Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT tỉnh Phú Yên

Cùng tham khảo Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT tỉnh Phú Yên sau đây để biết được cấu trúc đề thi cũng như những dạng bài chính được đưa ra trong đề thi. Từ đó, giúp các bạn học sinh có kế hoạch học tập và ôn thi hiệu quả. Chúc các bạn ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn: TỐN Ngày thi: 28/3/2019 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1.(3,50 điểm) Giải biện luận bất phương trình sau theo tham số m: x  mx  m  x  mx  m  m với m  Câu 2.(3,50 điểm) Cho bốn số thực p, q, m, n thỏa mãn hệ thức q  n   p  m  pn  qm   Chứng minh hai phương trình x  px  q  x  mx  n  có nghiệm phân biệt nghiệm chúng nằm xen kẽ biểu diễn trục số Câu 3.(4,00 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, AC = b, AB = c Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác a) Chứng minh a.IA2+b.IB2+c.IC2 = abc b) Chứng minh a  bc  IA2   b  ca  IB   c  ab  IC   6abc Hãy trường hợp xảy dấu đẳng thức Câu 4.(4,00 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z  a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy  yz  2019 zx b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q  xy  yz  zx Câu 5.(3,00 điểm) Cho dãy số thực  xn  thỏa mãn điều kiện 0  xn    , n  1, 2,3, x x     n  n1 1 , n  1, 2,3, a) Chứng minh xn   2n b) Tìm giới hạn dãy  xn  Câu 6.(2,00 điểm) Cho hàm số f liên tục  , thỏa mãn i) f  2020   2019 ; ii) f  x  f  x   1, x   , kí hiệu f ( x)  f Hãy tính f  2018   f  f  f  x  -Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: ………… … ……….… Chữ kí giám thị 1: …….……………… …… Chữ kí giám thị 2: ………………………………… HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Gồm có trang) Hướng dẫn chung - Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định - Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm thống thực Hội đồng chấm thi - Điểm thi khơng làm tròn số Đáp án thang điểm CÂU ĐÁP ÁN Giải biện luận bất phương trình sau theo m: ĐIỂM 3,50 đ x  mx  m  x  mx  m  m với m  mx  m    x  mx  m  Điều kiện:   x  m (1)  x  mx  m   m  0,50 đ t  4m Đặt t  mx  m ; t  Thì x  ; 4m t  4m x  mx  m  t  4m  t  2m  t  4m x  mx  m  t  4m  t  2m  Và 2 4m 4m   t  2m ; m t  2m m 1,00 đ  Khi bất phương trình cho là: t  2m  t  2m  4m, m  (2) 0,50 đ Vì m  0, t  nên t  2m  t  2m nên: (2)  t  2m  t  2m  4m  t  2m  2m  t , m   t  2m    t  2m Nghĩa  mx  m  2m  m  mx  2m  m  x  2m Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S   m;2m  2 0,50 đ 1,00 đ Cho số thực p, q, m, n thỏa mãn hệ thức  q  n   p  m pn  qm  (1) 2 Chứng minh phương trình x  px  q  (2) x  mx  n  (3) có nghiệm phân biệt nghiệm chúng nằm xen kẽ biểu diễn trục số 2 Từ điều kiện  q  n    p  m  pn  qm   suy p  m  2 3,50 đ 0,50 đ Các phương trình (2) (3) có hệ số a = > nên parabol biểu diễn có bề lõm quay lên Hai pt có nghiệm phân biệt nằm xen kẽ biểu diễn trục số 2 đồ thị hàm số y  x  px  q (C ) y  x  mx  n (C ') cắt điểm nằm trục hoành (4) Hoành độ giao điểm (C) (C’) nghiệm phương trình x  px  q  x  mx  n  x  nq  pm 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ Tung độ giao điểm (C) (C’)  nq   nq  y  p  q  pm  pm  n  q 2  p  n  q  p  m   q  p  m 2      p  m  n  q 2   p  m  pn  qm    (do (3))     p  m 1,00 đ Vậy (4) chứng minh, nên khẳng định đề chứng minh xong 0,50 đ 4,00 đ 2,50 đ a) Chứng minh a.IA2+b.IB2+c.IC2 = abc Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự D, E, F Gọi K điểm đối xứng I qua AC A S AFIE S AIK AI AK IA2 Ta có     S ABC S ABC AB AC bc Tương tự Suy S BDIF IB SCEID IC ;    S ABC ca S ABC ab K 0,50 đ E F 0,50 đ I B D C IA2 IB IC S AFIE  S BIDF  SCEID    1 bc ca ab S ABC 0,50 đ 0,50 đ Suy a.IA2+b.IB2+c.IC2 = abc 0,50 đ b) Chứng minh 1,50 đ a  bc  IA2   b  ca  IB   c  ab  IC   6abc Áp dụng bất đẳng thức Bunhicovski ta có a  bc  IA2   b  ca  IB   c  ab  IC   1   1  a  bc  IA2   b  ca  IB   c  ab  IC   3abc   aIA2  bIB  cIC    6abc Dễ thấy a  b  c hay tam giác ABC dấu đẳng thức xảy 0,50 đ Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z  a) Tìm giá trị nhỏ P  xy  yz  2019 zx Ta có:   x  y  z   x  y  z   xy  yz  zx     xy  yz  zx  0,50 đ 0,50 đ 4,00 đ 2,00 đ 0,50 đ Suy xy  yz  zx    Dấu đẳng thức xảy x  y  z  Do  z2  x2  2018 1 2019 P   xy  yz  zx  2018zx    2018zx    2018     2 2    x2  y  z   x  y  z   y  , x  z   Dấu “=” xảy    x   z   z  x2   2019 y  , x   z    Vậy P   2 b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q  xy  yz  zx 0,50 đ 1,00 đ 2,00 đ Xét giá trị dương x, y, z Vì x  y  z  nên ta đặt 2  y  cos     x  sin  cos  , với  ,   0;    2  z  sin  sin   0,50 đ Thế Q  y  x  z   xz  cos  sin   cos   sin    2sin  sin  cos     Vì  ,    0;  nên Q  cos  sin   sin  (1)   2  Dấu “=” xảy cos   sin   Biến đổi (1) với dạng  cos 2 1 1 Q sin 2    sin 2  cos 2     2 2 2   1 sin 2       Dấu “=” xảy   sin 2 cos 2  sin 2  cos 2  cos 2      3 sin   3 3  Suy  ,x  z   ; tức y  12  3 cos     Vậy max Q   0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 1 3 3 y  ,x  z   12 0  xn   Cho dãy số thực  xn  thỏa mãn điều kiện  , n  1, 2,3, x  x    n  n1 1 , n  1, 2,3, a) Chứng minh xn   2n 3,00 đ b) Tìm giới hạn dãy  xn  a) Chứng minh xn  1  , n  1, 2,3, 2n 1,50 đ Ta chứng minh quy nạp: + Với n = 1, bất đẳng thức 0,50 đ + Giả sử bất đẳng thức với n = k 1 1 k 1    xk     2k 2k 2k 2k k 1 Lại có: xk 1 1  xk    xk 1      4  k  1  k  1 2  k  1 Vì xk  Vậy bất đẳng với n = k +1 Vậy bất đẳng thức với n  N b) Tìm giới hạn dãy  xn  0,50 đ 0,50 đ * 1,50 đ  Kết hợp với (2) ta có: xn 1  xn   xn1 1  xn   xn  xn1 , dãy tăng Hơn nữa, theo (1) dãy bị chặn, nên tồn giới hạn lim xn  x0 1 Lấy giới hạn bất đẳng thức xn1 1  xn   ta x0 1  x0    x0   4 Vậy lim xn   Cho hàm số f liên tục  , thỏa mãn i) f  2020   2019 ; Ta có  xn  1   xn 1  xn   ii) f  x  f  x   1, x   , f ( x )  f Hãy tính f  2018  Kí hiệu f ( x)  f    f f  f  x  0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ 2,00 đ  f  x   , f ( x)  f  f  f  x    Gọi D f tập giá trị hàm số f  x   Df Từ (i) suy 2019  D f ; từ f  x f4  x 1,x  f4  2020  2019 xf  x   1, x  D f   ;2019   D f nên f3  x   , x  D ; x  2019  Suy f đơn ánh D f liên tục  nên f nghịch biến D Giả sử tồn x0  D cho f  x0   (1) Do hàm nghịch biến nên x0 Do f liên tục D :  0,50 đ 0,50 đ 1 f  x0   f   (2)  x0  1 1 1  f3  x0   f   suy f    f    x0 (3) Và x0  x0   x0   x0  , mâu thuẫn với Từ (2) (3) suy x0  f  x0  hay f  x0   f  x0   x0 0,50 đ (1) Tương tự, không tồn x0  D cho f  x0    x0 1 Vậy f  x   , x  D Do 2018  D nên suy f  2018    x 2018 0,50 đ ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Gồm có trang) Hướng dẫn chung - Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định - Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm... bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm thống thực Hội đồng chấm thi - Điểm thi không làm tròn số Đáp án thang điểm CÂU ĐÁP ÁN Giải biện luận bất phương trình sau theo m: ĐIỂM 3,50 đ x  mx... mx  n  (3) có nghiệm phân biệt nghiệm chúng nằm xen kẽ biểu diễn trục số 2 Từ điều kiện  q  n    p  m  pn  qm   suy p  m  2 3,50 đ 0,50 đ Các phương trình (2) (3) có hệ số a =