Tiểu luận toán cao cấp đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc tính xác định dấu của dạng toàn phương đại học thương mại

Tính xác định dấu của dạng toàn phương” là một trong những nôi dung khá quan trọng và cần thiết trong chương trình học bộ môn toán cao cấp.. Để hiểu sâu hơn và chính xác hơn, cũng như để

Tính xác định dấu của dạng toàn phương” là một trong những nôi dung khá

quan trọng và cần thiết trong chương trình học bộ môn toán cao cấp Để hiểu sâu hơn và chính xác hơn, cũng như để được cùng các bạn sinh viên và cô giáo trao đổi, thảo luận về nội dung này, chúng tôi đã chọn nội dung này làm đề tài thảo luận cho nhóm

Đề tài gồm phần lý thuyết và phần bài tâp Phần lý thuyết đã trình bày một cách cô đọng các khái niệm cơ bản về dạng toàn phương và tập trung vào 2 nội dung cơ bản: biến đổi dạng toàn phương về dạng chính tắc và dấu hiệu để xác định dấu của dạng toàn phương Sau mỗi nội dung đều có ví dụ minh họa, cuối

đề tài là phần bài tập gồm các bài tập có liên quan đã được giải một cách chi tiếtbằng nhiều phương pháp để thấy được phương pháp nào là phù hợp nhất

Qua đề tài này, hy vọng rằng nó sẽ phần nào cung cấp lại cho các bạn trong nhóm cũng như các bạn sinh viên trong lớp nội dung kiến thức: thế nào là dang toàn phương? Có những phương pháp nào để đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, phương pháp nào thì phù hợp nhất đối với mỗi dạng toàn phương để đưa chúng về dạng chính tắc? Và tính xác định dấu của dạng toàn phương

Cuối cùng, tuy nhóm chúng tôi đã chuẩn bị đề tai khá kỹ nhưng không thể tránh khỏi sai xót Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các bạn và cô giáo để đề tài của chúng tôi hoàn thiện hơn

định dấu của dạng toàn phương

Lời mở đầu 1

A Lý thuyết: I> Một số khái niệm cơ bản: 3

1 Dạng toàn phương 3

2 Dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc 4

3 Giá trị riêng và véc tơ riêng 5

II> Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 5

1 Phương pháp giá trị riêng 5

2 Phương pháp Jacobi 6

3 Phương pháp Lagrange 8

III> Tính xác định dấu của dạng toàn phương 10

1 Định nghĩa và hệ quả 10

2 Dấu hiệu nhận biết tính xác định dấu 11

B Bài tập: Bài 5.2 14

Bài 5.3 17

Bài 5.4 21

Bài 5.5 22

Bài 5.6 30 Kết luận:

Trong đó aij là các số thực thỏa mãn aij= aji  i,j = 1, n, gọi là một dạng toàn

phương của các biến đó

n

x x x

1 :

Nếu ở dạng toàn phương chính tắc (2) các hệ số ki chỉ nhận giá trị 1, -1 hoặc

0 thì ta nói dạng toàn phương có dạng chuẩn tắc

F(x1, x2, x3) = x22 – x32

F(x1, x2, x3) = x12 + x22 – x32

là các dạng toàn phương chuẩn tắc

3 Giá trị riêng và véc tơ riêng:

Cho A là ma trận vuông cấp n Gọi E là ma trận đơn vị cấp n

Khi đó phương trình |A-kE| = 0 với k là ẩn số cần tìm, gọi là phương trình đặc trưng của A Phương trình đặc trưng trên có đúng n nghiệm phức Các nghiệm phức của phương trình đặc trưng gọi là các giá trị riêng của ma trận A

Tồn tại véc tơ V0 trong Rn thỏa mãn

(A – kE).V=0

 AV = kV thì véc tơ V là véc tơ riêng của ma trận A

II> Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, chuẩn tắc:

1 Phương pháp giá trị riêng:

Xét phương trình đặc trưng: A kE 

= 0 (3)Giả sử k1, k2, , kn là các nghiệm kể cả nghiệm 0 và nghiệm bội củaphương trình đặc trưng (3) Khi đó dạng toàn phương ban đầu được đưa

n

i i i

11 12 2

- Δi≠0 là điều kiện bắt buộc

- Khối lượng các phép tính ở đây là rất lớn nhưng phương pháp Jacobi vẫn

được ưa chuộng vì có thể tránh được việc phải giải nhưng phương trình đại số bậc cao

- Ta có thể đổi thứ tự ký hiệu của các biến Khi đó các định thức con chính

cũng thay đổi theo, tuy nhiên điều đó không ảnh hưởng đến kết quả của định lí.V

í dụ : Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Jacobi

F x x x( , , )1 2 3 x12 2x x1 2  x32(*)

Có ma trận là :

Ví dụ: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:

III> Tính xác định dấu của dạng toàn phương:

+ Nửa xác định dương nếu là suy biến và F(X)≥0  XєR R

+ Nưả xác định âm nếu là suy biến và F(X)≤0  XєR R

+ Không xác định (hay đổi dấu) nếu ∃X,Y єR Rn sao cho F(X).F(Y) < 0

b) Hệ quả: đối với dạng toàn phương chính tắc là:

+ Xác định dương nêú ki > 0  i=1, n´

+ Xác định âm nêú ki < 0  i=1, n´

+Nưả xác định dương nêú ki ≥ 0  i=1, n´ và ∃ j sao cho kj=0

+Nưả xác định âm nêú ki ≤ 0  i=1, n´ và ∃ j sao cho kj=0

+Đôỉ dâú nêú ∃ ki,kj: ki.kj<0

Ví dụ: Xét tính xác định dấu, đổi dấu của dạng toàn phương

¿ > ¿ta nhận thấy các giá trị riêng đều lớn hơn 0 DTP xác định dương

- Xác định âm khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của nó đều âm

- Nửa xác định dương khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của nó đều không âm

và có ít nhất một giá trị riêng của nó bằng 0

Ta được: G(y1,y2,) = y12 –y22

¿ > ¿Hệ số của dạng toàn phương chính tắc là:1,-1.Do đó dạng toàn phương đổi dấu

Ma trận A có n×n thì phương trình đặc trưng là một phương trình đại số cấp n

Vì vậy, việc tìm các giá trị riêng của A khi n>2 nói chung là khó Việc xác định dấu có thể đơn giản hơn nhờ định lý sau:

Định lý Sylverster: Dạng toàn phương là

- Xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính đều dương

Ví dụ: F(x1,x2,x3)=2x12+3x22+5x32- 2x1x2+4x1x3+2x2x3

Ta có: A=(−12 −1 23 1

Ta tính được định thức con chính:D1=2, D2=5, D3=7 Do đó ta nhận tấy dạng

toàn phương là xác định dương (theo định lý)

- Xác định âm khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính cấp lẻ đều âm, cấp chẵn đều dương

Vậy dạng toàn phương có dạng: G y y y 1, ,2 3 y12 y22y32

Do có 2 hệ số trái dấu nên DTP không xác định

2 F x x x 1 , , 2 3 x12  5x22 7x32 2x x1 2  4x x2 3  2x x1 3

Ta có:

2 4

m m

Dạng toàn phương nửa xác định dương.

Với m = - √8

F(x1,x2,x3,x4)= 5x12 + x22 + 2x32 + 4x42 - 2√8x1x3 - 4x1x4

= 2(√2x1 - x3)2 + (x1 - 2x4)2 + x22

Dạng toàn phương nửa xác định dương

Vậy với m= −√8 hoặc m = √8 thì dạng toàn phương nửa xác định dương

DTP nửa xác định dương khi [m= m=03

Để dạng toàn phương xác định dương thì: { m¿ 0 ¿¿¿¿ ⇒ m ¿ √ 2 ¿

Để dạng toàn phương không suy biến thì : | A| ¿0 dễ dàng tính được:

| A| =5(2m2-4)

Vậy ta có: 2m2 - 4 ¿ 0 ⇔m≠± √ 2

F(x1,x2,x3,x4) = (x1-2x2)2 + (x2+mx3)2 + (6-m2)x32 + 5x2

4Thực hiện phép biến đổi:

Bài Tập 5.5 :Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc,chuẩn tắc

2 2 3

2 3 2

Vậy dạng toàn phương chính tắc này là:

G(y1,y2,y3)=2y12-2y22+0y32

Ma trận dạng toàn phương này là:

Thông qua đề tài này, nhóm chúng tôi hy vọng sẽ cung cấp phần nào kiến

thức về nội dung: “ Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Tính xác định dấucủa dạng toàn phương” Với những bài tập dưới đây chúng tôi đã cố gắng giải thật chi tiết và bằng nhiều phương pháp đã nêu ở phần lý thuyết

Chúc các bạn sinh viên sẽ tự tìm được cho mình phương pháp học tập đúng đắn và cách giải các dạng bài tập này một cách nhanh nhất, phù hơp nhất Chúc các bạn học tốt và thi tốt

Tài liệu tham khảo:

1 Giáo trình toán cao cấp của Đại học Thương Mại

2 Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp (Phần 1: Đại số tuyến tính) Trường ĐH Thương Mại