bài tiểu Luận

bài tiểu Luận

DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ NHỮNG

- Vấn đề tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có lien quan chặt chẽ đến Quy hoạch tuyến tính Đó là một nghành toán học có nhiều ứng dụng trong đời sống và kinh tế.

- Việc giải bài toán bất phương trình bậc nhất hai ẩn được ứng dụng vào việc tìm cực trị của biểu thức P(x,y)= ax + by (b0 )trên một miền đa giác phẳng lồi.

- Việc nắm vững kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ giúp học sinh có thể quy những bài toán kinh tế trong đời sống về toán học.

2) Mục đích của đề tài:

-Tìm hiểu Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã được đưa vào sách giáo khoa như thế nào và đưa vào cùng với mạng lưới tri thức nào?

-Việc áp dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào bài toán kinh tế như thế nào?

-Phương pháp tìm cực trị có thể áp dụng vấn đề hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn như thế nào?

-Đưa ra một giáo án tiêu biểu cho việc dạy học bài Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

3) Phương pháp nghiên cứu:

-Bàn về vấn đề bất phương trình hai ẩn và những ứng dụng của nơ trong toán học

-Phân tích việc các tác giả sách giáo khoa đưa vấn đề Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào chương trình theo hai hướng: đưa vào cùng mạng lưới tri thức nào, bố cục và nội dung bài Bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong sách Đại số 10 ra sao.

-Phân loại những dạng bài tập,tiếp cận bài toán kinh tế và một phương pháp tìm cực trị mà sách giáo khoa đưa vào.

Nội Dung Nghiên Cứu A>

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN VÀ NHỮNG ỨNG DỤNG TRONG TOÁN HỌC

A.1.Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có một trong các dạng ax + by +c < 0,ax + by +c > 0, ax + by + c ≤ 0 , ax + by +c ≥ 0

trong đó a, b, c là những số thực cho trước sap cho a2 +b2 ≠ 0; x và y là các ẩn Mỗi cặp số ( x0 ;y0) sao cho ax0 + by0 + c < 0 gọi là một nghiệm của bất phương trình ax + by + c <0

Như vậy trong mặt phẳng toạ độ, mỗi nghiệm của bất phương tình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm.Ta gọi tập hợp điểm đó là miền nghiệm của bất phương trình.

Việc xác định miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn (hay biểu diễn hình học tập nghiệm của nó) trong mặt phẳng toạ độ dựa trên định lý được thừa nhận sau:

Trong mặt phẳng toạ độ, đường thẳng (d): ax + by + c =0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt

phẳng Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có toạ độ thoã mãn bấtphương trình ax + by +c >0, nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có toạ độ thoãmãn bất phương trình ax + by + c <0

Từ định lý ,ta suy ra:

Nếu (x0; y0 ) là một nghiệm của bất phương trình ax + by +c > 0 (hay ax + by + c<0) thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M(x0 ;y0) chính là miền nghiệm của bất phương trình ấy Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0, ta làm như sau:

-Vẽ đường thẳng (d) : ax + by + c =0;

-Xét một điểm M(x0; y0) không nằm trên (d).

Nếu ax0 + by0 + c <0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất

A.2.Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x,y mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng.

Trong mặt phẳng toạ độ,ta gọi tập hợp các điểm có toạ độ thoã mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ.Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Để xác định miền nghiệm của hệ,ta dung phương pháp biểu diễn hình học như sau:

-Với mỗi bất phương trình trong hệ,ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.

-Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng toạ độ,miền còn lại không bi gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương tình đã cho.

Sau đây là một ví dụ minh hoạ về cách giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Giải hệ bất phương trình sau:

Sau khi tô màu các miền không thích hợp, miền không bị tô màu trên hình vẽ (không kể biên) là miền nghiệm của hệ (I)

Vậy nghiệm của hệ bất phương trình đã cho phần không tô màu trong đồ thị trên.

A.3 Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong một phương pháp tìm cực trị của biểu thức P(x;y) = ax +by trên một miền đa giác lồi.

Ta có bài toán:Tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x ;y ) = ax + by (b≠0) trên một miền đa giác phẳng lồi (kể cả biên)

Bài toán đó có nghĩa là:

Cho biểu thức P (x; y) =ax +by (b≠0) và một miền đa giác lồi (S),kể cả biên, trong mặt phẳng toạ độ Oxy.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất ) của P(x; y) với (x ;y) là toạ độ của các điểm thuộc (S).

Cách giải.Ta luôn có thể giả thiết rằng b>0, bởi vì nếu b< 0 thì ta có thể nhân hai vế với -1 và bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của P(x; y) sẽ trở thành bài toán tìm giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của -P(x; y) = -ax + b’y, trong đó b’ = -b >0.

Tập các điểm (x; y) để P(x; y) nhận giá trị p là đường thẳng ax +by = p; hay y= .

Ký hiệu đường thẳng này là (dm).Vì b > 0 nên việc tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của P (x; y) = p với (x; y)  (S) quy về việc tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của m=

không đổi.Ta đi đến cách làm sau :

.Khi tìm giá trị nhỏ nhất của P( x; y), ta cho đường thẳng (dm) chuyển động song song với chính nó từ một vị trí nào đó ở phía dưới miền (S) và đi lên cho đến khi (dm )lần đầu tiên đi qua một điểm (x0; y0) nào đó của (S).Khi đó ,m đạt giá trị nhỏ nhất và tương ứng với nó là giá trị nhỏ nhất của P(x ; y) song song với chính nó từ một vị trí nào đó trên miền (S) và đi xuống cho đến khi (dm ) lần đầu tiên đi qua một điểm (x0; y0) nào đó của (S).Khi đó , m đạt giá trị lớn nhất và tương ứng với nó là giá trị lớn nhất của P(x; y) Đó là

P(x0 ;y0) = ax0 + by0.

Qua cách làm trên ,ta thấy rằng P(x ; y ) đạt giá trị nhỏ nhất ( hay lớn nhất ) tại một đỉnh nào đó của đa giác (S).

Áp dụng cách làm trên ,ta thấy khi (dm) đi qua đỉnh A(5; 4) thì m nhỏ nhất Điều đó có nghĩa là T(x; y) đạt gía trị nhỏ nhất khi x= 5 và y = 4.Khi đó ,T(5; 4) = 32

A4 Áp dụng của hệ bất phương trình hai ẩn vào bài toán kinh tế Ta có bài toán kinh tế sau :

Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140kg hoá chất A và 9kg chất B.Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng ,có thể chiết xuất được 20 kg chất A và 0,6 chất B.Từ mỗi tấn nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng ,có thể chiiết xuất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B.Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất ,biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên liệu loại II?

Phân tích bài toán:Nếu sử dụng x tấn nguyên liệu loại I và y tấn nguyên liệu loại II thì theo giả thiết,có thể chiết xuất được (20x + 10y) kg chất A và (0,6x +1,5y)kg chất B.Theo giả thiết,x và y phải thoã mãn các điều kiện:

0 ≤ x ≤10 0 ≤ y≤ 9

20x +10y ≥ 140 hay 2x +y ≥ 14

0,6x + 1,5y ≥ 9 hay 2x + 5y ≥ 30

Tổng số tiền mua nguyên liệu là T(x ;y) = 4x+ 3y.

Bài toán đã cho trở thành :Tìm các số x và y thoã mãn hệ bất phương trình Sao cho T(x ; y)= 4x + 3y có giá trị nhỏ nhất Bài toán dẫn đến hai bài toán nhỏ sau :

Bài toán 1 :Xác định tập hợp (S) các điểm có toạ độ (x ;y) thoã mãn hệ (II)

Bài toán 2 :Trong tất cả các điểm thuộc (S),tìm điểm (x ; y) sao cho T(x ; y) có gí trị nhỏ nhất.

Việc giải bài toán 1 chính là việc xác định miền nghiệm cuả hện bất phương trình (II) mà ta đã lâp được.

Giải bài toán 2 ta đã trình bày trong phần áp dụng tìm giá trị cực đại trong miền đa giác lồi ở trên Vậy , để chi phí nguyên liệu ít nhất ,cần sử dụng 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II (khi đó ,chi phí tổng cộng là 32 triệu đồng)

A5.Một ứng dụng của hệ bất phương tình bậc nhất hai ẩn trong bài toán Quy hoạch tuyến tính : Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớp bài toán tối ưu được nguyên cứu trọn vẹn cả về phương diện lý thuyết lẫn thực hành.

Quy hoạch tuyến tính bắt nguồn từ những nguyên cứu của nhà toán học Nga nổi tiếng,Viện sĩ Kantorovicla L.V.

Một trong những phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính là phương pháp đơn hình, đây là một phương pháp do nhà toán học Dantzig công bố năm 1974,dựa trên phương pháp tìm cực trị trong miền đa giác.Thuật toán có hai giai đoạn :

Giai đoạn 1 :tìm một phương án cực biên ( một đỉnh).

Giai đoạn 2 :kiểm tra điều kiện tối ưu đối với phương án tìm được ở giai đoại 1 Ta xét bài toán Quy hoạch tuyến tính dưới dạng chuẩn với hai biến số sau :

Từ ý nghĩa hình học ta biết rằng mỗi bất phương trình tuyến tính ai1x1 + ai2x2 ≤ bi xác định một nửa mặt phẳng.

Như vậy miền ràn buộc D được xác định như là giao của m nửa mặt phẳng và sẽ là một đa giác lồi trên mặt phẳng.Phương trình c1x1 + c2x2 = α khi α thay đổi sẽ xác định trên mặt phẳng các đường song song với nhau mà ta sẽ gọi là các đường mức (với giá trị mức α).Mỗi điểm

( , )

x x x D sẽ nằm trên một đường mức  c x1 1c x2 2

Bài toán đặt ra có thể phát biểu theo ngôn ngữ hình học như sau:trong số các đường mức cắt tập D,hãy tìm đường mức với giá trị mức lớn nhất.

Nếu dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vectơ pháp tuyến của chúng n( , )c c1 2

thì giá trị mức sẽ tăng,nếu dịch chuyển theo hướng ngược lại thì giá trị mức sẽ giảm.Vì vậy để giải bài toán đặt ra,ta có thể tiến hành như sau.

Bắt đầu từ một đường mức cắt D,ta dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vectơ pháp tuyến (c1 ,c2) cho đến khi việc dịch chuyển tiếp theo làm cho đường mức không còn cắt D nữa thì dừng Điểm của D(có thể nhiều điểm )nằm trên đường mức cuối cùng này sẽ là lời giải tối ưu cần tìm, còn giá trị hàm mục tiêu tại đó chính là giá trị tối ưu của bài toán.

Xét đường mức: 4x +5y =10 Đường mức này sẽ đi qua hai điểm (0,2) và (2.5, 0).Ta có x* =(3,2) Fmax =22.

Và x* sẽ là một đỉnh của D.

B.PHÂN TÍCH BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRONG SÁCH GIÁO KHOA

Phân tích sách giáo khoa

Chúng ta sẽ đi vào phân tích sách Giáo khoa lớp 10 (Ban A_ ban khoa học tự nhiên)- Nhà xuất bản giáo

Chương VI : Cung và Góc lượng giác.Công thức lượng giác

Như vậy, ta có thể thấy nội dung các chương trong sách này nhiều hơn ở SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000: có thêm chương Thống kê, chương Góc lượng giác và công thức lượng giác.

Trong đó, bài Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nằm trong bố cục của chương

§5 Dấu của tam thức bật hai.

Và cách phân bổ từng bài trong chương II hợp lý về bố cục của chương,vì:

-Chương III học về phương trình và hệ phương trình.Chương IV học về bất đẳng thức và hệ bất phương trình.Học sinh sẽ tiếp cận từ bất phương trình đến việc xác định các tập nghiệm,giao các tập nghiệm,dấu các nhị thức,tam thức,từ đó sẽ tiếp cận hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

- Rõ ràng cách phân bổ nội dung các chương và từng bài học trong chương IV như trên đã giảm bớt những phần không cần thiết và giúp học sinh đào sâu phần trọng tâm của từng chương, từng bài, nắm vững những kiến thức quan trọng.

Phân tích nội dung §5.Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

 Phân tích bố cục: bài học được trình bày gồm 3 ý:

1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó.

2 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

3 Một ví dụ áp dụng vào bài toán kinh tế.

∆ Như vậy ta nhận thấy tác giả đã có cách trình bày bài hết sức ngắn gọn, hợp lý, thể hiện rõ trọng tâm của bài học mà học sinh cần nắm vững Việc đã được trang bị những kiến thức trong những bài học trước nên phần trình bày lý thuyết và áp dụng được tác giả dàn trải đều.

Việc thể hiện được trọng tâm của bài học ngay trong bố cục của bài là một sự thành công rất đáng chú ý, vì như vậy cả giáo viên và học sinh đều có thể nhìn thấy ngay trọng tâm của bài và đặt đúng mục tiêu cho việc dạy, việc học.

 Phân tích nội dung:

(trích dẫn nội dung sách: in nghiêng)

1.a.Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ta cũng gặp những bất phương trình có nhiều ẩn số,chẳng hạn 2x + y3 – z <3 ; 3x + 2y <1

Khi x = -2 ; y= 1; z=0 thì vế trái của bất phương trình thứ nhất có giá trị nhỏ hơn vế phải của nó,ta nóibộ ba số (x; y; z) = (-2 ; 1 ; 0) l2 một nghiệm của bất phương trình này.

Tương tự, cặp số (x; y) = (1 ; -2) là một nghiệm của bất phương trình thứ hai.

Sau khi minh hoạ những bất phương trình cụ thể,tác giả đưa ra định nghĩa về bất phương trình bậc nhất hai

∆ Định nghĩa được phát biểu ngắn gọn nhưng đầy đủ về các dạng , điều kiện các hằng số, giúp cho học sinh có cái nhìn trực quan về bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

1.b.Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn,các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô sốnghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng,ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình

(1) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Người ta đã chứng minh được rằng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mặt phẳng đó là miền nghiệm của bất phương trình ax+ by ≤ c, nửa mặt phẳng kia là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≥ c.

∆ Phần này sách giáo khoa chưa rõ ràng trong việc mô tả miền nghiệm của bất phương trinh bậc nhất hai ẩn Ở đây, mỗi bất phương trình đều có mang dấu “=” nên đường thẳng ax + by = c cùng thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình.Do đó, để tránh dẫn tới sai lầm cho học sinh thì tác giả cần trình bày miền nghiệm của mỗi bất phương trình gồm nửa mặt phẳng kể cả bờ là đường thẳng ax + by =c.

Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm( hay biểu diễn miền nghiệm ) của bất phương trình ax + by ≤ c nh ư sau (tương tự cho bất phương trình ax + by c):

Bước 1 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy,vẽ đường thẳng Δ: ax + by = c

Bước 2 Lấy một điểm M(x0; y0) không nằm trên Δ (ta thường lấy tại gốc toạ độ O)

Bước 3.Tính ax0 + by0 và so sánh ax0 + by0 với c.

Bước 4.Kết luận

Nếu ax0 + by0 <c thì nửa mặt phẳng bờ chứa M0 là miền nghiệm của ax + by ≤ c Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ không chứa M0 là miền nghiệm của ax +by ≤ c

CHÚ Ý:

Miền nghiệm của bất phương trình ax + by c bỏ đi đường thẳng ax + by =c là miền nghiệm của bất phương trình ax +by <c

∆ Phần này sách giáo khoa trình bày rõ ràng và chi tiết cách xác định miền nghịêm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Để minh hoạ cho quy tắc xác định miền nghiệm mà SGK đã nêu ở trên phần tiếp theo tác giả đã đưa ra một ví dụ đơn giản ,giúp học sinh có cái nhìn trực quan

sinh động hơn

Ví dụ 1 Xác định miền nghiệm của bất phương trình 3x+ y ≤ 0

Lời giải

Miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 0 là miền không được tô màu.

Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d): 3x + y = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt

phẳng

Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M(0;1) Ta thấy (0;

1) không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ (d) và không chứa điểm M(0;1)

(Miền không tô đậm)

Phần hoạt động của học sinh ,sách giáo khoa đưa ra một ví dụ đơn giản ,học sinh có thể tự mình hoàn thành nhằm nắm vững hơn về cách xác định miền nghiệm.

Biễu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn -3x +2y >0