Bài tiểu luận toán cao cấp C2

Bài tiểu luận toán cao cấp C2

Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh HàCHƯƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂNA.LÝ THUYẾT:1.1 Đạo hàm riêng:Định nghĩa:Cho hàm 2 biến f: ( ) ( )yxfZyxRXRX,,22=→⊆→ X: tập xác địnhXét ( )0 0,f x y( ) ( )( ) ( )0 0 0 0/00 0 0 0/0, ,lim, ,limxxyyf x x y f x yfxf x y y f x yfy→→+ ∆ −=∆+ ∆ −=∆VV1.2 VI PHÂN: * Định nghĩa: Cho hàm số z = f (x,y) đạo hàm riêng của hàm số theo biến x, kí hiệu là:)(xfxZxfxz′=′=∂∂=∂∂ là giới hạn ),(),(lim0yxfyxxfx−∆+→∆* Vi phân hai biến:Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x,y) thì / /2 // 2 // // 22x yxx xy yydz z dx z dyd z z dx z dxdy z dy= += + +Tổng quát: fyxzdnn∂∂+∂∂=B. BÀI TẬP:Câu 1 : Cho hàm số 2 3( , )x yz f x y e+= =Tính ( )?nnxz =Giải:Ta có: / / 2 3 2 3// / 2 3 2 3/// / 2 3 2 3(2 3 ) 22(2 3 ) 44(2 3 ) 8x y x yx xx y x yxx xx y x yxxx xz x y e ez x y e ez x y e e+ ++ ++ += + == + == + = ⇒ yxnnxezn32)(.2+=Trang 1 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh HàCâu 2: Cho hàm số ( , )yz f x y xe= =Tính ( )44?y xz =Giải:Ta có: ( )4/ /// //// /4/( )( )( )( )y yy yy yyy yy yyyy yy yxy xz xe xez xe xez xe xez xe e= == == =⇒ = = Câu 3 : Cho hàm số ( , ) lnyz f x y e x= =Tính 2(4)?yxyz =Giải:Ta có: 2/ /// //////(4)( ln ) ln( ln )y yy yyyyx xy yyxyyy yyxyyz e x e xez e xxe ezx xe ezx x= == = = =   = =   Câu 4: Cho hàm số ( , )xyz f x y e= =Tính 55?xz =Giải:Ta có: ( )( )( )5///// 255xy xyxxxy xyxxxxyxz e yez ye y ez y e= == =⇒ =Câu 5: Cho hàm số ( )( , ) sinz f x y xy= =Tính ( ) ( )?; ?n nn nx yz z= =Giải:Ta có: ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )///// 2/// 2///// 2sin osos sinsin os sinsin osos sinxxxxxxyyyyyyyz xy yc xyz yc xy y xyz y xy c xy xy xyz xy xc xyz xc xy x xy= == = −= − = −= == = − Câu 6: Cho hàm số ( )( , ) osz f x y c xy= =Tính // // //?; ?; ?xx xy yyz z z= = =Trang 2 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )///// 2//// 2 3//os sinsin cosos sincos2os sincos2nnxxxxxxxxxnnxyynnyz c xy y xyz y xy y xyz y c xy y xyz y xy nz c xy x xyz x xy nππ= = −= − = −= − = ⇒ = +  = = − ⇒ = +  Câu 7: Tìm vi phân cấp một của hàm số: 2 4z x y= +Giải:Ta có: / /x ydz Z dx Z dy= + z = x2 + 4y z/x = (x2 + 4y )/ = 2x z/y = (x2 + 4y )/ = 4y.ln4 ⇒dz = 2xdx + 4yln4dyCâu 8: Tìm vi phân cấp một của hàm số: ( )yxz−=lnGiải:Ta có: / /x ydz Z dx Z dy= + z = ( )yx −ln z/x = ( )/lnxx y−= yxyx−−/)( = ( )1212( )x yx yx y−=−− z/y = ( )/lnxx y−= yxyx−−/)( = ( )1212( )x yx yx y−= −−− 12( )dz dxx y⇒ =−dyyx )(21−− 2( )dx dyx y−=−Câu 9: Tím vi phân cấp một của hàm số: ).( xyarcygz −=Giải:Ta có: / /x ydz Z dx Z dy= + z = ( )arcyg y x− Trang 3 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà z/x ( )/( )xarcyg y x= − 211 ( )y x= −+ − z/y ( )/( )yarcyg y x= − 211 ( )y x=+ − ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1dx dy dy dxdzy x y x y x− −⇒ = + =+ − + − + −Câu 10: Tìm vi phân dz của hàm: 22 sin( )z x xy xy= − +Giải:/ /x ydz Z dx Z dy= +( )/2 2 .cosxZ x y y xy= − +( )/2 .cosyZ x x xy= − +( ) ( ) ( )( )2 .cos 2 cosdz x y y xy dx x xy dy ⇒ = − + − −   Câu 11: Tính vi phân cấp 2 của hàm: 22sinyexz +=Giải:22 2xxxyy 2yy2(sin ) .sin 2cos sin sin 22 .z 2cos2xz 0z 2.e 4 .e xyyyz x x x x xz y ey′ ′= = =′=′′=′′=′′= + 22 2 2 22cos2 2 (1 2 )yd z xdx e y dy⇒ = + +Câu 12: Cho hàm hai biến yxez2+=, tính // // / /?, ?, ?xx yy xyz z z= = =Giải: / / 2 2( 2 )x y x yxz x y e e+ += + = // / 2 2( 2 )x y x yxxz x y e e+ += + = / 2' ( 2 ) . 2.x y x yyz x y e e+ += + = / 2 2'' 2.( 2 ) . 4.x y x yyyz x y e e+ += + = yxyxxeeyxz22//)2(++=+= yxyxxyeeyxz22///.2)2(++=+=Câu 1 3 : Tìm vi phân cấp hai 2d z của hàm hai biến lnz y x=Trang 4 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh HàGiải:Ta có: 2 // 2 // // 22xx xy yyd z Z dx Z dxdy Z dy= + +///2/////2 22ln012. .xxxyyyxyyZxyZxZ xZZxyd z dx dxdyx x== −===⇒ = − +Câu 1 4 : Tìm vi phân cấp hai 2d z của hàm hai biến 2 2sinz x x y= +Giải:Ta có: 2 // 2 // // 22xx xy yyd z Z dx Z dxdy Z dy= + +/ 2/// 2////2 2 22 sin2sin 2 sin 22 os22sin cos 2sin 22 2sin 2 2 os2xxxyyyxyZ x yZZ y x yZ xc yZ y y yd z dx ydxdy xc ydy= +== += −= = −⇒ = − −Câu 15: Tìm vi phân cấp hai zd2 của hàm hai biến .cos22yxxz +=Giải:2 // 2 // // 22xx xy yyd z Z dx Z dxdy Z dy= + +/ 2/// 2////2 2 22 sin2sin 2 sin 22 os22sin cos 2sin 22 2sin 2 2 os2xxxyyyxyZ x yZZ y x yZ xc yZ y y yd z dx ydxdy xc ydy= +== += −= = −⇒ = − −Câu 16: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biếnn .32yxz =Trang 5 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh HàGiải:Ta có: 2 // 2 // // 22xx xy yyd z Z dx Z dxdy Z dy= + +( )( )( )//// 2 3 3//// 2 3 2//// 2 3 22 3 2 2 2 22662 12 6xxxxxyxyyyyyz x y yz x y xyz x y x yd z y dx xy dxdy x ydy= == == =⇒ = + +CHƯƠNG II: CỰC TRỊA. LÝ THUYẾT:1.1 CỰC TRỊ TỰ DO:Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D⊆ R2Điểm P(a,b) được gọi là cực trị địa phương của hàm z =f(x,y) nếu:giả thiết: ( ) ( ) ( ); , , , ( )f a b f x y x y Q P≥ ∀ ∈lân cận điểm PCực tiểu địa phương ( ) ( ); ,f a b f x y<Cực trị = cực đại + cực tiểuĐiểm dừng: ( );P a b( ) ( ); 0; ; 0f fa b a bx y∂ ∂= =∂ ∂Nếu f tồn tại cực trị địa phương thì nó đạt cực trị địa phương tại các điểm dừng*Phương pháp tìm cực trị tự do:Z = f(x,y), DTìm cực đại:Bước 1: //,yxzz),(0//ooyxyxIzoz⇒== ( , )o oI x yđược gọi là điểm dừng.Bước 2:Tính //////,,yyxyxxzzzBước 3:Trang 6 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh HàĐặt ( )( )ooyyooxyooxxyxzCyxzByxzA,,),(′′=′′=′′=Xét 2BAC −=∆Nếu ∆ <0 → điểm (xo,yo) không phải là cực trịNếu ( )ooyx ,0 →〉∆ là cực trịVới A>0 ⇒ (xo,yo) là điểm cực tiểuVới A<0 ⇒ (xo,yo) là điểm cực đại0=∆dùng phương pháp khác hoặc chưa thể kết luận1.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN:Cho hàm số z = f(x,y) và hàm số ( )yx,ϕĐiểm (xo,yo) được gọi là điểm cực trị của hàn số f(x,y) với điều kiện ( )0, =ooyxϕ nếu nó là cực trị của z = f(x,y) và thoả mãn ( )0, =ooyxϕ* Điều kiện cần: Giả sử (xo,yo) là cực trị của hàm z = f(x,y) với điều kiện 0),( =yxϕ. Ta giả thiết thêm các hàm f(x,y) ;( )yx,ϕ có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của điểm (xo,yo). Khi đó sẽ tồn tại một số λthoả: ( ) ( )( ) ( )( )==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂0;0;;0;;ooooooooooyxyxyyxyfyxxyxxfϕϕλϕλ (I)Khi đó (xo,yo) gọi là điểm dừng λ: nhân tử Lagreange* Phương pháp tìm cực trị có điều kiện :Cách 1: Từ ( )0, =yxϕ ta tính ( )y y x=. Thay ( )y y x=vào ( )( ),xf x yta được hàm một biến theoxCách 2: * Giải hệ (I) để tìm điểm dừng( )0 0,x yvà oλ *( )( )( )′′=′′=′′=oooyyoooxyoooxxyxLCyxLByxLAλλλ;;;;;; Xét 2BAC −=∆Trang 7 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà Nếu 0∆ < hàm fkhông có cực trị tại ( )0 0,x y Nếu 0∆ > hàm f có cực trị + ( )0 00 ,A x y> ⇒là điểm cực tiểu + ( )0 00 ,A x y> ⇒là điểm cực đạiB. BÀI TẬP:C âu 17 : Cho hàm 2 22z x x y= − + Tìm cực trị?Giải: Ta có : ( )( )// 2 2// 2 22 2 22 2xxyyz x x y xz x x y y= − + = −= − + =Giải hệ phương trình: { {1002202===−=⇔xyxy⇒điểm M(1,0) là điểm dừngĐặt:( )( )( )/////////2 2 22 22 2 0xxxyyyxyyA z xC z yB z x= = − == = == = − =Ta có: 22*2 0 4 0AC B∆ = − = − = > Hàm có cực trị.Và A = 2 > 0 Hàm đạt cực tiểu tại điểm M(1,0)C âu 18 : Cho hàm 4 2 28 5z x x y= − + + Tìm cực trị?Giải:Trang 8 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà33 21 2 324 162024 16 0 4 ( 4) 0(0;0); (2;0); ( 2;0)22 0 0012 1602xyxxxyyyz x xz yxxx x x xM M Mxy yyz xzz′= −′= == − = − =⇔ ⇔ ⇒ −  = −= = =′′= −′′=′′=Có 3 điểm dừng 1 2 3(0;0); (2;0); ( 2;0)M M M −121112 21 1 1 1(0;0)12 16 160216*2 0 32 0xxxyyyMA z xB zC zAC B+′′= = − = −′′= =′′= =∆ = − = − − = − <Vậy M1(0;0) không phải là cực trị của hàm số222222 22 2 2 2 2(2;0)12 16 320232*2 0 64 0, 0xxxyyyMA z xB zC zA C B A+′′= = − =′′= =′′= =∆ = − = − = > >Vậy M2(2;0) là điểm cực tiểu của hàm323332 23 3 3 3 3( 2;0)12 16 640264*2 0 128 0, 0xxxyyyMA z xB zC zA C B A+ −′′= = − =′′= =′′= =∆ = − = − = > >Vậy M3(-2;0) là điểm cực tiểu của hàmC âu 19 : Cho hàm 22 1z x xy= − + Tìm cực trị?Giải: Ta có :Trang 9 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà/ 2 // 2 /( 2 1) 2 2( 2 1) 2x xy yz x xy x yz x xy x= − + = −= − + = − Giải hệ phương trình:{ {0002202===−=⇔xyyxx⇒điểm M(0,0) là điểm dừng.// /// /// /(2 2 ) 2(2 2 ) 2( 2 ) 0xx xxy yyy yz x yz x yz x= − == − = −= − =Đặt://////2 22202*0 ( 2) 4 0xxxyyyA zB zC zAC B= == = −= =∆ = − = − − = − <Hàm z không có cực trị tại M(0;0)C âu 20 : Cho hàm 2 2z x xy y= + + Tìm cực trị?2202 0 2 0 3 0 0(0;0)02 0 2 4 0 2 0 0212xyxyxxxyyyz x yz x yzx y x y y yMzx y x y x y xA zB zC z′= +′= +′=+ = + = = =   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒    ′=+ = + = + = =   ′′= =′′= =′′= =Có 1 điểm dừng (0;0)M2 22*2 1 3 0 (0;0)AC B M∆ = − = − = > ⇒là cực trịVà )0;0(02 MA ⇒>=là cực tiểu của hàm zC âu 21 : Cho hàm 2 22 1z x y x y= − + − + Tìm cực trị?Giải: Ta có : / 2 2 // 2 2 /( 2 1) 2 2( 2 1) 2 1x xy yz x y x y xz x y x y y= − + − + = += − + − + = − −Trang 10 [...]... = 0 ⇔ x + 2x − 3 = 0 ⇒    x = −3    y = 10  Trang 17 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 x −∞ z/ + −3 0 CĐ GVHD: Võ Thị Thanh Hà − 1 0 + +∞ CT Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm M 1 ( −3;10 ) , đạt cực tiểu tại M 2 ( 1; 2 ) Trang 18 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Ngô Thành Phong Giáo trình toán cao cấp ĐHKHTN 2003 2 Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác 3 Trang... x−2 z = ln ( x 2 − 2 x + 4 ) 2x − 2 x − 2x + 4 x = 1 2x − 2 z/ = 0 ⇔ 2 = 0, x 2 − 2 x + 4 > 0 ⇒  x − 2x + 4  y = −1 Đặt z / = 2 x−∞ z/ − 1 0 + +∞ CT Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm M ( 1; −1) Trang 16 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà 2 Câu 33 : Cho hàm z = ln 1 + x y với điều kiện x − y − 3 = 0 Giải: x − y −3 = 0 ⇒ y = x −3 z = ln 1 + x 2 ( x − 3) = ln x 3 − 3 x 2 + 1 z/ = 3x... – 2 + 4 x = 0 ⇔ 2 x - 2 – 2 + 4 x =0 ⇔ 6x - 4 = 0 ⇔ x= => y = − 2 3 1 8 ;λ = 3 3 Trang 12 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà 2 1 8 ⇒M ( ; − ; ) 3 3 3 2 2 d L = 4dx + 0dxdy + 2dy 2 dϕ =ϕ/ xdx +ϕ/ ydy = −dx + dy = 0 ⇔dy = dx 2 1 8 d 2 L( ;− ; ) = 4dx 2 + 2dx 2 = 6dx 2 > 0 3 3 3 ⇒( 2 1 ;− là cực tiểu 3 3) Câu 26 : Cho hàm z = −3x 2 + 2e y − 2 y + 3 Tìm cực trị? Giải: z′ = ( −3 x 2 +... − 2 ) x / z′ = ( x 2 − y − ln y − 2 ) y / x y 2 = 2x = −1 − 1 y 2 x = 0  z′ = 0 x = 0  x  ⇔ ⇔ ⇒ M (0; −1) 1  ′ −1 − = 0 zy = 0  y = −1   y  Có 1 điểm dừng M (0; −1) Trang 13 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 A = z ′′ = ( 2 x ) xx / B = z ′′ = ( 2 x ) xy / x =2 y GVHD: Võ Thị Thanh Hà =0 /  1 1 1 C = z ′′ =  −1 −  = 2 = =1 yy 2 y y y ( −1)  Đặt : ⇒ ∆ = AC − B = 2*1 − 0 = 2 > 0 Và A =... + 4 y − 4 = 0   ⇒ điều này vô lý ⇒ hệ vô nghiệm Không có điểm dừng Vậy hàm z không có cực trị y 2 Câu 30 : Cho hàm z = 2 x 2 − 4 x + sin y − , ( −π < y < π ) Tìm cực trị? Giải Trang 14 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà / y  z′ =  2 x 2 − 4 x + sin y −  = 4 x − 4 x 2 x  / y 1  z′ =  2 x 2 − 4 x + sin y −  = cos y − y 2 y 2  x = 1 4 x − 4 = 0  z′ = 0  x   ⇔ ⇔ π... − x + ln y −  = − y y 2 y y  1  x −1 = 0 z′ = 0  x x = 1   ⇔ ⇔  ′ zy = 0  y = ±1  1 − y = 0 y  Có 2 điểm dừng M 1 ( 1;1) ; M 2 ( 1; −1) * Xét điểm M 1 ( 1;1) : Trang 15 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà / 1 1 1  A = z ′′ =  − 1 = − 2 = − 2 = −1 xx x 1 x x / 1  B = z ′′ =  − 1 = 0 xy x y / 1  1 1 C = z ′′ =  − y  = − 2 − 1 = − 2 − 1 = −2 yy y 1 y... −6 xy / C = z ′′ = ( −6 x + 10 y ) yy / y = 10 ∆ = 40 − 36 = 4 > 0; A = 4 > 0 ⇒ M ( 0;0 ) là điểm cực tiểu Câu 24 : Cho hàm z = x 4 − y 4 − 4 x + 32 y + 8 Tìm cực trị? Giải: Trang 11 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà z / x = ( x 4 − y 4 − 4 x + 32 y + 8 ) / z / y = ( x 4 − y 4 − 4 x + 32 y + 8 ) / x y = 4 x3 − 4 = −4 y 3 + 32 4 x3 − 4 = 0  z′ = 0 x = 1  x  ⇔ ⇔ ⇒ M (1; 2).. .Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh Hà { 2 x+ = 2 0 − y == 2 1 0 Giải hệ phương trình:  − ⇔ x= 1 =1 y 2  − 1  ⇒ điểm M  −1; −  là điểm dừng 2  Đặt: A = z / / xx = (2 x + 2) / x = 2 B = z / / xy . 18x/z00+ +−3−−∞+∞1CĐCT Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh HàTÀI LIỆU THAM KHẢO1. Ngô Thành Phong. Giáo trình toán cao cấp ĐHKHTN 20032. Nguyễn. yxyxxyeeyxz22///.2)2(++=+=Câu 1 3 : Tìm vi phân cấp hai 2d z của hàm hai biến lnz y x=Trang 4 Bài tiểu luận toán cao cấp C2 GVHD: Võ Thị Thanh HàGiải:Ta có: