tiểu luận toán cao cấp

MỤC LỤC HÀM SỐ - MƠ HÌNH TỐN A CƠ SỞ LÝ THUYẾT: 1) Hàm số: 2) Đồ thị hàm số 3) Mơ hình tốn 4) Giới hạn hàm số A CƠ SỞ LÝ THUYẾT: I ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM II CÁC PHÉP TOÁN ĐẠO HÀM .5 III QUY TẮC HÀM HỢP-ĐẠO HÀM CẤP HAI- HÀM ẨN IV HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT: V CỰC TRỊ TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 17 A CƠ SỞ LÝ THUYẾT: 17 I Nguyên hàm: 17 II Tích phân bất định: .17 III Các phương pháp tính tích phân bất định: 17 IV Tích phân xác định: .18 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN .23 A CƠ SỞ LÝ THUYẾT 23 Định nghĩa cực trị hàm biến (Cực trị tự do) 23 Phương pháp xác định cực trị tự do: .23 Phương pháp xác định cực trị có điều kiện: 24 B ỨNG DỤNG 24 HÀM SỐ - MƠ HÌNH TỐN A CƠ SỞ LÝ THUYẾT: 1) Hàm số: + Định nghĩa: Hàm quy tắc cho tương ứng với phần tử tập A với phần tử tập B Tập A gọi miền xác định hàm tập B gọi miền giá trị hàm Ví dụ: Tìm ƒ (2) ƒ (x) = x2 + Giải: ƒ (2) = 22 + = 12 HÀM HỢP + Định nghĩa: Cho hàm ƒ (u) g(x), hàm hợp ƒ (g(x)) hàm theo biến x thu cách u = g(x) cho u cơng thức f(u) Ví dụ: Tìm hàm hợp ƒ (g(x)), ƒ (u) = u2 + 4u + g(x) = x + Giải: Thay u x + vào công thức f(u) ta ƒ (g(x)) = (x + 2)2 + 4(x + 2) + = (x2 + 4x + 4) + (4x + 2) + = x2 + 8x + 2) Đồ thị hàm số + Định nghĩa: Đồ thị hàm số f bao gồm tất điểm (x,y) x thuộc miền xác định f y = f(x), tức gồm điểm có dạng (x,f(x)) + Lược đồ phát họa đồ thị hàm số f cách vẽ điểm: Chọn số điểm x thuộc miền xác định f lập bảng gồm giá trị hàm y=f(x) cho giá trị x Xác định điểm tương ứng (x,f(x)) Nối điểm với đường cong trơn 3) Mô hình tốn Một tốn thực tế sử dụng biểu thức tốn học để mơ tả gọi mơ hình tốn 4) Giới hạn hàm số lim ƒ a Định nghĩa: Ta nói L giới hạn ƒ (x) x tiến x0, viết là: x→ x0 (x) = L, x nhận giá trị “gần” với x giá trị tương ứng ƒ (x) “gần” với L Ví dụ: lim (2x2 – 1) = x→1 Ta có bảng số liệu X 0.5 0.9 0.99 ƒ (x) -0.5 0.62 0.96 1.001 → ¬ 1.004 1.01 1.07 1.1 1.42 b Tính chất giới hạn lim ƒ (x) = M ; lim g(x) = N x ∈ R ; x→ x0 x→ x lim [ ƒ (x) + g(x)] = lim ƒ (x) + lim g(x) * x→ x0 x→ x x→ x lim (k ƒ (x)) = k lim ƒ (x) * x→ x0 x→ x lim [ ƒ (x).g(x)] = lim ƒ (x) lim g(x) * x→ x0 x→ x x→ x lim ƒ ( x) ƒ ( x ) x→x lim lim g(x) = N ≠ * x→ = x→ x0 x0 lim g ( x) g ( x) x →x Ví dụ: Tìm lim (2x2 – 1) x→1 Ta có lim (2x2 – 1) = lim 2x2 + lim (-1) x→1 x→1 x→1 = lim 2x2 – x→1 = lim (x.x) – x→1 = lim x lim x–1 x→1 x→1 = 2.1.1 – =1 B ỨNG DỤNG: Ví dụ 1: Tại cơng ty Trường Giang, q sản phẩm sản xuất chi phí xác định theo biểu thức C(q) = q4 + 15q - (đvtt) a Tính chi phí 20 sản phẩm sản xuất b Tính chi phí sản phẩm thứ 20 sản xuất Giải: a Chi phí 20 sản phẩm sản xuất là: C(20) = 204 + 15.20 – = 160292 (đvtt) b Chi phí sản phẩm thứ 20 sản xuất là: C(20) – C(19) = 160292 – (194 + 15.19 – 8) = 30264 (đvtt) Ví dụ 2: Một nhà nghiên cứu mơi trường ước tính hàm lượng CO khơng khí thị c(p)= 0.5p + (ppm), số dân p nghìn người Người ta ước tính sau t năm số dân là: p(t) = 10 + t2 nghìn người a) Hãy biễu diễn hàm lượng CO khơng khí hàm số theo thời gian b) Sau năm hàm lượng CO đạt đến ppm? Giải: a) Vì hàm lượng CO liên hệ theo biến p phương trình c(p)=0.5p + (ppm)và biến p liên hệ với biến t theo phương trình p(t)=10 + t 2, hàm hợp: c(p(t))= c(10 + t2)=0.5(10 + t2)+ 3=0.5t2 + biểu diễn hàm lượng CO khơng khí hàm số theo thời gian b) Theo đề, ta có: c(p(t))=9 ⇔ 0.5t2 + 8=9⇔ t=1.4 Vậy sau 1.4 năm lượng CO khơng khí đạt 9ppm Ví dụ 3: Một cơng ty chun sản xuất đĩa CD với chi phí đĩa 40 ngàn Nếu đĩa bán với giá x ngàn số lượng đĩa bán q(x)=120-x Hãy xác định giá bán đĩa cho lợi nhuận mà công ty thu cao Giải: Gọi x giá bán sản phẩm Doanh thu mà công ty thu được: R(x)=x.q(x)= x(120-x)= 120x-x2 Chi phí mà cơng ty bỏ ra: C(x)=40(120-x)=4800-40x Lợi nhuận công ty thu được: N(x)=R(x)-C(x)= 120x-x2-(4800-40x)=160x-x2-4800 Để lợi nhuận đạt cao x= -160/(-2)=80 Vậy bán với giá 80 ngàn cơng ty đạt lợi nhuận cao Ví dụ 4: Một nhà sản xuất bán bóng đèn với giá 30$, giá bán khách hàng mua 3000 bóng tháng Nhà sản xuất dự định tăng giá bán họ ước tính tăng lên 1$ tháng bán 100 bóng Biết nhà sản xuất sản xuất bóng đèn với chi phí 18$ bóng Biểu diễn lợi nhuận hàng tháng nhà sản xuất hàm theo giá bán mới, ước tính giá bán tối ưu Giải: Gọi x giá bán Lượng tiền tăng giá bán: x-30 Với giá bán mới, lượng bóng đèn bán hàng tháng giảm: 100(x-30) Số bóng đèn bán hàng tháng theo giá bán mới: 3000-100(x-30) Lợi nhuận bóng: x-18 Lợi nhuận thu hàng tháng theo giá bán mới: P(x)=(x-18)[3000-100(x-30)]= -100x2+7800x-108000 Để Pmax x= -7800/2(-100)=39 Vậy giá bán tối ưu 39USD/bóng ĐẠO HÀM- ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM A CƠ SỞ LÝ THUYẾT: I ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM Cho hàm số f (x) có miền xác định : D f x0∈ D f , đạo hàm f (x) x0 f ' dƒ (x0) định nghĩa biểu thức: dx lim ƒ ( x) − ƒ (x ) f ' (x0) = x→ x0 x − x0 Ví dụ: Cho f (x) = x Tìm f ' (3) (x0) x2 − f ' Ta có (3) = lim =6 x →3 x − + Cho f ( x ) hàm số f ( x + h) − f ( x ) Khi f '( x ) = lim gọi đạo hàm cấp f ( x ) h h →0 Ví dụ: Cho f ( x ) = x2 Tìm f '( x ) 2 2 ( x + h ) − x x + xh + h − x Ta có f '( x ) = lim = lim h →∞ h →∞ h h 2 xh + h h(2 x + h) = lim = lim h →∞ h →∞ h h = lim(2 x + h) = x h →∞ + Ý nghĩa tên gọi đạo hàm mặt kinh tế: * Giả sử ta có đại lượng kinh tế x y liên kết với theo quan hệ hàm y = f (x) Ta nói biên tế đại lượng y theo đại lượng x lượng thay đổi đại lượng y theo đại lượng x đại lượng x tăng lên đơn vị Ký hiệu Mx (y) My(x) * Giả sử đại lượng kinh tế x y liên kết với theo quan hệ hàm y = y(x) Mxy = y ' (x) * Một số tên gọi: + Biên tế chi phí gọi chi phí biên + Biên tế lợi nhuận gọi lợi nhuận biên + Biên tế doanh thu gọi doanh thu biên II CÁC PHÉP TOÁN ĐẠO HÀM Cho f (x) g(x) hàm số; x ∈ R • [ f (x) + g(x)] ' = f ' (x) + g ' (x) • [k f (x)] ' = k f ' (x) • [ f (x) g(x)] ' = f ' (x).g(x) + g ' (x) f (x) ' •  f ( x )  = ƒ '( x).g ( x ) − g '( x ) f ( x)  g ( x)  [g ( x)]2   Ví dụ: Cho f (x) = 9x8 + 7x5 – 2x3 + 6x + 2000 f ’(x) = (9x8) ' + (7x5) ' – (2x3) ' + (6x) ' + (2000) ' = 9(x8) ' + 7(x5) ' – 2(x3) ' + 6(x) ' + (2000) ' Tìm f ' (x) = 72x7 + 35x4 – 6x2 + III QUY TẮC HÀM HỢP-ĐẠO HÀM CẤP HAI- HÀM ẨN 1) Quy tắc hàm hợp: Giả sử y hàm khả vi theo u, u hàm khả vi theo x, y hàm hợp x 2) Đạo hàm cấp hai hàm đạo hàm đạo hàm 3) Đạo hàm hàm ẩn: Giả sử phương trình xác định ẩn y hàm khả vi theo x Để tìm dy/dx, ta thực theo: Đạo hàm hai vế phương trình theo x Nhớ y thực hàm x dùng quy tắc hàm hợp đạo hàm số hạng chứa y Giải phương trình đại số đạo hàm dy/dx IV HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT: A CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Hàm mũ: a Định nghĩa : Nếu a số dương khác (a > 0, a≠1 ), tồn hàm gọi hàm mũ với số a xác định f ( x ) = ax, xác định với số thực x Ví dụ: f ( x ) = 4x hàm mũ b Đồ thị: - - c Một số tính chất: Cho số a, b (a > 0, b > 0) số thực x, y bất kỳ, ta có Quy tắc đẳng thức : ax = ay ⇔ x = y Quy tắc tích : ax ay = ax+y y y x Quy tắc nhân : ax bx = (a.b) y = ax ax : y = a x-y a x ax  a  : x =  1÷ b1  b  - Quy tắc thương - Quy tắc chia - Quy tắc lũy thừa : a x ( ) y = axy 0 (a>1) y = ax (a0 a≠1) x số y cho a y = x ta viết y = logax b Đồ thị: y y = logax (a>1) x y c Một số tính chất hàm logarit: + logax = logay ⇔ x = y logax.y = logax + logay + loga x = logax - logay y x hàm 1logarit tự nhiên y = logax d Khi a = e ta có hàm logarit y = f ( x ) = logex = ln x gọi (a 45 Vậy muốn đạt lợi nhuận cao công ty nên tăng giá bán sản phẩm lên 46 (ngàn đồng) Ví dụ Giả sử ta có số tiền P đầu tư cách gửi vào ngân hàng với lãi suất hàng năm r phương thức tính lãi k kt r  Vậy sau t năm số tiền có B(t) = P  + ÷  k Trong trường hợp k → +∞ (lãi suất liên tục) ta có: kt r  B(t)= lim P  + ÷ = P.e rt k →+∞  k 14 Ví dụ 9: Anh Nguyễn Văn A dự định mua ô tô sau năm Hiện anh có 450 triệu đồng anh định gửi toàn số tiền vào ngân hàng với hệ số lãi suất 14,5% Hãy xác định số tiền mà anh có sau năm phương thức tính lãi suất a Theo năm b Theo nửa năm c Theo quý d Theo tháng e Theo ngày f Lãi suất tính liên tục Giải: 1.6  0,145  a Theo năm: B(6) = 450  + ÷ = 1014,02 (triệu đồng)   2.6  0,145  b Theo nửa năm: B(6) = 450  + ÷ = 1042,27 (triệu đồng)   4.6  0,145  c Theo quý: B(6) = 450  + ÷ = 1057,7 (triệu đồng)   12.6  0,145  d Theo tháng: B(6) = 450  + ÷ = 1068,52 (triệu đồng) 12   365.6  0,145  e Theo ngày: B(6) = 450  + ÷ = 1073,92 (triệu đồng) 365   f Lãi suất tính liên tục: B(6) =450 e0,145.6 = 1074,11 (triệu đồng) Ví dụ 10: Công ty du lịch VITOURS dự định sau năm thành lập đội xe du lịch có giá trị tổng cộng khoảng 12 (tỷ đồng) Với hệ số lãi suất 15,6% cơng ty phải gửi tiền vào ngân hàng để có đủ số tiền Biết phương thức tính lãi a Theo năm b Theo quý c Theo tháng Giải: −1.2  0,156  a P = 12  + ÷ = 8,98 (tỷ đồng)   −4.2  0,156  b P = 12  + ÷ = 8,836 (tỷ đồng)   15 −12.2  0,156  c P = 12  + ÷ 12   = 8,801 (tỷ đồng) 16 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A CƠ SỞ LÝ THUYẾT: I Nguyên hàm: Định nghĩa: Ta nói F(x) nguyên hàm f ( x ) F ' (x) = f ( x ) Ví dụ: F(x) = 4x4 – 2x3 + 5x2 – 7x + 47584 nguyên hàm f ( x) = 16x3 – 6x2 + 10x – F(x) = ex + 4x nguyên hàm f ( x ) =ex + F(x) = ex + 4x +12 nguyên hàm f ( x ) =ex + F(x) = ex + 4x + 96489449 nguyên hàm f ( x ) =ex + Nhận xét: Nếu f ( x ) có ngun hàm F(x) F(x) + C nguyên hàm f ( x) II Tích phân bất định: Định nghĩa: Tập hợp tất nguyên hàm f ( x ) gọi tích phân bất định ∫ f ( x)dx với F(x) nguyên hàm của f ( x ) Ký hiệu: f ( x) C số Một số tính chất bản: ∫ α α x + ∫ x dx = α +1 + kdx = kx + C với k số + C với α ≠ −1 ∫ x dx = ln x + C + ∫ e dx = e + C ∫ e dx = k e + +1 x x kx kx +C Một số quy tắc tính tích phân bất định: ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx + ∫ k f ( x) dx = k ∫ f ( x)dx + III Các phương pháp tính tích phân bất định: Phương pháp đổi biến số: Loại 1: Đặt x = x(t) ⇒ d(x) = x’(t)dt Khi Ví dụ: Tính I = ∫ e x dx x ∫ f ( x)dx = ∫ f [ x(t )] x '(t )dt Đặt x = t2 ⇒ dx = 2t.dt 17 ⇒I = ∫ t e 2t.dt = ∫ 2e dt = 2∫ e dt = 2e t t t t + C = 2e x +C Loại 2: Đặt t = t(x) ⇒ dt = t’(x).dx ∫ f [ t ( x)] t '( x)dx = ∫ f (t )dt Ví dụ: Tính K = ∫ x e dx Khi ấy: x4 + Đặt t = x4 + => dt = 4x3dx ⇒K = 1 ∫ e dt = 4e t t + C = e x +2 + C Phương pháp tích phân phần: ∫ u.dv = uv − ∫ v.du ∫ f ( x ).g '( x )dx = f ( x ).g ( x) − ∫ f '( x ).g ( x )dx ∫ f ( x ).g ( x) dx = f ( x ).G ( x) − ∫ f '( x ).G ( x )dx g(x) ∫ với G(x) nguyên hàm Ví dụ: Tính ln xdx Đặt u = ln x ⇒ du = dv = dx ⇒ v = x dx x ∫ ∫ Suy ln xdx = x ln x − dx = x ln x − x + C IV Tích phân xác định: * Định nghĩa: Cho f ( x ) hàm liên tục đoạn a ≤ x ≤ b Chia nhỏ đoạn b−a , đặt xj số chọn từ đoạn n thứ j, với j = 1,2,…,n Thì tích phân xác định f ( x ) đoạn a ≤ x ≤ b ký thành n đoạn nhau, đoạn có chiều dài ∆x b hiệu ∫ f ( x)dx xác định giới hạn a b ∫ f ( x)dx = lim [ f ( x ) + f ( x ) + + f ( x )] ∆x a n →∞ n b Chú ý ký hiệu tích phân xác định ∫ f ( x)dx giống ký hiệu tích a phân bất định ∫ f ( x)dx Trong hai trường hợp, hàm f (x) gọi hàm lấy tích phân, số a b tương ứng cận cận tích phân Định lý phép tính tích phân: Nếu f (x) hàm liên tục đoạn a ≤ x ≤ b , 18 b ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) a Trong đó, F(x) nguyên hàm f (x) đoạn a ≤ x ≤ b F ( x) Ký hiệu b Do ∫ a b = F (b) − F (a ) a b f ( x)dx = F ( x ) = F (b) − F (a ) a B ỨNG DỤNG: Ví dụ 1: Tại cơng ty, giá bán P đơn vị sản phẩm mặt hàng phụ thuộc vào số lượng sản phẩm x bán Ước tính x (sp) bán tốc độ thay đổi giá sản phẩm tính theo cơng thức −214 x 24 + x (đvtt/sp) Hãy xác định giá 10 sản phẩm bán ra, biết sản phẩm bán giá bán 5600 (đvtt) Giải: Gọi x số sản phẩm bán P(x) giá bán sản phẩm Theo đề ta có −214 x P '( x) = 24 + x ∫ Suy P ( x) = P '( x )dx = Đặt t = 24 + x2 ⇒ dt = 2xdx Suy P(x) = −214 ∫2 t ∫ −214 x 24 + x dx = −214∫ x 24 + x dx dt = − 214 t + C = −214 24 + x + C Mặt khác theo đề ta có P(1) = 5600 ⇔ 5600 = −214 24 + + C ⇔ C = 5600 + 1070 = 6670 Vậy P(x) = −214 24 + x + 6670 Do P(10) = −214 24 + 102 + 6670 ; 4287 Vậy 10 sản phẩm bán giá bán 4287 (đvtt) Ví dụ 2: 19 Người ta dự đoán dân số giới thay đổi với tốc độ e 0.001t (tỷ người/năm) với t số năm tính từ năm 2004 Biết năm 2009 dân số giới 4,5 (tỷ người) Hãy tính dân số giới vào năm 2013 Giải: Gọi P(t) dân số giới sau t năm tính từ năm 2004 Khi theo đề ta có P '(t ) = e 0,001t P (t ) = ∫ P '(t )dt = ∫ e 0,001t dt = Suy e0,001t + C 0,001 e0,001.6 + C = 4,5 0,001 ⇔ 4,5 = 1000e0,006 + C ⇔ C = 4,5 − 1000e0,006 e0,001t + 4,5 − 1000e0,006 Do P(t) = 0,001 e0,001.10 + 4,5 − 1000e0,006 = 8,53 Suy P(10) = 0,001 Mà P(6) = 4,5 ⇔ Vậy dân số giới năm 2013 8,53(tỷ người) Ví dụ 3: Hưởng ứng phong trào “Ngày người nghèo” Đài truyền hình Việt Nam tổ chức, tối ngày 10/04/2010 chương trình “Góp sức người nghèo” tổ chức điểm cầu truyền hình thành phố lớn nước là: TP Hà Nội, TP Đà Nẵng, TP Hồ Chí Minh truyền hình trực tiếp kênh sóng VTV3 – Đài truyền hình Việt Nam Trong chương trình này, cá nhân tổ chức ngồi nước có dịp chung tay góp sức giúp đỡ cho người nghèo qua hình thức nhắn tin quyên góp tiền trực tiếp cho ban tổ chức chương trình Theo ước tính, sau t (giờ) số tiền quyên góp thay đổi với tốc độ 300t e-0,1t (triệu đồng/giờ) Hãy xác định số tiền có sau quyên góp Giải: Gọi M(t) số tiền có sau t (giờ) thực việc quyên góp Khi theo đề ta có M '(t ) = 300t.e −0,1t Đặt ∫ ∫ −0,1t M(t) = M '(t )dt = 300t.e dt Suy u = 300t dv = e-0,1tdt du = 300t.dt  ⇒ −0,1t v = − e  0,1  20 Suy ∫ −0,1t + 3000.e −0,1t dt M(t) = −3000t.e = −3000t.e−0,1t − Mà Do Suy 3000 −0,1t e + C 0,1 3000 +C =0 0,1 ⇔ C = 30000 M(t) = −3000t.e −0,1t − 30000.e −0,1t + 30000 M(5) = −3000.5.e −0,1.5 − 30000.e −0,1.5 + 30000 M(0) = ⇔ − = 2706,12 Vậy sau quyên góp, số tiền có 2706,12 (triệu đồng) Ví dụ 4: Giả sử sau t năm, vốn đầu tư thứ phát sinh lợi nhuận với tốc độ P1 '(t ) = 126 + t (triệu đồng/năm), vốn đầu tư thứ hai phát sinh lợi nhuận với tốc độ P2 '(t ) = 262 + 9t (triệu đồng/năm) (a) Hỏi khoảng năm tốc độ thu lãi vốn đầu tư thứ hai vượt vốn đầu tư thứ ? (b) Tính lợi nhuận vượt thực cho khoảng thời gian xác định câu (a) Giải: (a) Khoảng thời gian để tốc độ thu lợi nhuận vốn đầu tư thứ hai mà vượt vốn đầu tư thứ là: P1 '(t ) = P2 '(t ) ⇔ 126 + t = 262 + 9t ⇔ t − 9t − 136 = ⇔ t = 17 năm (loại t=-8) (b) Lợi nhuận thừa thực cho khoảng thời gian ≤ t ≤ 17 cho tích phân xác định 17 NE = ∫ [ P2 '(t ) − P1 '(t ) ] dt 17 NE = ∫ (262 + 9t ) − (126 + t ) dt 17 NE = ∫ ( 136 + 9t − t ) dt  17  = 136t + t − t ÷ 0  ≈ 1634,8 21 Vậy lợi nhuận vượt thực cho khoảng thời gian 17 năm 1643,8(triệu đồng) Ví dụ 5: Giả sử máy cơng nghiệp sau t năm tính từ sinh doanh thu với tốc độ R '(t ) = 24000 − 40t triệu đồng /năm chi phí họat động chi phí bảo dưỡng máy tăng với tốc độ C '(t ) = 10500 + 20t triệu đồng/năm (a) Hỏi năm trôi qua trước sinh lãi máy bắt đầu giảm? (b) Tính tiền lãi thực sinh máy khoảng thời gian xác định câu (a) Giải: (a) Lợi nhuận mà máy sinh sau t năm hoạt động P(t) = R(t) – C(t) tốc độ sinh lãi là: P '(t ) = R '(t ) − C '(t ) = (24000 − 40t ) − (10500 + 20t ) = 13500 − 60t Ta có việc sinh lãi bắt đầu giảm P '(t ) = ⇔ 13500 − 60t = ⇔ t = 225 ⇔ t = 15 (năm) (b) Tiền lãi thực NE khoảng thời gian 0≤ t ≤ 15 cho khác NE = P(15) – P(0), mà tính tích phân 15 NE = P (15) − P (0) = ∫ P '(t )dt 15 = ∫ (13500 − 60t ) dt = (13500t − 20t ) 15 = 135.000 Vậy tiền lãi thực sinh máy khoảng thời gian 15 năm 135000 (triệu đồng), tức 135 tỷ đồng 22 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Định nghĩa cực trị hàm biến (Cực trị tự do) Cho hàm biến ʓ = f ( x, y ) có miền xác định Df (a,b)∈ Df * Ta nói f đạt giá trị cực đại (a,b) lân cận B (a,b) ta có f ( x, y ) ≤ f (a, b) , ∀( x, y ) ∈ B , ta nói (a,b) điểm cực đại * Ta nói f đạt giá trị cực tiểu (a,b) lân cận B (a,b) ta có f ( x, y ) ≥ f (a, b) , ∀( x, y ) ∈ B , ta nói (a,b) điểm cực tiểu * Cực đại hay cực tiểu gọi chung cực trị * Nhận xét: Cực trị định nghĩa mang tính địa phương khơng phải tồn cục  f ' x ( a, b) =  f ' y ( a, b) = * Định lý: Nếu (a,b) điểm cực trị f ( x, y ) ta có   f ' x ( x, y ) =  f ' y ( x, y ) = Nói cách khác, (a,b) nghiệm hệ phương trình  * Ta gọi (a,b) điểm tới hạn f ( x, y ) nghiệm hệ  f ' x ( x, y ) = đạo hàm riêng khơng tồn   f ' y ( x, y ) = Phương pháp xác định cực trị tự do:  f ' x ( x, y ) = để tìm nghiệm f ' ( x , y ) =  y  x = x0   y = y0 Bước 2: Tìm đạo hàm riêng cấp 2: f ''xx ( x, y ); f ''xy ( x, y ); f '' yy ( x, y ) Bước 3: Đặt A = f ''xx ( x0 , y0 ) B = f ''xy ( x0 , y0 ) C = f '' yy ( x0 , y0 ) Bước 1: Giải hệ phương trình  ∆ = AC − B2 Bước 4: Xét điều kiện kết luận + Nếu ∆ ( x0 , y0 ) điểm cực tiểu f ( x, y ) A > + Nếu  23 ∆ > ( x0 , y0 ) điểm cực đại f ( x, y ) A < + Nếu  Phương pháp xác định cực trị có điều kiện: Bước 1: Xây dựng hàm Lagrane F ( x, y, λ) = f ( x, y ) + λ.g ( x, y ) ( λ gọi hệ số Lagrane)  F ' x ( x, y , λ ) =  Bước 2: Giải hệ  F ' y ( x, y, λ) =   F 'λ ( x, y, λ) =  x0  để tìm nghiệm  y0 λ  Bước 3: Tìm đạo hàm riêng g 'x ( x, y ) ; g ' y ( x, y ) ; F ''xx ( x, y, λ) ; F ''xy ( x, y, λ) ; F '' yy ( x, y, λ) Bước 4: Lập ma trận Hessian 0  H =  g 'x ( x0 , y0 )  g ' y ( x0 , y0 )  g 'x ( x0 , y0 ) F ''xx ( x0 , y0 , λ ) F ''xy ( x0 , y0 , λ )   F ''xy ( x0 , y0 , λ )  F '' yy ( x0 , y0 , λ )  g ' y ( x0 , y0 ) Tính = − g 'x ( x0 , y0 ) { g 'x ( x0 , y0 ).F '' yy ( x0 , y0 , λ )} − { g ' y ( x0 , y0 ).F '' xy ( x0 , y0 , λ )}  det(H)= + g ' y ( x0 , y0 ) { g 'x ( x0 , y0 ).F ''xy ( x0 , y0 , λ )} − { g ' y ( x0 , y0 ).F ''xx ( x0 , y0 , λ )}  + Nếu det(H) > ( x0 , y0 ) điểm cực đại cần tìm + Nếu det(H) < ( x0 , y0 ) điểm cực tiểu cần tìm B ỨNG DỤNG Ví dụ 1: Một doanh nghiệp tư nhân nhỏ chuyên sản xuất chả với loại Nếu chả loại sản xuất x(kg) giá bán kg P(x) = 150 – x, chả loại sản xuất y(kg) giá bán kg P(y) = 130 – y Hãy xác định số lượng loại chả cần sản xuất để cho lợi nhuận thu doanh nghiệp cao nhất, biết tổng chi phí xác định theo biểu thức C(x,y) = x + xy + y Giải: Gọi x số lượng sản phẩm cần sản xuất y số lượng sản phẩm cần sản xuất Khi doanh thu mà doanh nghiệp thu D( x, y ) = (150 − x) x + (130 − y ) y 24 = 150 x − x + 130 y − y Suy lợi nhuận mà doanh nghiệp thu L ( x, y ) = D ( x, y ) − C ( x, y ) ⇔ L( x, y ) = (150 x − x + 130 y − y ) − (2 x + xy + y ) ⇔ L( x, y ) = 150 x − 3x + 130 y − y − xy  L 'x ( x, y ) = 150 − x − y =  x = 22 ⇔ Ta có hệ phương trình   L ' y ( x, y ) = 130 − y − x =  y = 18 L ''xx ( x, y ) = −6 Ta có L ''xy ( x, y ) = −1 L '' yy ( x, y ) = −6 Đặt A = L ''xx (22,18) = −6 B = L ''xy (22,18) = −1 C = L '' yy (22,18) = −6 ∆ = AC – B2 = 35 ∆ = 35 > Vì  nên (22,18) điểm cực đại  Α = −6 < Vậy với số lượng chả loại = 22 (kg) chả loại = 18 (kg) sản xuất doanh nghiệp thu lợi nhuận cao Ví dụ 2: Một cửa hàng may lẻ chuyên may loại áo sơ mi M S để cung cấp cho đại lý Nếu áo loại M may x(cái) giá bán P(x) = 690 + 3x, áo loại S may y(cái) giá bán P(y) = 640 + 2y Hãy xác định số lượng loại áo sơ mi cần may để cho lợi nhuận thu cửa hàng cao nhất, biết tổng chi phí xác định theo biểu thức C(x,y) = x + xy + y Giải: Gọi x số lượng áo loại M cần may y số lượng áo loại S cần may Khi doanh thu mà doanh nghiệp thu D( x, y ) = (690 + x) x + (640 + y ) y = 690 x + 3x + 640 y + y Suy lợi nhuận mà doanh nghiệp thu L ( x, y ) = D ( x, y ) − C ( x, y ) ⇔ L( x, y ) = (690 x + x + 640 y + y ) − (6 x + xy + y ) ⇔ L( x, y ) = 690 x − 3x + 640 y − y − xy 25  L 'x ( x, y ) = 690 − x − y =  x = 100 ⇔  L ' y ( x, y ) = 640 − y − x =  y = 90 Ta có hệ phương trình  L ''xx ( x, y ) = −6 Ta có L ''xy ( x, y ) = −1 L '' yy ( x, y ) = −6 Đặt A = L ''xx (100,90) = −6 B = L ''xy (100,90) = −1 C = L '' yy (100,90) = −6 ∆ = AC – B2 = 35 ∆ = 35 > Vì  nên (100,90) điểm cực đại  Α = −6 < Vậy với số lượng áo loại M = 100 (cái) áo loại S = 90 (cái) may cửa hàng thu lợi nhuận cao Ví dụ 3: Một tiệm tạp hóa nhỏ chuyên kinh doanh loại mặt hàng A B Nếu mặt hàng A mua vào x (cái) giá bán mặt hàng P(x) = 800 – 2x, mặt hàng B mua vào y (cái) giá bán mặt hàng P(y) = 820 – 2y Hãy xác định số lượng loại mặt hàng cần mua vào để cho lợi nhuận thu tiệm cao Biết rằng, giá mua vào mặt hàng A 60 + y mặt hàng B 90 + 2x Giải: Gọi x số lượng mặt hàng A cần mua vào y số lượng mặt hàng B cần mua vào Khi + Doanh thu mà tiệm thu D( x, y ) = (800 − x) x + (820 − y ) y = 800 x − x + 820 y − y + Chi phí mà tiệm phải bỏ C(x,y) = (60 + y ) x + (90 + x) y = 60 x + xy + 90 y + xy = 60 x + 90 y + 3xy Suy lợi nhuận mà tiệm thu L ( x, y ) = D ( x, y ) − C ( x, y ) ⇔ L( x, y ) = (800 x − x + 820 y − y ) − (60 x + 90 y + xy ) ⇔ L( x, y ) = 740 x − x + 730 y − y − 3xy  L 'x ( x, y ) = 740 − x − y =  x = 110 ⇔ Ta có hệ phương trình   L ' y ( x, y ) = 730 − y − x =  y = 100 26 L ''xx ( x, y ) = −4 Ta có L ''xy ( x, y ) = −3 L '' yy ( x, y ) = −4 Đặt A = L ''xx (110,100) = −4 B = L ''xy (110,100) = −3 C = L '' yy (110,100) = −4 ∆ = AC – B2 = ∆ = > Vì  nên (110,100) điểm cực đại  Α = −4 < Vậy với số lượng mặt hàng A = 110 (cái) mặt hàng B = 100 (cái) mua vào tiệm tạp hóa thu lợi nhuận cao Ví dụ 4: Một hộ gia đình dự định mở cửa hàng cho thuê xe đạp với loại xe đạp xe đạp đơi xe đạp đua Hiện gia đình có 128 (triệu đồng) để mua loại xe Biết giá xe đạp đua P = (triệu đồng) giá xe đạp đôi P2 = (triệu đồng) Giả sử hộ gia dình mua x xe đạp đua y xe đạp đôi hàm tổng thời gian sử dụng loại xe xác định theo biểu thức T(x,y) = 2xy + 4x + 16y + 27 Xác định số lượng loại xe mà hộ gia đình cần mua để cho hàm giá trị sử dụng cao Giải: Gọi x số lượng xe đạp đua y số lượng xe đạp đôi hộ gia đình cần mua Khi ta có 128 = 6x + 8y ⇔ 128 – 6x – 8y = Ta có hàm Lagrane F ( x, y, λ) = (2 xy + x + 16 y + 27) + λ.(128 − x − y )  F 'x ( x, y, λ) =  y + − 6λ = x =    Ta có hệ  F ' y ( x, y, λ) = ⇔ 2 x + 16 − 8λ = ⇔  y = 10     F 'λ ( x, y, λ) = 128 − x − y = λ = Ta có đạo hàm riêng g 'x ( x, y ) = −6 F ''xx ( x, y, λ) = ; F ''xy ( x, y, λ) = Ta có ma trận Hessian 0  H =  −6 −  −6 ; g ' y ( x, y ) = −8 ; F '' yy ( x, y, λ) = −8  ; det(H) = 192   Vì det(H) = 192 > nên A(8,10) điểm cực đại 27 Vậy hộ gia đình cần mua xe đạp đua 10 xe đạp đôi để tổng thời gian sử dụng loại xe cao 28 ... sang dương x = a cực tiểu ; f ' (a) giá trị cực tiểu x f ' (x) f (x) A ] CT + Z * Định lý 3:  f '(a) = x = a điểm cực đại  f ''(a ) < + Nếu   f '( a) = x = a điểm cực tiểu  f ''(a) < + Nếu... điểm cực đại * Ta nói f đạt giá trị cực tiểu (a,b) lân cận B (a,b) ta có f ( x, y ) ≥ f (a, b) , ∀( x, y ) ∈ B , ta nói (a,b) điểm cực tiểu * Cực đại hay cực tiểu gọi chung cực trị * Nhận xét: Cực... có f (x) ≤ ƒ (a) ∀x ∈ I   * Ta nói hàm số f (x) đạt cực tiểu x = a; lân cận nhỏ (I) x = a ta có f (x) ≥ f (a) ∀x ∈ I   * Cực đại hay cực tiểu gọi cực trị * Định lý 1: Nếu x = a điểm cực trị f