bai tap toan cao cap

I/ ĐỊNH THỨC: ⎛ 0⎞ ⎛ -1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ −3 ⎟ , B = ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tính : det(3AB) a/ 162 b/ 18 c/ d/ 20 -1 Tính A = a/ -16 Tính A = a / − 30 1 b/ 16 c/ 32 −1 3 −1 −1 b/ 30 d/ -32 c/ 15 d/ CCKÑS ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ ⎟ Tính det[(3A)-1 ]T ⎜ -1 ⎟ ⎝ ⎠ a/ b/ 54 c/ 1/54 d/ 1/6 m Cho đònh thức B = 2m - 2 Tìm tất m để B > a/ m < b/ m > c/ m < Cho đònh thức -3 ∆1 = a b -c d -8 , ∆2 = d/ m > 2a 2b -2c 2d −3 12 −16 4 -12 17 a/ ∆ = 4∆1 b/ ∆ = -2∆1 Kñnñ −12 17 c/ ∆ = -4∆1 d/ ∆ = -∆1 -1 Tính A = a / A = 7a + 21 a b b/ A = 7a + 21b c/ A = 7a - 2b d/ - 7a - 21 1 Tính A = 1 1 1 1 b a / A = 17b -11 b/ A = 17b + 11 c/ A = 7b -10 d/ CCKÑS Cho A = 2, B = 3, vaø A, B ∈ M [ R ] Tính det(2AB) d/ CCKĐS a/ 16 b/ c/ 32 ⎛ 1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ 2 5⎟ 10 Cho A = ⎜ Tính detA ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1 ⎠ a/ - 53 b/ 63 c/ - 63 d/ CCKĐS 11 Các giá trò sau nghiệm PT a / x = 2, x = -1 b/ x = 2, x = x 2x x2 −1 −2 c/ x = 3, x = -1 =0 −1 d/ CCKÑS 12 Cho ma trận vuông A cấp cócác phần tử - Kđ sau ñuùng c/ det(3A) = 30 d/ det(3A) = 27 a/ det(3A) = -72 b/ det(3A) = 41 + i + 2i với i2 = −1 - 2i - i a/ A = -2 + 7i b/ A = + 7i c/ A = - 2i 13.Tính A = d/ A = -7 + 2i 0 6 Bieát số 2006, 6103, 5525 chia hết cho 17 vaø ≤ a ≤ (a ∈ Z) a 5 Với giá trò a detA chia hết cho 17 a/ a = b/ a = c/ a = d/ a = 14 Cho A = x 1 15 Tính I = a/ I = x 1 1 x 1 1 x b/ I = (x - 3)(x + 1)3 c/ I = (x + 3)(x -1)3 d/ I = (x - 3)(x - a)3 16 Giaûi PT R : x x2 x3 a a2 a3 b b2 b3 =0 c c2 c3 Biết a, b,c số thực khác đôi a/ PTVN b/ PT có3 nghiệm a, b,c c/ PT có3 nghiệm a + b, b + c, a + c d/ PT có1 nghiệm x = a 17 Cho f(x) = a/ f có bậc -1 x x2 −2 2x −1 b/ f có bậc Kđn c/bậc f nhỏ hoa ëc baèng x x2 c/ k = 18 Tìm số nghiệm phân biệt k PT a/ k = 19 Giải PT : a/ x = b/ k = −2 x 1 −2 x2 -1 21 Tính −1 −2 a/ b/ - c/ x = 1, x = 2 x −1 =0 2x x b/ x = 0, x = 2 -1 0 0 0 0 c/ -1 -1 =0 1 d/ k = =0 −2 b/ x = 0, x = 1 20 Giaûi PT −2 a/ x = 0, x = -1 -1 c/ x = d/ CCKÑS d/ CCKÑS d/x = 0, x = 1, x = d/CCKÑS 22 Tính a/1 1 14 b/ - c/ 23 Tính I = a/ I = a/ I = a b c b+ c c+a a+ b b/ I = abc c/ I = (a + b + c)abc x +1 24.Tính I = d/ x 1 2 x 1 x x x b/ I = (x -1)(x +1)3 c/ I = x(x − 1)2 −1 3 25 Tính I = −2 −4 −6 a/ I = b/ I = -2 c/ I = 26 Tính I = a/ I = d/ (a + b)(b + c)(a + c) 1 1 2 L L L L L L 3 L L 4 L d/I = 1 1 L L L L L L L 1 L L n b/ I = (n -1)! c/ I = n! ⎛ 3⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 27 Tính A = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 3⎟ ⎜1 0 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ a / det A = −36 b/detA = 12 d/ I = (x -1)2 (x +1)2 d/ I = n(n -1) c/detA = 36 ⎛1 ⎞ ⎛ -1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 28 Cho A = ⎜ -1⎟ , B = ⎜ ⎟ Tính det(A + B) ⎜0 ⎟ ⎜ 0 -1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a/ b/ 30 c/ -36 d/ CCKÑS d/ detA = 18 x2 29 Cho 1 a/ a = -2 x3 a = Tìm a biết PT có3 nghiệm 0, −1 b/ a = -2 ∨ a = -1 1 -1 1 30 Tính -1 -1 c/ ∀a d/ CCKÑS -1 -1 -1 a / 24 -1 -2 0 b/ c/ II/ MA TRAÄN: d/ ⎛0 1⎞ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ Cho ma traän A = ⎜ , B = ⎟ ⎜ ⎟ Kñnñ 0 ⎝ ⎠ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ a/ AB = BA b/ AB xác đònh BA không xác đònh ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ ⎜ ⎟ c/ BA = ⎜ 0 ⎟ d/AB = ⎜ ⎟ ⎝0 0⎠ ⎜0 0⎟ ⎝ ⎠ Ma trận sau khả nghòch ⎛1 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a/ ⎜ 2 ⎟ b/ ⎜ -3 0 ⎟ ⎜1 0⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 -2 ⎞ ⎜ ⎟ c/ ⎜ -2 ⎟ ⎜ -3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ -2 ⎞ ⎜ ⎟ d/ ⎜ -1 ⎟ ⎜2 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 10 −6 ⎞ Tìm ma trận nghòch đảo ma trận ⎜ ⎟ ⎟ − 3⎜ 14 ⎝4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛1 6⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ −3 ⎞ a/ ⎜ b/ ⎜ c/ ⎜ d/ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 13 ⎝ ⎠ 13 ⎝ -2 14 ⎠ 13 ⎝ −2 ⎠ 13 ⎝ −2 −7 ⎠ ⎛1 ⎜ Cho A = ⎜ ⎜ −1 ⎜ ⎝2 12 a/ m ≠ 1 1⎞ ⎟ −1 ⎟ với giá trò m A khả nghòch ? 2⎟ ⎟ m⎠ 12 b/ m = c/ m ≠ d/ ∀m 7 Cho A ∈ M [R] , A = Hỏi dùng phép BĐSC sau đưa A ma trận B códet B = a/ CCKĐS b/ Nhân hàng A với số c/ Cộng tương ứng hàng A với hàng khác đãđược nhân với d/ Nhân ma trận A với số Cho A ∈ M 4x5 [R], biết hạng A Hỏi dùng phép BĐSC sau để đưa A ma trận B cho r(B) = ? a/ Nhân hàng A với số α = b/ Cộng hàng A với hàng tương ứng đãđược nhân với số α = 1/2 c/ Có thể dùng hữu hạn phép BĐSC hàng cột d/ CCKĐS ⎛ 1⎞ Cho f(x) = x − 2x + 3, A = ⎜ ⎟ Tính f(A) ⎝ -1 ⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ a/ ⎜ b/ ⎜ c/ ⎜ d/ CCKÑS ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ -1 ⎠ ⎝ -1 ⎠ ⎝ -1 ⎠ ⎛ -1 ⎜ 2 Tính hạng ma trận A = ⎜ ⎜ -4 ⎜ ⎝ -6 a/ r(A) = b/ r(A) = c/ r(A) = 4⎞ ⎟ 7⎟ 10 ⎟ ⎟ 18 ⎠ d/ r(A) = ⎞ ⎛ −1 ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ −2 m + m + 1⎟ Với giá trò m r(A) = ⎜ −1 m − ⎟⎠ ⎝ a/ m ≠ b/ m ≠ -2 c/ m ≠ -1 ∧ m ≠ d/ Không tồn m ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ 10 Cho A = ⎜ ⎟ Gọi M tập tất phần tử A -1 Kđ sau ? ⎜3 1⎟ ⎝ ⎠ a/ -1, -1/6, 1/3 ∈ M b/ 6, 3,2 ∈ M c/ -1, 1/6, 1/3 ∈ M d/ 1/2, 1, 1/3 ∈ M ⎛1 ⎜ 11 Cho A = ⎜ ⎜4 -2 ⎜⎜ ⎝ -1 k +1 a/ ∀k b/ k ≠ ⎞ ⎟ ⎟ với giá trò k r(A) ≥ ⎟ ⎟ k + ⎟⎠ c/ k ≠ -1 d/ Không tồn taïi k n n 0⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ a 0⎞ ⎛a 12 Cho A = ⎜ Bieá t = ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎝ 1⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ bn ⎟⎠ Tính A3 ⎛ 23 33 − 23 ⎞ ⎛ 23 ⎛ 23 ⎞ ⎛ 23 23 + 33 ⎞ a/ ⎜ b/ c/ d/ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎜0 ⎜ 33 ⎟ ⎜0 33 ⎟⎠ 33 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎞ ⎟ 33 ⎟⎠ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ −1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ 13 Cho A = ⎜ ⎟ ⎜ m ⎟ Tìm m để A khả nghòch ⎜ -1 ⎟ ⎜ m + 1⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ a/ Không tồn m b/ ∀m c/ m = d/ m ≠ 1 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ Với giá trò m r(A) = 14 Cho A = ⎜3 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 m + m + 7⎠ a/ m =1 b/ m ≠ c/ m = d/ ∀m ⎛ -1 ⎞ 13 15 Cho A = ⎜ ⎟ Tìm A -2 ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ -1 ⎞ c/ A13 = ⎜ d/ CCKÑS a/ A13 = ⎜ b/ A13 = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ −3 ⎠ ⎝ -2 ⎠ ⎛2 1⎞ 100 16 Cho A = ⎜ ⎟ Tính A ⎝ 2⎠ 100 ⎛2 ⎛ 2100 100.299 ⎞ 3.2100 ⎞ a/ ⎜ b/ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2100 ⎟⎠ 2100 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎛ 2100 c/ ⎜ ⎜ ⎝ 3100 ⎞ ⎟ 2100 ⎟⎠ d/ CCKÑS 17 Cho A ∈ M3 [R],det(A) ≠ Giải PT ma trận AX = B a/ X = BA -1 b/ X = B/A c/ X = A -1B d/ CCKÑS ⎛ 1 -1⎞ ⎛ 1⎞ 18 Cho A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ ⎝1 ⎠ ⎝ 1⎠ Tìm tất ma trận X cho AX = B ⎛ -2 ⎞ a/ X = ⎜ ⎟ ⎝3 ⎠ ⎛2 ⎞ b/ X = ⎜ ⎟ ⎝ -1⎠ ⎛ -1⎞ ⎜ ⎟ c/ X = ⎜ ⎟ ⎜1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛k 1⎞ ⎜ ⎟ 19 Với giá trò k r(A) = với A = ⎜ k ⎟ ⎜1 k⎟ ⎝ ⎠ a/ k = b/ k = 1, k = 1/2 c/ k = 1, k = -2 d/CCKÑS d/ CCKĐS 20 Cho A, B ma trận khả nghòch Kđnào sau SAI a/ (AB)-1 = B−1 A −1 b/ (A T )−1 = (A −1 )T c/ det(AB)-1 = d/ (αA)-1 = αA −1 α ≠ det(AB) 21 Cho A, B ∈ M [R] A, B khả nghòch Kđnđ a/ r(2AB)-1 = b/ r(AB)-1 < c/ r(AB)-1 < r(2AB)-1 d/CCKÑS 22 Cho A ∈ M3x5 [R] , B ∈ M5x5 [R] bieát det(B) ≠ r(A) = Kđnđ a/ r(AB) = b/ r(AB) = c/ r(AB) = d/ CCKÑS ⎛ -1 ⎞ ⎛ -1 -3 ⎞ 23 Cho ma trận A = ⎜ ⎟ B = ⎜ ⎟ Trong ma trận X sau, ma trận thỏa AX = B ⎝ -2 ⎠ ⎝ -7 ⎠ ⎛2 3⎞ ⎛ -1 ⎞ ⎛ -1 -1⎞ ⎜ ⎟ c/ X = ⎜ -1 -2 ⎟ d/ Không có ma traän a/ X = ⎜ b/ X = ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ -2 -2 ⎠ ⎝ -2 ⎠ ⎜ -1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ 24 Cho ma traän A = ⎜ -1 -2 -3 ⎟ Kđ sau ⎜0 2⎟ ⎝ ⎠ a/ A có hạng b/ A có hạng c/ det(A) = d/ CCKĐS 25 Cho A, B ma trận khả nghòch cấp 3, PA ma trận phụ hợp A Kđ sau SAI a/ PAB khả nghòch b/ pr(PAB ) = c/ PAB = PA PB d/ P2A = A A −1 ⎛1 0⎞ ⎛1 2⎞⎜ ⎟ 26 Tìm ma trận nghòch đảo A = ⎜ ⎟⎜1 1⎟ ⎝ 0⎠⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ −1 ⎛1 0⎞ ⎛ -1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 2⎞ -1 a/ A = ⎜ 1 ⎟ ⎜ b/ A -1 = ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ -1⎠ ⎜ 1⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ ⎠ -1 ⎛ ⎞ c / A -1 = ⎜ d/ Không tồn A ⎟ ⎝ -2 ⎠ ⎛ -1 ⎞ ⎛ 1⎞ 27 Tìm ma trận nghòch đảo ma trận A = ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎝ -1⎠ ⎝ -3 1⎠ ⎛1 2⎞ ⎛ 0⎞ ⎛1 0⎞ a / A -1 = ⎜ b/ A -1 = ⎜ c/ A -1 = ⎜ d/ Không tồn A -1 ⎟ ⎟ ⎟ -2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎜ 28 Cho ma traän A = ⎜ ⎜1 ⎝ ⎛ -2 ⎞ ⎜ ⎟ a/ BA = ⎜ -1 ⎟ ⎜ 0 2⎟ ⎝ ⎠ -2 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ -1 ⎟ vaø B = ⎜ ⎜1 -1 ⎟⎠ ⎝ ⎛ -2 ⎜ b/ BA = ⎜ -1 ⎜0 ⎝ -1 ⎞ ⎟ -1 -1 ⎟ Tính ma trận tích BA -1 ⎟⎠ 6⎞ ⎛ -2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 3⎟ c/ BA = ⎜ -1 ⎟ ⎜ -2 ⎟ ⎟⎠ ⎝ ⎠ 29 Cho A ∈ M5 [R] Bieát r(A) = Kđn sau a/ det(A) = b/ det(A) = c/ det(2A) = ⎛ -2 ⎞ ⎜ ⎟ d/ BA = ⎜ -1 ⎟ ⎜ -2 ⎟ ⎝ ⎠ d/ det(2A) = 3.3 30 Cho A ∈ M2 [R] Kđ sau LUÔN a/ A = ⇒ A = b/ A = I ⇒ A = I ∨ A = − I c / A2 = A ⇒ A = I d/ 2A = ⇒ A = III/ KHÔNG GIAN VECTƠ (ĐLTT , THTT, PTTT, CS, CHIỀU, TẬP SINH) (1) Cho V kgvt có chiều Khẳng đònh đủ ? a Các câu khác sai b Mọi tập có phần tử ĐLTT c Mọi tập có phần tử tập sinh d Mọi tập có phần tử tập sinh (2) Tìm toạ độ vectơ P(x) = x2 + 2x – sở E = { x2 + x + , x , 1} a ( 1,1,-3 ) b ( 1,1,3 ) c (-3,1,1 ) d Các câu khác sai Trong R2 cho sở E = { (1,1) , (2,3)} F = {(1,-1) , (1,0)} Biết toạ độ (3) x sở E (-1,2) Tìm toạ độ x sở F a (-5,8) b ( 8, -5) c (-2,1) d ( 1,2) (4) Cho M = { (1,1,1,1) , (-1,0,2,-3), (3,3,1,0) } N = { (-2,4,1,1), (0,0,0,0), (3,1,7,3) } P = { (1,1,1,1) , (2,2,2,2) , (3,2,0,1)} Có thể bổ sung vào hệ để sở R4 a Chỉ có hệ M b Cả hệ M, N, P c Cả hệ M N d Cả hệ M P (5) Khẳng đònh sau đúng: a Dim ( M2x3[R]) = vaø dim (C2[C])=2 b Dim (M2x3 [R])= vaø dim (P3[x])=4 c Dim P3(x)=3 dim (C2 [R])=4 d Các câu khác sai (6) Cho A thuộc M5x6 [R] Gọi M họ vectơ hàng A, N họ vectơ cột A Biết hạng A Khẳng đònh đúng: a M ĐLTT, N PTTT b M N ĐLTT c M N PTTT d Các câu khác sai (7) Cho P(x) =x2 +x+1 ; P2(x)=x2+2x+3 ; P3(x)=2x2+3x+4 ; P4(x)=2x+m Với giá trò m { P1, P2, P3, P4} không sinh P2[x]? a m=2 b m khác c với moïi m d m=4 (8) Cho M= < (1,1,1,1) , (2,3,2,3), (3,4,1,m) > Với giá trò m M có chiều lớn ? a với m b m=4 c m khác d câu khác sai (9) Cho M={ x1,x2,x3,x4,x5} tập sinh KGVT chiều Khẳng đònh đúng? a M chứa tập gồm vectơ ĐLTT b M chứa tập gồm vecto ĐLTT c Mọi tập ĐLTT M gồm vectơ d Các câu khác sai (10) Trong R3 cho V=< (1,1,1) ; (2,3,2) >; E={(1,0,0) , (2,2,m) Với giá trò m E sở V a Không tồn m b m=2 c m=0 d Các câu sai (11) Cho M tập hợp gồm vectơ x1,x2,x3,x4,x5 hạng M=3, x1,x2 ĐLTS , x3 không THTT x1,x2 Khẳng đònh đúng? a x1,x2,x3 ĐLTT b x1,x2,x3,x4 ĐLTT c Các câu khác sai d X1,x2,x3 PTTT (12) Trong R4 cho vectơ x,y,z,t PTTT Khẳng đònh sau : a Các câu khác sai b {x,y,z,t} sinh R3 c x THTT y,z ,t d hạng x,y,z,t nhỏ (13) Cho V = , biết E = {(1,1,1),(0,1,0)}là sở V x=(1,2,1) thuộc V Tìm toạ độ x E a Các câu khác sai b (2,1,0) c (1,1,0) d (1,1,2) (14) Cho kgvt V = Với giá trò m V có chiều a m = b m ≠ c m = d ∀ m 18 Cho A ∈ M [R], x = (x1 , x2 , x3 , x )T B = (1, 2, -1, 0)T Biết A khả nghòch Kđ LUÔN a/ Ax = B có vô số nghiệm b/ Ax = B có nghiệm d/ Ax = B vônghiệm c/ r(A) = ⎛ -1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 19 Giải hệ ⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ = ⎜ −1⎟ ⎜ 0⎟⎜ x ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7 a/ (- , ,1) b/ (- ,- ,1) 5 5 c/ PTVN { x + (i +1)y = 2x + 3y = 1- i 2i 3i a/ x = + ,y = b/ (1+ 2i, 1-3i) 5 5 20 Giải hệ PT 21 Hệ PTTT a/ m = d/ (6, - 2, − 7) c/ (3i -1, 2i -1) d/ CCKÑS { (2m +1)x + (2 + m)y = 3m vônghiệm chæ x + my =m b/ m = c/ m = d/ m = -1 22 Cho A ma trận cỡ mxn, B ma trận cỡ nxm (n < m) Kđ sau a/ PT ABX = có nghiệm không tầm thường b/ PT ABX = có1 nghiệm c/ Nếu AB = A = hay B = d/ CCKÑS 10 11 12 13 14 15 16 17 ĐỊNH THỨC A A A C A C A A D C A A A A C B C ĐÁP ÁN MA HỆ PT TRẬN C B B A C A D C A A D D B D C C C A D C A B C B A C A D C A B A C A KGVT A A A A A A D A A A A A A A A B D 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B B A A D A C D B A B D A D A D A C B C A D D C B D B D A D A C D B D D D B D B A B A D A C B A A A C A A A C A A A A A A C B B A A A A D D D C A A (14): Nếu x thuộc V chọn câu a, ngược lại chọn câu c (15): m khác (16): Tọa độ: (7, -1) (17): m khaùc –7/2; (18): F + G = G CHƯƠNG I MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH §1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN Bài 1: Thực phép tính sau ⎛1 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝2 3⎞ ⎟ 5⎟ ⎛ 11 5⎞ ⎜ ⎟ 0⎟ ⎝ −7 2⎠ ⎟ 3⎠ ⎛ 4⎞ ⎛ −1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (1 2) ⎝ 1⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎛1 ⎛1 2⎞⎜ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜0 1 0⎟⎜ ⎝3 ⎠⎜1 1⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎝ ⎛ cos ϕ ⎜ ⎝ sin ϕ − sin ϕ ⎞ ⎟ cos ϕ ⎠ n 4⎞ ⎟ 1⎟ 2⎟ ⎟ 3⎠ ( n ∈ `, ≤ ϕ < 2π ) ⎛1 a⎞n ⎟⎟ , a ∈ R n ∈ ` ⎜⎜ ⎝0 1⎠ ⎛ 1⎞ Bài 2: Cho A = ⎜ ⎟ f ( x ) = 3x + x − Tính f ( A) ⎝ 3⎠ Bài 3: ⎞ ⎛ x + y⎞ ⎛x y⎞ ⎛ x Tìm số thực x, y , z , w cho ⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎠ ⎝ z w ⎠ ⎝ −1 w ⎠ ⎝ z + w ⎛ 1⎞ Tìm tất ma trận cấp giao hoán với ma trận A = ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎛ −1 −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t t t Bài 4: Cho ma trận A = ⎜ 2 ⎟ , B = ⎜ −1 ⎟ , C = ⎜ ⎟ Tính C B A ⎝ ⎠ ⎜ 2⎟ ⎜ 2 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Bài 5: Tìm ma trận X trường hợp sau ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ X ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ X − X ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝ −1⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 4⎟ X ⎟ ⎜ ⎝ 5⎠ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 6⎟ = ⎜ 2⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ 1⎠ ⎝ −2 1⎠ §2 ĐỊNH THỨC Bài 6: Tính định thức sau −1 −2 2 4 3 4 4 3 4 a+x x x b+x 4 x x x x2 + x c+x 3 2 3 3 n −1 n −1 n −1 n n n Bài 7: Tính định thức cấp n sau n − n n − n 1 n − n n n − 1 1 2 3 n − n − 1 n − n Bài 8:Giải phương trình sau x x x3 1 =0 27 16 64 §3 HẠNG CỦA MA TRẬN Bài 9: Tìm hạng ma trận sau xy xz x a a " a a x a " a a a x " a " " " " " a a a " x x x +1 x + 2 x + x + x + = x+6 x+7 x+8 xy xz y +1 yz yz z +1 n −1 n −1 n −1 n −1 n n n n n n ⎛ −1⎞ ⎛ −1 ⎜ ⎟ −1 −3 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ −2 ⎜ −1 ⎟ ⎜ −1 ⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎝ ⎠ ⎛ −4 ⎞ ⎛ −4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −1 −4 ⎟ −2 ⎟ ⎜ 3 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −10 ⎟ ⎝ −7 ⎜2 ⎟ ⎠ ⎝ Bài 10: Tùy theo tham số m , tìm hạng ma trận sau ⎛ 3⎞ ⎛3 ⎜ ⎟ ⎜ 6⎟ 2 ⎜ ⎜ ⎜ 9⎟ ⎜m ⎜ ⎟ ⎜ ⎝10 m 12⎠ ⎝1 −2 ⎞ ⎟ 7⎟ ⎟⎠ 1 −4 −1 −4 10 17 0⎞ ⎟ 2⎟ 1⎟ ⎟ 5⎠ 4⎞ ⎟ 3⎟ 1⎟ ⎟ 3⎠ ⎛m 1 ⎞ ⎜ ⎟ Bài 11: Cho ma trận A = ⎜ m m ⎟ Tìm m để r ( A) < ⎜ 1 m2 ⎟ ⎝ ⎠ §4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 12: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau phương pháp biến đổi sơ cấp ⎛1 5⎞ ⎛1 2⎞ ⎛1 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜3 0⎟ ⎜3 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 0⎟ 2 0⎟ 1 0⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1 2⎟ ⎜0 2 1⎟ ⎜0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝1 0 1⎠ §5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 13: Giải hệ phương trình tuyến tính sau ⎧ x1 − 2x + x + 2x = ⎪ ⎨ x + x − x + x = ⎪x + 7x − 5x − x = ⎩ ⎧ x1 + 3x + x3 + x = ⎪ ⎨ x1 − x − 3x3 − x = ⎪3x + x + x + x = ⎩ Bài 14: Giải biện luận hệ phương trình sau +z = ⎧mx + y ⎪ ⎨ x + my + z = m ⎪ x + y + mz = m ⎩ ⎧x ⎪ ⎨x ⎪x ⎩ −2 x +x +x −x +2 x +x +7x −5x −x + y + (1 − m )z = m + ⎧ x ⎪ +2 z = ⎨(1 + m )x − y ⎪ 2x − my +3z = m+2 ⎩ = = m = 4m +3x +5x +5x +3x +2 x +2 x +6 x +4 x +4 x +9 x + mx +3x +2 x −x3 = −3x +7x = −1 +x +3x = +x +2 x = m +2 x +3x + mx = ⎧ x1 ⎪2 x ⎪ ⎨ ⎪− x ⎪⎩ 5x m+2 +x +x + mx = m +1 +3x +4 x +2 mx = 2m + +4 x +2 x +3mx = 3m + +x +2 x +2 mx = m2 + m + ⎧ 2x1 − x + x + x = ⎪ ⎨ x + x − x + x = ⎪x + 7x − x + 11x = m ⎩ ⎧ x1 ⎪x ⎪⎪ ⎨2 x ⎪3 x ⎪ ⎪⎩ x ⎧ x1 ⎪2 x ⎪ ⎨ ⎪ x1 ⎪⎩ x = = = = 1 2 m +y +z = ⎧mx ⎪ Bài 15: Cho hệ phương trình ⎨ x + (1 + m )y + (1 + m )z = m − Tìm tham số m ⎪ x +y + mz = ⎩ để hệ phương trình có nghiệm ⎧ax −3y + z = −2 ⎪ Bài 16: Cho hệ phương trình ⎨ax + y +2 z = (I), a, b tham số ⎪3x +2 y + z = b ⎩ Xác định a, b để hệ (I) hệ Cramer Khi tìm nghiệm hệ theo a, b Tìm a, b để hệ (I) vơ nghiệm Tìm a, b để hệ (I) có vơ số nghiệm tìm nghiệm tổng quát hệ ⎧ x − 3x + x − x = ⎪ ⎪2 x1 + x − x + x = Bài 17: Tìm hệ nghiệm hệ phương trình ⎨ ⎪3x1 − x + x + x = ⎪⎩x1 + x − x + 3x = ðỊNH THỨC A Tóm tắt lý thuyết: I/ Tính chất định thức: TC1: Phép chuyển vị khơng làm thay ñổi ñịnh thức TC2: Nếu ñổi chỗ hai dòng ma trận vng định thức đổi dấu TC3: Nếu định thức có hàng gồm tồn số khơng định thức khơng TC4: Một định thức có hai hàng giống khơng TC5: Nếu nhân phần tử hàng với k định thức nhân lên với k TC6: Một định thức có hai hàng tỉ lệ khơng TC7: Nếu dòng thứ i A có tính chất: aij = λbj + µcj (j = 1, 2, , n) thì: det(A) = λ det(B) + µ det (C) Trong phần tử dòng thứ i B b1, b2, b3 , bn, C c1, ,cn TC8: Nếu có hàng tổ hợp tuyến tính hàng khác ñịnh thức không TC9: ðịnh thức không thay ñổi ta thêm vào hàng tổ hợp tuyến tính hàng khác II/ Tính định thức: (1) ðối với định thức cấp dùng quy tắc Sarrus để tính (2) Tính định thức phép khai triển theo dòng (hay cột) n det A = ∑aijAij ; i = 1, 2, , n j =1 n det A = ∑aijAij ; j = 1, 2, , n i =1 đó: Aij = (-1)i+j detSij (với Sij ma trận có từ ma trận A cách xóa dòng i cột j (3) Tính định thức phép biến ñổi sơ cấp ñưa ñịnh thức dạng tam giác (4) Phương pháp thay ñổi phần tử ñịnh thức: Dựa vào tính chất sau: Nếu ta cộng vào phần tử ñịnh thức D với phần tử x định thức tăng lượng tích x với tổng phần bù ñại số phần tử D Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ mơn Tốn - Lý B/ Bài tập: Bài 3.1 ðịnh thức ma trận thay ñổi ta viết dòng ma trận theo thứ tự ngược lại Bài 3.2 ðịnh thức cấp n thay ñổi nào, ta ñổi dấu phần tử ñịnh thức Bài 3.3 ðịnh thức phản ñối xứng ñịnh thức mà phần tử nằm đối xứng qua đường chéo đối nhau, nghĩa aik = - aki Chứng minh rằng: ñịnh thức phản đối xứng cấp n khơng n lẻ Bài 3.4 Giải phương trình:  a/   1 x a1 a2 an x2 a1 a2 an xn-1 a1n-1 a2n-1 ann-1 1  1    =0 b/    1 1-x 1 2-x =0 1 (n-1)-x a1, a2, , an đơi khác  1 Bài 3.5 Không tính định thức Chứng minh rằng: A =      chia hết cho 13  Bài 3.6 Chứng minh rằng:  a+x a/  x + u  u+a b+y c+z y+v z+w v+b w+c   a b c   x y z  =2   u v w      x0  b/ y z x z y y y x z z x   01 =  1  1 z2 y2 z2 x2 y2 x2     Bài 3.7 Không khai triển định thức, tính  b  c b/  b+c  a  a/   n2 (n+1)2 (n+2)2  (n+1)2 (n+2)2 (n+3)2  (n+2)2 (n+3)2 (n+4)2  b c a c+a c a b a+b     Bài 3.8 Khơng khai triển định thức, chứng minh rằng:  a bc a  b ca  c ab    = (b – a)(c – a)(c – b)   a a b  b b  c c    = (b – a)(c – a)(c – b)  Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ mơn Tốn - Lý  1r  d r r  1  c  a b c  = (a + b + c)(b – a)(c – a)(c – b) 3  a b c  1 r r 1 r 1 1   = (1 – r)3    1  2 e  a b c  = (ab + ac + bc)(b – a)(c – a)(c – b) 3  a b c   a a f  b b  c c +c  a +b  a+b g  a  a  1+a  b h  c  d   2  = (a + b + c + ab + ac + bc)(b – a)(c – a)(c – b)  a+b a a +b + c a a a+b+c a a+b a a a 1+b b b c 1+c c d d 1+d a a a +b a +b + c   = c2(2b+c)(4a+2b+c)    =1+a+b+c+d   Bài 3.9 Tính  13547 13647   a   28423 28523   246 427 327  b  1014 543 443   -342 721 621   31  d 1 1 1  12  e 3 4   g   99 83 16 17 134 20 43 106 60 15 1 1 1         4     1 1 1 1 1 1 1 1 h. 1 1    c  13   -2 1 -3 3 f  -21   4 -4 3 -4 -1 -2 1 i  0 0 0     4 0 -1     0    Bài 3.10 Tính  0x  a y  z 1 c  1 x z y y y x 1 z z x     1  11  b  1    x d  x x a1 1 1 cosc cosb cosc cosa cosb cosa x a2 x x x x x x a3 x x an        Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ mơn Tốn - Lý Bài tập Đại Số Tuyến Tính – Năm học: 2003 - 2004  -1 e  -1  -1  g   n n -2 n -2 -3 1 x1 x2 x3 x12 x22 x32 x1n-1 x2n-1 x3n-1    xn xn2 xnn-1 2 f  2  -1  h      2 2 2 2 n    1 1 0 -1 0 -1 0 0 -1     Bài 3.11 Hãy xét xem hệ phương trình 2.12, hệ phương trình hệ Cramer Giải hệ phương trình theo phương pháp Bài 3.12 Giải lại 2.15 2.16 phương pháp ñịnh thức Biên soạn: GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Dương Minh Thành – Tổ mơn Tốn - Lý CHƯƠNG I MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH §1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN Bài 1: Thực phép tính sau ⎛1 ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝2 3⎞ ⎟ 5⎟ ⎛ 11 5⎞ ⎜ ⎟ 0⎟ ⎝ −7 2⎠ ⎟ 3⎠ ⎛ 4⎞ ⎛ −1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (1 2) ⎝ 1⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎛1 ⎛1 2⎞⎜ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜0 1 0⎟⎜ ⎝3 ⎠⎜1 1⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎝ ⎛ cos ϕ ⎜ ⎝ sin ϕ − sin ϕ ⎞ ⎟ cos ϕ ⎠ n 4⎞ ⎟ 1⎟ 2⎟ ⎟ 3⎠ ( n ∈ `, ≤ ϕ < 2π ) ⎛1 a⎞n ⎟⎟ , a ∈ R n ∈ ` ⎜⎜ ⎝0 1⎠ ⎛ 1⎞ Bài 2: Cho A = ⎜ ⎟ f ( x ) = 3x + x − Tính f ( A) ⎝ 3⎠ Bài 3: ⎞ ⎛ x + y⎞ ⎛x y⎞ ⎛ x Tìm số thực x, y , z , w cho ⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎠ ⎝ z w ⎠ ⎝ −1 w ⎠ ⎝ z + w ⎛ 1⎞ Tìm tất ma trận cấp giao hoán với ma trận A = ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎛ −1 −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t t t Bài 4: Cho ma trận A = ⎜ 2 ⎟ , B = ⎜ −1 ⎟ , C = ⎜ ⎟ Tính C B A ⎝ ⎠ ⎜ 2⎟ ⎜ 2 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Bài 5: Tìm ma trận X trường hợp sau ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ X ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ X − X ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝ −1⎠ ⎛ 2⎞ ⎟ ⎜ ⎜ 4⎟ X ⎟ ⎜ ⎝ 5⎠ ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ 6⎟ = ⎜ 2⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ 1⎠ ⎝ −2 1⎠ §2 ĐỊNH THỨC Bài 6: Tính định thức sau −1 −2 2 4 3 4 4 3 4 a+x x x b+x 4 x x x x2 + x c+x 3 2 3 3 n −1 n −1 n −1 n n n Bài 7: Tính định thức cấp n sau n − n n − n 1 n − n n n − 1 1 2 3 n − n − 1 n − n Bài 8:Giải phương trình sau x x x3 1 =0 27 16 64 §3 HẠNG CỦA MA TRẬN Bài 9: Tìm hạng ma trận sau xy xz x a a " a a x a " a a a x " a " " " " " a a a " x x x +1 x + 2 x + x + x + = x+6 x+7 x+8 xy xz y +1 yz yz z +1 n −1 n −1 n −1 n −1 n n n n n n ⎛ −1⎞ ⎛ −1 ⎜ ⎟ −1 −3 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ −2 ⎜ −1 ⎟ ⎜ −1 ⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎝ ⎠ ⎛ −4 ⎞ ⎛ −4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −1 −4 ⎟ −2 ⎟ ⎜ 3 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −10 ⎟ ⎝ −7 ⎜2 ⎟ ⎠ ⎝ Bài 10: Tùy theo tham số m , tìm hạng ma trận sau ⎛ 3⎞ ⎛3 ⎜ ⎟ ⎜ 6⎟ 2 ⎜ ⎜ ⎜ 9⎟ ⎜m ⎜ ⎟ ⎜ ⎝10 m 12⎠ ⎝1 −2 ⎞ ⎟ 7⎟ ⎟⎠ 1 −4 −1 −4 10 17 0⎞ ⎟ 2⎟ 1⎟ ⎟ 5⎠ 4⎞ ⎟ 3⎟ 1⎟ ⎟ 3⎠ ⎛m 1 ⎞ ⎜ ⎟ Bài 11: Cho ma trận A = ⎜ m m ⎟ Tìm m để r ( A) < ⎜ 1 m2 ⎟ ⎝ ⎠ §4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 12: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau phương pháp biến đổi sơ cấp ⎛1 5⎞ ⎛1 2⎞ ⎛1 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜3 0⎟ ⎜3 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 0⎟ 2 0⎟ 1 0⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 1 2⎟ ⎜0 2 1⎟ ⎜0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝1 0 1⎠ §5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 13: Giải hệ phương trình tuyến tính sau ⎧ x1 − 2x + x + 2x = ⎪ ⎨ x + x − x + x = ⎪x + 7x − 5x − x = ⎩ ⎧ x1 + 3x + x3 + x = ⎪ ⎨ x1 − x − 3x3 − x = ⎪3x + x + x + x = ⎩ Bài 14: Giải biện luận hệ phương trình sau +z = ⎧mx + y ⎪ ⎨ x + my + z = m ⎪ x + y + mz = m ⎩ ⎧x ⎪ ⎨x ⎪x ⎩ −2 x +x +x −x +2 x +x +7x −5x −x + y + (1 − m )z = m + ⎧ x ⎪ +2 z = ⎨(1 + m )x − y ⎪ 2x − my +3z = m+2 ⎩ = = m = 4m +3x +5x +5x +3x +2 x +2 x +6 x +4 x +4 x +9 x + mx +3x +2 x −x3 = −3x +7x = −1 +x +3x = +x +2 x = m +2 x +3x + mx = ⎧ x1 ⎪2 x ⎪ ⎨ ⎪− x ⎪⎩ 5x m+2 +x +x + mx = m +1 +3x +4 x +2 mx = 2m + +4 x +2 x +3mx = 3m + +x +2 x +2 mx = m2 + m + ⎧ 2x1 − x + x + x = ⎪ ⎨ x + x − x + x = ⎪x + 7x − x + 11x = m ⎩ ⎧ x1 ⎪x ⎪⎪ ⎨2 x ⎪3 x ⎪ ⎪⎩ x ⎧ x1 ⎪2 x ⎪ ⎨ ⎪ x1 ⎪⎩ x = = = = 1 2 m +y +z = ⎧mx ⎪ Bài 15: Cho hệ phương trình ⎨ x + (1 + m )y + (1 + m )z = m − Tìm tham số m ⎪ x +y + mz = ⎩ để hệ phương trình có nghiệm ⎧ax −3y + z = −2 ⎪ Bài 16: Cho hệ phương trình ⎨ax + y +2 z = (I), a, b tham số ⎪3x +2 y + z = b ⎩ Xác định a, b để hệ (I) hệ Cramer Khi tìm nghiệm hệ theo a, b Tìm a, b để hệ (I) vơ nghiệm Tìm a, b để hệ (I) có vơ số nghiệm tìm nghiệm tổng quát hệ ⎧ x − 3x + x − x = ⎪ ⎪2 x1 + x − x + x = Bài 17: Tìm hệ nghiệm hệ phương trình ⎨ ⎪3x1 − x + x + x = ⎪⎩x1 + x − x + 3x =