Đề cương bài giảng mở rộng các tập hợp số

Như vậy, việc xây dựng tập hợp số nguyên được đặt ra như một yêu cầu nội tại của Toán học.. Việc ghi số nguyên được thực hiện nhờ định lí sau: *Đlí: Mỗi số nguyên hoặc là một số tự nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂN TRÀO KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

-  -

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

HỌC PHẦN: MỞ RỘNG CÁC TẬP HỢP SỐ LỚP DẠY: ĐH TIỂU HỌC K2

Họ và tên: LINH THỊ THANH LOAN

Bộ môn: TOÁN

Năm học: 2017 -2018

Chương 1 Số nguyên

Số tiết: 10 (Lý thuyết: 7 tiết; Bài tập,thảo luận: 3 tiết)

A Mục tiêu

1 Kiến thức: SV hiểu và biết:

- Lí do mở rộng tập hợp số tự nhiên N sang tập hợp số nguyên Z

- Cách xây dựng tập hợp số nguyên Z từ tập hợp số tự nhiên N

- Ghi số nguyên và thực hành các phép toán trong Z

- Quan hệ thứ tự trong Z; Lực lượng của tập hợp Z

2 Kỹ năng:

- Vận dụng được lí thuyết làm bài tập tương ứng

- Có kỹ năng tính toán, chứng minh thành thạo

- Có kỹ năng khai thác thông tin từ nhiều phương tiện khác nhau

3 Thái độ:

- Tìm hiểu nội dung liên quan đến bài học trước khi lên lớp

- Dành thời gian làm bài tập sau khi học xong lí thuyết

- Từ nội tại Toán học:

+ Phép toán: Trong N thì “+” là phép toán nhưng “–”không phải phép toán + Phương trình: Phương trình b   x a không phải lúc nào cũng có nghiệm trong N

Từ đó, xuất hiện một yêu cầu mở rộng tập hợp N để được một tập hợp số mà trong

đó phép trừ luôn luôn thực hiện được, hay cũng vậy phương trình b   x a luôn luôn có nghiệm

Như vậy, việc xây dựng tập hợp số nguyên được đặt ra như một yêu cầu nội tại của Toán học

1.1.2 Xây dựng tập hợp số nguyên

1 Xét tập tích Đềcác N N    a, b a, b  N

Trên tập hợp này ta xác định một quan hệ hai ngôi, kí hiệu là , như sau:

   a, b , c, d N N

   a, b c, d     a d b c

Khi đó quan hệ là một quan hệ tương đương và do đó xác định trên N N  một

sự chia lớp tương đương

2 Kí hiệu Z   N N/ là tập thương của N N  theo quan hệ tương đương

Phần tử của Z đại diện bởi cặp  a, b   N N kí hiệu là  a, b

3 Phép cộng trên Z được định nghĩa như sau: Giả sử x  a, b , y  c, d  Z, ta định nghĩa

x   y     a, b  c, d  a  c, b d  

Tập hợp Z với phép cộng như trên lập thành một nhóm giao hoán

- Phần tử trung hòa của nhóm này là 0  a, a , a   N

- Dễ thấy f là một đơn ánh và là đơn cấu

- Đặt a  f a    a, 0 Khi đó xem N là một bộ phận của Z

- Nếu b  a thì b a   N, nhưng b a   b, a là phần tử đối của  a, b   a b

Vậy, nếu b  a thì  a, b   a b thuộc vào một bộ phận của Z gồm các phần tử đối của các phần tử của N Cho nên ta ký hiệu -N là bộ phận đó

- Nghiệm của phương trình b + x = a gọi là hiệu của a và b

Hiệu của a và b kí hiệu là a – b, đọc là a trừ b

- Theo định lí trên, ta có hiệu a – b luôn tồn tại và chính là tổng của a với số đối của b

Việc ghi số nguyên được thực hiện nhờ định lí sau:

*Đlí: Mỗi số nguyên hoặc là một số tự nhiên hoặc là số đối của một số tự nhiên

Mặt khác, số nguyên  0, n là số đối của số nguyên  n, 0   n N

Vậy x là số đối của số tự nhiên n (đpcm)

Các số 1; 2; 3;… còn gọi là các số nguyên dương, các số -1; -2; -3; … gọi là các số nguyên âm, đọc là trừ một, trừ hai, trừ ba, … hay âm một, âm hai, âm ba,…

Như vậy, để ghi số nguyên, ngoài các kí hiệu để ghi số tự nhiên, ta dùng thêm dấu

Giả sử x, y  Z, ta xét phép cộng x  y trong các trường hợp sau:

+ Với x, y đều là các số tự nhiên

Vậy: Để cộng hai số nguyên âm ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng và đặt dấu

“-” trước kết quả nhận được

+ Với x là số tự nhiên, y là số nguyên âm

b) x  y hay n < m

Khi đó n, m  0, m n   m n  

và do đó x    y m n   y  x

Vậy: Để cộng số tự nhiên x với một số nguyên âm y ta thực hiện phép trừ x  y

nếu x  y , hoặc thực hiện phép trừ y  x rồi đặt trước kết quả nhận được dấu

“-” nếu x  y

Chú ý: Trong cả 2 trường hợp trên, phép trừ x  y hay y  x là phép trừ hai số tự nhiên và đều thực hiện được Từ đó ta nhận được quy tắc cộng hai số nguyên đã học ở phổ thông

*Thực hành phép nhân trong Z

Giả sử x, y  Z, ta xét tích x.y trong các trường hợp sau:

+ Với x, y đều là các số tự nhiên

Vậy: Tích của hai số nguyên âm là tích của hai giá trị tuyệt đối của chúng

+ Với x là số tự nhiên, y là số nguyên âm

Khi có x  y và x  y, ta nói x nhỏ hơn y và viết là x < y

*Đlí: Quan hệ  xác định như trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trong Z

- Số nguyên dương là các số nguyên lớn hơn 0

- Số nguyên âm là các số nguyên nhỏ hơn 0

*Đlí: Với mọi số nguyên x, không tồn tại số nguyên nào nằm giữa x và x + 1, nghĩa

là không tồn tại số nguyên y nào sao cho: x    y x 1

Chứng minh:

Giả sử   y Z sao cho x    y x 1 Khi đó y x   N và 0    y x 1

Vậy tồn tại số tự nhiên y – x nằm giữa 0 và 1 (vô lý)

Vậy điều giả sử là sai  đpcm

*Đ/N: Số nguyên x + 1 gọi là số liền sau của số nguyên x

*Bộ phận bị chặn: Xem GT

1.4 Lực lƣợng của tập hợp Z

Ta đã mở rộng tập N thành tập Z, trong đó phép trừ luôn thực hiện được và N là một bộ phận thực sự của Z Tuy nhiên, lực lượng của tập Z vẫn là một vô hạn đếm được, nghĩa là bằng lực lượng của tập N

Bài 3: a) Chứng minh 0.x  0, với mọi x  Z

b) Kí hiệu   1  0,1 Chứng minh  1.x   x, với mọi x  Z

Bài 4: Chứng minh rằng trong Z:

a) x x     0 x 0

b)   3  3

a b a b

Bài 5: Giả sử x và y là hai số nguyên âm Chứng minh rằng x   y y  x

Bài 6: Chứng minh rằng với mọi x, y, z  Z ta luôn có:

b) Tổng và tích của hai số thuộc Z+ là một số thuộc Z+

c) Tổng của hai số thuộc Z- là một số thuộc Z

-Tích của hai số thuộc Z- là một số thuộc Z+

Bài 8: Giả sử tập con A của Z khác rỗng và đóng kín đối với phép trừ Chứng minh rằng A đóng kín đối với phép cộng

HD: Với x, y  A, ta có x   x A, nghĩa là 0  A

Khi đó 0 x   A, nghĩa là   x A

Từ đó y      x y  x A Vậy A đóng kín đối với phép cộng

C Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận

1 Hãy xây dựng vành số nguyên Z từ vị nhóm cộng và vị nhóm nhân các số tự nhiên N

1 Kiến thức: SV hiểu và biết:

- Lí do mở rộng tập hợp số nguyên Z sang tập số hữu tỉ Q

- Cách xây dựng trường số hữu tỉ Q

- Phân số: K/n phân số, hai phân số bằng nhau…

2 Kỹ năng:

- Vận dụng được lí thuyết làm bài tập tương ứng

- Có kỹ năng liên hệ với chương trình học ở phổ thông

- Có kỹ năng tính toán, chứng minh thành thạo

3 Thái độ:

- Tìm hiểu nội dung liên quan đến bài học trước khi lên lớp

- Liên hệ với toán Tiểu học

- Dành thời gian làm bài tập sau khi học xong lí thuyết

B Nội dung

2.1.2 Xây dựng trường số hữu tỉ Q

*Phép trừ và phép chia trong Q:

+ Phép trừ: Giả sử x, y  Q, ta gọi là hiệu của x và y, kí hiệu là x  y, tổng của x và

số đối của y: x y     x  y Phép toán tìm hiệu của hai số gọi là phép trừ

Vì mọi số hữu tỉ đều có số đối, nên phép trừ x  y luôn luôn thực hiện được Nếu

x  a, b , y  c,d thì    y  c,d Do đó

x y      x y a, b   c,d  ad bc, bd 

+ Phép chia: Giả sử x, y  Q, y  0, ta gọi là thương của x và y, kí hiệu là x : y hay x

y, tích của x và nghịch đảo của y: x 1

Vì mọi số hữu tỉ y  0 đều có nghịch đảo, nên phép chia một số hữu tỉ x cho số hữu

tỉ y  0 luôn luôn thực hiện được

* Nghịch đảo của một số nguyên khác 0: Giả sử a  Z, a  0 Như trên ta đã thấy, a cũng là một số hữu tỉ và ta có a  a,1 Vì a  0 nên có nghịch đảo trong Q và

Giả sử x  Q, x  a, b , a, b  Z, b  0

Theo đ/n phép nhân trên Q, ta có thể viết x   a,1 1, b

*Khái niệm phân số:

Mỗi số hữu tỉ đều viết được dưới dạng x a

Chú ý rằng một số hữu tỉ x được đại diện bởi vô số các cặp số khác nhau và do đó

x viết được dưới dạng phân số bằng nhiều cách khác nhau

Nếu x    a, b  c,d thì theo cách viết phân số ta có: x a c

b d

 

Nhưng khi đó ta có    a, b c,d hay ad  bc Vậy a c ad bc

b   d 

*Phân số tối giản: Phân số a

b gọi là tối giản nếu UCLN a, b  1

*Phân số đối, phân số nghịch đảo:

- Nếu số hữu tỉ x đại diện bởi phân số a

b (x a

b

 ) thì x  a, b     x  a, b Khi đó x    a, b  a, b   , nghĩa là: x a a

HD: Dựa vào điều kiện tương đương, viết dưới dạng tổng quát

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:

là phân số tối giản

C Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận

- Xem lại các bài tập đã chữa

- Ôn tập kiểm tra chương 1, 2

Kiểm tra giữa kì

Số tiết: 1

A Mục tiêu

- Kiểm tra kỹ năng: Tìm tất cả các cặp số tương đương với cặp số cho trước trong Z; Thực hiện các phép tính trong Z và Q; Giải phương trình trong Q; Chứng minh phân số tối giản; Tính giá trị của biểu thức

- Y/c SV nghiêm túc làm bài

Chương 2 Số hữu tỉ (tiếp)

Số tiết: 5 (Lý thuyết: 3 tiết; Bài tập,thảo luận: 2 tiết)

A Mục tiêu

1 Kiến thức: SV hiểu và biết:

- Quan hệ thứ tự trên Q: Định nghĩa, tính chất,…

- Lực lượng của tập hợp Q: Dãy số hữu tỉ

- Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn

2 Kỹ năng:

- Có kỹ năng đọc tài liệu, nắm bắt được những kiến thức trọng tâm của bài học

- Vận dụng được lí thuyết làm bài tập tương ứng

- Có kỹ năng liên hệ với chương trình học ở phổ thông

3 Thái độ:

- Tìm hiểu nội dung liên quan đến bài học trước khi lên lớp

- Dành thời gian tự học để củng cố kiến thức

B Nội dung

2.3 Quan hệ thứ tự trên Q

2.3.1 Khái niệm:

*Đ/N1: Giả sử x Q,x a,a, b Z, b 0

b

    Ta nói x lớn hơn hoặc bằng 0 và viết là

x  0 nếu ab  0

Chú ý: 1 Một số hữu tỉ x có thể được đại diện bởi các phân số khác nhau nên t/c

x  0 không phụ thuộc vào việc chọn phân số đại diện của x

2 Nếu x   a Z thì có thể viết x a

1

 và a.1 0  trong Z khi và chỉ khi a  0 Vậy khi x là một số nguyên thì khái niệm x  0 trong Q và trong Z phù hợp với nhau

*Đ/N2: Giả sử x, y  Q

+ Ta nói x nhỏ hơn hoặc bằng y, viết là x  y, nếu y x   0

+ Khi có x  y ta cũng nói y lớn hơn hoặc bằng x và viết là y  x

+ Nếu x  y và x  y ta viết x  y và nói x nhỏ hơn y

*Đ/N3: Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm

nguyên khác chúng Người ta nói tập hợp số nguyên sắp thứ tự rời rạc

Còn trong tập hợp số hữu tỉ, giữa hai số hữu tỉ phân biệt bất kì bao giờ cũng

có vô số số hữu tỉ Người ta nói tập hợp số hữu tỉ sắp thứ tự trù mật

*Đlí: Tập hợp Q có lực lượng đếm được: Card Q = Card N

*Dãy số hữu tỉ:

Để đánh số các số hữu tỉ, ta viết tập hợp số hữu tỉ như sau:

tỉ được viết thành một dãy như sau:

- Mọi phân số thập phân dương đều biểu diễn được dưới dạng x  N, a a a1 2 n

- Mọi phân số thập phân âm đều biểu diễn được dưới dạng    x N, a a a1 2 n

Trong đó N là một số tự nhiên, a , , a là những chữ số (0   a 9,i 1, 2, , n  )

Ta nói N, a a a1 2 n(hoặc  N, a a a1 2 n) là một số thập phân hữu hạn, N (-N) gọi là phần nguyên, a , , a1 ngọi là phần thập phân

Như vậy, mọi phân số thập phân đều biểu diễn được dưới dạng một số thập phân hữu hạn

- Nếu m > n ta đặt dấu phẩy vào trước chữ số thứ n của a kể từ phải sang trái

- Nếu m  n ta bổ sung n – m + 1 chữ số 0 vào bên trái của a rồi đặt dấu phẩy trước chữ số thứ n kể từ phải sang trái

2.5.2 Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Một số thập phân vô hạn tuần hoàn là biểu diễn thập phâncủa một số có phần thập phân lặp lại (lặp lại giá trị của nó ở các khoảng đều đặn) và phần lặp lại vô hạn không phải là số không

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số hữu tỉ x đều tồn tại số nguyên m duy nhất sao cho: m    x m 1

Số nguyên m gọi là phần nguyên của x và kí hiệu m  x

Giải: Giả sử x  Q,x  a,a, b  Z

b Hơn nữa có thể coi b>0 Theo định lý về phép chia với dư trong Z ta có a  bq r, 0    r b

Bài 7: Viết các số thập phân sau dưới dạng phân số tối giản:

C Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận

- Trình bày phương pháp hình thành khái niệm số thập phân ở Tiểu học

- Có kỹ năng khai thác thông tin từ nhiều phương tiện khác nhau

- Có kỹ năng chứng minh thành thạo, biết cách tính tổng và tích gần đúng cấp n của hai số thực x và y cho trước

3 Thái độ:

- Có thái độ nghiêm túc trong học tập

- Tìm hiểu nội dung liên quan đến bài học trước khi lên lớp

- Bồi dưỡng niềm say mê học toán, nâng cao ý thức tự học

1

2a  b

Đẳng thức cuối cùng lại chứng tỏ b là một số chẵn Như vậy, a và b cùng là số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết UCLN a, b  1

Vậy số đo đường chéo của hình vuông đã cho không thể là số hữu tỉ

Tương tự, nếu dừng lại ở tập số hữu tỉ thì các phương trình 2 2

đều không có nghiệm

Trong khi đó, trong khoa học và kĩ thuật ta thường xuyên phải biểu diễn số đo của những đoạn thẳng, hoặc phải tìm nghiệm của những phương trình trên đây Vì vậy cần phải mở rộng tập số hữu tỉ thêm những số mới để khắc phục những hạn chế nêu trên

3.1.2 Xây dựng tập số thực

Trong toán học người ta có thể xây dựng tập số thực bằng nhiều phương pháp khác nhau, chẳng hạn: xây dựng từ số thập phân vô hạn, phương pháp nhát cắt Dedekin, phương pháp làm đầy,…

Trước hết ta trình bày phương pháp dưới đây được xem như là phương pháp đơn giản

+ Số thập phân vô hạn và số thực: trong chương 2 chúng ta đã nghiên cứu hai loại

số thập phân:

- Số thập phân (hữu hạn)

- Số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì khác 9 (những số hữu tỉ không phải là

số thập phân)

Trong thực tế ta còn gặp một loại “số thập phân” thứ ba: những số thập phân có vô

số chữ số phần thập phân nhưng các chữ số ở phần thập phân không lặp lại theo một quy luật nào Chẳng hạn: 1,4142135…; 1,7320508…;…

Những số thập phân như thế gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn Mỗi số thập phân vô hạn không tuần hoàn ta gọi là một số vô tỉ

Tập tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ ta gọi là tập các số thực, kí hiệu là R

Như vậy:

Như vậy mỗi số thực có dạng: x  a,a a a 1 2 i trong đó a là số nguyên dương, còn aivới i =1, 2, 3,… là một trong các chữ số 0, 1, 2, …, 9 và các số được kí hiệu như trên với dấu (-) đằng trước: x   a,a a a 1 2 i

Số thực x khác 0 mà dạng thập phân vô hạn của nó không mang dấu trừ (-) gọi là

số thực dương, trong trường hợp ngược lại gọi là số thực âm

Số vô tỉ = Số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Nếu ta coi mỗi số thập phân hữu hạn là một số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu

kì bằng 0 thì ta có thể nói mỗi số thực là một số thập phân vô hạn (tuần hoàn hoặc không)

Số thực y gọi là số đối của số thực x, kí hiệu là y = -x, nếu ở dạng thập phân vô hạn x và y chỉ khác nhau về dấu

Chẳng hạn: 2,15321431… và -2,15321431… là hai số đối của nhau, trong đó số thứ nhất là số thực dương, còn số thứ hai là số thực âm

3.2 Quan hệ thứ tự trên R và các phép toán trên R

là giá trị tuyệt đối của x

Từ định nghĩa dễ dàng suy ra:

1) Giá trị tuyệt đối của số thực x luôn luôn là số thực dương hoặc bằng 0 (số thực không âm)

2) Hai số thực đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau (ví dụ: 1,32  1,32;

*Để so sánh hai số thực x và y bất kì ta thực hiện quy tắc dưới đây:

1) Trường hợp x và y đều không âm, giả sử x  a ,a a a 0 1 2 n và

0 1 2 n

y  b , b b b

Ta nói rằng x nhỏ hơn y, viết là x < y, nếu tồn tại số tự nhiên k sao cho ai  bi với

i  0,1,2,3, , k 1  và ak  bk

2) Mọi số thực không âm đều lớn hơn một số thực âm bất kì

3) Số thực âm x gọi là nhỏ hơn số thực âm y, nếu y  x

Ta nói x nhỏ hơn hoặc bằng y, kí hiệu x  y, nếu x < y hoặc x = y

*Nhận xét: - Bằng quy tắc 1, chúng ta đưa việc so sánh hai số thực dương về so sánh hai số thập phân không âm; Trước hết ta so sánh a0 và b0 Nếu a0<b0 (hoặc

0

b <a0) thì x < y (hoặc y < x); Nếu a0=b0thì ta so sánh a1 và b1 theo nguyên tắc trên và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi gặp chỉ số k mà ak<bk (hoặc bk<ak) Nếu

k

a =bkvới mọi k ta kết luận x = y

- Từ quy tắc 1 và 2 suy ra mọi số thực dương đều lớn hơn 0 và mọi số thực âm đều nhỏ hơn 0