Définition classique: P = nombre de résultats favorables / nombre d’éléments de l’univers;

- Probabilité de gagner: probabilité que 2 événements indépendants “nombre paire” & “bille noire” se produisent simultanément  règle de la multiplication;

Répondre à la question posée par la situation

Jeu dans un stand de la foire de printemps: une plaque

ronde à aiguille et un sac de billes (image ci-contre)

Chaque fois, le joueur tourne la plaque et saisit une bille Il

gagne si l’aiguille s’arrête devant un nombre paire et si la

bille saisie est noire.

Thuy joue une fois Quelle est la possibilité de gagner de Thuy?

A Impossible B Peu de possibilité (<50%)

C Moitié-moitié (50%) D Beaucoup de possibilité (>50%) E Certain

- Comprendre la situation et son exigence

- Établir le modèle mathématique: comparer la probabilité de gagner à celle de perdre

 incorrect

Enseignant: “Comparer la somme moyenne à payer aux gagnants à la somme recueillie moyenne”  4 élèves reconnaissent un calcul de l’espérance (en se basant sur mot-clé “somme moyenne”) mais ne savent par ó ils commencent

Enseignant: “Soit X la somme à payer au gagnants Établir le tableau de distribution de probabilité de X et calculer E(X).”

- Effectuer bien les étapes de résolution

- Répondre à la question posée par la situation

( ) 0 60000 12000 10000 (1)

A l'occasion du 26 mars, l‘Union des Jeunes de l’école organise une

foire caritative à laquelle le stand de chaque classe contribue l’argent

recueilli La classe 11A décide d'organiser une tombola Lam propose

comme suit: Le joueur paie 10.000 dong par jeu Il choisit deux

naturels de 1 à 10 et tourne la roue numérotée Si cette dernière

s’arrête à un de deux nombres choisis, le joueur reçoit 60.000 dong

Es-tu d'accord avec Lam? Pourquoi?

5 Discussion et conclusion

Les élèves ne connaissent pas le processus de mathématisation, mais en face d’une situation réelle, ont la tendance d’effectuer 3 étapes du processus:

1 Transformer le problème réel en problème mathématique: comprendre

la demande de la situation, reconnaître les informations précieuses, les grandeurs qui influence sur la situation Essayer de construire le modèle mathématique correspondant, mais parfois non convenable à cause des erreurs dans la pensée, le raisonnement

2 Résoudre le problème: assez bien effectué car la situation a été reformulée sous forme mathématique et sa demande est similaire au types de tâches appris bien qu’il existe des erreurs dans le calcul numérique, l’application des formules, les règles du dénombrement

3 Transformer le résultat mathématique en résultat réel: Après avoir obtenu le résultat mathématique, répondre seulement à la question de la situation, pas étudier la signification du résultat

4 Refléter: Les élèves presque n’ont pas l’habitude d'effectuer cette étape, mais si l’enseignant leur pose des questions après chaque situation réelle pour les aider à réfléchir sur la raisonnabilité de la solution, à connaître les facteurs qui influencent sur le résultat, à étudier la validité du processus de mathématisation  élèves se forment progressivement l'habitude de refléter après chaque processus de résolution, l’enseignant obtient une vue globale sur la compréhension de ses élèves

Pour aider les élèves à se développer la littératie probabiliste, l’enseignant devrait:

- enseigner les notions, les formules, les règles, les tâches de calcul

- enseigner pour que les élèves soient capables de comprendre, d’interpréter,

de refléter en face d’une situation probabiliste réelle, de reconnaître le lien bidirectionnel entre probabilités et réalité

- faire attention aux composants de la littératie probabiliste

- enseigner implicitement le processus de mathématisation à travers des exemples réels avec des types de tâches réelles, en mettant l’accent sur la construction du modèle mathématique et la réflexion

Références bibliographiques

1 MEF (2007), Guide pour l’enseignant dans la mise en oeuvre du programme, du

manuel de la classe 11 – Mathématiques Maison d’édition de l’Éducation.

2 Gabriele Kaiser, Werner Blum, Rita Borromeo Ferri, Gloria Stillman (2011) Trends

in Teaching and Learning of Mathematical Modelling Springer

3 Gal, I (2004) Statistical Literacy: Meaning, Components, Responsibilities In

D.Ben-Zvi and J.Garfield (eds.), The challenge of developing statistical literacy,

reasoning, and thinking (pp 47-78) Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic

Publishers.

4 Gal, I (2005) Towards "Probability Literacy" for All Citizens: Building Blocks and

Instructional Dilemmas Reflections In Graham A Jones (Ed.), Exploring probability

in school: Challenges for teaching and learning (pp 39-63) New York: Springer.

5 OECD (2006) A Framework for PISA 2006 – Assessing Scientific, Reading and

Mathematical Literacy OECD, Paris, France.

6 Werner Blum, Peter L Galbraith, Hans-Wolfgang Henn, Mogens Niss (2007)

Modelling and Applications in Mathematics Education Springer.