Tài liệu Đề thi HSG cấp huyện môn Toán lớp 8 năm 2016-2017 - Phòng GD&ĐT Nam Trực giúp cho học sinh tham khảo, ôn tập và làm quen với các bài thi trước khi bước vào kỳ thi học sinh giỏi. Chúc các em ôn tập và thi tốt.
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM TRỰC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: TỐN – Lớp: Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm: 01 trang Bài (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử: x2 – 2x – 4y2 - 4y Rút gọn biểu thức: Bài (5,0 điểm) Giải phương trình: a) x + 2x - x - x + x -1 x -1 x+2 3 + = +1 x +1 x - x - x - b) (x + 8)(x + 6)(x + 7)2 = 72 Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x2 + 4x + y2 – 6y = 24 Bài (3,0 điểm) 1 a) Với x > 0, y > Chứng minh rằng: x + y ≥ x + y 1 b) Cho x, y, z số khác đôi khác thỏa mãn: x + y + z = Tính yz xz xy giá trị biểu thức: A = x + yz + y + xz + z + xy Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC) Các đường cao AE, BF cắt H Gọi M trung điểm BC, qua H vẽ đường thẳng a vng góc với HM; a cắt AB, AC I K a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác EFC b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK; b cắt đường thẳng AH, AB theo thứ tự N D Chứng minh: NC = ND HI = HK AH BH CH + + >6 c) Gọi G giao điểm CH AB Chứng minh: HE HF HG Bài (2,0 điểm) Trên mặt phẳng cho trước, giả sử điểm tô màu đỏ màu xanh Chứng minh tồn tam giác vuông cân có ba đỉnh màu PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM TRỰC Bài Nội dung x – 2x – 4y - 4y = x – 2x + – 4y2 - 4y – = (x – 1)2 – (2y + 1)2 = (x – + 2y + 1)(x – – 2y – 1) = (x + 2y)(x – 2y – 2) x + - 2x - - x - = ( x + 3)( x − 1) − (2 x − 1)( x + 1) − ( x − 3) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: TỐN – Lớp: x +1 x -1 ( x + 1)( x − 1) x -1 x + x − − (2 x + x − 1) − x + = ( x + 1)( x − 1) - x2 +1 = x −1 = -1 Điều kiện: x ≠ −1; x ≠ 2 Điểm 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ x+2 3 + = +1 x +1 x - x - x - x+2 3 + = +1 x + x − ( x + 1)( x − 2) ( x + 2)( x − 2) + 3( x + 1) = + ( x + 1)( x − 2) x − + 3x + = + x − x − 4 x = x = (t/m đk) Vậy PT có nghiệm x = 2 (x + 8)(x + 6)(x + 7)2 = 72 Đặt x + = t Ta có: (t+1)(t-1)t2 = 72 < => (t2 -1)t2 = 72 < => t4 – t2 – 72 = < => (t2+8)(t2-9) = < => t2 – = (vì t2+8 > 0) < = > t = t = -3 = > x = - 4; x = -10 kết luận nghiệm 4x2 + 4x + y2 – 6y = 24 < => (2x +1)2 + (y – 3)2 = 34 Ta có: 34 = 12 + 33 = 32 + 25 = 52 + 9=(-1)2 + 33 = (-3)2 + 25 = (5)2 + Chỉ có trường hợp: 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 2x+1 y-3 x y -5 -3 -3 -3 -5 -2 -2 -3 -5 -3 -5 -2 -3 -2 Nghiệm nguyên (x;y) phương trình (2;6), (-3;0),(1;8), (-2;-2), (2;0), (-3;0), (1;-2), (-2;8) 1,0 đ 0,25đ Với x > 0, y > 1 + ≥ ⇔ ( x + y ) ≥ xy x y x+y 0,5 đ ⇔ ( x − y) ≥ 0,5 đ Luôn với x, y 1 yz + xz + xy + + = => = ⇒ yz + xz + xy = ( x, y, z x y z xyz khác 0) =>yz = -xy – xz ⇒ x + yz = x + yz − xy − xz = ( x − z ).( x − y ) z + xy = ( z − x ).( z − y ) Cmtt ta có: y + xz = ( y − z ).( y − x ) Khi ta có: yz xz xy A= + + ( x − z ).( x − y ) ( y − z ).( y − x) ( z − x).( z − y ) yz.( y − z ) + xz ( z − x) + xy ( x − y ) = ( x − z )( x − y )( y − z ) Từ gt yz ( y − z ) − xz ( x − z ) + xy [ ( x − z ) − ( y − z ) ] ( x − z )( x − y )( y − z ) x( x − z )( y − z ) − y ( y − z )( x − z ) = ( x − z )( x − y )( y − z ) ( x − z )( x − y )( y − z ) = =1 ( x − z )( x − y )( y − z ) = 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Cminh: ∆AEC : ∆BFC ( g g ) ⇒ CE CA = CF CB Xét ∆ABC ∆EFC có: CE CA µ chung => ĐCCM = C CF CB Vì CN // IK nên HM ⊥ CN Từ suy M trực tâm ∆HNC => MN ⊥ CH mà CH ⊥ AD nên MN// AD Do M trung điểm BC => NC = ND Từ chứng minh: HI = HK ( Talet) HA S AHC S ABH S AHC + S ABH S AHC + S ABH = = = = HE SCHE S BHE SCHE + S BHE S BHC HB S BHC + S BHA HC S BHC + S AHC = ; = Cmtt ta có: HF S AHC HG S BHA S AHC + S ABH S BHC + S BHA S BHC + S AHC HA HB HC + + ≥6 => = = + + S BHC S AHC S BHA HE HF HG Dấu “=” xảy Tam giác ABC đều, mà theo gt AB < AC nên dấu không xảy HA HB HC + + >6 Vậy HE HF HG Ta có: - Nếu điểm tơ màu đỏ màu xanh ln tìm đỉnh cịn lại hình vng màu Suy tốn ln xảy - Nếu có hai điểm phân biệt màu đỏ màu xanh: + Giả sử A, B hai điểm phân biệt màu đỏ Ta vẽ hình vng ABCD tâm O + Nếu C màu đỏ tam giác ABC vng cân có ba đỉnh màu Tương tự với điểm D + Nếu C, D màu xanh Khi đó, O màu đỏ tam giác ABC vng cân có ba đỉnh màu đỏ Còn O màu xanh tam giác OCD vng cân có đỉnh màu xanh Tóm lại tất trường hợp ta tìm tam giác vng cân có đỉnh màu 1,0 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,75 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,75 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ ... 9= (-1 )2 + 33 = (-3 )2 + 25 = (5)2 + Chỉ có trường hợp: 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 2x+1 y-3 x y -5 -3 -3 -3 -5 -2 -2 -3 -5 -3 -5 -2 ... HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Mơn: TỐN – Lớp: x +1 x -1 ( x + 1)( x − 1) x -1 x + x − − (2 x + x − 1) − x + = ( x + 1)( x − 1) - x2 +1 = x −1 = -1 Điều kiện: x... 2x+1 y-3 x y -5 -3 -3 -3 -5 -2 -2 -3 -5 -3 -5 -2 -3 -2 Nghiệm nguyên (x;y) phương trình (2;6), (-3 ;0),(1 ;8) , (-2 ;-2 ), (2;0), (-3 ;0), (1 ;-2 ), (-2 ;8) 1,0 đ 0,25đ Với x > 0, y > 1 + ≥ ⇔ ( x + y )