Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Nghệ An (Bảng A)

Nhằm giúp các bạn học sinh có cơ hội đánh giá lại lực học của bản thân cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề của giáo viên. Mời các bạn và quý thầy cô cùng tham khảo Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Nghệ An (Bảng A) được chia sẻ dưới đây. Chúc các em thi tốt.

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 CẤP THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN – BẢNG A (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) Câu (7,0đ) Đáp án Điểm a) (4,0 điểm) Giải phương trình cos x  7cos x   sin x  7sin x   (1)     (1)  cos x  sin x  cos x  sin x  0,5      cos  x    7sin  x     3 6         2sin  x    7sin  x     6 6        2sin  x    7sin  x     6 6       sin  x          sin  x    ( ptvn) 6    x  k 2   k   2 x   k 2  1,0 1,0 Vậy phương trình có nghiệm x  k 2 , x  0,5 0,5 2  k 2 , k  b) (3,0 điểm) Giải hệ phương trình  x  x2  2x   y   y  (1)   2   x   3x  y   x  y   (2) Điều kiện x  y   1  ( x   y)   x  1  ( x   y)    y2   ( x   y )( x   y )  x  1 1  y 1 0,5  x, y   0,5 0   x 1 y  0  ( x   y)  2   x  1   y    x 1 y    x 1 y  1  0 2   x  1   y   0,5  y  x 1    x  1   y   ( x  1)  y  (*) 0,5 Ta có  x  1   y   ( x  1)  y  x   ( x  1)  y  y  nên phương trình (*) vô nghiệm Thay y   x  vào phương trình (2) ta phương trình 2 x3   x  x   x  x    x3  3x   x  x  1  x  x   (3) 0,5 Đặt a  x  x   , phương trình (3) trở thành  xa x3  3x a  4a3   ( x  a)( x  2a)2     x  2a x0  1  1  x  a  2x2  x   x   x y 2 x  x 1  x0  2  5  x  2a  2 x  x    x   x y 7 7 x  x     2  1  x  x     Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y) với      y   y    (2,0đ) 0,5 0,5 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm chữ số đôi khác chọn từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Xác định số phần tử S Lấy ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 Số phần tử S A94  3024 (số) Số phần tử không gian mẫu n     3024 0,5 Gọi A biến cố “số chọn số chia hết cho 11 tổng chữ số chia hết cho 11 ” Gọi số tự nhiên gồm chữ số đôi khác abcd  a  0, a  b  c  d  0,5 Theo giả thiết ta có  a  c    b  d  11  a  c    b  d  11 Suy  a  c  11  b  d  11 Trong chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có số gồm hai chữ số mà 0,5 tổng chia hết cho 11 2, 9;3, 8;4, 7;5, 6 Chọn cặp số a, c có khả năng, khả có cách Khi chọn cặp số b, d  khả năng, khả có cách Như n  A  4.2.3.2  48 (số) 0,5 Xác suất cần tìm p  A  (2,0đ) n  A 48   n    3024 63 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB  2BC Gọi M trung điểm đoạn AB G trọng tâm tam giác 5  ACD Viết phương trình đường thẳng AD, biết M 1;  G  ;  3  M H A B G D C K Gọi H hình chiếu vng góc G lên AB K trung điểm đoạn CD Đặt BC  3a  0, suy AB  6a, GH  2a, HM  a 40 2  5a  a   a  9 2 Suy AM  3a  2, AG  AK  3a  3 Gọi A( x, y) Khi 1  x 2    y 2   AM  2  x2  y  2x  y       5 64    x  3y 1 AG   x  y          3 x  3y 1  x  1, y    y 0     x  19 , y   y  5    MG  4a  a   0,5  0,5 0,5 +) Nếu A(1,0) Đường thẳng AD qua A vng góc với đường thẳng AM nên phương trình đường thẳng AD x  y   19 , ) Đường thẳng AD qua A vng góc với đường 5 thẳng AM nên phương trình đường thẳng AD x  y  25  +) Nếu A( (5,0đ) 0,5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân  AB / /CD  nội tiếp đường tròn tâm O SBA  SCA  900 Gọi M trung điểm cạnh SA a) Chứng minh MO   ABCD  b) Gọi  góc hai đường thẳng AB SC Chứng minh BC SA a) (3,0 điểm) cos   S M I A B O D C Gọi H hình chiếu vng góc điểm M mặt phẳng  ABCD  Xét tam giác MHA, MHB, MHC có 1,0 MHA  MHB  MHC  900 MH chung MA  MB  MC  SA 1,0 Suy MHA  MHB  MHC nên HA  HB  HC Do H  O, MO   ABCD  b) (2,0 điểm) Vì AB / /CD nên góc hai đường thẳng AB SC góc hai 1,0 đường thẳng CD SC , suy cos   cos SCD   sin SCD (*) 0,5 Gọi điểm I hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng  SCD  Mặt khác lại có MS  MD  MC suy I tâm đường tròn ngoại tiếp SD SD SD   SCD Khi sin SCD  (vì MID vng I nên ID 2MD SA ID  MD ) Ta có MD  MC  SA nên SDA vuông D 0,5 0,5 Từ (*) suy SD SA2  SD cos    sin SCD     SA SA2 BC cos   (đpcm) SA (4,0đ) a) (2,0 điểm) Cho dãy số  un  , biết u1  12, Tìm lim un 2n  AD AD BC   SA2 SA SA 0,5 2un1 un  n  n  với n   n2  5n  n2  n Ta có: 2un1 un  n  n  2un1 un n2     2 n  5n  n n  n   n  3 n  n  1 n n2    2  n  1 n    n  3 n  n  1  n   n  n  1 n   2un1  un 2un1  n  1 n    n  3  un n  n  1  n     n  1 n    n  n  1 1 un        (*) 2  n  1 n    n  3  n  1 n    n  n  1  n   n  n  1  un1 Đặt  un n  n  1  n    0,5 0,5 1 , từ (*) ta có vn1  nên   n  n  1 1 cấp số nhân có cơng bội q  , v1  suy  v1q n1  n 2 2 n  n  1  n   un 1    u    n  3n   n n n n  n  1  n   n  n  1 Khi 0,5 n  n  1  n     n  3n    n  n  12  n   n  3n   n un lim  lim  lim    n 2n  2n  2n     2n  1  n  n  1 n   n  n  1  n   n2  3n  lim  Suy lim  2n  2n  2n  1 Ta có 2n  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cnn  Cn3  0,5 un  2n  b) (2,0 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a3  b3  c3  3abc  32 Tìm giá trị Vậy lim nhỏ biểu thức P   a  b2  c   a  b  b  c  c  a  Ta có a3  b3  c3  3abc  32   a  b  c   a  b2  c  ab  bc  ca   32 * Đặt t  a  b  c, từ (*) suy t  a  b  c  *   a  b  c  3 a  b2  c    a  b  c    64 64 64 2  3 a  b2  c    a  b  c  t abc t Ta chứng minh 2 a  b  b  c  c  a   a  b    b  c    a  c   **   0,5 0,5 0,5 Thật vậy,vì vai trò a, b, c bình đẳng nên giả sử a  b  c a  b  b  c  c  a   a  b   b  c    a  c    a  c  2 Ta có **   a  c    a  b    b  c    a  c       a  c    a  b  b  c  2   a  b  b  c    a  b   b  c    a  b  b  c   ln Vì 2 a  b  b  c  c  a  a  b  c  ab  bc  ca  3P  3 a  b2  c   a  b  b  c  c  a  32  abc t 64  64   64 8 3P    t  8 2  t t   2.2 t t  128 t t  t  t t t  128 Suy P  128 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 44 42 , b c  Đạt a  hoán vị a, b, c 3 - - - Hết - - Ghi chú: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0,5 ...SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 CẤP THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: TỐN – BẢNG A (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) Câu (7,0đ) Đáp án Điểm a). .. chia hết cho 11 ” Gọi số tự nhiên gồm chữ số đôi khác abcd  a  0, a  b  c  d  0,5 Theo giả thi t ta có  a  c    b  d  11  a  c    b  d  11 Suy  a  c  11  b  d  11 Trong... 3, 4, 5, 6, 7, 8, có số gồm hai chữ số mà 0,5 tổng chia hết cho 11 2, 9;3, 8;4, 7;5, 6 Chọn cặp số a, c có khả năng, khả có cách Khi chọn cặp số b, d  khả năng, khả có cách Như n 