Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 10 năm 2018-2019 - Trường THPT Liễn Sơn

Nhằm giúp các bạn học sinh đang chuẩn bị bước vào kì thi có thêm tài liệu ôn tập, TaiLieu.VN giới thiệu đến các bạn Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 10 năm 2018-2019 - Trường THPT Liễn Sơn để ôn tập nắm vững kiến thức. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kì thi!

SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM 2018-2019 MƠN: TỐN – KHỐI 10 (Thời gian làm 180 phút) Câu (2 điểm) Cho phương trình (m  1) x2  2(m  1) x  m   (x ẩn, m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Câu (2 điểm) Cho phương trình x2  x  3m   Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 x22  x12  x22  Câu (2 điểm) Cho phương trình (2m  1) x2  2mx   Xác định m để phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng (1;0) Câu (2điểm).Cho phương trình x2  2(m  3) x  m2  3m   (m tham số) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện ( x1  x2 )( x1 x2  1)  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ A  x1 ( x2  1)  x2 Câu (2 điểm) Giải phương trình: x3  3x  3x   x  1    x   y  y2  7x 1  Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình  2 x  y  y  2x   x      y 1 Câu (2 điểm) Cho tam giác  ABC Điểm M thuộc cạnh BC cho MC = 3MB, I điểm thuộc đoạn AM cho AI = 3IM Xác định điểm K thuộc cạnh AC cho điểm B, I, K thẳng hàng Câu (2 điểm) Cho n điểm phân biệt mặt phẳng Bạn An gọi chúng A1 , A2 , , An Bạn Bình gọi B1 , B2 , , Bn ( Ai , Bi điểm khơng) Tính tổng vecto A1B1  A2 B2   An Bn Câu (2 điểm) Cho tam giác  ABC với A(1; 3), B(2;5), C(4;0) Xác định trực tâm H tam giác ABC Câu 10 (2 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b2  b2  c2  c2  a  Chứng minh rằng: a2 b2 c2    bc ca ab Hết Họ tên thí sinh:……………………………………… Số báo danh:………………… SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN HƯỜNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM 2018-2019 MƠN: TỐN – KHỐI 10 Câu Nội dung Điểm Cho phương trình (m  1) x  2(m  2) x  m   (x ẩn, m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài làm +) Với m = phương trình là: 6x    x   (loai ) +) Với m  để phương trình có nghiệm :  '   8m    m   m  Vậy   m  0,5 0,5 1,0 Cho phương trình x2  x  3m   Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 x22  x12  x22  Bài làm Để phương trình có nghiệm  '   m   x  x  2 Theo viet ta có :   x1 x2  3m  Ta có: x12 x22  x12  x22   (3m  4)2  (2)2  2(3m  4)  0,5 0,5 0,5  9m2  18m   m [0;2] 5 Kết hợp điều kiện m  ta m  [0; ] 0,5 3 Cho phương trình (2m  1) x2  2mx   Xác định m để phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng (1;0) Bài làm 0,5 +) Xét 2m    m  phương trình là:  x    x  1 (1;0) +) Xét m  Khi ta có : 2 0,5  '  (m  1)  0, m Phương trình có nghiệm x  x  2m  Ta thấy nghiệm x  khơng thuộc (-1; 0) Vậy để phương trình có 0,5 0 nghiệm khoảng (-1; 0) suy : 1  2m   1   m0   2m  0,5   2m   Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng (-1 ;0) m  Cho phương trình x2  2(m  3) x  m2  3m   (m tham số) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2  10  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ A  x1 ( x2  1)  x2 Bài làm Để phương trình có nghiệm: (m  3)2  m2  3m    m    x1  x2  2(m  3) Theo viet:   x1 x2  m  3m  0,5 0,5 Ta có x1  x2  10   m  0,5 +) A  x1 ( x2  1)  x2  x1 x2  ( x1  x2 )  m2  m  +) Lập bảng biến thiên hàm số f (m)  m2  m  [  ; 2] ta 13 giá trị lớn A = m = 2, giá trị nhỏ A = m  2 Giải phương trình: x3  3x  3x   x  1 0,5 0 Bài làm Điều kiện: x  1 x3  3x  3x   x  1  x3  x  x  1    x3  3x( x  1)   x  1 0  x  1  x  x  1   x  x   x  1    x  1  x   x       x 1  x x  x 1  x   2  0,5  x   x   x  1   x 1  x   x 1  x   x  x   0,5  x    1  x   x x    x      x   2    x  1  x  0,5 Vậy phương trình cho có nghiệm x   2; x  1 0,5   x   y  y  x  1(*)  Giải hệ phương trình     x  y   y  2x   x  Bài làm:  y  1 Điều kiện:  0  x  y 1 0,5  x  y   y  2x   x  y   x  xy  y  y  x   x  y   x( y  1) 0,5  2[x  x( y  1)  ( y  1) ]  x  y   x( y  1)  2( y   x)  ( x  y  1)   y  x 1 Thay vào phương trình (*) ta được: (*)  ( x  3x  3)  x    x  x   x   1    x  3x  1   0  x 1  x x   x     0,5  1    0, x  [0;4]  x2  3x   , 1   x 1  x x   x    3  21 x    3  21 (l ) x   0,5  3  21 x   Vậy hệ phương trình có nghiệm:   y  5  21  Cho tam giác  ABC Điểm M thuộc cạnh BC cho MC = 3MB, I điểm thuộc đoạn AM cho AI = 3IM Xác định điểm K thuộc cạnh AC cho điểm B, I, K thẳng hàng Bài làm Đặt AB  a; AC  b AK  t AC Khi đó: BK  a  tb 3 1 Ta có: AI  AM = AB  BM ; BM  BC  AC  AB 4 4  AI  a  b 16 16 3 Mà BI  AI  AB  a  b  a =   a  b 16 16 16 16 Để điểm B,I,K thẳng hàng m : BK  mBI  a  tb   a  b 16 16     0,5 0,5 0,5 7m 16   1  16 m    m t  t  0,5  16  3 Suy ra: AK  AC Vậy điểm K thuộc đoạn AC cho AK  AC 7 Cho n điểm phân biệt mặt phẳng Bạn An gọi chúng A1 , A2 , , An Bạn Bình gọi B1 , B2 , , Bn ( Ai , Bi điểm khơng) Tính tổng vectơ A1B1  A2 B2   An Bn Bài làm Lấy điểm O Khi : A1B1  A2 B2   An Bn  A1O  A2O   AnO  OB1  OB2   OBn 1,0 Vì  A1 , A2 , , An   B1 , B2 , , Bn  nên OB1  OB2   OBn  OA1  OA2   OAn Do : 1,0 A1B1  A2 B2   An Bn  Cho tam giác  ABC với A(1; 3), B(2;5), C(4;0) Xác định trực tâm H tam giác ABC Bài làm :  AH BC  Giả sử H ( x; y) Do H trực tâm tam giác ABC nên ta có   BH AC  0,5 Ta có : AH   x  1; y  3 ; BH   x  2; y  5 BC   2; 5 ; AC   5;3   x  1   y    Ta có hệ phương trình :  5  x     y    164  x  2 x  y  13  31   5 x  y  25  y  15  31  164 15  Vậy điểm H  ;   31 31  Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 10 a  b2  b2  c2  c2  a  0,5 0,5 Chứng minh rằng: a2 b2 c2    bc ca ab Bài làm: Đặt x  a  b2 ; y  b2  c ; z  c  a x, y, z  ta có x yz 3 Ta có : x  y  z   a  b  c  0,5 Do ta : x2  y  z 2 x2  y  z 2  x2  y  z 2 a  ;b  ;c  2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :  b  c   2(b  c )  y a2 x2  y  z  bc 2y b2 x2  y  z c2  x2  y  z  ;  Tương tự ta có : ca ab 0,5 2z 2x Do : a2 b2 c2 x2  y  z y x2  y  z z x2  y  z x         bc ca ab 2y 2 2z 2 2x 2 1 1 x y z  ( x2  y  z )      2 x y z 0,5 1 1 21  ( x  y  z)      x y z 1 1 ( x  y  z )( x  y  z )      = x y z Suy :  9.3 3  Vậy bđt chứng minh Đẳng thức xảy khí a=b=c=1 0,5 ...SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN HƯỜNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM 201 8-2 019 MƠN: TỐN – KHỐI 10 Câu Nội dung Điểm Cho phương trình (m  1) x  2(m... nghiệm x  không thuộc (-1 ; 0) Vậy để phương trình có 0,5 0 nghiệm khoảng (-1 ; 0) suy : 1  2m   1   m0   2m  0,5   2m   Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng (-1 ;0) m  Cho phương... viet:   x1 x2  m  3m  0,5 0,5 Ta có x1  x2  10   m  0,5 +) A  x1 ( x2  1)  x2  x1 x2  ( x1  x2 )  m2  m  +) Lập bảng biến thi n hàm số f (m)  m2  m  [  ; 2] ta 13 giá trị