Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 49-2-0105-0120

: : en tru m at 105 ers it ylib rar y.o rg/ ;w ww bi olo gie z ARITHMETISCHE THEOREME /w ww bi od iv VON DER SITZUNG AM IN Ü4 APRIL 1884 von neuen aritlimetischen Sätzen ich eine Reilie mittlieileu Ich betrachte A) Summe: ge ,M zunächst die werde ;O In den folgendeu Zeilen rig ina lD ow nlo ad f rom Th eB iod VORGELEGT ive rsi ty He rita ge L ibr ary htt p:/ LEOPOLD GEGENBALER (C am b rid '-=ifp^] ''^'=1:0 '(•''- X=p z+ [p^]'w gy Zo olo sei om pa rat ive Es i ^) L^+ß-/] =A the Mu s eu m of C f(^)=y /( ) ist ist aber, z=jp-\-ij wenn: Ha rv Nun the < ed by y(ßx—y) tis auch", GiF^)«^'- y^t Dig i ist, Z Z[p^]«''= £^p-\-l ard Un ive rsi ty, Er ns tM alsdann ay r Lib r ary of 3) ßxi/ ^ und daher hat man: X=/(, y^j4 X=:;^ v^-l Z Z 'G7^)^'-)= '(^i-O«') VI ' y=B-hl, 1=1 Denkschriften der matheni.-naturw Cl XLIX Bd Abli.iudlunu'-u von Niditmit^liedcrn /^ + 1!/ (7^)a*-)i^^'(i')+^^(ô) (ò>7^0) 1 : Leupuld 106 Bei seüebenem sind, den Werth 0, Ge(jeiib(( iicr erhält die zahleutbcoretische Function // und daher '^ "^ £ ) ( für alle welche grösser j-, ist: also gie ze n ist ylib rar y org /; w ww bio lo Es tru m at f-(^)«^>=2:n[-;"])- rsi t Ist: bio d ist ://w ww = 0, aber: j3M-7^a3i/ genügenden Darstellungen einer positiven ungeraden aller den Gliedern der Reihe: eL ibr in ary Die Anzald bio d ive Zahlen Zahl n ungeraden grössten ganzen die Anzahl der ist bio lo in 2n—2 2n-2 ''"' ' org /; w ww Zahlen ist +2 n tag 2n + l n + «+3 ~^~~'~^'~6~"''"'' 2^ Form Ar+\ und der Anzahl der übrigen ungeraden grössten ganzen Zahlen, besitzen, eB iod enthalten sind und die ive rsi ty He ri li rom Th über die Differenz aus der Anzahl derjenigen ungeraden grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der + H l + 2_ 2)1 —2 Form 4r+\ enthalten und von der Summe und der Anzahl der übrigen ungeraden grössten ganzen Zahlen sind, bri dg e, der «iten Potenzen der Divisoren aller ganzen Zahlen von »Men Potenzen der um Ca m um die bis Summe n übertrifft die Summe der der »«ten Potenzen der grưssten y( ganzen Zahlen, welche die Einheit verminderten Divisoren den Gliedern der Reihe: in Co mp ara tiv eZ oo log Die MA ); O rig ina lD ?j ow n nlo ad f Reihe n II n r'2"'3"'"";7 der Divisoren aller ganzen Zahlen von se Summe bis ii übertrifft ihre Anzahl um die Summe Mu Die doppelte um of enthalten sind 11 ibr a ry of the der Quadrate der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe: rL H H n n rns tM ay r'2"'3"''"''7 der ers Summe h+\ bis 2«, welche grösser derjenigen ganzen Zahlen x congruent, für welche die in als n sind, ist dem Bruche — nach 2,1 enthaltene Ha rva dem Modul derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von Un iv Summe rd Die ity ,E enthalten sind ist the grösste ganze Zahl ungerade Dig i tis ed by Berücksichtigt man, dass ist, wo T gleich oder ist, je nachdem Darstellungen einer positiven ungeraden m ein Quadrat ist oder nicht, so sieht man, oder einfachgeraden Zahl n als folgende Differenz ausgedrückt wird 3v—']-v[v»-i-'j Summe dass die Anzahl der zweier Quadrate durch : : 113 Ärithnictiüche Theoreme Man hat daher auch die Relation: x=l x=0 x=0 und addirt die so entstehenden Gleichungen, so — n—2, ,2 1, man die Formel: rar y.o erhält rg/ ;w ww bi n n, olo gie z der Reihe nach: >/ -m ylib Gleichung für in dieser \/n] ers it mau ww bi od iv Schreibt en tru m at 1=1 \/u-x^] /w x=0 welche schon Liouville ohne Beweis mitgeth eilt , ibr ary hat man so erhält die Relation ge L diese Gleichung mit 32) He rita man '= ^=[\/»J "+x ive rsi ty Verbindet htt p:/ x= -\ \ 2V[v/«-.-''J=«-2(-l)L'^J i=Ü = Summe Die auf der linken Seite dieser Gleichung stehende Summe: noch auf eine andere Form bringen rig ina lD zu derselben zu gelangen, betrachte ich die lässt sich ;O Um ow nlo ad f rom Th eB iod 38) v=i x=^4-l (C am b x—l Zo olo gy aus der Relation om pa rat ive Da rid ge ,M A) |i'[ä±v|E^jfw=|[^±>^ywH-|;[e±v^lfw, 39) Mu s eu m of C die Beziehung: «-y < of the yx" ary so ist: Er ns tM ay r Lib r folgt, •' ive rsi ty, x=p-\-i s,= l y=A Ha rv ard Un x=n, ' ed by the X=J>+I, /=I = tis ' ^'(^'^HfcI)!)/-(^)-^F(p)+ÊfXô) Dig i jj (ò y=B+I,.c=l y=4 |^F([^'-'ằ-w')-^fa,)+Êf(,.) ,/=JJ+l und daher hat man die Gleichung x=i £=1 Deukschriften der niutheai.-ualiirw x=l Cl XLIX.Bd j=.ß4-l Aljliaiidliiin;uu von Niclitmi1t,'liedi.iii ' = [!LtVp2^j) : « : ^ Leopold Gegenbauer 114 Setzt man in dieser Gleich unj:: = t\x) so erhält man ^ 1, = r= = iit = 1, j -2 = :?, = i> m^ii* die Relation: =[^] ive V ri+\ ji+v^j bio d ^ ^j^,_j_j-.j ary = = ^— 1.; S = 2.^ = z= 4,7 oc^ -hl ive rsi ty f{x) eL aber in der Gleichung 40) tag man He ri Setzt ist ibr als specieUer Fall enthalten htt p ://w ww 42) ylib rar y mitgetheilte Formel: rsi t Heim Cesaro von in welcher Gleichunff die org /; w ww bio lo gie ze n tru m at v[l±^^] = y 41 rom V [^,^]-^[v^^347^]« ina lD ow nlo ad f y[v/^i:4:?]= 43 Th eB iod so ergibt sich die Formel eZ oo log y( Ca m bri dg e, MA ); O rig aus welcher wieder die specielle Relation: Co mp ara tiv sich ergibt of Unter Benützung der eben abgeleiteten Formeln lässt sich die Gleichung 38) auch in folgender Gestalt the Mu se um schreiben: y [U^^^]+ V [i±\^] = „_V(_i in der Gleichung 7): rns man ity ,E Setzt tM ay rL ibr a ry of Vo) j rva man: Ha so hat rd Un iv ers 46) by the 47) Dig i tis ed und daher: L wo ? nur die Werthe Ist J^ pA + ^-7 J haben kann 1= /.— so folgt aus der Relation: >.— — < — < > die Beziehung: /— < , < A+ l l-J : ' 115 Arithmetisrhe Theoreme Wäre nnn: m=-'^ , was nach 47 ) unmöglich ist daher ist hat demnach die Gleichung: ww bi od iv Man ers it ylib rar y.o rg/ ;w ww bi sein olo gie z en tru m at so mttsste: Gleichung der Fanetion in dieser der Reibe nach die speeiellen Werthe 22) f(x'\ Formeln: die so erhält rig ina lD ow nlo ad f rom Th eB iod man man ive rsi ty Gibt He rita ge L ibr ary htt p:/ /w r=X r=« x=l Er ns tM ay r Lib r ary of the Mu s eu m of C om pa rat ive x=l Zo olo gy (C am b rid ge ,M A) ;O 1") cos = ty, ^ !^ ive rsi \ ; Un 541 cos ^ ^^ i i the by ed Vr r.^ cos x c- -i- ^ (rO + VX, , Ix J )[ ~ " ' tis =i sin cos x^ = V Vr^J^l sin X - 2V,_i).r^_i_] — ' Ißx-'/J -^ 1, + * ^2 = V [^^1 sin x ^V ^- = oV r_iyr^iL_l+ _ = sin — A ^- Lp-r-'/J V(_i;)['t"] — ^ sm, cos sm ( x=iL sin-,=, 57) — ^mr=i 56) ( J=l Dig i 55) , > sin r=l Ha rv ard x=l \ / 2/-I-1U COS •> e±:^\ + \-[ sm- ' 1^, J-1 p* : Leojiohl 116 hau er Gl' geil 3x x=i /- r=w Sr— 1\ (2X+1)-T J— r=A "— 3r— I J-=ik I + =: 2, org /; w ww m := 1, 2, ive ^= bio d Stieltjes die von Herrn |3 mitgetheilten speciellen Relationen: a a eB iod Th rom enthaltenen arithmetischen Theoremen diesen Formeln mögen die V^ '^' folgenden besonders ina lD in - ^^f'^'" (t [^1)^' ow Von den ^nlo ad f "•*^^ =f (.^]"° i' \z^] ive rsi ty He ri tag eL ibr ary htt p man ^ », rsi t den Gleicbiingen 52) und 53): in a so erbält + l);r ://w ww man Setzt (2X ylib rar y .- ^ bio lo gie ze n tru 1—1 ' ^ x=i m at x=i Summe kleiner, als die '/} dg um sind, ist ganzen Zahlen von aller bis n, welche von der Form ßx— / und der grưssten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern Ca m bri grưsser als ßl — / e, Die Anzahl derjenigen Divisoren MA ); O rig erwähnt werden der Reihe: — («—2)7 oo eZ Co mp ara enthalten sind Summe kleiner, als die — (n — X)'^ Iß aller ganzen Zahlen von bis n, welche grösser als 2X, — sind, det grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe: se a] ßn the Mu um 3ß ''' um of Die Anzahl der ungeraden Divisoren ist ' 2p tiv ß log /3h ~ ' ßw— (« — o)_7 y( — {n—])'/ ßu «-+-2 «+Xj n-{-3 rL ibr a ry of H-t-l tM Summe rns der Quadrate der grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Reihe: ers ity ,E Die ay enthalten sind w -H H-t-2 n-^3 "~4~' ~W~' n-\-l^ '" '^\ die Summe um A'^ by the übertrifift 2\ — sind, derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von tis grösser als ed enthalten sind, Ha rva rd Un iv ~2~' grösser als 2),, den Divisoren — Dig i Die Anzahl derjenigen Divisoren sind, tibertrifft um ebenso viel, aller ganzen Zahlen von bis h, als die H +1 11+2 als der welche welche von der Form 4;-h1 und Anzahl der ungeraden grössten ganzen Zahlen, welche n ^-' -^' ist, bis «, die Anzahl der übrigen ungeraden, oberhalb der angegebenen Grenze liegen- der Reihe: enthalteu sind^ grosser Ausdruck /j / +3 M 4- A, -6-' ''"2Är V" in den Gliedern : : — : 117 Arithmetische Theoreme Die Anzahl derjenigen Divisoren grösser als 2A, — liegenden Divisoren sind, um ganzen Zahlen von aller die Anzahl übertrifft bis «, welche von der Form 8r±l und der übrigen ungeraden, oberhalb der angegebenen Grenze ebensoviel, als die Anzahl derjenigen grössten ganzen Zahlen, welche in den Gliedern der Eeihe: ganzen Zahlen und dem Ausdrucke besitzen, die Summe iy> 1— f— ^- -— j'i-'Xj « + A, ~2Ä7 at ' en tru m ' olo gie z 4r+l und die Form enthalten sind, ' aus der Anzahl der übrigen ungeraden grưssten übertrifft rar y.o ' rg/ ;w ww bi «4-3 «+1 n+2 ~2~ ~4" ~6~ Ist: in ww bi od iv man ylib = (i3«.-y)«, [«] setzt der Gleichung 7): /w und ers it 62) wie man , sofort sieht, der Relation : rom Aus der Beziehung: ow nlo ad f genỹgt < òn,^\(òn,+[i-y) Th eB (3,-l)(òô.+ò-7) ive rsi ty ^j iod wo He rita ge L ibr ary htt p:/ so wird: folgt: — -5, +1 il-^)(ßr>^+ ß~l) ^ « + 70'.-^!+^) ^„ ^''"^ ^ = i5(«,-^,+a) ßK-^.+a) ;O ß('»,-5,)- ^(«, ,3-7) A) (^=1,2, 3, , 5, rid ge ,M ,3(/^,-5,+5) und daher «2 rig ina lD < gy (C am b ist: Zo olo js(»,-5,+5) > 0, ^ (p>0) man so hätte die Relation om pa rat p ' ist, da die rechte Seite negativ, die linke aber positiv oder Null ist ary of hat also die Gleichung ive rsi die Relation Ha rv ard Un Es besteht daher ty, Er ns tM ay r Lib r Man the was unmöglich Mu s eu m of C Wäre i ive L mau in dieser Gleichung man die Formeln: Gibt erhält Dig i tis ed by the H = (i3«-7HIder Function f(x) wieder der Reihe nach die si)eciellen Werthe 22) X=n X^ttf T=7i* x^i x=l x^l , so : : Leopohl 118 1=1 G7) ^ bau er x=l « (.y LiSx— y r_^i ^™ _ Z_i 7J r 1)-« ^ Z_ill3,r— 7J = " v'r i ,.» _ yV « + 3"j^T-.v«." Z_.L fix i(.,_ij.» Z-ilßa;— 7]- Z_iL/5x-— 7J ^ ^ J -^ ' m at i=l (leg eil Vr « (2.r— x=?;, ^ Vr l);r « _ - x^7U y/2 ^ N 2.r— l);r AjLßa;— 7J Z_jll3.r— 7J -^ {n (2 L + yx-,) ßx n, ».n >y2 J) bio d ive rsi t ^ ,^ org /; w ww r.r.N x=I x^i a.'=J^ ylib rar y i=l bio lo gie ze n tru a:=l ://w ww ^Z[p^J«»-^=^Z [p:^]° ^-^Si"^l[^>il sm — ^=, sm (2», + 1)5 htt p — sin 2" tag eL ibr ary ™) «ij He ri (2/?, + 1) sin sm — / , 1=1 eB iod r* ' ' sin Sin — ') (-^^1^-:^]-^ Z^-^^^"^^^ +(-1)".-ô ow ^Z(-i)1ò^]=^Z x=l j:=1 - (2ô, + l);r z!^ ' + 'i-i 2ô, ' so ist Summe derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von um i/'\ n^ kleiner, als die Summe der Quadrate der grössten ganzen die sind, the — of — l)«j,, als 2«, ary (2/«, den Gliedern der Reihe: bis ii Zahlen, «4-1 11 +2 « +3 ii+ii^ ive rsi ty, Er ns tM welche 'i ii Lib r = M+2 + ~^~' ~Ư~ ay r M der grưssten ganzen Zahlen, welche in den Mu s enthalten sind Ist Summe eu m of C ~"2~' welche grösser rid am b (C die Anzahl derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von bis «, gy — ist der Qua- übertroffen wird ^-j Zo olo so 1) V^, Summe ive welche grösser — ''"'n.^ "d ;O um om pa rat (-J/;, II It, = den Gliedern der Eeihe in der dritten Potenzen der angegebeneu Divisoren von der drate der erwähnten Trigonalzahlen Ist » derjenigen Trigonalzahlen, deren Ordnungszahlen durch A) Summe die welche grưsser ge ,M während «, iod kleiner, als die bis ive rsi ty Summe um enthalten sind, htt ibr ary ist derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von als«, sind, ^^-^^ /w 3~'''^ He rita Summe die ist n 2"' Th eB so n rom — M, H^, it, ow nlo ad f H u n Y' rig ina lD Ist bis der Quadrate der grössten ganzen ge L enthalten sind, grösser als das Product n n^ ylib um eben Anzahl sind, ihre derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von ers it welche grösser Summe doppelte übertrifft die ww bi od iv n^zlt^H^, so rar y.o enthalten sind, das Product niiy"'~^ übertrifft Ist welche grösser bis n, n kleiner, als die Anzahl derjenigen Divisoren, welche nicht grưsser als «, sind minderten Divisoren in Anzahl derjenigen Divisoren at u en tru m Ist 1) w^, ard = (2m, — so übertrifft die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von Ha rv II 4/+1 und grưsser als 2«, by welche von der Form the Ist Un enthalten sind sind, die in ganzen Zahlen, den Gliedern der Keihe: ii enthalten sind, das Product M = (2«,— 1)«2, + ii^ so übertrift't die Anzahl derjenigen Divisoren aller ganzen Zahlen von Grenze liegenden ungeraden Divisoren in ii '^' ~2ii^ übertrifft ii.^ welche von der Form Srrtl und grösser welche H, Anzahl der übrigen oberhalb der angegebenen so viel, als die Anzahl der ungeraden grössten «+1 11+2 +o ~2~' ~^~' ~~6~ Ist bi>S Dig i welche um eben tis ed Grenze liegenden ungeraden Divisoren —1 den Gliedern der Reihe: als um (2«, — 1) eben so sind, viel, die bis n, Anzahl der übrigen oberhalb der angegebenen als die Anzahl derjenigen grössten ganzen Zahlen, ; Leopold G e(jenbaucr 120 )i +l H entlialtcii, und von der Form Zahlen und dem Producte 4/ +1 +2 n '' ' Summe sind, die 1)"" 1— (— — + ti., 2«.,2 aus der Auzulil der übiigcn UDj;eradcn grössten ganzen übertriiit angegebenen Formeln gedenke ich übrigens demnächst in dieser MitÜieilnug gie ze n Auf die tru m at n^ «"'"' ii-h'd ' Arilhntetiavhc T/iconiuc ylib rar y in seiner interessanten Arbeit; bio d welchem bekannte Theoreme von Eisenstein und Sylvester ://w ww als specielle Fälle ary htt p enthalten sind, lautet: ist: J L pii J He ri mn eB iod ive iL_j ty am qm L ^'-'ü^-'^)(7-/') v" pyy'«|_ p!^i+ rsi y 77) tag eL ibr Es und angewandte Mathematik ive von Borchardt, 59 Band.) Satz, in „Über rsi t einige Eigenschaften der Function E(x)" mitgetheiit hat (Journal für die reine Der erwähnte Über leicht sich mit Hilfe der zahlentheoretischen welchen Herr Stern lässt, org /; w ww Es mag bei dieser Gelegenheit noch gezeigt werden, wie Function s(x) jener allgemeine Satz ableiten in einer Arbeit bio lo asymptotische Gesetze der Zahlentlieoric zurückzukommen positive - ganze Zahlen sind rig ina , lD — - und n ow lf< rom