Mời các bạn thử sức bản thân thông qua việc giải những bài tập trong Đề thi chọn HSG cấp huyện môn Toán lớp 12 năm 2017-2018 - Sở GD&ĐT Cao Bằng sau đây. Tài liệu phục vụ cho các bạn đang chuẩn bị cho kỳ thi.
DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG MƠN: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 01 trang) Câu 1: (4,0 điểm) a Tìm giá trị tham số m để hàm số y = cực trị x1 , x2 thỏa mãn: x1 − x2 = x3 − x + mx − có hai điểm x+3 có đồ thị (C ) Tìm giá trị tham số m để đường x +1 thẳng d : y = x + m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B cho AB = b Cho hàm số y = Câu 2: (4,0 điểm) x + x + − x2 + x = y + y − = x( x + x + 4) b Giải hệ phương trình: 2 x + y = a Giải phương trình: Câu 3: (2,0 điểm) Giải phương trình: cos x(4sin x + 3) = sin x Câu 4: (2,0 điểm) Một trường trung học phổ thơng có 12 học sinh giỏi gồm ba học sinh khối 10, bốn học sinh khối 11 năm học sinh khối 12 Chọn sáu học sinh số học sinh giỏi đó, tính xác suất cho ba khối có học sinh chọn Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng ( SBD ) mặt phẳng đáy 60o a Tính thể tích khối chóp S ABCD b Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SBC ) Câu 6: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD Điểm M (−3;0) trung điểm cạnh AB, điểm H (0; −1) hình chiếu vng góc B 4 3 AD điểm G ;3 trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ điểm B, D Câu 7: (2,0 điểm) 1 + + ≤ Chứng minh rằng: x y z 1 + + ≤ 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn Hết _ (Thí sinh không sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích thêm) Họ tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:… ………… Họ tên, chữ ký giám thị 1:………………………………………… .… …….… DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm có 05 trang) I Hướng dẫn chung: Điểm thi theo thang điểm 20, phần lẻ tính đến 0,25 điểm Giám khảo giữ ngun điểm lẻ, khơng làm trịn điểm Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu hướng dẫn chấm giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính tốn xác cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định II Đáp án thang điểm: Câu ý Đáp án a Tập xác định: D = ℝ (4,0đ) y ' = x − x + m ; y ' = ⇔ x − x + m = (*) Hàm số cho có hai điểm cực trị x1 , x2 ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆' > ⇔ − m > ⇔ m < Ta có: x1 − x2 = ⇔ ( x1 − x2 )2 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − = ⇔ 12 − 4m = ⇔ m = (thỏa mãn điều kiện) Vậy giá trị cần tìm m = b Phương trình hồnh độ giao điểm: x+3 = 2x + m x +1 −2 x − (m + 1) x + − m = ⇔ (*) x ≠ −1 Điểm 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 Đường thẳng (d ) cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt ∆ = m − 6m + 25 > Ta có: ⇔ ∀m ∈ ℝ −2.(−1) − (m + 1).(−1) + − m ≠ 0,5 Suy (d ) (C ) cắt điểm phân biệt A, B DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục Khi đó: A( x A ;2 x A + m), B( xB ;2 xB + m) Ta có: 0,25 AB = ⇔ ( xB − x A ) + 4( xB − x A )2 = ⇔ ( xB − x A ) + 4( xB − x A ) = 25 ⇔ ( xB − x A ) = 0,25 ⇔ ( x A + x B ) − x A xB − = (m + 1) ⇔ + 2(3 − m) − = m = ⇔ m − 6m + = ⇔ m = 0,5 Vậy giá trị cần tìm m = 1; m = a Điều kiện: x ≥ (4,0đ) Ta có: x + x + − x2 + x = 0,25 0,5 ⇔ ( x − 1)(1 − x + 1) = x =1 ⇔ x + = x =1 ⇔ x = Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình cho x = 0; x = b Ta có: y + y − = x( x + x + 4) ⇔ y + y = ( x + 1)3 + ( x + 1) Xét hàm số f (t ) = t + t ℝ Với t ∈ ℝ , f '(t ) = 3t + > Suy f (t ) đồng biến ℝ Do y + y = ( x + 1)3 + ( x + 1) ⇔ f ( y ) = f ( x + 1) ⇔ y = x + Thế y = x + vào phương trình thứ hai hệ ta được: x =1 x + ( x + 1) = ⇔ x + x − = ⇔ x = −2 Với x = ⇒ y = Với x = −2 ⇒ y = −1 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 Vậy hệ cho có nghiệm (1;2); (−2; −1) DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục (2,0đ) Ta có: cos x(4sin x + 3) = sin x 0,5 ⇔ 2sin x = sin x − cos x ⇔ sin x = sin x − cos x 2 π 0,25 π ⇔ sin x = cos sin x − sin cos x 3 π ⇔ sin x = sin x − 3 π x = x − + k 2π ⇔ π = − − x π x + k 2π 3 (2,0đ) π x = − + k 2π ⇔ ( k ∈ Z) π π x = +k Chọn học sinh giỏi có C126 cách ⇒ n(Ω) = C126 Số cách chọn học sinh giỏi mà khơng có học sinh khối 10 C96 Số cách chọn học sinh giỏi mà khơng có học sinh khối 11 C86 Số cách chọn học sinh giỏi mà khơng có học sinh khối 12 C76 Gọi A:"Cả ba khối có học sinh chọn" ⇒ n( A) = C126 − (C96 + C86 + C76 ) n( A) C126 − (C96 + C86 + C76 ) 115 = = Vậy P( A) = n( Ω) C126 132 a (4,0đ) 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 S H A D 0,25 I B C DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục + Diện tích hình vng ABCD S ABCD = a AI ⊥ BD + Gọi I giao điểm AC BD ⇒ ⇒ SIA = 60o SI ⊥ BD a Suy SA = AI tan SIA = a3 Vậy VS ABCD = S ABCD SA = b Ta có: AD / /( SBC ) ⇒ d ( D,( SBC )) = d ( A,( SBC )) Gọi H hình chiếu vng góc A SB , suy AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH = d ( A,( SBC )) AH ⊥ BC Trong tam giác vng SAB có: 1 3a 2 = + = ⇒ AH = AH SA2 AB 3a a 15 Vậy d ( D,( SBC )) = d ( A,( SBC )) = AH = 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (2,0đ) 0,5 Gọi E F giao điểm HM HG với BC Suy HM = ME HG = 2GF Do E (−6;1) F (2;5) Đường thẳng BC qua E nhận EF làm vectơ phương, nên phương trình đường thẳng BC x − y + = Đường thẳng BH qua H nhận EF làm vectơ pháp tuyến, nên phương trình đường thẳng BH x + y + = Do B giao điểm BH BC nên tọa độ điểm B thỏa mãn hệ x − y + = phương trình ⇒ B (−2;3) 2 x + y + = Do M trung điểm AB nên A(−4; −3) Gọi I giao điểm 3 AC BD , suy GA = 4GI Do I 0; 2 Do I trung điểm đoạn BD , nên D(2;0) 0,25 0,25 0,5 0,5 DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục (2,0đ) Với a, b > ta có: a+b 1 11 1 ≤ ⇔ ≤ + a + b 4ab a +b 4 a b Dấu "=" xảy a = b Áp dụng kết ta có: 1 1 1 1 1 ≤ + ≤ + + = + + x + y + z x y + z x y z x y z 4ab ≤ (a + b) ⇔ 0,5 1 1 ≤ + + (1) 2x + y + z x y 2z 2x = y + z ⇔ x = y = z Dấu "=" xảy y = z Tương tự: 1 1 ≤ + + (2) Dấu "=" xảy x = y = z x + y + z y 2z 2x 0,5 ⇔ 1 1 ≤ + + (3) Dấu "=" xảy x = y = z x + y + 2z z 2x y Từ (1), (2) (3) ta có: 1 1 1 1 + + ≤ + + ≤ 2x + y + z x + y + z x + y + 2z x y z x = y = z Dấu "=" xảy 1 ⇔ x = y = z = + + = x y z 1 Vậy với x, y, z số thực dương thỏa mãn + + ≤ ta ln có: x y z 1 + + ≤ 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Đẳng thức xảy x = y = z = 0,5 0,5 Hết DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục ...DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 12 THPT NĂM HỌC... cắt điểm phân biệt A, B DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên... nghiệm (1;2); (−2; −1) DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên tục DeThiHSG.Com - Đề thi học sinh giỏi, chuyên đề bồi dưỡng HSG miễn phí cập nhật liên