ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 01 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi HSG Toán 9 –H. Đông Sơn Năm học 2018 – 2019) ĐỀ BÀI Câu 1 (4.0 điểm) 1.Cho biểu thức a. Rút gọn M b. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên 2. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức: . Câu 2 (4.0 điểm) 1.Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy2 + x +y +1 = x2 +2y2+xy 2. Giải phương trình : Câu 3 (4.0 điểm) 1.Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì A= ( 10n + 10n1 +…+ 10 + 1) ( 10n+1+5) +1 là số chính phương nhưng không phải lập phương của một số tự nhiên. 2. Tìm các cặp số thực (x;y) thỏa mãn các điều kiện: Câu 4 (6.0 điểm) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M, CM cắt AH tại I, OM cắt AB tại J a. Chứng minh hai tam giác MOB và ACH đồng dạng b. Chứng minh I là trung điểm của AH c. Cho BC = 2R và OM = x. Tính AB và AH theo R và x d. Tính giá trị lớn nhất của AH khi x thay đổi Câu 5 (2.0 điểm) Cho các số thực dương x, y thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x+y Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 01 (Đề thi HSG Toán 9 –H. Đông Sơn Năm học 2018 – 2019) . Câu Nội dung Điểm 1 1. (3,0 điểm) a. ĐKXĐ: x ; M= b, M= = Để M nguyên => Ư(3) ( Vì ĐKXĐ) => x= 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ) x = 4 ( Không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x= 0 thì M nhận giá trị nguyên 2. (1,0 điểm) Ta có: Tương tự: 0,5 1,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 2 1.(2,0 điểm) Ta có 2xy2 +x +y +1 = x2+ 2y2 +xy 2y2( x 1) – x( x1) – y( x1) +1 = 0 (1) Nhận thấy x= 1 không phải là nghiệm của phương trình (1) chia cả hai vế cho x1 ta được 2y2 –x –y + = 0(2) Vì pt có nghiệm x,y nguyên nên nguyên nên x1 Thay x= 0 vào (2) ta được 2y2 –y 1 = 0 => y = 1; y = Thay x= 2 vào (2) ta được 2y2 –y – 1=0 => y =1; y = Vậy (x,y) 2.(2,0 điểm) ĐK: Vì nên Suy ra : (tm) Vậy pt có nghiệm : 0,5 0,75 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 3 1. (2,0 điểm) Ta có Vậy A là số chính phương Mặt khác = 22. = A Do A nhưng A không chia hết cho 8 nên A không thể là lập phương của một số tự nhiên 2. (2,0 điểm) Điều kiện: Theo gt ta có Đặt , khi đó : Suy ra hoặc Nếu thì (thỏa mãn) Nếu thì (thỏa mãn) Vậy : 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 4 a. (2,0 điểm) Chứng minh Ta có MA = MB ( Tc tiếp tuyến) OA = OB = R => OM là trung trực của đoạn AB => OM vuông góc với AB tại J nên OM AC => => (g.g) b.(1,5 điểm) Trong có HIBM nên (1) => (2) Chia (1) cho (2) theo từng vế ta được => I là trung điểm của AH c.(0,75 điểm) vuông ở B nên OB2 = OJ . OM => OJ = OJB vuông ở J nên BJ2 = OB2 – OJ2 = => BJ = với x > R ABC vuông ở A nên AC2 = BC2 – AB2 = => AC = Lại có BC . AH = AB . AC => AH = = với x > R d.(0,75 điểm) Ta chứng minh: AH ≤ R (3) ≤ R 2R 4R2 ( x2 – R2) ≤ x4 x4 – 4R2 x2 + 4R4 ≥ 0 (x2 – 2R2)2 ≥ 0 với x > R Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x2 – 2R2 = 0 x = R Vậy AH đạt giá trị lớn nhất bằng R khi x = R 2,0 1,5 0,75 0,75 5 (2,0 điểm) Do x, y > 0 và ta suy ra x > y > 0 và xy(xy)2 = (x+y)2 (1) Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > 0 ; a2 4b) Ta có: (1) Suy ra: b1 > 0 và Lại có: (theo bđt cô si) Do đó: Mà a > 0 nên Dấu “=” xảy ra khi Khi đó: (Vì x > y) Vậy Min (x+y)=4 khi . 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Hết ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ SỐ: 02 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Nguồn: Đề thi HSG Toán 9 –H. Thiệu Hóa, ngày 24102017Năm học 2017 2018 ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi c) So sánh A với . Câu 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình : . b) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho a, b, c là 3 số nguyên thỏa mãn: a + b + c = . Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho 5. b) Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: là số hữu tỉ. Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng: và b) Chứng minh rằng : c) Nếu = thì khi đó tam giác ABC là tam giác gì? Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính Câu 6: (2,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = Hết
n MCD sin MDC b Chứng minh: OK AH (2 R AH ) c Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất. -Hết https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 121 “Đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (25 đề + đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 25 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP (Đề thi HSG Tốn –Phòng GD&ĐT Thanh Chương - Năm học 2010 – 2011) Điểm Nội dung cần đạt Câu Ý Q x x 2 x 10 x a (2,0đ) x x 2 x 2 0,5 x x 13 10 x 2.2 (2 5) 2 b Vậy: Q 2 2 2 2.( 5) 2 10 y x 2m ; với m tham số Để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) thì a 0,5 0,5 0,25 2 m m Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A 2m 1;0 Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B 0; 2m 1 b Ta có: AOB vng tại O và có OH là đường cao nên: (2,0đ) 0,5 0,5 0,5 m 1 1 Hay 2 2 OH OA OB x A yB (2m 1) m 1 Hoành độ trung điểm I của AB: xI c Tung độ trung điểm I của AB: yI x A xB m 2 y A yB (2m 1) 2 Ta có: yI xI Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là 0,5 0,25 đường thẳng y x Điều kiện: x (2,5đ) 0,2 x 1 x x x x x x x 0,2 a x 1 x 1 x x 1 x 1 x x x ( x 2)2 x https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0,3 0,3 122 “Đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (25 đề + đáp án chi tiết)” Vậy nghiệm của pt là: x Với a; b là hai số dương ta có: a b b 1 2.a b.1 2a b2 1 (Theo 2 Bunhiacopski) a b a (Vì a b ) Hay 3(a 6) (a b) x xy 2008 x 2009 y 2010 x xy x 2009 x 2009 y 2009 x( x y 1) 2009( x y 1) ( x 2009)( x y 1) c x 2009 x 2010 x y y 2010 x 2009 1 x 2008 x y 1 y 2010 K O D (3,5đ) 0,25 0,5 0,25 0,25 C B 0,25 0,25 M H A Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vng tại M nên: a · · · · = sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC · 2· · 2· (sin MBA cos MBA) (sin MCD cos MCD) = 1 + 1 = 2 Chứng minh: OK AH (2 R AH ) Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH b Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vng MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH c (Vì MK = OH) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0,75 0,5 0,5 0,25 0,25 123 “Đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (25 đề + đáp án chi tiết)” Mà OH.MH Vậy P R OH = OH MH OM R (Pitago) 2 R2 R đẳng thức xẩy ra MH = OH R 0,25 0,25 -Hết https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 124 ... Đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (25 đề + đáp án chi tiết)” HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 25 ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN MÔN: TỐN - LỚP (Đề thi HSG Tốn –Phòng GD&ĐT Thanh... x https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408 296 -loc-tin-tai.htm 0,3 0,3 122 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (25 đề + đáp án chi tiết)” Vậy nghiệm của pt là: x Với ... https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408 296 -loc-tin-tai.htm 0,75 0,5 0,5 0,25 0,25 123 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện mơn Tốn lớp (25 đề + đáp án chi tiết)” Mà OH.MH Vậy P R