Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Annie Besott tgk _ MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC CÁC HIỆN TƯỢNG BIẾN THIÊN TRONG DẠY HỌC NHỜ HÌNH HỌC ĐỘNG DỰ ÁN NGHIÊN CỨU MIRA ANNIE BESSOT* , NGUYỄN THỊ NGA** TĨM TẮT Mơ hình hóa giữ vị trí ngày quan trọng cộng đồng tốn học nhiều nước Song song đó, nhiệm vụ mơ hình hóa tốn học giữ tầm quan trọng ngày tăng xã hội Trước hết, chúng tơi trình bày điều mà chúng tơi mong đợi việc mơ hình hóa tốn học tượng biến thiên sống khó khăn giảng dạy trường trung học Tiếp đó, giới thiệu nội dung dự án nghiên cứu Mira mà mục tiêu xây dựng đồ án sư phạm cho phép chuyển giao cho học sinh phần trách nhiệm trình mơ hình hóa Điều thể ngắt quãng với mối quan hệ thể chế thống trị, giảng dạy mơ hình cho sẵn Đồ án sư phạm tổ chức trình chuyển giao việc mơ hình ABSTRACT Mathematical modeling of variations in teaching thanks to dynamic geometry – Mira research project Modeling is playing an increasingly important role in mathematics communities in many countries At the same time, the mathematical modeling tasks play an increasingly important role in our society Firstly, we present what we expect from mathematical modeling of variable phenomena, and its difficulties in secondary schools Then, we introduce the contents of the research Mira project, one of its goals is to design a didactic plan to hand over some responsibilities in the modeling process to students This expresses the breaking with the dominant institutional relation – teaching with given teaching models This didactic plan organizes a transition process of modeling in a dynamic geometry environment Mơ hình hóa cho phép làm rõ hữu ích tốn học, phát triển học sinh (HS) khả phê phán việc giải vấn đề sống thực tiễn, chuẩn bị cho họ hoạt động nghề nghiệp đa dạng cuối nối liền tốn học với mơn học khác Việc mơ hình hóa giữ vị trí ngày quan trọng chương trình mơn tốn nhiều nước Song song đó, nhiệm vụ mơ hình hóa tốn học giữ tầm quan trọng ngày tăng xã hội * ** PGS TS, Đại học Joseph Fourier ThS, Đại học Sư phạm TP HCM, NCS Đại học Joseph Fourier, Grenoble1, Pháp 55 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 28 năm 2011 _ Thuật ngữ mơ hình hóa bao hàm cách xác gì? Theo Chevallard (1992), mơ hình “một máy mà hoạt động cho phép tạo kiến thức liên quan đến hệ thống mơ hình hóa” Người ta xây dựng máy nào? Sau đây, chúng tơi giới thiệu sơ đồ tóm tắt q trình mơ hình hóa Sơ đồ Q trình mơ hình hóa (theo Coulange 1998) Sơ đồ chia q trình mơ hình hóa thành pha: - Pha 1: Chuyển hệ thống tốn học thành mơ hình trung gian; Mơ hình trung gian tình ngồi tốn học mơ hình tốn học cần xây dựng biểu thị cấp độ trừu tượng hóa “thực tiễn” Mơ hình tiến triển từ từ qua việc mơ hình hóa: mơ hình trung gian gần ngữ nghĩa nhiều so với tình thực tế xem xét so với mơ hình tốn học cần xây dựng - Pha 2: Chuyển mơ hình trung gian thành mơ hình tốn học; - Pha 3: Hoạt động tốn học mơ hình tốn học; - Pha 4: Trở lại tình nghiên cứu để chuyển câu trả lời vấn đề toán học thành câu trả lời câu hỏi ban đầu đối chiếu chúng với thực tiễn mơ hình hóa Vị trí mơ hình hóa hệ thống dạy học khác nhau? 2.1 Khuynh hướng dạy học mơ hình Trong dạy học tốn trường phổ thơng, có khuynh hướng dạy học mơ hình có sẵn Trong mơ hình này, yếu tố tri thức xác định rõ việc dạy học chúng đối tượng thương lượng xã hội tường minh Việc tổ chức hoạt động mơ hình hóa thực học toán bị cản trở ngăn cách 56 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Annie Besott tgk _ lĩnh vực tri thức đặc trưng thể chế trường học Hơn Chevallard (1989) viết: “…mặc dù chấp nhận theo ngun tắc nó, hoạt động này, cần tham chiếu với thực tế ngồi tốn học, nên đặt vấn đề với nhà toán học, chừng mực mà đưa vào khơng toán học việc dạy học toán học” [2, tr.147] 2.2 Tại toán thuộc loại sách giáo khoa tốn khơng phải tập mơ hình hóa? Trong phần này, chúng tơi thiếu vắng q trình mơ hình hóa đề toán xuất phát từ thực tế ngồi tốn học, diện dạy học tốn trung học Việt Nam Pháp Điều xác nhận việc thu hẹp dạy học mơ hình hóa thành dạy học mơ hình có sẵn Dạy học tốn trung học Việt Nam Ví dụ tập 25 trang 32 sách giáo khoa 1lớp 11: Minh họa Bài tập lớp 11 Việt Nam )]) không yêu cầu xây dựng mà cho sẵn Việc trở lại mơ hình hình học để trả lời câu hỏi đặt mong đợi thể chế mà đóng vai trò minh họa Bài tập đưa HS vào hợp đồng sư phạm việc giải phương trình lượng giác (nghiên cứu thực Nguyễn Thị Nga) Các mơ hình hình học (hình vẽ 1.24) đại số (y = 2+2,5sin [2π(x - Dạy học toán trung học Pháp Ví dụ tập 46 trang 292 sách giáo khoa2 lớp 2de (tương đương lớp 10 Việt Nam): Dòng điện sử dụng thiết bị điện gia đình dòng điện xoay chiều, nghĩa truyền luân phiên hai chiều bên dây điện Cường độ dòng điện I dòng điện truyền thiết bị cho trước cho biểu thức sau: I(t) = sin(100πt) với cường độ dòng điện I tính Ampère (A) t, thời gian, tính giây 57 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 28 năm 2011 _ 1) Tìm chu kì hàm số t I(t) ? Tìm giá trị tần số ? (Ta gọi tần số nghịch đảo chu kì : F = 1/T ; biểu thị Hertz : Hz) 2) Tìm giá trị lớn I ? giá trị nhỏ I ? 3) Ở thời điểm t = 0,1025 s, cường độ dòng điện ? 4) Biểu diễn hàm số I hệ trục tọa độ vng góc mà lấy đơn vị : cm tương ứng 0,01 giây trục hoành cm tương ứng ampère trục tung Minh họa Bài tập lớp de Pháp Ở tập này, mô hình đại số cho sẵn Câu hỏi thứ tư khơng phục vụ quan sát hợp đồng sư phạm áp dụng tập - hợp đồng việc nghiên cứu hàm số Trong hai thể chế, ẩn đằng sau tập mô hình hàm biểu thị ngơn ngữ đại số, với phô bày đặc biệt thể chế: y = f(x) dạy học toán trung học Việt Nam t f(t) dạy học toán trung học Pháp Dự án Mira3 Theo Coulange (1998), người ta phân biệt hai hướng để dạy học toán mối quan hệ với việc mơ hình hóa tốn học: - Mơ hình hóa phương tiện sư phạm để đưa vào khái niệm tốn học; - Dạy học q trình mơ hình hóa Trong dự án Mira, chúng tơi thực đồng thời hai hướng: dạy học mơ hình hóa dạy học khái niệm tốn học mơ hình hóa Hai hướng tác động qua lại cách biện chứng 3.1 Lựa chọn dự án Mira: tình ngồi tốn học đồng biến thiên đại lượng định lượng Tại sao? Quá trình mơ hình hóa tượng biến thiên dẫn đến xem xét tượng tình đồng biến thiên đại lượng định lượng Vì vậy, dẫn đến việc tìm cách đạt tới mơ hình hàm Thế nhưng, nghiên cứu khái niệm hàm số lại phân biệt hai quan niệm sau mà xác định chúng tiếp nối lịch sử: - Sự đồng biến thiên hai đại lượng cần thiết việc mơ hình hóa theo thuật ngữ biến phụ thuộc và/hoặc biến độc lập Euler viết năm 1755 sau: “Nếu số đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác cho đại lượng khác thay đổi, đại lượng thay đổi theo, lúc gọi đại lượng hàm số đại lượng khác” Ở đây, nói quan niệm động khái niệm hàm số - Sự tương ứng: hàm số liên kết số với số cho trước Hankel (1870) định nghĩa hàm số sau: “Ta nói y hàm số x với giá trị x thuộc khoảng tương ứng giá trị xác định y mà khơng mà đòi hỏi y xác định với khoảng quy luật theo x, 58 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Annie Besott tgk _ không cần thiết y xác định biểu thức toán học tường minh x Tôi gọi định nghĩa theo tên Dirichlet định nghĩa này, định nghĩa loại bỏ tất quan niệm cũ hơn, cơng trình nghiên cứu chuỗi Fourier” (Hankel (1870), p.49) Chúng ta nói quan niệm tĩnh khái niệm hàm số Quan niệm tĩnh dựa tương ứng áp đặt dạy học nay, làm mờ nghĩa khái niệm biến hàm số Thế nhưng, nhiều nghiên cứu lại khái niệm biến khái niệm phụ thuộc (biến độc lập biến phụ thuộc) đặt khó khăn HS “Các khái niệm biến khái niệm phụ thuộc mang nghĩa tình biến thiên Cách để nhận thấy phụ thuộc khác làm cho chúng thay đổi để ghi nhận biến thiên có hiệu chừng mà khơng có biến thiên, gần khơng thể biết có phụ thuộc hay khơng” (René de Cotret, 1988) Dự án nghiên cứu dựa giả thuyết sau đây: Giả thuyết Sự mô hình hóa tình đồng biến thiên hai đại lượng cho phép mang lại nghĩa cho khái niệm biến khái niệm hàm số 3.2 Tại lại nhờ đến mơi trường hình học động? Giáo viên (GV) khơng có phương tiện để tạo tình mơ hình hóa vắng mặt sách giáo khoa điều hành tình lớp học Hơn nữa, việc vào q trình mơ hình hóa dường giai đoạn khó khăn HS Vì vậy, GV tình trạng đối diện với tình ối ăm: khơng giúp đỡ HS, lúc HS tình trạng tình thất bại; cho sẵn lời giải HS không học Thực ra, giải pháp thường chấp nhận GV đề nghị sẵn cho HS mô hình Giả thuyết thứ hai chúng tơi là: Mơi trường hình học động có khả thực giai đoạn q trình mơ hình hóa việc xây dựng mơ hình trung gian tình đồng biến thiên đại lượng Trong môi trường hình học động này, mơ hình hóa đại lượng biến thiên thực việc tạo điểm di động Một điểm di động mơ hình hóa đại lượng biến thiên khác (khoảng cách, diện tích, thời gian) Vì thế, thiết lập mơ hình trung gian nhờ vào hình học động cho phép cụ thể hóa đại lượng biến thiên việc chuyển giao cho HS trách nhiệm lựa chọn đại lượng thích đáng tình nghiên cứu Chúng ta đưa vào khái niệm điểm điều khiển điểm khác - tiền đề khái niệm biến độc lập biến phụ thuộc Cuối cùng, việc mơ hình hóa hình học trung gian giữ lại tri giác vết vật chất tượng biến thiên (gần ngữ nghĩa), mà ngược lại biến kí hiệu đại số (ngắt quãng ngữ nghĩa) giai đoạn cuối trình mơ hình hóa 3.3 Khái qt đồ án sư phạm Chúng lấy lại ý tưởng Burgermeister (2009) điều chỉnh đề toán phạm vi trường học biểu thị mối quan hệ thể chế với mơ hình hóa, 59 Số 28 năm 2011 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM _ để xây dựng tình cho phép chuyển giao cho HS phần trách nhiệm q trình mơ hình hóa Trong dự án này, chúng tơi lựa chọn đề tốn đu quay Bài tốn đu quay phát biểu theo hai mối quan hệ thể chế (Việt Nam Pháp) sau: Như dạng tập 25 Việt Nam Như dạng tập 46 Pháp Một cơng viên giải trí TP Hồ Chí Minh Một cơng viên giải trí TP Hồ Chí Minh có đu quay lớn có đường kính 40m tâm có đu quay lớn có đường kính 40m tâm quay cách mặt đất 22m (hình 1) Bắt quay cách mặt đất 22m Bắt đầu lượt đầu lượt chơi, bạn Minh bước vào cabin chơi, bạn Minh bước vào cabin 40 m 22 m Khi đu quay quay đặn theo chiều định, khoảng cách h (mét) từ cabin Minh đến mặt đất tính công thức : h(t) = 22 – 20 cos πt/5 với t thời gian quay đu quay tính phút a) Tìm chu kì hàm số t h(t)? b) Tìm giá trị lớn h ? giá trị nhỏ Khi đu quay quay đặn theo h? chiều định, khoảng cách y (mét) từ cabin c) Ở thời điểm t = phút, khoảng cách từ Minh, gắn với điểm P, đến mặt đất cabin Minh đến mặt đất bao nhiêu? tính cơng thức : y = 22 – 20 cos πx/5 với x d) Biểu diễn hàm số h hệ trục tọa thời gian quay đu quay tính phút độ vng góc mà lấy đơn vị : 1cm a) Ở thời điểm Minh vị trí thấp nhất? tương ứng phút trục hồnh 1cm tương b) Ở thời điểm Minh vị trí cao nhất? ứng 5m trục tung c) Minh cách mặt đất 23m lần nào? Chúng tơi tóm tắt sơ đồ sau chuỗi ba tình đồ án sư phạm xung quanh tốn đu quay Tình thứ ba trung tâm nghiên cứu thực Nguyễn Thị Nga Trong sơ đồ này, giữ lại yếu tố thuộc vào sơ đồ trình mơ hình hóa trình bày Sơ đồ Đồ án sư phạm 60 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Annie Besott tgk _ Trong viết này, giới hạn việc trình bày sơ lược tình đồ án sư phạm Trong tình đó, chúng tơi tìm cách chuyển giao cho HS trách nhiệm q trình mơ hình hóa hàm số tình đồng biến thiên - Hệ thống ngồi tốn học mà chúng tơi tìm cách mơ hình hóa: “Một cơng viên giải trí TP Hồ Chí Minh có đu quay lớn Bắt đầu lượt chơi, bạn Minh bước vào cabin Một tia sáng màu đỏ chiếu sáng đợt vào vị trí cố định đu quay mà cabin qua Nếu cabin chiếu sáng, người ngồi cabin thắng lượt chơi miễn phí Sau hình ảnh đu quay” - Nghiên cứu mà muốn thực hệ thống4: “Mục đích cơng việc mà thực tìm xem điều kiện Minh thắng lượt chơi miễn phí” - Yêu cầu dẫn dắt HS tham gia vào q trình mơ hình hóa: “Vẽ Cabri hình biểu diễn đu quay cabin Minh cho việc di chuyển điểm P điều khiển chuyển động cabin đu quay” Chú ý hình Cabri, có điểm P di động tia cho trước Sau đây, mơ tả hai chiến lược để xây dựng mơ hình trung gian đầu tiên: chiến lược phép chiếu phối cảnh chiến lược “chuyển số đo” - chiến lược nhắm đến - Chiến lược phép chiếu phối cảnh Vẽ đường tròn biểu diễn đu quay Chọn điểm I đường tròn, M giao điểm PI với đường tròn Minh họa Chiến lược phép chiếu phối cảnh Với chiến lược này, điểm M thực vòng khơng hồn chỉnh đường tròn P di chuyển tia cho Khi P ngày tiến xa gốc tia, PI tiến tiếp tuyến đường tròn I ! 61 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 28 năm 2011 _ - Chiến lược “chuyển số đo” Vẽ đường tròn biểu diễn đu quay Chuyển số đo đoạn thẳng OP (P phân biệt với O) lên đường tròn từ điểm “gốc” I đường tròn Chú ý đường tròn có hai cương vị đồng thời mơ hình hình học trung gian - đu quay quỹ đạo cabin Minh Một vài yếu tố môi trường cho phép loại bỏ hay chấp nhận mơ hình trung gian tạo Chẳng hạn, nêu hai số yếu tố đó: Cabin Minh khơng khỏi đu quay Cabin nhiều vòng Như vậy, việc tham chiếu vào thực tế cho phép hợp thức hóa hay khơng sản phẩm tạo HS Chẳng hạn, đặc trưng thứ thực tế mơ hình hóa cho phép loại bỏ chiến lược phép chiếu phối cảnh Ngược lại, chiến lược “chuyển số đo” tôn trọng ràng buộc nêu GV không cần phải đánh giá mơ hình tạo HS Ngược lại, cần thiết, họ làm rõ cho HS quy tắc hợp thức tương tự đặc trưng nêu thực tế Một thực nghiệm thử thực vào ngày tháng 12 năm 2009 trường THPT Trường Chinh, TP Hồ Chí Minh với 14 HS lớp chọn Những HS trước chưa biết Cabri géomètre Hai quy trình cuối hai nhóm (trên nhóm) gắn tương ứng với chiến lược mô tả Lớp 11, sách giáo khoa nâng cao, chương 1: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Collection Déclic (Mathématiques 2de, Hachette éducation, 2004), chương 11: Lượng giác Tham gia vào dự án Mira - hợp tác nghiên cứu Pháp – Việt (Mobilité International Rhône – Alpes): Annie Bessot, Alain Birebent, Claude Comiti, Colette Laborde, Sophie Soury Lavergne, Lê Thị Hoài Châu, Nguyễn Thị Nga, Lê Thái Bảo Thiên Trung Chúng ta tìm cách mơ hình hóa thực tế ngồi tốn học mơ hình trung gian để nghiên cứu Minh có thắng lượt chơi miễn phí hay khơng: Minh thắng có trùng khớp cabin Minh ánh sáng tia sáng màu đỏ 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO Burgermeister P-F (2009), “Modélisation mathématique de problèmes extramathématiques au lycée”, Vers une praxéologie consistante de la modélisation, Colloque EMF Dakar, – 10 avril Chevallard Y (1989), “Le passage de l’arithmétique l’algèbre dans l’enseignement des mathématiques au Collège”, 2ème partie, perspectives curriculaires: la notion de modélisation, Petit x 19, 43-72 Chevallard Y (1992), Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives apportées par une approche anthropologique, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol.12/1, 73-112, La Pensée Sauvage / Grenoble (Xem tiếp trang 91) 62 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Annie Besott tgk _ Coulange L (1998), “Les problèmes concrets mettre en équation dans l’enseignement”, Petit x, n°47, 33-58 René de Cotret S (1988), “Une étude sur les représentations graphiques du mouvement comme moyen d’accéder au concept de fonction ou de variable dépendante”, Petit x, n°17, 5-27 63 ... Mơ hình hóa phương tiện sư phạm để đưa vào khái niệm toán học; - Dạy học q trình mơ hình hóa Trong dự án Mira, thực đồng thời hai hướng: dạy học mơ hình hóa dạy học khái niệm tốn học mơ hình hóa. .. f(x) dạy học toán trung học Việt Nam t f(t) dạy học toán trung học Pháp Dự án Mira3 Theo Coulange (1998), người ta phân biệt hai hướng để dạy học tốn mối quan hệ với việc mơ hình hóa tốn học: ... tác động qua lại cách biện chứng 3.1 Lựa chọn dự án Mira: tình ngồi toán học đồng biến thiên đại lượng định lượng Tại sao? Q trình mơ hình hóa tượng biến thiên dẫn đến xem xét tượng tình đồng biến