Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 49-2-0001-0104

en tru m at : rg/ ;w ww bi olo gie z DIE INTEGRATION rar y.o DER ALLIIEMINEI l\TEIill\tlO\)IIIEIII»DE ge L ibr ary El\lil> htt GRll)»LI!IIE\ p:/ /w ww bi od iv ers it ylib PARTIELLEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ive rsi ty He rita VON VICTOR SERSAVV Y, iod D^ IN WIEN rig ina lD ow nlo ad f rom Th eB PEIVATDOCENT KÜR MATHEMATIK AN »ER VNIVEKSITXt VOKGIOLEGT IN DER SITZUNG AM MÄRZ 1881 Titel der Integration partieller Differentialgleichungen werden gemeinhin zwei von einander Zo olo Unter dem gy (C am b rid ge ,M A) ;O 13 diese willklirlichen Bestandtheile entiiält, während das andere dahin der allgemeinen Lösung einer gewissen Anzahl ausserdem nocii eu m abzielt, welches die erforderliche Anzalil willkürlicher Functionen of C Integrales, om pa rat ive verschiedene analytische Probleme zusammengefasst Das eine besteht in der Aufsuchung eines allgemeinen Mu s vorhandener, sogenannter Anfangsbedingungen anzupassen Obwohl gerade in den wichtigsten Untersuchunin dieser Verbindung auftreten, so ist es of the gen, nämlich in den physikalischen, beide Probleme regelmässig Lib r ary doch keinem Zweifel unterworfen, dass dieselben ihrem analytischen Charakter nach von einander unabhängig werden können tM ay r sind, also einzeln einer weiteren Untersuchung unterzogen stellt sich demgemäss Aufgabe die ive rsi ty, Er ns Die gegenwärtige Abhandlung n- 3"^ / > ed by the Ha rv ard Un Die allgemeine Lösung einer partiellen Differentialgleichung: Functionen der q Indepcndenten gegebenen Gleichung genügen alle tis li., x, , x^, x,j aufzusuchen, welche für z gesetzt, der Dig i d Von etwaigen Anfangsbedingungen wird hiebei abgesehen In dieser Absicht wird vor Allem eine neue Form der Bedingungen aufgestellt, durch deren Erfülhiiig der Ausdruck dz integrabel wird Mit Hilfe dieser neuen ^ z^ (Ix^ +z^ dx^ + +c, dx^ Form der Integrabilitätsbedingnngen wird die Aufgabe Jodesmal auf die Integration eines Systems von simultanen gewöhnlichen Differentiitlglcicluingen zurückgefiiint Denkschriften der raathem.-naturw Gl XLIX.ßd Abhandlungen von Nichtraitgliedern U Hei , Vif tor Sersd inj System partiellen Differentialgleichiingen erster Ordnimg- ist dieses stets bestimmt, indem es eben so Ordnung Gleichungen als Unbekannte enthält; Gleichungen als Unbekannte, so dass einige der letzteren, so weit es sich bei Ditferentialgleichungen höherer um enthält es viel immer weniger die Integration eben dieses Systems handelt, unbestimmt verbleiben man nach vollzogener Integration die Integrationsconstanten als neue Veränderliche ein, so verwan- Aufgabe in eiu Aggregat von Problemen, welche durch geeignete Wahl der unbestimmt geblietru delt sich die m at Fuhrt gie ze n benen Grössen in Pfaff sehe Probleme verwandelt werden Nachdem die Gleichungen, welche die Wahl der ist, org /; w ww Aufgabe wie denselben Genüge geschieht, bio lo unbestimmten Grössen bestimmen, abgeleitet und gezeigt worden für erledigt anzusehen Indem bezüglich der Einzelheiten der Untersuchungen wie Abhandlung verwiesen noch zu bemerken, dass Beispiele nur insoferne aufgenommen wurden, dem Grunde, ive bio d ://w ww und andererseits der Rechnungsapparat noch beschränkt, Beispielen in der Regel ein sehr grosser als sie zur Erläu- weil einerseits die Auswahl geeig- ist aucli bei einfach scheinenden ty He ri tag eL ibr ary htt p neter Beispiele ylib rar y ist terung einzelner Stellen dienlich sein konnten, und zwar aus die rsi t werden muss, natürlich auf die ist eB iod ive rsi Erster Abschnitt nlo ad f rom Th Die lutegrabilitätsbedinguiigen z^, z^, gegebene Functionen von z^ rig MA ); O welchem z^ dx^ r, , -\-z,^ ^r ^ZZr\ /^^,^ n s / ON um of , se durch Specialisirung von r unds in 1,2, .q entstehen, identisch erfüllt sind Ist dies der Fall, so können the Mu = l)ar,-4-(l, (], 2)oX+ -+-(], g)5.f, +(2, 0=:(2, l)oV,+(2, 2)Sx,+ q)5.r^ (^) = (fy, l)Sx^+(q, 2)ox^+ +(q, q)dx^, rva rd Un iv ers ity ,E rns tM ay rL ibr a ry of die (2) durch die folgenden ersetzt werden: , während ed by die (3) gelten sollen, tis dies nicht anders geschehen, als Ausdruck der 'J.X', wenn kann ox^, die ebengenaunten Variationen untereinander unabhängig bleiben, wenn Dig i kehrt, so the Ha ohne dass damit zwischen den Variationen ^x^, ox^, , dx^ irgend eine Bedingung festgesetzt wird und umge- (1) unbeschränkt integrabcl öxj keine die (2) identisch befriedigt sind wenn ist, die Gleichungen (3) Man kann also sagen, dass zwischen den Variationen Beziehungen involviren Sind die Gleichungen (2) nicht identisch befriedigt, so Relation zwischen den Variabein x^, x^, und gleichzeitig können die Gleichungen r, und ^ integrirt (3) nicht kann der Ausdruck werden, ist mehr bestehen, ohne (1) nur durch mehr als eine also nicht unbeschränkt integrabel, die Variationen 5x^, ^.r^, .$x^ in Beziehung zu einander zu setzen Es besteht also ein Zusammenhang zwischen der Integrabilität der Gleichung {!) und der Art, wie die (2) befriedigt werden können — m mm — m ' Die hüegraüon der partiellen DiferentiaU/leichuHCjeii Um diesen Zusammenhang näher nehmen wir zu erkennen, an, dass ?n der Variabein x^, j\, r, inde- pendent bleiben, und denken uns vermittelst der integrirenden Beziehungen Functionen von dann unabhängig bleiben Die Gleichung folgende: X=q — in = (zf + -y— ) y^,„+x ^1x, + + (z,,, + y g"'"^' 2-,,,+), j (h„, (4) und diese muss, nachdem die unbeschränkt integrabel Werthe überall durch ihre , r,„ in r, , x^, .x,„ Entwickeln wir also die Ausdrücke, welche oben durch fr, s) zum Unterschiede durch eckige Klammern, ibr ary sie —m 'f.=q worden sind, bezeichnet worden so erhalten wir: X=q — m ive rsi ty He rita t\ ersetzt htt p:/ /w sein Gleicbung (4) und bezeichnen ge L sind, für die (1=1 ' — ;n+X ' X=i ),=g m 8-c,- = ge ,M / Vö^,„+^/ 3x,- Zj""'"^'' 3.^/ 3.1* 8-Ki- x=i rid 8j^* l am b ).= A) ;O X^=g I rig ina lD >.= ow nlo ad f rom Es iod x=i (C sonach gy X=4— {„, ,0* V(,v,„+,, »£|± j ive Ai= |j.=ä-m i( ,x, ,+ 2;(,„+, ,„+„ ?9^| X=l eu m verwandeln sich andererseits die Gleichungen Ausdrücke [/, k] verwendet haben, nachstehenden: of the (3) in die X=q — m Lib r ary m >.;=g zur Bildung der welche wir soeben , Mu s Durch dieselben Relationen ?£^ |i=l of C ).= V + om pa rat [,-, Zo olo >.=?— + [a,«0+ Vo, >« + /)^] oX, ' X=l X=i by the Ha rv ard Un ive rsi ty, Er ns tM ay r = [(1, 1)+ ^(1, m+Ä)-:^]oX+ oj-, , &-j,, Dig i tis ed welche wegen der Unabhängigkeit der worin der Reihe nacli für , ox,,, in / alle (•;, 1:) + Jjii, m + X) ^1^ ganzen Zahlen von setzen sind Durch diese Gleichungen werden aber die chungen eben jene Beziehungen zwischen den x^, x^^ (3) integrabel wird Gleichungen von der Form: X=q — = zerfallen, bis q, [/,A:] (5) für k hingegen blos jene von bis m zu identisch Null, woraus erhellt, dass die Glei.x^ festsetzen, durch welche der Ausdruck (1) Victor Sersawy Wie man von sicli Keclinung leicht überzeugt, duieli dirccte resnltiren würde das System (3) uumittelbar mit jenem System ist weiches nach dem Pia ff sehen Verfahren für die hier gewählte Form Diffeientialgleicliinigeii identisch, Dies lässt sich indess aus den Gleicliuugen (3) selbst erweisen, wie aus den folgenden kurzen Andeutungen entnommen werden kann (5), indem man = m at m- „ ive rsi Un ^ /Zf\ Zf 8r V8(// dr "by ^*' ' 87 ^f "•" ^f 87 87 d(j) 8s 8'^ 8/ 8s dy 8< dy by the Ha rv ard ^'' ^f ^f "^ ~ l87J "* 87' 87 87 ty, Er ns tM ay r so erhalten wir die beiden Kelationen: und integriren, so Dig i tis ed Multiiiliciren wir umgekclirt die erste derselben mit dx, die zweite xmi dy, addircn folgt: Const = „( 120)+Ä{,"i>„(030) + Ä'/'Z>„(ü21 = ;^-^ ylib = ers it ^^^j^, ww bi od iv ) rar y.o ) Z;„a 1 +Xf/'Z>,/(021) +XfZ)//(0 12) -Ä -X';.^:-^;;-, olo gie z + l'J'D,A 102) = 1 rg/ ;w ww bi l) Du{20\)-hl!/'D„{ en tru m at seelis: -g^- man noch ohneweiters möglich, wenn die Gleichungen: ibr ary ist Function der Argumente = ^(x^ — ^x^,x^—^x^), rom ^(;w'^,w!^) ow nlo ad f ist: rig ina lD so gegeben w!^, id^, iod Ist eine Th eB hinzunimmt ive rsi ty He rita ge L Die Integration dieses Systems htt p:/ /w D„(\02) + li/'Di,(012) + A'/'Da(00S)= ge ,M A) ;O setzen wir also: gy im vorigen System: sich der Reihe nach für die übrigen Gleichungen die folgenden Ausdrücke ergeben: the Mu s eu m während of C om pa rat ive Zo olo so wird die rechte Seite der ersten Gleichung (C am b rid u={A','-A!,)^^,+m'-^)^£,, -^"^^3,(.r2-.r/) + «l'2(r3 Dig i tis s Es sei + ,rJ + tI>3(j',+T2 + 2r3) + X,(.r3-2.r,) + X2(.r3-2j',) + X3(13.r,-ll.r2 + 10^-3) +yf,(.r, + 2,r,)+»lf,(.r3 + 3./-,)+»P3(12,r, - ar^ + lO^g) noch das Beispiel: (200)- {(020) - ?^) - q +2(011) +(002)} gegeben Wir finden ^2 = — 1; 1, A3 1= 1, und setzen insbesondere /g Ä^ — = — i, Aj l, Ä^'=-l, 1, 1, ) ' : Die Integration der partiellen Differentialgleichungen 103 denu es wird dann: was mit der gegebenen Gleichung- übereinstimmt Jrx, = en tru m ,,,^^ rg/ ;w ww bi (]io)-(020)-(oin-2|^i:^(no) =^, rar y.o h, ers it ylib (101)-(011)-(002)-2 1^(101) /; olo gie z Km±Ml = (200)-(110)-(101,-2 U at Die Integralgleichungen des ersten Systems sind dann: ww bi od iv wobei wir die zwischen den Constanten herrschenden Relationen vorläufig ignoriren, da sich diejenigen, deren wir benöthigen, im Laufe der Rechnung von selbst eigeben Wir beschränken uns übrigens darauf, durch wesentliche Integrale den Weith von (Oll) zu bestimmen, da /w in als Functionen der Integrale Da nun y so folgt, ist, indem man die zweite Gleichung nach r.j partiell diiferentiirt und bemerkt, dass wegen X die Operationen des lutegrireus und Differertiirens beliebig angeordnet werden können: ow nlo ad f rom der Constanten Th eB iod anzusehen ive rsi ty He rita sowohl als auch h ibr ary Einfachheit des Exempels hieraus der Werth von (0U(») bereits erschliessen lässt ge L wegen der htt p:/ Zerlegung der zweiten dieser Gleichungen sich man anderseits die dritte Gleichung nach x^, so folgt: ;O Differentiirt = ^, rig ina lD fl„(ou)-2[:^(ni) A) •r^ am b rid ge ,M 3/* (C wir setzen also gy 3ß 8S> Zo olo , C IV n ive W M/o om pa rat und erhalten damit eu m of C z)„(oii)-2r^(iii)=-^, ^ owLcw' v.«/^''"':! Mu s Da nun X, I.J ' the = (111)+ 1(0211+ (Ol 2)} Z>//(011) = (111)- 1(021 + (012)S, ary of D,(011) Lib r ) tM ay r so wird ive rsi ty, Er ns 2(111) =z),(Oii)+z)„(;on) sich in die folgende: ard Un und die obige Gleichung verwandelt Ha rv r (011)/ WoiD-i^j-frf^ jz>//(0i]) , the X, ) gäß (011)) !^ ^ ciw'^Zw'^ t ed by ( tis man nun noch Dig i Differentiirt einmal mit dem Zeichen D,, und berücksichtigt, dass dadurch in der rechten Seite wieder ein Integrale des ersten Systems entsteht, was wir kurz durch / andeuten wollen, so erhält jz>?.(oii)- Es folgt nun, wie man leicht M^ + Mj _ findet, r ,,x, l«Hi - ^ aus der obigen Gleichung die andere: i)//(01 D (011 ( ^ f (011) '''^1 ^3 _ — -'t' = man Vi rto r Se woriu i, > n a ir y wieder ein Integrale des ersten Systems bedeutet, die Addition der beiden letzten Gleichungen gibt: ('^z>K0ii)=^ Z)5/(011)^ r, mul hieraus folgt - V'V der Operation /)// auf ein Integrale des ersten Systems wieder ein Integrale destru Anwendung die gie ze n Da nun m at r/UOll) org /; w ww bio lo selben Systems hervorbringt, können wir: und damit Systems bedeutet und ein Integral des zweiten = r.^ bio d r-77, +.r,, «'.'j' = '3+-''| ersichtlich, ist Form; z von derselben in der Tliat He ri Wie sind ist ive 81>( ,, +II(,,-, +,,,, ,,+.r, l-,r, MA ); O rig ina lD ow nlo ad f rom Th eB iod — + _^ |8L> = Q(,r,-,r,,x,-.r, )+.,, rsi ty zu verstehen tag eL »j" -y» ive + +'I'+.r r—^ htt p ¥ ,, ary woriu = x ^, + r— ) ://w ww (Uli rsi t folgt endlich ibr substituiren, ylib rar y /3=. iz)Vl>(—i, setzen ''—']= ay rL ibr a (f)) tiv ^ - (y::) Co mp ara F= of // um : se „ of 10, Gl 12) ry „ oo log 8.S- y( Seite 9, Gl (10) lies: bri dg e, Druckfehler: /8V\ tM rns im Gliede: ,E V u lies kZ If^^U „ V o fclilt „ '' n der Bruchstrich unter e Ha fehlt in der Gl (^)— p,(i)' Dig i tis ed by the n rd 47, 54, rva n „ Un iv ers ity _^; (811 -^^ + 811, ^| ... erste derselben mit -^ eu m geleistet the Genüge muss erwartet werden, dass mit der einen dieser Gleichungen werden kann Dies in der That der Fall Denn muhipliciren of zugleich auch der anderen... muss, jedes der vorhandenen Systeme aber nur fünf von einander unab- Un iv ers aus denen mit Hilfe der gegebenen Gleichung alle anderen Integrale zusammenist der gesuchte Werth von s derjenige,... Beziehung zu einander zu setzen Es besteht also ein Zusammenhang zwischen der Integrabilität der Gleichung {!) und der Art, wie die (2) befriedigt werden können — m mm — m ' Die hüegraüon der partiellen