Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 10 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Chương Mỹ A

Nhằm chuẩn bị kiến thức cho kì thi chọn HSG sắp tới mời các bạn học sinh lớp 10 cùng tải về Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 10 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Chương Mỹ A dưới đây để tham khảo hệ thống kiến thức Toán 10 đã học. Chúc các bạn ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao!

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHƯƠNG MỸ A

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

MÔN: TOÁN

Năm học: 2018-2019

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 ( 6 điểm) Cho hàm số 2 2

ymx  mxm  , với m là tham số

1) Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng  3;1

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số không lớn hơn -4 3) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho tam giác MAB vuông tại M Biết M(1; 2)

Câu 2 ( 6 điểm) Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

1) 9x2  8x  5 (6x 3) x2  3

(x  4x 3)(x  8x 12)  3x

3)

2 2

2 2

y x y





Câu 3( 3 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S và có bán kính đường tròn nội tiếp là r Chứng minh rằng: Tam giác ABC đều khi và chỉ khi 2

3 3

S r

Câu 4 ( 3 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D, đáy

lớn CD Biết BC=2AB=2AD, M(1;0) là trung điểm BC, đường thẳng AD có phương trình

x y  Tìm tọa độ đỉnh A biết A có tung độ nguyên

Câu 5 (2 điểm) Cho các số dương a,b,c sao cho 2 2 2

2

a b c  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2a 2 2 b 2 2c 2

b c c a a b

… Hết…

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

LỚP 10 NĂM HỌC 2018 – 2019 C

â

u

Điể

m

1

1

ymx  mxm  , với m là tham số

Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng  3;1

+ m 0  y  2 ( ktm)

+ m 0 hàm số đồng biến trên ( 3;1)  khi m 0

1.0 1.0

2

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số không lớn hơn -4

+ Hàm số có giá trị nhỏ nhất khi m 0 Khi đó y min  m2 m 2

+ Ycbt 2

m m

1.0 1.0

3

Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho tam giác MAB vuông tại M Biết M(1; 2)

+ Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A B khi phương trình:

mx  mxm   ( 3) có hai nghiệm phân biệt  ,

0

 

2

+ Gọi A x( ;0); ( ; 0)1 B x2 với x x1; 2 là nghiệm của phương trình (3)

Ta có: MA  (x1  1; 2);MB  (x2  1; 2)

Tam giác MAB vuông tại M MA MB   0

x x1 2 (x1x2) 5   0

2 2

3 0

m m

1 2

m

m





 





(tm )

KL: 1

2

m m











0.5

1.0

0.5

2 1

9x  8x  5 (6x 3) x  3  x2  32 (6x 3) x2   3 8x2  8x 2  0

2

(2x 1)

2 2





+ 2

2

1

x









2 10 3

x 

1.0

+ 2

2

1

x









1

x

 

Phương trình có 2 nghiệm

1

3

x x









 



1.0

2

(x  4x 3)(x  8x 12)  3x  (x2 7x 6)(x2 5x 6)  3x2 (2).Do x 0không là

nghiệm của (2) nên (2) x 6 7 x 6 5 3

       

Đặt t x 6

x

  Ta có: 2

12 32 0

t  t   4  t 8

Ta có: 4 x 6 8

x

0

0

x

x x

  











 4  10 x 4  10

1.0

1.0

3

2 2

2 2

y x y





u v u v

x  y  ta được

3 3

7

u v







3 3

7

u v







(u 1)  (v 2) u v 1  v2  v 2 0  1

2

v v







 



Với

3 2

1 2

x

y







 



Với

3 2

1 2

x

y



 



      

 



Hệ có hai nghiệm ( ; ) 3 1;

2 2

x y   

1.0

1.0

3

Cho tam giác ABC có diện tích S và có bán kính đường tròn nội tiếp là r

Chứng minh rằng: Tam giác ABC đều khi và chỉ khi 2

3 3

S  r

Ta có

3 2

3

p a p b p c

S  p pa pp p c  p      

4 2 27

p

27

Mặt khác S pr p S

r

   Từ đó ta có: 2

3 3

S  r

Đẳng thức xảy ra  a bc  tam giác ABC đều

1.0

1.0 1.0

4

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D, đáy lớn

CD Biết BC=2AB=2AD, M(1;0) là trung điểm BC, đường thẳng AD có

phương trình x 3y  3 0 Tìm tọa độ đỉnh A biết A có tung độ nguyên

Đặt ABa N là trung điểm AD

Kẻ BH  DC  H

   

0

30

M

Tính được 2 3

2

MN   a

2 (2 3) 2

AM   a

Phương trình đường thẳng MN: 1

3

x t

 





 



N là giao điểm của AD và MNN(0; 3) MN  2 a  8 4 3

2

AM

Mặt khác AADA ( 3t 3; );(t tZ)  AM2  ( 3t 4)2t2

2

      t 2 hoặc t 2 3  2 (loại)

(2 3 3; 2)

A

1.0

1.0

1.0

5

Cho các số dương a,b,c sao cho 2 2 2

2

a b c  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 2a 2 2 b 2 2 c 2

Ta có 0 a b c, ,  2; 2 2 2

P

Ta có: 3 8 3 4 4

2

a  a    a (5) Đẳng thức xảy ra khi 2

3

a 

(5) (2 2) 8

3 6

2

3 6

a

a

a 

;

 3 6 2 2 2 3 6

min

P  abc

1.0

1.0

N

H

M

B A