Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 12 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Nguyễn Du

Mời các em cùng tham khảo Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán lớp 12 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Nguyễn Du dưới đây giúp các em dễ dàng hơn trong việc ôn tập và nâng cao kiến thức để chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi cấp trường sắp diễn ra. Chúc các em đạt kết quả cao trong kì kiểm tra!

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU NĂM HỌC 2018 – 2019  MƠN TỐN LỚP 12 Thời gian làm 180 phút Câu ( 4, điểm) 1) Tìm m để hàm số y  cos 3x  6m cos x  21cos x  2m  đồng biến khoảng  0;   2) Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số f (x ) = x + (m - 3)x + m + m - có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng y = x - 2 Câu ( 4, điểm) 1) Giải phương trình tan x  tan x  tan x  cot x  cot x  cot x  2) Giải phương trình log  x  x  3  log  x  x   , x   3) Một nhóm học sinh gồm có bạn nam, có bạn Hải bạn nữ có bạn Minh xếp vào 13 ghế hàng ngang Tính xác suất để hai bạn nữ ngồi gần có ba bạn nam, đồng thời bạn Hải bạn Minh nêu không ngồi cạnh Câu ( 4, điểm) 1) Giải phương trình  2) Tính tích phân I   3 x   x   x  x   x  x  2, log  2sin x  cos x   cos x x  dx Câu ( 6, điểm) 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x  y    hai đường tròn  C1  : x  y  x  y   ;  C2  : x   y  3  Viết phương trình đường tròn  C  tiếp xúc với đường thẳng d , tiếp xúc ngồi với đường tròn  C1  , đồng thời  C  cắt  C2  hai điểm A, B phân biệt mà AB  d ·  90o Góc A ' C mặt 2) Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi, ABC đáy  ABCD  30o ; góc hai mặt phẳng  A ' BC   ABCD  45o ; khoảng cách từ điểm C ' đến mặt phẳng  A ' CD  a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính thể tích khối hộp cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA ' DE 3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng qua hai điểm A (0;9;0) , M (4;3;25) cắt hai tia Ox ,Oz hai điểm B ,C khác O cho OB + OC nhỏ ac Câu ( 1, điểm) CMR   bc b c b a    , a, b, c  0, a  b b HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: .Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) Câu Câu Hướng dẫn giải Điểm 4.5đ y  cos 3x  6m cos x  21cos x  2m  = cos x - cos x + 6m (2 cos2 x - 1)- 21cos x + 2m - = (cos x + 3m cos x - cos x - m - 2) Đặt t = cos x , hàm số cho đồng biến khoảng  0;   hàm số f (t ) = t + 3m t - 6t - m - nghịch biến (- 1;1) 1.1 (2.5 điểm) ( 0.5 ) f ' (t ) = 3t + 6mt - = t + 2m t - Hàm số f (t ) = t + 3m t - 6t - m - nghịch biến (- 1;1) 0.5 Û t + 2mt - £ 0, " t Î (- 1;1) ìï V' = m + > ïï Û ïí f ' (- 1) £ ïï ïï f ' (1) £ ỵ ìï - - 2m £ 1 Û ïí Û - £ m £ ïï - + 2m £ 2 ỵ Kết luận 0.5 0.5 2 Ta có y '  x  m  Để hàm số có cực đại cực tiểu m    m  0.5 Giả sử A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị 1.2 (2.0 điểm) Tính hệ số góc đường thẳng AB k  f ( x1 )  f ( x2 )  m x1  x2 Hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng y = x - suy 1 k  1  m   1  m  Thử lại m  thỏa mãn   Câu 2  3 0.5 0.5 0.5 4.5đ 3 tan x  tan x  tan x  cot x  cot x  cot x  Điều kiện: sin x.cos x   x  k 2.1 (1.5 điểm)  ,k  0.5 Phương trình tương đương (tan x  cot x )  (tan x  cot x )  (tan x  cot x)   Đặt t  tan x  cot x, | t | , phương tình (1) trở thành (1) t t t 60 Giải t  Suy tan x  cot x   sin x   x  Vậy x    k , k    k (thỏa mãn) nghiệm phương trình cho 0.5 0.5   log x  x   log x   7x   x  x   Điều kiện:   x  x   Viết lại phương trình dạng  log x  x   log x  x      (1) Đặt y  log ( x  x  4) Từ phương trình (1) ta có hệ: 2.2 (1.5 điểm y y  x  x   y  4 1 y y            (2) y  5 5  x  x   y 0.5 y 4 1 Hàm số f  y        hàm nghịch biến 5 5 Do phương trình (2) có nghiệm nghiệm Nhận thấy y=1 nghiệm x  Với y   x  x    x  x      x  8 Vậy phương trình có nghiệm x  8 x  0.5 W = 13! 2.3 (1.5 điểm) Đánh số ghế hàng ngang theo thứ tự từ đến 13 Các bạn nữ phải ngồi vào ghế số 1,5,9,13 Gọi A biến cố: “Giữa hai bạn nữ ngồi gần có ba bạn nam, đồng thời bạn Hải bạn Minh không ngồi cạnh nhau” Xét trường hợp - Bạn Minh ngồi ghế + Số cách xếp bạn nữ lại 3! + Có cách xếp vị trí Hải + Có 8! cách xếp tám bạn nam vào vị trí lại Suy số cách xếp 3!.8.8! - Bạn Minh ngồi ghế 13 có số cách xếp 3!.8.8! - Bạn Minh ngồi ghế (ghế làm tương tự) Có 3! cách xếp bạn nữ, có cách xếp vị trí Hải, có 8! cách xếp bạn nam lại Suy số cách xếp 3!.7.8! WA = 2.3!.7.8 !+ 2.3!.8.8 ! = 15.3! ! P (A ) = 0.5 0.5 0.25 2.15 3!8 ! = × 13! 858 Câu 4đ 3 x   x   2x  4x   2x  4x  Đặt u  x  2; v  x  x  3.1 (2.0 điểm) 0.25 u   u  v3   v t2   0, t  1 Xát hàm số f (t )  t   t Có f '(t )  t3 1 Phương trình cho trở thành   Suy hàm số f (t ) đồng biến Nên f (u)  f (v)  u  v 3 Ta có x   x  x   x  3x   x  0; x  0.5 0.5 Vậy phương trình cho có nghiệm x  0; x   I  3.2 (2.0 điểm) log  2sin x  cos x   cos x 3  dx  ln  2sin x  cos x  dx ln cos x  0.5 ïìï u = ln (2 sin x + cos x ) Đặt ïí ïï dv = dx ïỵ cos2 x ìï 2cosx - sin x ìï 2cosx - sin x ïï du = ïï du = dx dx sin x + cos x sin x + cos x ï ï Þ í Þ í ïï ïï sin x + cosx ïï v = t an x + ïï v = 2 cos x ïỵ ïỵ     4  1 2cos x  sin x 2sin x  cosx  I  dx   tan x    ln  2sin x  cos x   2ln  2 2sin x  cos x cos x    0.5     3 sin x      1   ln dx  ln  2  2cos x        3  4  ln   x  ln  cos x   ln  2  0    0.5   0.5  27      ln ln  2  Câu 6đ  C1  có tâm I (- 1; 3) , bán kính R = ;  C2  có tâm I (0; - 3) , bán kính R = Khẳng định tâm I đường tròn  C  nằm đường thẳng l qua I song song 0.5 với d , l có phương trình x - y - = 4.1 (2.0 điểm) Tính đường tròn  C  có bán kính R = Gọi I (t + 3; t ) Ỵ l Sử dụng II = R + R = t = t = - I (3; 0) I (2; - 1) Kiểm tra  C  cắt  C2  hai điểm phân biệt, ta có I (2; - 1) 2 KL: Đường tròn  C  : x     y  1  0.5 0.5 0.5 B' C' A' D' G H I B C F O E A D J ·' IA = 45o (1) Hạ A I ^ BC suy góc (A ' BC ); (A BCD ) = góc (A ' I , A I ) = A ( ) ·'CA = 30o (2) Góc A ' C ; (A BCD ) = A ( ) 0.5 Hạ A J ^ CD , A H ^ A ' J Khẳng định khoảng cách từ điểm C ' đến mặt phẳng  A ' CD  A H = a 4.2 (2.0 điểm) Từ (1) suy A I = A A ' Đáy A BCD hình thoi nên A J = A I Xét tam giác vuông A ' A J , từ A H = a A J = a 0.25 Đặt A B = x , (x > 0) Þ BC = x Từ (2) suy A C = a Xét tam giác vuông A IC : IC = A C - A I = 2a IB = IC - BC = 2a - x Xét tam giác vuông A IB : A B = A I + IB Û x = (a 2) + (2a - x )2 Û x = 3a × 3a 2 a ; S A BCD = Þ V A BCD A ' B 'C ' D ' = 3a 2 Gọi F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A DE đường thẳng d qua F vng góc với (A BCD ) A C Ç BD = {O }Þ B O = 0.5 0.25 0.25 Mặt phẳng trung trực A A ' cắt d G G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA ' DE a Bán kính cầu ngoại tiếp tứ diện AA ' DE GA = GF + FA với GF = × 3a 3a a 57 × × A D DE A E a 57 = 3a 114 × Tính A E = ; FA = = 4 4S A DE 32 3a 2 2 Vậy GA = 4.3 (2.0 điểm) a + FA = 0.25 2 ổ3a 114 ữ a a 1538 ỗ ữ + ỗỗ = ữ ữ ỗố 32 ữ 32 ø Giả sử B(a; 0;0), C (0; 0; b) ( a, b  ) Phương trình mặt phằng (P ) qua điểm A(0;9; 0), B(a; 0; 0), C (0;0; b) có dạng x y z    a b 25 Điểm M(4;3;25) Ỵ (P ) nên   Ta có OB  OC  a  b a b 0.5 0.5 25 87 4b 25a 87 147  a  b            30  b  2 a b  2 a 105 Dấu ‘=’ đạt a  21; b  x y 2z Vậy phương trình mặt phẳng cần lập    21 105 Mà a  b  Câu 0.5 0.5 1đ a x   b x  Xét hàm số f ( x)   a x f '( x)    b x b x b x a , a, b, a  b, x  , f(0)=   b / a x a x   (b  x) ln  =  b x  b x   b x b a x  ba  ln   b x a x Đặt 0.25 0.25 a x a x ( a  b) ba  ba , g ( x)    ln g '( x )   ln '    0, x     b x  b x ( a  x ) (b  x ) a x ax => g(x) nghịch biến (0,+oo) , lim g ( x)  0.25 => g(x)>0 , x>0 => f’(x)>0, x>0 => f(c)>f(0) , c>0 => đpcm 0.25 x  20 điểm Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà điểm theo thang điểm tương ứng - Với tốn hình học học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng cho điểm phần tương ứng  ... + 6mt - = t + 2m t - Hàm số f (t ) = t + 3m t - 6t - m - nghịch biến (- 1;1) 0.5 Û t + 2mt - £ 0, " t Ỵ (- 1;1) ìï V' = m + > ïï Û ïí f ' (- 1) £ ïï ïï f ' (1) £ î ìï - - 2m £ 1 Û ïí Û - £ m... cos x - cos x + 6m (2 cos2 x - 1 )- 21cos x + 2m - = (cos x + 3m cos x - cos x - m - 2) Đặt t = cos x , hàm số cho đồng biến khoảng  0;   hàm số f (t ) = t + 3m t - 6t - m - nghịch biến (- 1;1)...  C1  có tâm I (- 1; 3) , bán kính R = ;  C2  có tâm I (0; - 3) , bán kính R = Khẳng định tâm I đường tròn  C  nằm đường thẳng l qua I song song 0.5 với d , l có phương trình x - y - = 4.1