Bài tiểu luận toán cao cấp C2
Trang 1CHƯƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
A.LÝ THUYẾT:
1.1 Đạo hàm riêng:
Định nghĩa:Cho hàm 2 biến f:
X x,y R2Z X fx R,2y
X: tập xác định
Xét f x y 0 , 0
/
0
/
0
lim
lim
x x
y y
f x x y f x y
f
x
f x y y f x y
f
y
1.2 VI PHÂN:
* Định nghĩa:
Cho hàm số z = f (x,y) đạo hàm riêng của hàm số theo biến x, kí hiệu là:
)
(x
f x
Z
x
f
x
z
là giới hạn limx 0 f(x x,y) f(x,y)
* Vi phân hai biến:
Định nghĩa:
Cho hàm số z = f(x,y) thì
2 / / 2 2 / / // 2
dz z dx z dy
d z z dx z dxdy z dy
y x z d
n n
B BÀI TẬP:
Câu 1 : Cho hàm số z f x y( , ) e2x 3y
?
n
n x
z
Giải:
Ta có:
x y x y
x y x y
x y x y
z x n n n e x y
3 2 )
( 2
Câu 2: Cho hàm số zf x y( , ) xe yTính z 4 ?
Trang 2Ta có:
4
/ / / /
( ) ( ) ( ) ( )
x
y x
zf x y e xTính 2
(4)
?
yxy
z
Giải:
Ta có:
2
/ ///
/ (4)
( ln ) ln
( ln )
y y
yxy
y
yxy
y
e
x
z
z
5 ?
x
z
Giải:
Ta có:
5
/ /
/
xy x
z y e
Câu 5: Cho hàm số zf x y( , ) sin xyTính n ?; n ?
z z
Giải:
Ta có:
/ /
/
/
/ /
/
Câu 6: Cho hàm số zf x y( , ) cosxyTính z xx// ?;z/ /xy ?;z//yy ?
Trang 3
/ /
/
/
/ /
cos
2
cos
2
n
n
x
y
Giải:
dz Z dx Z dy
z = x2 + 4y
z/
x = (x2 + 4y )/ = 2x
z/
y = (x2 + 4y )/ = 4y.ln4
Giải:
dz Z dx Z dy
z = ln x y
z/
x
x y = ( x x y y)/ =
1
2( )
x y
x y
x y
z/
x
x y = ( x x y y)/
1
2( )
x y
x y
x y
x y
y
( 2
1
2( )
dx dy
x y
Giải:
dz Z dx Z dy
z = arcyg y x( )
Trang 4z/
x arcyg y x( )/x 1 2
1 (y x)
z/
y arcyg y x( )/y 1 2
1 (y x)
dz
Giải:
dz Z dx Z dy
/x 2 2 cos
Z x y y xy
/y 2 cos
Z x x xy
dz x y y xy dx x xy dy
Giải:
2
2 2
xx
xy
yy
2(sin ) sin 2cos sin sin 2
2
z 2cos2x
z 0
z 2.e 4 e
x
y y
y
z y e
y
2
2 2cos 2 2 2 y (1 2 ) 2 2
, tính z/ /xx ?,z/ /yy ?,z/ /xy ?
Giải:
( 2 ) x y x y x
z x y e e
( 2 ) x y x y xx
z x y e e
' ( 2 ) / x 2y 2. x y
y
z x y e e
'' 2.( 2 ) / x 2y 4. x 2y
yy
z x y e e
z/ ( 2 ) / 2 2
z// ( 2 ) / 2 2 2
Trang 5Ta có:
2 / /xx 2 2 / /xy / /yy 2
d z Z dx Z dxdy Z dy
/
//
2 /
//
//
2
ln
0 1
2
x
xx
y
yy
xy
y Z
x y Z
x
Z
Z
x y
Giải:
Ta có:
2 / /xx 2 2 / /xy / /yy 2
d z Z dx Z dxdy Z dy
//
//
//
2 sin
2 sin 2 sin 2
2 os2 2sin cos 2sin 2
2 2sin 2 2 os2
x
xx
y
yy
xy
Z
d z dx ydxdy xc ydy
Giải:
2 / /xx 2 2 / /xy / /yy 2
d z Z dx Z dxdy Z dy
//
//
//
2 sin
2 sin 2 sin 2
2 os2 2sin cos 2sin 2
2 2sin 2 2 os2
x
xx
y
yy
xy
Z
d z dx ydxdy xc ydy
Trang 6Ta có:
2 / /xx 2 2 / /xy / /yy 2
d z Z dx Z dxdy Z dy
//
//
//
2 6 6
d z y dx xy dxdy x ydy
CHƯƠNG II: CỰC TRỊ
A LÝ THUYẾT:
1.1 CỰC TRỊ TỰ DO:
Điểm P(a,b) được gọi là cực trị địa phương của hàm z =f(x,y) nếu:
giả thiết: f a b ; f x y , , x y, Q P( )lân cận điểm P
Cực trị = cực đại + cực tiểu
; 0; ; 0
*Phương pháp tìm cực trị tự do:
Z = f(x,y), D
Tìm cực đại:
Bước 1: z x/ ,z/y
) , ( 0
/
/
o o y
z
o
z
( , )o o
I x y được gọi là điểm dừng
Bước 2:
Tính z xx// ,z xy// ,z//yy
Bước 3:
Trang 7Đặt
o o
yy
o o xy
o o xx
y x z C
y x z B
y x z A
, ,
) , (
Nếu 0 x , o y o là cực trị
0
1.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN:
thoả mãn x o,y o 0
* Điều kiện cần:
0
;
0
;
;
0
;
;
o o
o o
o o
o o
o o
y x
y x
y y
x y f
y x
x y
x x f
(I)
* Phương pháp tìm cực trị có điều kiện :
Cách 1: Từ x,y 0 ta tính yy x Thay yy x vào f x y , x
Cách 2:
* Giải hệ (I) để tìm điểm dừngx y0 , 0và o
o o
o yy
o o
o xy
o o
o xx
y x
L C
y x
L B
y x
L A
;
;
;
;
;
;
+ A 0 x y0 , 0 là điểm cực tiểu
+ A 0 x y0 , 0 là điểm cực đại
B BÀI TẬP:
Trang 8Câu 17: Cho hàm z x 2 2x y 2 Tìm cực trị?
Giải:
Ta có :
/
/
0
2x x
Đặt:
/ //
/ //
/ //
Và A = 2 > 0 Hàm đạt cực tiểu tại điểm M(1,0)
Giải:
3
2
4 16
2
0 2
(0;0); (2;0); ( 2;0) 2
0
12 16
0
2
x
y
xx
xy
yy
x x
x
y
z
z
Trang 92 1
1
1
1 1 1 1
(0;0)
12 16 16
0
2
16*2 0 32 0
xx
xy
yy
M
B z
C z
A C B
Vậy M 1 (0;0) không phải là cực trị của hàm số
2
2 2
2
2
(2;0)
12 16 32
0
2
32*2 0 64 0, 0
xx
xy
yy
M
B z
C z
3
2 3
3
3
( 2;0)
12 16 64
0
2
64* 2 0 128 0, 0
xx
xy
yy
M
B z
C z
Giải:
Ta có :
( 2 1) 2 2
0 2
y x
x
(2 2 ) 2 (2 2 ) 2 ( 2 ) 0
Đặt:
Trang 10//
//
2 2 0 2*0 ( 2) 4 0
xx xy yy
A z
B z
C z
AC B
Hàm z không có cực trị tại M(0;0)
2
2
(0;0)
2 1 2
x
y
x
y
xx
xy
yy
z x y
z x y
M
A z
B z
C z
2 2*2 1 2 3 0 (0;0)
là cực trị
Giải:
Ta có :
1 2 0
2 2
0 1
x y
2
M
Đặt:
(2 2) 2 (2 2) 0 ( 2 1) 2 2*( 2) 0 4 0
AC B
2
M
Trang 112
2
27
3 2
y
z
x
z
y
x
0 2 2 0 27 3 0
y
x z z
y x
hệ vô nghiệm, không có điểm dừng
Câu 23 : Cho hàm z 2x2 6xy 5y2 4 Tìm cực trị?
Giải:
4 6
6 10
(0;0)
0
x
y
x
M
z
Đặt:
/
/
/
6 10 10
40 36 4 0;A 4 0 M 0;0
là điểm cực tiểu
Giải:
/
/
3
3
(1; 2)
x
y
M
/
/ 3
/
2 12*( 48) 0 2 576 0
AC B
Trang 12Câu 25: Tìm cực trị của hàm số: 2 2 2 2 2
0 1 )
, (x y xy
Giải:
/
/
4
x
y
x
y
(3) => y = x - 1 (2/)
2( x -1) – 2 + 4 x = 0
3
2
x
3
1
0 6
2 4
) 3
8
; 3
1
; 3
2
(
0
2 0
4
) 3
8
; 3
1
; 3
2 (
2 2
2 2
/ /
2 2
2
dx dx
dx L
d
dx dy
dy dx
ydy xdx
d
dy dxdy dx
L
d
M
) 3
1
;
3
2
Câu 26 : Cho hàm z 3x2 2e y 2y 3 Tìm cực trị?
Giải:
Trang 13
/ 2
/ 2
(0;0)
y
x
y y
M
/
/
6*2 0 12 0
AC B
Giải:
/ 2
/ 2
ln 2 2
1
2 0
(0; 1) 1
x
y
y x
M
y
/
/
/
2 2
1 2*1 0 2 0
yy
y
C z
AC B
Giải:
Trang 14
/
/
5
4
os 32 6 sin 2
0 6 sin 2 0
x
y
Không có điểm dừng Vậy hàm z không có cực trị
Câu 29 : Cho hàm z xe yx3 2y2 4y Tìm cực trị?
Giải:
/
/
2
2
x
y y
x
Không có điểm dừng Vậy hàm z không có cực trị
2
y
Giải
/ 2
/ 2
2
1
1
4 4 0 0
1
3 2
x
x
y
y x
y
y
y
x x
z
3
M
Trang 15/
/
/
3
2
yy
y
AC B
3
M
2
y
Giải:
/ 2
/ 2
1
2
1
ln ln
2 1
1 0
1
x
x
y
y
x
y
y
x y
y
y
Có 2 điểm dừng M11;1 ; M21; 1
* Xét điểm M11;1 :
/
/
/
1 1
1
1 * 2 0 2 0
xx
x
xy
y
yy
y
A z
B z
x
AC B
Và A 1 0 M1 (1;1)là điểm cực đại của hàm z
Có 2 điểm dừng M11;1 ; M21; 1
* Xét điểm M21; 1 :
Trang 16
/
/
/
2 2
1 1
1
1 * 2 0 2 0
xx
x
xy
y
yy
y
A z
B z
x
AC B
Và A 1 0 M2 (1; 1) là điểm cực đại của hàm z
ln 2
Giải:
Đặt
2
/
2
2
ln 2 4
2 2
2 4
1
2 2
1
2 4
x z
x x
x x
y
x x
Giải:
2 /
2 /
3 6
3 1
0 3
3 6
1
x x z
x x
x y
x x z
y
/
0
1
CT
x 0.5 0 0.6 2 2.8
2
3 x 6 x
0
0
0
x
Trang 17Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm M10; 3 và M22; 1
3
x
1
x y
Giải:
3
2
/ 2
3
2 3
1 2
3 10
x
x y
x y
x
/
CĐ
CT
Trang 18TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Ngô Thành Phong Giáo trình toán cao cấp ĐHKHTN 2003
2 Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác
3 Trang wed Google.com