Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 54-2-0105-0120

ze n tru m at 105 ww bio log ie ÜBER ity lib ry org / ;w DIE AUSGLEICHUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITEN, bio div ers WELCHE He ri tag eL ibr a ry htt p:/ /w ww FUNCTIONEN EINEE UNABHÄNGIG VAEIABELEN SIND ERNST BLASCHKE fro m Th eB iod ive rsi ty D«- DER SITZUNG AM ad IN MÄRZ 1888.) ge ,M A) ;O rig ina lD ow nlo (VORGELEGT Ca mb rid §.1 tiv eZ oo log y( welchen die Ursachen der Veränderung- theilweise unbekannt sind oder nicht in Rechnung gezogen werden können, weil das Mass ihrer Eiufiussnahme nicht gegeben ist, unterliegen sowohl bei Bestimmung dieser Einflussnahme, als bei Berechnung des Eintreffens der Erscheinung in der Zukunft dem Naturerscheinungen, om pa in of C Wahrscheinlichkeitscalcüle Die wahrscheinlichen Ereignisse zerfallen in solche, in welchen der ursprüngliche se um Zustand des Beobachteten in einen einzigen anderen und Wenn man ary of beobachtet und als Grundqnalität Lebende voraussetzt, dann Abänderung tM sich auf in derselbe in mehrere qualitativ ver- ist ist die Abänderung in die Qualität t Todte eine die Grundqualität „lebende Active", dann wird mehrere Qualitäten auf „invaHd gewordene" und „activ verstorbene-' rns Beobachtung ay rL ibr einfache Erscheinung, eine Erscheinung der ersteren Art; die wo eine Gruppe von Personen des Alters a durch die Zeit the Mu schiedene Zustände übergehen kann in solche, ity ,E erstrecken müssen rva rd U niv ers Jede derartig einfache oder zusammengesetzte Eischeinung kann (ausser von unendlich vielen unbekannten) von einer oder mehreren bekannten Ursachen abhängig gedacht werden; so ist die Zahl der aus Ha einer Einheit von in gegebener Zeitstrecke Geboreneu, zwischen zwei festen Altern Absterbenden bei constant Dig i tis ed by the gedachter Absterbeordnung nur von den zwischen den Altersgrenzen gelegenen Sterbenswahrscheinlichkeiten; zwei gegebenen Zeitdie Anzahl der aus einer Einheit von in gegebener Zeitstrecke Geborenen zwischen ebensowohl von dem Gesetze der Sterbenswahrscheinlichkeiten aller Alter, welche Geburtenvon den Geborenen innerhalb der Beobachtungszeit für das Absterben erreicht werden, als von der punkten Versterbenden ist dichtigkeit innerhalb der Beobachtungszeit abhängig der einfachen Erscheinungen, welche als unbekannte Function nur einer von Lazarus in seiner Abhandlung „Die Bestimmung und Ausgleichung der Das Problem der Ausgleichung Variabelen betrachtet werden, ist Gesellaus Beobachtungen abgeleiteten V^ahrscheinlichkeiten", abgedruckt im Berichte der mathematischen schaft in Hamburg 1878, in folgender Weise gelöst worden: Denkschriften der matliem.-uaturw Gl UV Bd Abhandlungen von Nichtmitg liedern O E Blaschke, 106 a-\-2h, n + n — lA Veränderungen l^ Fällen im Punkte «^ Veränderungen, allgemein unter f^ + l;h während der Verände- (^ Fällen im Punkte a + k/i y„_i irgend welche, zwischen Null und Eins y, Abänderungen der die Wahrscheinlichkeit, dass das Verhältniss aller möglichen ist Grundqualität im Punkte a Zeiteinheit zu der ursprünglichen Anzahl der Beobachtungen Wahrscheinlichkeit für die Abänderungswahrscheinlichkeit) bekanntlich: i// ww bio sei, (die Fällen l^ worden Bezeichnen y^ festgestellt gelegene Werthe, dann Beobachtungen angestellt und unter m at + h, im Punkt a + h unter rungen; tt n tru x: n gleichweit uiul endlich von einander abstehenden reellen Werthen der unabhängig Veränder- in ze n lichen a, log ie Es seien ity lib ry org / ;w = Vkdyk y^ y^^, -yn-i als unabhängige div ers Die Wahrscheinlichkeit, dass nach den angestellten Beobachtungen die Werthe den Werthen in p:/ /w möglichen Fälle während der Zeiteinheit aller (i + 2li, a + n — \h v^ihj^^ v^dy^ ibr a W— ry htt demnach: richtig darstellen, ist a-\-h, a, v„-idy„_i I) tag eL Beobachtungen ww bio Wahrscheinlichkeiten gleichzeitig die Verhältnisse zwischen der Zahl der Abänderungen und der Zahl der ty He ri Unter allen möglichen Hypothesen für y wird jene die grösste Wahrscheinlichkeit besitzen, für welche Maximum bei Abänderung der y wird, also die Variation von Man kann sonach als Ausgleichsfunction jede Lösung der Gleichung ergibt nach Lazarus: W verschwindet, o W^= d h c?]f = W ist Die Variation der obigen definiren ad fro m Th eB iod ive rsi ein X - y) nlo z ^y" = ^- ") wenn folgerichtig, diese Gleichung wirklich denselben Umfang ge ,M und A) ;O rig ina lD ow ^' dem gelangt demnach zu Form -^ h = 5W^Q, wegen der voll- j/i Schlüsse, dass es ohne jede Voraussetzung über die Natur der auszutiv eZ oo log y( Lazarus Ca mb rid ständigen WillkUrlichkeit des oyk ein System von n Gleichungen der als besitzt, gleichenden Function keine Ausgleichsmethode geben könne; seine weiteren Entwicklungen betreffen auch nur pa Annahmen über die Natur der rcsultirenden Function se um of C om das Problem unter gewissen Mu the die Darstellung des Problems der Ausgleichung von Lazarus möchte ich zwei Bemerkungen knüpfen, of An §.2 rL Bestimmung der wahrscheinlichsten, bis auf eine endliche rns der Methode der kleinsten Quadrate ,E Function nach tM ay tindet sich in der ibr ary welche die Entwicklung der Theorie zu fördern geeignet sind Das Analogen zum Probleme der Ausgleichung ers ity beobachteten Functionswerthe zur Correctur der Beobachtung rd U niv der Methode der kleinsten Quadrate verwendet in in ein die in einigen Punkten anderen Functionswertheu auszunützen Bei man bei n jedem der n verschiedenen Werthe der unabhängig Veränderlichen in mehr als « verschiedenen Werthen der oder melirere Male zu bestimmen sucht Bei dem Probleme der Aus- tis ed by unabhängig Veränderlichen je man hiezu die Überbestimmung des Problems, indem Beobachtung wiederholt, oder indem man die Function the angestellte Ha rva unbekannten Constanten entweder die man Zahl von Constanten bekannten Hier wie dort strebt Dig i gleichung von Wahrscheinlichkeiten, welche unbekannte Functionen einer unabhängig Variabelen sind und welche man daher im Allgemeinen als Potenzreihen mit unendlich vielen unbekannten Constanten (innerhalb bestimmter Convergenzkreise) wird betrachten können, wurde bis jetzt angenommen, dass Beobachtungen in einer sehr beschränkten Zahl von Functionswertheu vorliegen Auch dann, wenn wir genaue und nicht nur wahrscheinliche Werthe der Function durch die Beobachtung erhielten, wären wir im Allgemeinen nicht im Stande, die unbekannte Function aus einer endlichen Zahl von Werthen mit Sicherheit zu construiren Für die Annahme, dass Beobachtungen in einer endlichen Zahl von Functionswertheu der Berechnung zu Grunde zu — 107 Ausgleichung von Wahrscheinlichkeifen legen seien, auch in denen, aufweiche Lazarus zunächst seine Theorie anwendete, existirt in vielen Fällen, keine unbedingte Nöthigung Bei der Construction der Absterbeordnung in einer geschlossenen Gesellscliaft (bekanntlich einer Mischung der Mortalitätstabelle und Lebender gleichzeitig nach den Generation) einer älteren (der englischen, alle Lebenden zu Beginn des Beobachtungsjahres vom Alter wo als wyährig und die daraus binnen Jahresfrist hervorgehenden Todten o