Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 49-1-0001-0036

« ; Arithmetische Tlieoreme Für 100 man Iiat = [^] y^] Q 2, 2, = 10-5-3-2+1-1 + =1 m at ^])K»-) ist: org /; w ww bio lo gie ze n tru Es ^= ]00,25, 11,4, das Prodnct über alle Primzahlen p ist rsi t mm: bat ive Mau erstrecken 7ai bio d wo ylib rar y ?(4s) p'' ary >.=0 ty He ri tag eL p J- I ibr htt p , ://w ww 1-4 U ±\ V M ^^ -U\i+ -I r^^M z^ eB iod ive rsi X=2 («) wo welche nur ist, in der ersten Potenz in n enthalten sind ina ist also: 'y° _ t,j(«) 28) t{s) C(2s) Ca m ist aber auch: oo log y( Nun bri dg e, 9tô ô' rig Es MA ); O lD ow t(«) die Anzahl jener Primfactoren von « nlo ad f rom Th 2-) -Zu r gie ze n ist: bio lo demnacli tru m at ' Summatiou bezüglich bio d ist: eL ibr ary htt p ://w ww Es ist ive eine vierte Potenz deren compleinentärer Divisor d^ über alle Divisoren von ; zu enstreckeu ist, ylib rar y die rsi t wo org /; w ww 31) ty He ri tag y=i eB iod ive rsi -IB-H'^Ut))- ow nlo ad f rom Th oder nach 2): r])/VW = dieser Formel e, = : dg speciellen Fall x \jyi^H>-) log y( Ca m bri Den ^ MA ); O rig ina lD 32) li([4]).M=V[f],.(,, tiv eZ oo 33) Co mp ara v=i Mcrtens se mitgetheilt („Über einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie" Journal für die Mu hat Herr F um of K«) W Borchardt, 77 Band, p 289 ff.) ry ist: 'f »=1 [7] •-"'(') ='f-(.T)'>'M X, r::=I r~\ d Dig i tis ed by the Ha rva rd Un iv ers ity ,E rns tM ay rL Nun C of the und angewandte Mathematik von ibr a reine wo ^xb') die Summe der xten Potenzen jener Divisoren von r ist, Die Gleichung 32) verwandelt sich daher in die folgende: welche durch kein Quadrat theilbar sind « Arithmetische Theoreme Zu anderen arithmetischen Theoremen führen 11 sofort folgende aus der Gleichung 3), über zahlentheoretische Functionen enthaltenen Formeln 134), 138) 144), 149) und der den in in lung über zahleutheoretischc Relationen aufgestellten Beziehung 18) sich ergebende Gleichungen: x= [V y i""] -Tip, pn.x !^(x] n;,, ^n, X -nj., yn = £1 (jm) —p ü(h) m at 35) gie ze n — S^ (pw) —p S^(n) y {x) bio lo y org /; w ww 36 tru 1=1 x=i —Q A{x) {p7i) —p Q («) rsi t y ylib rar y x=7m 37 ive 1=1 >,„,„„,, =vif(p«)-|jiif(«) w(x) ://w ww y htt p 38 bio d x=/>n x=l pn, X w(a;) ibr — A (jm) —p A(m) l{x) eL rij,^ tag y He ri 39 ary x=pn eB iod y ^ J —'Px,^{pn)-pP^,^{n) 'S,.,,., -*" nlo ad f rom 40 \-(j>n) Th x= ive rsi ty x=\ pn, X - Kx)^,{x) p., -pp ijm) , (w) (^5 lD r^p, ina y ow x-=-pn 41 (w) = J^ f., (a;)) '=' x=ryrn] dg e, MA ); O rig »=i -F^{pn)-pF^{n) =W(2)n)-p^{n) eZ r,p,p„,xh-i{x) tiv ^ Co mp ara 43 oo log y( Ca m bri 42 ^P,pn,x^{x') 45 y -^ip, of the Mu se 44' um of x=l x=pn —p ö ry = Qjw) ibr a 53 [n) rL pn, X /^* (ic) ,E rns tM ay 1=1 sich sofort die speciellen Kelationen: 47 ^>,(x) ed by the Ha =£l(2«)-2D(«) tis y'V(x) 1=1 x=2« Dig i 46 rva rd Un iv ers ity Aus diesen Formeln ergeben =.'^,(2«)-2S,(«) x=l x=2ij 48 49 y'a)(a;) der Arbeit meiner Mitthei- =W{2n)-2W{n) 2* Leopold Gegenbauer 12 j:=2ii 50) y ' w (rc) - 2A («) A (2«) z= -1 ( =P,,,(2«)-2P.,,(«.) Jl'x" m at 51) X {X) bio lo =p,,2(2w)-2p,,,(M) Y^'l{x)^,{x) x= org /; w ww 52) gie ze n tru a!=l l x=2n ?.{x)I\^,{x)= Kx,.(2«.)-2P„,,(«) ylib rar y ' Y^ bio d ive rsi t 53) rsi ty He ri tag eL ibr ary htt p ://w ww 54) man in den Formeln 40) und 51) speciell = t 1, ina lD ow Setzt nlo ad f rom Th eB iod ive = Ư3(2«,)— 255(«) , MA ); O = w, (p*) -^ qf ^'^ ^xa;' («) bri dg e, 57) rig X=p7l tis ed by the Ha rva rd Un iv ers ity ,E rns tM ay rL ibr a ry of the Mu se um of Co mp ara tiv eZ oo log y( = 'P,(2>?0 -2'P,(w) ^'a;' Dig i 58) Ca m x=2?i so erhält man: 13 Arithmetische Theoreme sind, kleiner Potenzen Summe als die der >;ten Potenzen derjenigen Divisoren der folgenden n Zahlen, welche rte sind Summe Die um ist, welche die T— der xten Potenzen derjenigen Zahlen x, für welclie Summe ungerade ist, ist gleich der Zahl, Summe der xten Potenzen der Divisoren der ersten n natürlichen Zahlen von der der ducte von um Zahl beträgt, als die Factoren darstellen lassen, j3 tru so oft als Producte von ß kưnnen ist, gie ze n ungerade 1 Zahlen dar- welclie die ersten n natürlichen Zahlen sich weniger oft als Pro- folgenden n Zahlen als die welche ungerade ist gleich um welche die Summe der Quadrate der Anzahlen der Divisoren der ersten n natürlichen ist, als die Summe der Quadrate der Anzahlen der Divisoren der folgenden n Zahlen Zahlen Die Anzahl der Divisoren der Quadrate derjenigen Zahlen für \—\ rsi t x, ist, ://w ww bio d ive der Zahl, kleiner — bio lo \ org /; w ww werden, gestellt — welche für a;, ylib rar y Diejenigen Zahlen m at xten Potenzen der Divisoren der folgenden n Zahlen übertroifen wird 9., durch kein Quadrat theilbare Zahlen welche htt p viele, für ,r, \—\ ungerade ist, als die Differenz ibr ary Es gibt so ty Theoremen zu gelangen, He ri Zahlen beträgt für die folgenden n setze ich in der Formel: ive zu anderen arithmetischen X=l nlo ad f rom Th eB iod Um rsi und der erwähnten Anzahl tag eL aus der Anzahl der Zerlegungen der ersten n natürlichen Zahlen in zwei zu einander relativ prime Zahlen jr=l ina lD ow x:=i = [^ji]=' rig 60) e, MA ); O >^ eZ oo log y( Ca m bri dg Alsdann wird: um folgt aber: 2ff«" x=l -^^ (r[-2^]) -' n/'"" T -^ x=l (2(7+ l)n: c^='( KOv \^ x=l x=ff r " (2a;— IjTT VT ,/; I a , (2,«— l)re =a vt ^24^ /K ^(x+x^\ ^2 L 2x jy o ^2 an • »j cos —— (2(7+ 1) TT -^^ - : 15 Arithmetische Theoreme x=jsiu3 )r-^r— „, „ = 2\ -Icos.r^ I C0S./-5+ ) , +— sin !^ h2 ;Cü.s((j+l -, sm — sin— ^=1 i25+l)^ m at COS- 17 gie ze n ^ ^=i org /; w ww sin— sm(cr+l)5 V(-l)^~U(-lr+'( + 2.) rsi t (-1>^-[^J+ X=l i — 1=1 ibr ary htt p ://w ww 1=1 2r; ylib rar y V + ive 2y\-l>{2;^] = 'sin-^ bio d 72) j^ tru 2V[^]sin.^ = 2V[^^^Jsin.^-— Vcos3j[^J + -| bio lo ^1^ x=i tag eL a:=l / _^.^^ j,^ ^ _j-,^ , — 3j:— \ X— x=(j i x=i nlo ad f rom X Th z=n eB iod ive rsi ty He ri _ , ^2 sin üo + l)^ c=l lD ow j:=i +,((_1)T -(-l)'^^) Ca m bri dg e, MA ); O rig ina + ,^2cos (ä°+')' 1)+ log > ''"" , , , tiv eZ oo log y( V5 log (2(7+1) Mu se um of Co mp ara + ry of the x=i tM ay rL ibr a X=:3 ers ity ,E rns x=l diesen Formeln enthaltenen arithmetischen Un iv in Theoremen mögen die folgenden besonders er- rd Von den the Ha rva wähnt werden: ungeraden Divisoren -^ —1 sind, ist Dig i tis ed by Die Anzahl derjenigen um j-^\ — -ri aller kleiner als die ganzen Zahlen Summe dern der Reihe W -H enthalten sind « H- ' ?ô ' -H '' von bis n, welche grösser als der grössten ganzen Zahlen, welche in den Glie- Leopold Gegenbauer 10 Die Sunime der >«ten Potenzen derjenigen ungeraden Divisoren grưsser als 2[ — /-|^] wenn Summe die tibertrifift um eben verminderten Divisoren l)is «,, mten Potenzen der eben genannten um der Summe als die so viel, welche die Zahl der »wteu Potenzen deijenigen Zalilen, welche man m:ui von den grössten ganzen Zahlen^ welche in den Gliedern der Reihe: gie ze n tru m at erliält, sind, ganzen Zahlen von aller die betreffende Zahl ungerade oder gerade ist, gröf^ser ist, ive rsi t nachdem entlialten sind, oder subtrahirt, Je ylib rar y org /; w ww bio lo «-(-1 ://w ww bio d als die Differenz tag n, welche grösser als He ri um sind, ist bis "- — /— J Y ty — — ganzen Zahlen von aller 2v! kleiner, als die Sumine der Quadrate der grössten ganzen Zahlen, rsi / Ly ungeraden Divisoren derjenigen ive Summe -^ eB iod Die eL ibr ary htt p [v/S-l!4vf]-'r-'!4v^]- +1 « +2 n + 'd MA ); O rig ina lD ow « nlo ad f rom Th welclie in den Gliedern der Reihe: dg bri bis a, welche von der Form sind, übertrifft die doppelte Anzahl der übrigen die y( — /g- 1 4r— angegebene Grenze über- log als ganzen Zahlen von eZ oo und grösser aller Ca m Die doppelte Anzahl derjenigen Divisoren e, enthalten sind um eben Anzahl der ungeraden grössten ganzen Zahlen, Co mp ara in so viel, als die den Gliedern der Reihe: of welche tiv schreitenden ungeraden Divisoren [v/tl 'i ' ' ay Summe rL ibr a ry of the Mu se « um + n+2 n+ ^2~ ~r~ "T" aus der Anzahl der geraden grössten ganzen Zahlen und den Ausdi'uck rva rd Un iv ers ity ,E rns tM enthalten sind, von der the Ha übertroffen wird aller ganzen Zahlen von bis n, welche von der als 8r— und sind, Dig i und grösser tis ed by Die dopi)elte Anzahl derjenigen Divisoren die /'— J —1 sind, übertrifft die doppelte angegebene Grenze überschreiten, ganzen Zahlen, welche in +\ n +2 n um eben so viel, _ + n 'd 8/-J-1 Anzald derjenigen Divisoren, welche von der Form den Gliedern der Reihe: n Form + [\/|] ^[^J] als die Anzahl derjenigen grössten Arithmetische Theoreme entlialten von der Form iiiul Zahlen und oder 4/- Summe vou der sind, 4/-f-.'5 17 aus der Anzahl der übrigen grössten "-anzen dem Ausdrucke Summe -1 um vermehrt sind, ihre Anzahl ist um ii [ + lj /•^] -2r-; [v bio lo /|-J bis n, kleiner, welche grösser als die doppelte org /; w ww 2[ deren Ordnungszahlen durch die grössten ganzen Zahlen derjenigen Trigonalzahlen, ylib rar y als derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von gie ze n Summe Die doppelte tru m at übertroifen wird angegeben n +2 rt+3 '••' a ) ' ary htt p + [y/S bio d n ://w ww +1 n ive rsi t werden, welche in den Gliedern der Keihe: eL ibr [v/t] Summe derjenigen ungeraden Divisoren aller ganzen Zahlen von bis «, welche grösser sind, Anzahl übertriift ihre vierfache um eben so eB iod [y|] viel, als der Ausdruck rom Th »>» ^ ive rsi ty Die vierfache He ri tag enthalten sind der Quadrate derjenigen Zahlen übertroifen wird, welche MA ); O rig Summe von der ina lD ow nlo ad f ißH^lh^U^' man erhält, wenn man vou den n +2 n y( +l Ly +3 J nachdem of snbtrahirt, je die betreffende Zahl ungerade oder gerade ist um enthalten sind, oder Co mp ara tiv eZ oo log n Ca m bri dg e, grössten ganzen Zahlen, die in den Gliedern der Reihe: ibr a rL ist, ry of mit the Mu se Man sieht sofort, dass die Anzahlen derjenigen Zahlen, für welche r^—l ist, dem Anfangsgliede und der Differenz bilden, während die Anzahlen jener eine arithmetische Reihe mit dem Anfangsgliede und der Differenz bilden Um icli zunächst die Summe: the sei: ed by Es Ha rva rd Un iv ers ity ,E rns tM ay zu neuen Sätzen zu gelangen, betrachte a Dig i tis Wß-'^l^^ tv/: ft/i'+P Die in der '1 = B Summe: [\/^-p]^(^) x=y,-)-l Denkschriften der mathem.-naturw Gl XLLX Bd eine arithmetische Reilie Zahlen, für welche r, = : — : ' Leopold Gegenbauer 18 auftreteuden ganzen Zahlen V\hx- + & A—l, A — 2, B+l, B und zwar , wird, da aus der Relation: gie ze n ^'J