Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 50-1-0153-0184

en tru m at 153 ww bio log iez ZUR THEORIE ylib rar y.o rg/ ;w DER ZKLMiElilLOETEKÖII'liiEnillLE^', rsi t ü ww bi od ive Jl ://w AÜSDiflEfiraMIl rar yh ttp VON ge Lib LEOPOLD GEGENBAUER, DER SITZUNG AM IC APRIL 1885 e, foliienden Zeilen sollen einige asymptotische Gesetze aus der Tiieorie der aus den vierten Einheits- bri dg In den MA ) ;O rig ina lD ow nlo ad IN fro VORGELEGT m Th eB iod ive rsi ty He rita CORItKSPONDIRKNnEM MITGLIKDK »ER KAISERLICHEN AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN /)/ gy Normen ausser der Null, deren olo + der Inbegriff aller im Gauss'sehen Sinne primären ganzen complexen Zahlen von der nicht grưsser als n sind, 9((«,) die Form Anzahl der Individuen des Complexes («") ive (/ sei {n) Zo Es (C am wurzelu gebildeten ganzen coniplcxeu Zahlen abgeleitet werden 3, .,»* durch die Co (1,0, 1) ist und da.ss die Anzahl der Darstellungen einer reellen ganzen Zahl x m erwähnte quadratische Form durch die Summe: of the Mu se u durcli die Form of binäre quadratische mp a rat Beachtet man, dass 45((^w) die Anzahl der Darstellungen der ganzen Zahlen 1,2, ungeraden Divisoren von x zu durchlaufen d'i alle hat, so erhält man die Gleichung: rsi t y, angegeben wird, wo Er ns tM ay rL ibr ary 11 x-=.n ( rva rd Un ive fiff ' ,," itis ed unter den Zahlen der Reihe Dig Da by the Ha I l.(2a;-l), den ungeraden Divisor 2x — Deukschriften der mathem.-natuiw Gl 1, 2, 3, ,m nur 2.{2x-\), die Zahlen: 3.(2x-l), , besitzen, so verwandelt sich die letzte L.Bd f^].(2.r-l) Gleichung in die folgende: 20 Leopold Gegenhauer 154 und daher hat man auch, wie ans Entwicklungen, die ich früher angegeben habe („Asymptotische Gesetze der Akademie der Wissenschaften, mathematisch-naturwissenschaftliche Zahlentheorie." Denkschriften der kais Classe, 50 Band, I Abtheilung, 36 p erhellt: ff.) %{n) = ^ +£\/n en tru m at 1) bio log iez wo: ist offenbar auch: ;w Es ww ist rar y.o rg/ n §too= y, ^ ylib 2) die Summation über oder den Wertii b{(x) nachdem je erhält, ist, N(x) die Norm der ganzen N((x) kleiner als ist oder nicht yh hat: ge Lib rar Man uad vorstellt auszudehnen («) ttp complexen Zahl x Individuen des Complexes alle ://w WO ww bi od ive rsi t x=(n) Vor/j.rZf V iod /- '7 fro +ß m V ,/;/_^ ,\= \\ (bN(x')+ß)N(y-) N(f) ow :^(\/^ [VbNix'^ ad V ^ Th eB ist nlo Nun ive rsi ty He rita \^ ;O rig ina lD wo: ^~^'b{p+iy+ß e, MA ) ^ bri dg ist gy (C am Da jedesmal, wenn i rat ive Zo olo L_ A^(r)< mp a auch: « L_^l m of Co ist, = ô (bN(^x^)+ò)N{if) Mu man auch: ary of the wird, so hat se u V/: ^ Er ns tM ay rL ibr z man auf der rechten Seite dieser Gleichung x alle Zahlen des Complexes (n) durchlaufen, so man zur Summe für jeden der 91 (^J.) Werthe von ilij}) Einheiten hinzugefügt und legt man alsdann dem jene Werthe bei, welche dem Theilbereiche {Ä) — {ß) des Complexes (m) angehören, wo: hat ive rsi t y, Lässt ij nur the Ha rva rd Un i/ by Bz= ist, so hat daher man Dig itis ed bn' für jeden der 9t(?j) +ß '^ Werthe von x von der neuen Summe 21 (ß) Einheiten weggenommen und ist: V =,n,^,.,-J^y hNix^)\Nm + p} ƯAV) -2t(p)9l(.4) + 3r(«)9t(5), Zur Theorie der aus den vierten Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen 155 oder: hat daher die Relation: Gleiclmng auftretenden Grössen so beschaffen, dass rsi t in dieser man ttp so hat =„? ;" (V»(*^) - r) +|,« (VjfcÄt? -') -'"«''(^>- by the Ha rva rd Un ive rsi t y, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u m of Co mp a rat ive Zo olo gy (C am bri dg e, MA ) ;O rig ina lD ow nlo ad fro m Th eB iod ive rsi ty He rita (fe^ -f) itis ed I.," Dig '' ge Lib rar yh ist, ://w ww bi od ive Sind die ylib rar y.o rg/ ;w ww bio log iez en tru m at Man Leopold Gegenbatcer löü man Verbindet ^ ^' AT/ NW/, n /-Af/ N{xy^''-*>+\/nN{c) > ^'""2''' V AV n'' l0^k.|1 ttp ^-5^-5^ I yh < lA^I ww bi od ive rsi t ylib '" ;w | Die Anzahl derjenigen primären Divisoren einer ganzen complexen Zahl von der Form a durch c'' theilbare ;ite Potenzen sind, ist im Mittel gleich dem Ausdrucke: ' N{cY + b/, welche Zur Theorie 159 der aus Jen vierten Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen Ist: lini^, — = n „=oo —= ganze complexe Zahl von der Form Norm deren (i-^bi, in dem Intervalle — r,-i-l // Mittel: n+ri liegt, rar y.o rg/ ylib theilbare Divisoren rsi t c Hegt, ;w ^{,og„ + 2C+^_,ogiV(o)} primäre durch +n u ww im bio log iez so hat jede en tru m at lim,,r,=oo ttp ://w ww bi od ive Ist: ge Lib rar yh viele primäre durch rsi iu ive ganze complexe Zahl von der Form a + hi, deren Norm eben so dem Intervalle «- iod Mittel r; + l theilbare Divisoren, als jede ganze complexe Zahl des c eB so hat jede im ty He rita '/ Th Jede ganze complexe Zahl von der Form a + hi mit Norm («e) hat im Mittel: ad fro m s-zifferiger Complexes — logA(^c)+ nlo + 0'— iH ^ ow log 10 MA ) Normen der reciproken Potenzen der ungeraden primären Divisoren einer Z-ten e, der izanzen dg Summe ;O theilbare primäre Divisoren complexen Zahl von der Form a + bi bri c Die im Mittel gleich dem Ausdrucke: ist 2/ + ' Summe l'iir halbgeraden Divisoren: die Co die entsprechende m of während mp a rat ive Zo olo gy (C am durch rig ina lD {s the Mu se u 2^+'— ^p^^^L + ?(/,•+ 1) of geraden: ư»^ ary für die L,+,-'-iij Mxy Jt = (OOJ alle Zur die Anzahl derjenigen Divisoren von x Divisor durch keine ist crt« Potenz theilbar Potenzen sind und deren complementärer (7/-)te ist mm: ^=(0-) at Es welche ist, -5= (\' »)-"=(") en tru m «!,.(.'') 175 Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen vierten bio log iez wo Theorie der aus den rar y.o rg/ ;w ww =Z'(ife)(i;>^(v'ii: also: ww bi od ive iiat ge Lib _ 7i!:{r'j)L,, He rita _ rar yh ttp ://w Man rsi t ylib V nlo aus welcher Gleichung folgt: am log« \r.^ ) r ,log« Zo olo gy (C '?:•' bri dg e, MA ) ;O rig ina lD ow ist, ad fro m Th eB iod ive rsi ty wo: rat ive (a ^ = -^^(7^ the hm„ = ay rL ibr ary of 69) Mu se u m of Co mp a Aus den eben entwickelten Formeln ergehen sich die Gleichungen: = OO = y, ll"l " rsi t ^)) -^ «2,-, c(a.') // (271)^"+' ^„L., .po ix;-/ Nr Ibl ylr'j-ir\)C{p)L^ , Dig itis ed by the Ha rva rd Un ive ' Er ns tM / rr„i , '"^ , ., , 11'" l))L,, ^., _ - 2^T(2v(4.)a.(Y/j) = Lib rar yh ttp 80) ww bi od ive rsi t und demnach: Man rsi ty He rita ge ff,(a;) ^ I=(00 2={00) jr=(00) z ad = (CX3) = (00) nlo Z fro m Th eB iod ive hat weiteis: = (00) ^ / p-i^) \, -KT, iV(x)="-» (OO) - _ V f:M y/ _ / \„ ^-' ^-J ina V ^ x= • -\T/ iY(x)" X=(00) ' ' ^ ' ' x=(00) AT Nix)' ^ bri Nix)" (C x= _ ~ V (OO) ' ^ i= gr(/) y NixY' •^ N(x)' ' a:= (OO) (OO) olo x=(0O) /^^-(^) am V "^ F-(x-) iV(a;)" gy V Z dg e, x rig T>r, iVia;)" ;O jM:! MA ) V / /_! lD ow oder: Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u m of Co mp a rat ive Zo und daher: rsi t y, wo: die grösste i?"' (try)!'- Potenz ist, welche in x ohne Eest enthalten ist Es daher: Dig ist itis ed by und the Ha rva rd Un ive wenn: ist, wenn c 0, 1, durch eine Potenz einer Primzahl , ff — tlieilbar ist, y,,,(a;) in deren Exponent nach verschiedenen Zahl congruent oder grösser als 2nr den übrigen Fällen, wenn r, = — ist, dem Modul ar einer von den Zahlen und: (—1)-' die Aii/.ahl jener Primzahlen ist, welche in r in der (a/i^cii Potenz yorkunnuen Leojjold Geycnhauer 180 Es ist nun: ^=(v/n) * = (C''>t) = (") -'' bio log iez en tru m at = 2^(^)&-(\/| Aus dieser Relation rsi t ylib rar y.o rg/ ;w ww oder nach 83) Lib rar yh ttp ://w ww bi od ive folgt: ive = (7l) iod i rsi ty He rita ge oder: ^ " y /- m -*r2„Tp.+.,(2r+i)-iC(2a+l)Ca2r Rclireibt man in der Gleichung Complexes (\/m), so erhält man: 2.S) für /r r- — und summirt + l)(2a+l)) sodann bezüglich y über alle Zalilen des Zur Thi-urie dir auH den complexen Zahlen vlertni K/nJicl/sirurzcln (jchüdeien KäW?)''^-^"^ en tru m at z.^'(iv(^-)= 181 ww bio log iez oder nach 611: V / ww bi od ive £ yh ttp ://w _ rsi t ylib rar y.o rg/ ;w 89) Z ; (i^))(Z^^(\/j) ^ d, Form folgender geschrieben werden kann: eB iod ive in ty auch llolation 67) rsi welche Gleichung wegen der He rita '^ ge a:=(jl) Lib rar = Th fro m ^'(ƠSv")= Zô ^^)- in der Gleichung 2ư) tür und er /•: für rig man aber ii: , summirt sodann bezüglieli y über alle MA ) ;O Schreibt ina lD ow nlo ad 90) nncli den obigen Eiilwicklungen in die folgende übergeht: Un ive rsi t y, welche Relation Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u m of Co mp a rat ive Zo olo gy (C am bri dg e, Individuen des Complexes {\/n), so ergibt sich die Formel: S^Ki4y-) = Z),x(y/|-) = K4 Gleichung 'o verwandelt sich daher rva letzte in die folgende Dig itis ed by the Ha Die rd Un ive rsi t y, 98) Diese Gleicbung Dividirt man liefert die Zaid n, den Satz: durch die Normen jener durch keine (2r)te Potenz theilbar sind, und bestimmt dem Complexe für («") angehưrigen rtc" Potenzen, jeden Theilbereicii von (»,), welche welcher irgend einem der so entstehenden Quotienten entspricht, die Anzahl der in demselben befindliclien r'eo Potenzen, so übertrifft die Summe derjenigen Anzahlen, welche einem Nenner entsprechen, dessen Basis aus einer geraden Anzahl von verschiedenen Primzahlen zusaniniengesetzt ist, die Summe der übrigen um Theorie der aus den vierten Einheitswurzehi Leopold Gecjenhauer Zur 184 Icli Gelegenheit mittheilen will bei dieser etc dass die nenn Gedächtnissverse des Codex von Chartres, , Laon erwähnten, auf dem Abacus zwischen dem ersten und zweiten Boethius, bei Gerlandus von Besannen u A vorkommenden räthsclhaften zehn welche sich auf die von Eadnlph von Wörter „Igiu", „Andras", „Ormis" u s.f mit der Signatur Vat Univ 5327 versehenen Pergamentcodex der vaticani- dem der Mathematik, p 765) auch in beziehen, (Chasles, Apergu historique, p 473; Cantor, Geschichte — at Ruche der Geometrie des bio log iez en tru m so findet sich z B daselbst das im Codex von schen Bibliotiick mit geringen Modificationen enthalten sind Chartres fehlende dritte Wort des ersten Verses „sibi" Im zuletzt erwähnten Codex kommt aber überdies ww noch der im Codex von Chartres fehlende zehnte auf das Wort „Celentis" bezügliche Vers vor; derselbe lautet: rar y.o rg/ Treutlein im zehnten Bande des die zehn Gedächtnissverse schliesst sich der schon von Abacus des Gerlandus Vesontinus („Nonnullis arbitrantibus ylib veröffentlichte genannte Codex enthält also ein in dem vom Fürsten Boncampagni itis ed by the Ha rva rd Un ive rsi t y, Er ns tM ay rL ibr ary of the Mu se u m of Co mp a rat ive Zo olo gy (C am bri dg e, MA ) ;O rig ina lD ow nlo ad fro m Th eB iod ive rsi ty He rita ge Lib rar yh ttp ://w schriften dieses Abacus nicht angeführtes Exemplar Dig rsi t Boncompagni etc.") Biilletino an; publicirtcn Verzeichnisse der ww bi od ive An ;w „Terque notat trinum celentis nomine rithmum." der Hand- ... früher angegeben habe („Asymptotische Gesetze der Akademie der Wissenschaften, mathematisch-naturwissenschaftliche Zahlentheorie." Denkschriften der kais Classe, 50 Band, I Abtheilung, 36 p erhellt:... der irgend einem der so erhaltenen Quotienten entspricht, Leopold (rcgenbauer 182 Summe die Anzahl der durch keine rte Potenz theilbaren Zahlen, so ist die der Individuen des Coniplexes Aus der. .. Dig = V ^,(a;) oder V • ^8) 5t(^)K^) = 0'^(n) (r>l) -=(vV) wo £i!.(n) die Anzahl derjenigen Individuen des Complexes (n) bezeichnet, welche durcli keine theilbar sind Denkschriften der mafheuti.-tialunv