Đề cương bài giảng mở rộng các tập hợp số

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂN TRÀO KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC -  - ĐỀ CƢƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN: MỞ RỘNG CÁC TẬP HỢP SỐ LỚP DẠY: ĐH TIỂU HỌC K2 Họ tên: LINH THỊ THANH LOAN Bộ mơn: TỐN Năm học: 2017 -2018 Chƣơng Số nguyên Số tiết: 10 (Lý thuyết: tiết; Bài tập,thảo luận: tiết) A Mục tiêu Kiến thức: SV hiểu biết: - Lí mở rộng tập hợp số tự nhiên N sang tập hợp số nguyên Z - Cách xây dựng tập hợp số nguyên Z từ tập hợp số tự nhiên N - Ghi số nguyên thực hành phép toán Z - Quan hệ thứ tự Z; Lực lượng tập hợp Z Kỹ năng: - Vận dụng lí thuyết làm tập tương ứng - Có kỹ tính tốn, chứng minh thành thạo - Có kỹ khai thác thông tin từ nhiều phương tiện khác Thái độ: - Tìm hiểu nội dung liên quan đến học trước lên lớp - Dành thời gian làm tập sau học xong lí thuyết B Nội dung 1.1 Xây dựng tập hợp số nguyên từ tập số tự nhiên 1.1.1 Lí mở rộng tập số - Từ tự nhiên: Số tự nhiên đời yêu cầu thực tiễn đời sống sản xuất Nhưng số tự nhiên không đủ đáp ứng yêu cầu xã hội loài người ngày phát triển - Từ nội Toán học: + Phép tốn: Trong N “+” phép tốn “–”khơng phải phép tốn + Phương trình: Phương trình b  x  a khơng phải lúc có nghiệm N Từ đó, xuất yêu cầu mở rộng tập hợp N để tập hợp số mà phép trừ ln ln thực được, hay phương trình b  x  a ln ln có nghiệm Như vậy, việc xây dựng tập hợp số nguyên đặt yêu cầu nội Toán học 1.1.2 Xây dựng tập hợp số nguyên Xét tập tích Đềcác N  N   a, b  a, b  N Trên tập hợp ta xác định quan hệ hai ngơi, kí hiệu , sau:   a, b  ,  c,d   N  N :  a, b   c,d   a  d  b  c Khi quan hệ quan hệ tương đương xác định N  N chia lớp tương đương Kí hiệu Z  N  N/ tập thương N  N theo quan hệ tương đương Phần tử Z đại diện cặp  a, b   N  N kí hiệu  a, b  Phép cộng Z định nghĩa sau: Giả sử x   a, b , y   c,d   Z , ta định nghĩa x  y   a, b    c,d    a  c, b  d  Tập hợp Z với phép cộng lập thành nhóm giao hốn - Phần tử trung hòa nhóm   a, a , a  N - Phần tử đối x   a, b   Z x   b, a  Xét ánh xạ f :NZ a f  a    a,  - Dễ thấy f đơn ánh đơn cấu - Đặt a  f  a    a,  Khi xem N phận Z  a, b   Z , ta có:  a, b    a,    0, b    a,     b,    f  a    f  b    a    b  - Qui ước: a + ( - b) = a – b Khi  a, b   a  b - Nếu a  b a  b  N - Nếu b  a b  a  N , b  a   b, a  phần tử đối  a, b   a  b Vậy, b  a  a, b   a  b thuộc vào phận Z gồm phần tử đối phần tử N Cho nên ta ký hiệu -N phận Vậy: Z = N  (-N) với N  (-N) = {0} Ta gọi Z tập hợp số nguyên *) Phép nhân Z: Phép nhân Z định nghĩa sau: Giả sử x   a, b , y  c,d   Z , ta định nghĩa x.y   a, b  c,d    ac  bd,ad  bc  Tập hợp Z với phép nhân lập thành vị nhóm giao hốn - T/c kết hợp: x, y, z  Z , x(yz)  (xy) z - T/c giao hoán: x, y  Z , x y  yx - Phần tử trung hòa  1,  - Phép nhân phân phối phép cộng: x, y, z  Z , x  y  z   xy  xz  y  z  x  yx  zx Định lí: Tập hợp Z với phép cộng phép nhân nêu lập thành vành giao hoán có đơn vị Định nghĩa: Vành Z gọi vành số nguyên Mỗi phần tử Z gọi số nguyên Hệ quả(Luật giản ước): x, y, z  Z , x  , x y  xz suy y  z 1.1.3 Phương trình b+x = a phép trừ Z *Định lí: Phương trình b + x = a với a, b  Z ln có nghiệm Z nghiệm Chứng minh: SV xem giáo trình *Phép trừ Z - Nghiệm phương trình b + x = a gọi hiệu a b Hiệu a b kí hiệu a – b, đọc a trừ b - Theo định lí trên, ta có hiệu a – b ln tồn tổng a với số đối b a – b = a + (-b) Vậy a trừ b tổng a với số đối b, phép trừ Z luôn thực 1.2 Ghi số nguyên thực hành phép toán Z 1.2.1 Ghi số nguyên Việc ghi số nguyên thực nhờ định lí sau: *Đlí: Mỗi số nguyên số tự nhiên số đối số tự nhiên C/m: Giả sử x số nguyên tùy ý, x   a, b  , với a, b  N Có khả xảy ra: a) Nếu a  b a  b  N Dễ thấy  a, b   a  b,0  (vì a   b   a  b  ) Đặt n  a  b ta có x   a, b    n,0   n  N b) Nếu a  b b  a  N Dễ thấy  a, b   0, b a  (vì a  (b  a)  b  ) Đặt n  b  a ta có x   a, b    0, n  Mặt khác, số nguyên  0, n  số đối số nguyên  n,   n  N Vậy x số đối số tự nhiên n (đpcm) * Ghi số nguyên: Ta biết số tự nhiên hệ thập phân kí hiệu 0; 1; 2; …còn phần tử đối x kí hiệu –x, theo định lí tất phần tử Z là: 0; - 0; 1; - 1; 2; - 2; 3; -3; … Chú ý phần tử trung hòa phép cộng, phần tử có số đối nó: - = Vậy ta có Z   ; 3; 2; 1;0;1;2;3;  Các số 1; 2; 3;… gọi số nguyên dương, số -1; -2; -3; … gọi số nguyên âm, đọc trừ một, trừ hai, trừ ba, … hay âm một, âm hai, âm ba,… Như vậy, để ghi số nguyên, kí hiệu để ghi số tự nhiên, ta dùng thêm dấu “-” 1.2.2 Thực hành phép toán Z Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối số nguyên x, kí hiệu |x|, xác định sau: x nÕu x  x  x nÕu x n ta đặt dấu phẩy vào trước chữ số thứ n a kể từ phải sang trái - Nếu m  n ta bổ sung n – m + chữ số vào bên trái a đặt dấu phẩy trước chữ số thứ n kể từ phải sang trái 2.5.2 Số thập phân vô hạn tuần hồn Một số thập phân vơ hạn tuần hồn biểu diễn thập phân số có phần thập phân lặp lại (lặp lại giá trị khoảng đặn) phần lặp lại vô hạn số không x  N,a1 a i  a i 1 a i n  Dãy chữ số viết ngoặc lặp lại vô hạn lần Ta gọi số thập phân số thập phân vơ hạn tuần hồn, ( a i1 , ,a in ) gọi chu kì Ví dụ: x  367  3,3  36  110 Bài tập a b Bài 1: Cho x, y  Q,x  , y  c , a,b,c,d  Z,b  0,d  d Chứng minh rằng: x  y  ad  bc c d a b Giải: Ta có x  y  y  x     cb  ad 0 bd   cb  ad  bd   cb  ad   ad  bc (vì b  0,d  nên bd  ) Bài 2: Chứng minh với số hữu tỉ x tồn số nguyên m cho: m  x  m  Số nguyên m gọi phần nguyên x kí hiệu m  x a b Giải: Giả sử x  Q,x  ,a, b  Z Hơn coi b>0 Theo định lý phép chia với dư Z ta có a  bq  r,0  r  b Suy bq  a  b  q  1 (1) a b Nhân tất (1) với b1  , ta có: q   q  a b Đặt m  q ta có m   m  hay m  x  m  Bài 3: Tìm [x], biết: a) x  17 b) x  Bài 4: Giả sử 35 c) 12 43 x 17 d) 14 21 x a c ac hai phân số với mẫu số dương, phân số gọi , b d bd phân số trung gian hai phân số Chứng minh: Nếu a ac c a c    b bd d b d Chứng minh: c a a c    d b b d cb  ad Suy   bc  ad  (vì b, d  ) bd a  c a bc  ad Khi   0 b  d b b(b  d) Nếu c a  c bc  ad   0 d b  d d(b  d) Từ suy a ac c   (đpcm) b bd d Bài 5: Chứng tỏ số hữu tỉ sau phân số thập phân biểu diễn chúng dạng số thập phân hữu hạn: 35 41 1372 ; ; 25 160 Bài 6: Biểu diễn số hữu tỉ sau dạng số thập phân: 41 53 37 ; ; ; 11 15 19 Bài 7: Viết số thập phân sau dạng phân số tối giản: 1,3425 ; -42,0302 Bài 8: Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số tối giản: 13, (5) ; -13,1(5) Giải: a b a b  Giả sử 13, (5)  , a, b  N Ta có a  13b  r,0  r  b   13  r b Ta lại có 10r  5b  r  9r  5b   Vậy r b a 122  13   b 9 a b a b  Giả sử 13,1(5)  , a, b  N Ta có a  13b  r,0  r  b   13  r b Ta lại có 10r  b  r ',0  r'  b 10r '  5b  r '  r '  5b 5b r   b 45 a 592 Và  13   b 45 45 592 Vậy 13,1(5)   45 Từ 10r  b  C Câu hỏi, hƣớng dẫn học tập, thảo luận - Trình bày phương pháp hình thành khái niệm số thập phân Tiểu học -Chƣơng Số thực Số tiết: (Lý thuyết: tiết; Bài tập,thảo luận: tiết) A Mục tiêu Kiến thức: SV hiểu biết: - Sự hạn chế tập hợp số hữu tỉ Q - Cách xây dựng tập hợp số thực R - Quan hệ thứ tự R phép toán R Kỹ năng: - Vận dụng lí thuyết làm tập tương ứng - Có kỹ khai thác thông tin từ nhiều phương tiện khác - Có kỹ chứng minh thành thạo, biết cách tính tổng tích gần cấp n hai số thực x y cho trước Thái độ: - Có thái độ nghiêm túc học tập - Tìm hiểu nội dung liên quan đến học trước lên lớp - Bồi dưỡng niềm say mê học toán, nâng cao ý thức tự học B Nội dung 3.1 Xây dựng trƣờng số thực R 3.1.1 Sự hạn chế tập số hữu tỉ Q Ta xét tốn: “Cho hình vng có cạnh đơn vị độ dài Tìm số đo đường chéo hình vng đó” Nếu gọi x số đo đường chéo hình vng này, theo định lí Pitago ta có: x2  12  12  Nhưng khơng có số hữu tỉ x mà x2  Thật vậy, giả sử x  Q,x2  Viết x dạng phân số tối giản x  a b  a, b  Z, b   , UCLN a,b   , ta có: a 2  b   hay a  2b   Đẳng thức chứng tỏ a phải số chẵn Giả sử a  2a1 , a  4a12 ta 2a12  b2 Đẳng thức cuối lại chứng tỏ b số chẵn Như vậy, a b số chẵn, điều mâu thuẫn với giả thiết UCLN  a,b   Vậy số đo đường chéo hình vuông cho số hữu tỉ Tương tự, dừng lại tập số hữu tỉ phương trình x2   0;x2   0; … khơng có nghiệm Trong đó, khoa học kĩ thuật ta thường xuyên phải biểu diễn số đo đoạn thẳng, phải tìm nghiệm phương trình Vì cần phải mở rộng tập số hữu tỉ thêm số để khắc phục hạn chế nêu 3.1.2 Xây dựng tập số thực Trong toán học người ta xây dựng tập số thực nhiều phương pháp khác nhau, chẳng hạn: xây dựng từ số thập phân vô hạn, phương pháp nhát cắt Dedekin, phương pháp làm đầy,… Trước hết ta trình bày phương pháp xem phương pháp đơn giản + Số thập phân vô hạn số thực: chương nghiên cứu hai loại số thập phân: - Số thập phân (hữu hạn) - Số thập phân vơ hạn tuần hồn với chu kì khác (những số hữu tỉ số thập phân) Trong thực tế ta gặp loại “số thập phân” thứ ba: số thập phân có vơ số chữ số phần thập phân chữ số phần thập phân không lặp lại theo quy luật Chẳng hạn: 1,4142135…; 1,7320508…;… Những số thập phân gọi số thập phân vô hạn không tuần hồn Mỗi số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn ta gọi số vơ tỉ Tập tất số hữu tỉ số vô tỉ ta gọi tập số thực, kí hiệu R Như vậy: Số thập phân (hữu hạn) Số hữu tỉ Số thực Số thập phân vơ hạn tuần hồn Số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Số vơ tỉ = Số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Nếu ta coi số thập phân hữu hạn số thập phân vơ hạn tuần hồn có chu kì ta nói số thực số thập phân vơ hạn (tuần hồn khơng) Như số thực có dạng: x  a,a1a a i a số nguyên dương, a i với i =1, 2, 3,… chữ số 0, 1, 2, …, số kí hiệu với dấu (-) đằng trước: x  a,a1a a i Số thực x khác mà dạng thập phân vơ hạn khơng mang dấu trừ (-) gọi số thực dương, trường hợp ngược lại gọi số thực âm Số thực y gọi số đối số thực x, kí hiệu y = -x, dạng thập phân vô hạn x y khác dấu Chẳng hạn: 2,15321431… -2,15321431… hai số đối nhau, số thứ số thực dương, số thứ hai số thực âm 3.2 Quan hệ thứ tự R phép toán R Đ/N1: Cho x  R Ta gọi số thực x, nÕu x số thực dương x 0, x = x, x số thực âm  giá trị tuyệt đối x Từ định nghĩa dễ dàng suy ra: 1) Giá trị tuyệt đối số thực x luôn số thực dương (số thực không âm) 2) Hai số thực đối có giá trị tuyệt đối (ví dụ: 1,32  1,32 ; 1,32  1,32 ) *Để so sánh hai số thực x y ta thực quy tắc đây: 1) Trường hợp x y không âm, giả sử x  a0 ,a1a a n y  b0 ,b1b2 bn Ta nói x nhỏ y, viết x < y, tồn số tự nhiên k cho a i  bi với i  0,1,2,3, , k  a k  b k 2) Mọi số thực không âm lớn số thực âm 3) Số thực âm x gọi nhỏ số thực âm y, y  x Ta nói x nhỏ y, kí hiệu x  y , x < y x = y *Nhận xét: - Bằng quy tắc 1, đưa việc so sánh hai số thực dương so sánh hai số thập phân không âm; Trước hết ta so sánh a b0 Nếu a < b0 (hoặc b0 < a ) x < y (hoặc y < x); Nếu a = b0 ta so sánh a1 b1 theo nguyên tắc tiếp tục gặp số k mà a k < b k (hoặc b k < a k ) Nếu a k = b k với k ta kết luận x = y - Từ quy tắc suy số thực dương lớn số thực âm nhỏ Đ/N2: Giả sử x  a0 ,a1a a n số thực Ta gọi số hữu tỉ xn  a0 ,a1a a n xấp xỉ cấp n số thực x Đ/N3: Giả sử x  a0 ,a1a a n y  b0 ,b1b2 bn hai số thực, x n y n hai xấp xỉ cấp n chúng Ta gọi: sn  x n  yn tổng gần cấp n hai số thực p n  xn yn tích gần cấp n hai số thực Ví dụ: Cho x  y   Ta có: Tổng gần cấp x y 1,4 + 3,1 = 4,5 Tổng gần cấp x y 1,4142 + 3,1416 = 4,5558 Tích gần cấp x y 1,4 3,1 = 4,34 Tích gần cấp x y 1,414 3,141 = 4,441374 ~ 4,44 Nhận xét: Bằng cách ta đưa việc tính tốn số thực thực hành tính tốn số hữu tỉ Kết phép toán xấp xỉ số hữu tỉ Với n đủ lớn sai số phép tính xấp xỉ không đáng kể Bài tập Bài 1: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm hữu tỉ: a) x   b) x  2x   c) x  4x   HD: b) x  2x    (x 1)2   Đặt y = x – Khi toán trở thành “chứng minh pt y2   khơng có nghiệm hữu tỉ” c) x  4x     x  2   Tương tự ý b) Bài 2: a) Cho x số hữu tỉ, y số vô tỉ Hỏi x + y, x.y số vô tỉ hay hữu tỉ? b) Cho x y số vô tỉ Hỏi x + y, x.y số hữu tỉ hay vô tỉ? Giải: a) Cho x  Q, y  R \ Q Khi x  y  Q Vì x  y  Q  x  y   x  y  Q Nếu x  Q, y  R \ Q xy  Q Vì xy  Q  xy  x 1  y  Q b) Nếu x, y  R \ Q x  y, xy thuộc Q khơng thuộc Q Ví dụ: x    Q, y    Q   x  y      2Q +) x  2  Q, y   Q xy   1 Q 2 Bài 3: Viết phần nguyên chữ số thập số vô tỉ x mà: a) x  15 b) x3  21 Giải: a)Ta có 32  15  42 14, 44  (3,8)  15  (3,9)  15, 21 14,9769  (3,87)  15  (3,88)  15, 0544 14,992384  (3,872)  15  (3,873)  15, 000129 14,999354  (3,8729)  15  (3,8730) 14,999974  (3,87298)  15  (3,87299)  15, 000051 Vậy phần nguyên 15 năm chữ số thập phân đầu 87298 b) Tương tự Bài 4: Tìm tổng tích gần cấp cấp x y, biết rằng: a) x  3; y  b) x  11 21 ; y 22 Bài 5: Tính x + y, x y, x – y, x : y với độ xác đến 10-4 với a) x = 1,3 (12) y = 0,4324432… b) x = -3,04215… y = 2,37 (41) C Câu hỏi, hƣớng dẫn học tập, thảo luận CH: CMR m khơng phải bình phương số tự nhiên m số vơ tỉ C/m: Giả sử m có dạng phân tích tiêu chuẩn m  p1m pm2 psm , pi s số nguyên tố khác Do m không số phương nên phải có thừa số p i có số mũ mi lẻ Khơng tính tổng quát, giả sử p1 có số mũ m1 lẻ Giả sử có a a m   Q, a, b  N, b   a, b   Khi ta có    m hay b b a2  p1m1 pm2 psms  a  b2 p1m1 pm2 psms b2 (1) Đẳng thức (1) chứng tỏ a p1 Giả sử a  kp1 , k  Z Từ k p12  b2 p1m p2m psm Nếu m1  k p1  b2 p2m psm s (*) s 2 Nếu m1  k  b2 p1m 2 pm2 psm tiếp tục lập luận sau hữu hạn bước ta s u p1  b2 pm2 psms , u  Z (**) Các đẳng thức (*) (**) chứng tỏ b p1 Vậy p1 ước chung a b (mâu thuẫn với gt (a,b) = 1) Vậy m số vô tỉ Chƣơng Số phức Số tiết: (Lý thuyết: tiết; Bài tập,thảo luận: tiết) A Mục tiêu Kiến thức: SV hiểu biết nắm vững: - Sự hạn chế tập hợp R - Cách xây dựng trường số phức C - Dạng đại số dạng lượng giác số phức - Tính đóng đại số trường số phức - Giải phương trình bậc C Kỹ năng: - Có kỹ biểu diễn số phức dạng lượng giác - Thực hành phép tính số phức - Giải phương trình bậc C - Có kỹ khai thác thơng tin từ nhiều phương tiện khác Thái độ: - Tìm hiểu nội dung liên quan đến học trước lên lớp - Bồi dưỡng niềm say mê học toán, nâng cao ý thức tự học B Nội dung 4.1 Xây dựng trƣờng số phức C 4.1.1.Yêu cầu mở rộng R Chúng ta xét mở rộng tập hợp số: N  Z  Q  R Theo u cầu nội Tốn học, lí thuyết phương trình đại số Trong tập hợp Q số hữu tỉ phương trình bậc ax  b  0, a,b  Q, a  có nghiệm Khi mở rộng từ Q đến R, ta kết lớp rộng phương trình bậc cao có nghiệm R Tuy nhiên, phương trình bậc hai đơn giản phương trình x2   khơng có nghiệm R Một toán lớn toán học đặt mở rộng tập hợp số để tập hợp số phương trình đại số có nghiệm 4.1.2 Trường số phức Xét tập hợp C   a, b  a, b  R Trên tập hợp ta xác định hai phép toán cộng nhân sau:   a,b  ,  c,d   R  R a,b    c,d   a  c,b  d  a,b   c,d   ac  bd,ad  bc  Định lí: Tập hợp C phép toán cộng nhân xác định lập thành trường - Phần tử cặp (0,0) - Phần tử đơn vị cặp (1,0) - Phần tử đối x = (a,b) –x = (-a,-b) a b  , 2  a b a b  - Phần tử nghịch đảo x   a,b   x 1   Định nghĩa: Trường C gọi trường số phức, phần tử C gọi số phức 4.1.3 Dạng đại số số phức + Quan hệ R C: Xét ánh xạ f :R C a f a   a,0  Dễ kiểm tra f đơn ánh bảo toàn phép toán: f  a  b   f a   f  b  f  a.b   f a  f  b  Điều cho phép ta đồng số phức (a,0) với số thực a, (a,0) = a R trở thành phận C + Đơn vị ảo: Đặt i = (0,1) Ta có i  1 Ta gọi i đơn vị ảo + Dạng đại số số phức: Mỗi số phức x   a,b  viết dạng x  a  bi , a,b  R , i  1 Ta nói dạng đại số số phức x, a gọi phần thực x (kí hiệu a = Re(x) ), b gọi phần ảo x (kí hiệu b = Im(x) ) Số phức x  a  bi gọi số phức liên hợp x Vậy C  x  a  bi a,b  R + Các phép toán: Phép cộng phép nhân số phức dạng tổng quát thực theo quy tắc sau: với x  a  bi, y  c  di  C ta có x  y   a  bi    c  di   a  c    b  d  i x.y   a  bi  c  di   ac  bd    bc  ad  i - Phép trừ phép chia: x  y  a  bi    c  di   a  c    b  d  i Nếu y   c2  d   x:y  x  a  bi   a  bi  c  di   ac  bd    bc  ad  i ac  bd bc  ad      i y  c  di   c  di  c  di  c2  d c  d c2  d Ví dụ: Thực phép tính x  y,x  y,x.y, x   2i x với y y   3i Giải: Ta có x  y    2i     3i   3       i   i x  y    2i     3i   3       i  2  5i x.y    2i    3i   3.5  2.3   2.5  3.3  i  21  i x:y    2i   3  2i   3i    19i   19 i   3i    3i   3i  34 34 34 4.1.4 Dạng lượng giác số phức - Với số phức x  a  bi , đặt x  a  b2 gọi môđun x - Với số phức x  a  bi biểu diễn dạng x  x  cos   i sin  ,   arg  x  (argumen x) Ta gọi x  x  cos   i.sin  dạng lượng giác số phức x cos   a b ; sin   x x Ví dụ: Viết số phức x = 1+ i dạng lượng giác Ta có a = b = Vậy x  a  b2  12  12  ,  cos     sin    a  x b  x    k2   Vậy x   cos  i.sin  4   4.2 Tính đóng đại số trƣờng số phức C Phần ta trường số phức C trường đóng đại số, tức đa thức bậc dương C có nghiệm C *Bổ đề: Mỗi đa thức bậc lẻ trường số thực có nghiệm thực Ví dụ: x3  x  x   *Bổ đề: Mỗi tam thức bậc hai thuộc C[x] có tất nghiệm thuộc C *Định lí: (Đlí đại số) Mỗi đa thức bậc dương trường số phức, có nghiệm phức Ta nói rằng, trường số phức trường đóng đại số 4.3 Giải phƣơng trình bậc C * Giải phương trình bậc 3: Xét phương trình ax3  bx2  cx  d  với a,b,c,d  C a  Dùng phép biến đổi x  y  y3  py  q  với p  b , ta đưa phương trình cho dạng rút gọn 3a 3ac  b2 27a d  9abc  2b3 q  , 3a 27a Đặt y = u + v Khi  u3  v  q    u  v 3uv  p   Ta chọn u, v thỏa mãn hệ:  q q p3  u  v  q   u    27  3 p hay  q p3 u v    q  27 v     27  Với   1  i ta công thức Cardano tính ba nghiệm phương trình rút gọn: y1  q q p 3 q q p3      27 27 y2   q q p3 q q p3    2   27 27 y3   q q p3 q q p3    3   27 27 Ví dụ: Tìm nghiệm phương trình sau C: x  9x   Ta có p = -9, q = Áp dụng cơng thức Cardano phương trình cho có nghiệm là: x1  q q p 3 q q p3      27 27  1 12 (9)3 1 12 (9)3      27 27  1 107 1 107    4  1 107i 1 107i    4  1 107 1 107 i  i  u1  v1 2 2 x  u1   v1 x   u1  v1 Với   1  i Bài tập Bài 1: Viết số phức sau dạng lượng giác: a) i b)  i Bài 2: Tính a) 1  i  b)  4i Bài 3: Tìm nghiệm phương trình sau C: a) x  x   b) x3  3x   C Câu hỏi, hƣớng dẫn học tập, thảo luận - Ôn tập thi kết thúc học phần: Chương 1: Định lí, t/c, xem lại tập chữa Chương 2: Chứng minh phân số cho phân số tối giản, tính giá trị biểu thức Chương 3: Xem tập chữa Chương 4: - Thực phép tính +, -,  , : số phức - Viết số phức dạng lượng giác - Tìm bậc hai số phức - Tìm nghiệm phương trình bậc C ...Chƣơng Số nguyên Số tiết: 10 (Lý thuyết: tiết; Bài tập, thảo luận: tiết) A Mục tiêu Kiến thức: SV hiểu biết: - Lí mở rộng tập hợp số tự nhiên N sang tập hợp số nguyên Z - Cách xây dựng tập hợp số. .. làm tập sau học xong lí thuyết B Nội dung 1.1 Xây dựng tập hợp số nguyên từ tập số tự nhiên 1.1.1 Lí mở rộng tập số - Từ tự nhiên: Số tự nhiên đời yêu cầu thực tiễn đời sống sản xuất Nhưng số. .. Chƣơng Số hữu tỉ Số tiết: (Lý thuyết: tiết; Bài tập, thảo luận: tiết) A Mục tiêu Kiến thức: SV hiểu biết: - Lí mở rộng tập hợp số nguyên Z sang tập số hữu tỉ Q - Cách xây dựng trường số hữu tỉ