Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 49-1-0133-0170

£ m at 133 bio lo gie ze n tru ENTWICKELUNGEN org /; w ww ZUM ive rsi t ylib rar y LAGRANGE'SCHEN REYERSIONSTHEOREM, ://w ww htt p mmi i lim v '«'^»^^»^''^ ™' ULii iiMiLLaiMifiii ary ik^eiie^ iüf ibr II He ri tag eL mmm bio d UND ive rsi ty VON AVEISS, eB iod Phof Dr E MITGMKPK PKR KAISKRLICHKN AKADKMIK hl-l: WlSSr.NSCHAKTKN DKK SITZUNG AM ina IN 20 NOVEMBKll 18S1 eZ Lagrange'sche Revcrsionsformel in welcher man sie gewöhnlich auf- theoretischer Beziehung an Eleganz, Einfachheit und Übersichtlichkeit wohl nichts zu wünschen wenn man aber in speciellen Fällen daran geht, eine grössere Anzahl von Reihengliedern nach dieser of Co mp ara schreibt, in übrig; lässt in der Gestalt, tiv Die oo log y( Ca m bri dg e, MA ); O rig VOKGEI-KGT lD ow nlo ad f rom Th WlKKl.ieilKM in der Regel so weitläufig sie thatsächlich so gut of Keppler'sche Gleichung, ry eine der wie unausführbar wird Ich erinnere in dieser Beziehung nur an denkbar einfachsten Anwendungen des Lagrange'schenTheoremes ibr a die the und zeitraubend, dass Mu se um Formel wirklich nicht blos symbolisch zu cutwickeln, gestaltet sich die Arbeit ay rL Schon bei der Lösung der Gleichung: sin E, ' ,E rns tM Ez=M+i in Function der mittleren greift man, um bei der Aus- Un iv ers ity nämlich der Entwickelung der excentrischen Anomalie Kunstgriffe, zuerst die Potenzen des Sinus in Sinusse des ^vielfachen rva dem Bogens zu Ha keiten zu verfallen, zu rd führung der erforderlichen mehrfachen Differentiationen von Potenzgrössen nicht in allzu grosse Weitläufig by the verwandeln, und erst dann die Differentiationen vorzunehmen, wird aber dadurch auf Reihen geführt, die zu ed Berechnung der excentrischen Anomalie ganz und gar unbrauchbar sind Allein nicht blos Dig i tis einer effectiveu die exeentrische Anomalie, sondern auch jede beliebige Function derselben, wie: log c mit Hilfe des — log( V = arctg sin E.sjl—i^ = cos lässt sich (—^ E— — icos E) 2arctg I L vy /! + £ -i— ^ , E\ tg-) ^ I Lagrange'schen Lehrsatzes theoretisch mit gleicher Leichtigkeit als Function praktisch indess ist ein solcher Versuch bisher noch nie unternommen der mittleren Anomalie darstellen: E 134 worden, und zwar daher lieber den \Vei,^is Methoden diese Functionen zunächst nach anderen Umweg, Rechnungen führen würde Man wäldte weil es zn ganz unübersehbaren cinfacli desslialb, Reihen nach den Cosinussen in und Sinussen der excentrisclicn Anomalie zu entwickeln, dann diese Cosinusse und Sinusse mit Hilfe unseres Lehrsatzes in Functionen der mittleren Anomalie umzusetzen, und nun erst die so erhaltenen Wertbc in die früheren Reihen zu substituiren übersichtlich darzustellen, sondern auch die ganze Gliedermasse Form erforderlichen Operationen in expliciter blos angezeigten Differentiationen auftreten, nicht nur die gie ze n Lagrange'schen Lehrsatze lichen Ausführung der im tru m at mir nun gelungen, durch eine zweckmässige Gruppirung der Ausdrücke, welche bei einer wirk- ist bio lo Es org /; w ww Conglomerat von Poteuzrciiien zu zerlegen, und den nach der Snmmirung dieser resultirenden Ausdruck, wieder so umzustellen, dass er abermals in eine Summe von Potenzreilien übergeht, u s w Die auf diese ylib rar y in ein man berück rsi t Art gewonnenen Reihen besitzen daher die Eigenthümlichkeit, dass jedes weitere Glied, welches ://w ww auch die hier entwickelten Reihen zur näherungsweisen Berechnung von Functionen anwen- Durch diesen Umstand untersciieideu erfährt man sich ibr sehr vortheilhaft von den meisten Formeln, die ary namhafte Steigerung und die Convergenz der Entwickelung nicht selten eine sehr vereinfacht, htt p immer mehr letzteren sich successive bio d ive sicbtigct, auch noch einen Theil der Glieder höherer Ordnung mitnimmt, wodurch der Bau des Restes dieser genau wiedergegeben wird, tag eL hei denen in der Regel blos eine bestimmte Anzahl von Anfangsgliedern ganz verschiedener He ri det, der Glieder höherer Ordnung ein Diese Entwickelungen sind rsi ty während der Gang i.st liefern Th Functionen zu eB iod ive daher auch sehr geeignet, einfache und interessante Näherungsformeln zur Berechnung der hierhergeliörigen an einem speciellen Beispiele die Brauchbarkeit meiner Formeln nachzuweisen, habe ich nlo ad f rom Um Keppler'sche Gleichung und die auf die Pro- ow schon so vielfach bearbeitete sie damit im Zusammenhange stehenden — in vielen Fällen wenigstens — wesentlich vermindert worden e, scheu Theorems entgegenstellten, MA ); O rig ina lD bleme augewendet, und glaube damit gezeigt zu haben, dass durch die vorliegenden Entwickelungen die Eingangs hervorgehobenen Schwierigkeiten, welche sich bisher einer allgemeineren Anwendung des I^agrange'- praktisch brauchbare dg habe ich damit, wie mir directe Lösung der Aufgabe Ca m bri scheint, die erste Umgehung oo derselben unmittelbar die wahre Anomalie und geliefert, excentrische, den Radius vector oder eZ dessen Logarithmus tiv zu finden Schlüsse habe ich noch Co mp ara Zum log y( in einer massig excentrischcn elUptischen Bahn, aus der mittleren Anomalie nicht nur die sondern auch mit sind Ferner paar einfache Näherungswerthe ein für die eben genannten Functionen Mu se um of angeführt, die aus meinen Formeln fliesseu ry of the § lautet bekanntlich: z bestinnnt Gleichung: durcli die ist rva rd wenn Un iv ers ity ,E rns tM ay rL ibr a Der Lagrange'sche Reversionssatz 2) by the Ha z-x+-])i^-^)/-'+^V ' ] ers it ylib rar y.o rg/ ;w ww bi olo gie z =pD'-^ [(p-l)(p-2)ij^-5)f"-^r+ 135 etc at Entwickchmgen zum J^a (jr an ge' sehen IxcversioDslhcoynn, • • (^^Yp—]) uiau abkiirzimgsweise setzt: =/•'•/" • {p^q+A)FiP-':+^-^f:-^+ (p^q + ni)F[i;-'>^'"-') /''i-"'+ ' ow nlo ad f rom F^)z=if'-f"' =/'•/• +io/,'/'''-'/-7"' rig ina lD j'^i'-.' 4) j Th eB i^W 1) iod wcim (|)(J'- ive rsi ty + htt {p-q + ?>)F\r''+'''f"' '+ ibr ary (/'-!) ge L (|) He rita + p:/ /w ww bi od iv also allgemein: ge ,M A) ;O Ff^f'-r' + bl-p-' {3f"r+2f"'^)+lbk{k—l)f'^-^f"'^ am b rid Ff = ['/'" +7kf-\3f"f +bf"'f")+10bk{k-l)p-YY' F(/> = Pf "'+Uf''- {Af"f' + %f"'f+br^) + 10h (I.— Df" (3f"^f"+4:f"f"'^) + ' (C ' ) {k-2)f'-''f'\ ive + G/.:f-'((3/'7'*''+14/-"7''+21/'7M + 14:a" -!)/'om pa rat Fô=/'7''-^ Zo olo gy + 10bk (/.- /• lư/'"/-'- (/.: / ] 2) •) Mu s eu m ( of C + 2mk{k- 1) - 2)f - Y"7 '" + J (y'" /'" + 70/'" i'W — Y^ + 3Ä- /'-' " A2f H- OửA- i^- /'-= ((:;/"ô/" 24f"f"'f + + 5^vyv, 2_^ 20/'" Y" + 31 r)OÄ;(/c- A'- 2) f'^-\fi^p + 2/"V"'2j + 945/>( /,- 1)(A - )(k—3)f -"/" = /''7'"+ /./•-' (5/'"/'" + bf'"f' '" + 30/''7"'+ 42/' /' + 165Ä^ [k- 1) /''-= (ßf'^f " + 28f"f"'p + + 42/'7'" /' + 28/'"'7' + 35 /"7" + 770/,- /,•— 1) A )/'-3 O/''^'^ +4bfY"f" + 20f"f'"^) + + 17325/i-(A:— 1)(A-— 2)(A'-3)f'-V"7'"' of ' ') ) ( ( ive rsi ty, Er ns tM ay r Lib r ary ' )( the ) /'/• Un Zwischen diesen /'-Functionen besteht folgende, einfache Relation, nach welcher man Ha rv the by ed tis Dig i Lässt man in der Ff = DFij;) -kf'Fi^-')+3kf"F(['-') Ff)—DF^) -kf'Ff" f + tM ' ('•) 207'^!,'-'> rns bF f" + hFf f \ GFif 'f"+ Ff ^') II ,E />'"+ ^ ers ity I, ay rL A;= -!./-''^"+ ~ Dig i tis ed by the Ha rva rd Un iv A;= ^/"V'+i^j (21F(,')y*' +mF^^if + -ihF^^'^f"-^2\Fi:'"+40/''"^y"')r t^(8+45«/+ ] + 5/'"'ä} ary htt p 5760 10) ://w ww eL ibr + 15/'"^)y" + 60f"f>"'+4Of"2y»)?»C2[9+55^tag {24/''"/''' eB iod ive rsi ty He ri ^ y^+erri y'+ 17280 (j6f' Klammern eiDgescUossenen eckige tiv iu wie Reilieu siud, leiclit ersichtlich, wieder Potenzreiheu, und Co mp ara Die eZ oo log y( Ca m bri dg e, MA ); O rig ina lD ow nlo ad f rom Th + i^rY^'C'[72+495y+ l + ist: 8^^ 8^ ' 21 l-v/l^ j 16^ -1+^132^ y 21 33 , /l-V^l-2yY , / 2 N3 „ 45 ers 3 2''4-'2^8'' /l-\/l-2yx3 , Un iv ity ,E rns tM ay , rL ibr a ry of 2^ ^ , se , Mu the ,12^' um of kưnnen demgemäss summirt werden So V y ß by ^2-^ 165 ^ ed „ /1-V/1-2//X* -^ 16 V X4 2_ Vl+y^l_2y/ I y Dig i tis , the Ha rva rd \x^sj\—2yl I 1 l + 17 + 5»^ + r E "^5 - i/ 27 , Q w^+ + 3' )+ ] ://w ww bio d ive rsi t ylib rar y org /; w ww + gie ze n tru m at r,2 10*') ary htt p ^ eB iod ive rsi ty He ri tag eL ibr + ^{%f"'f+br^)f'"+2f'"f"f''+r^f') + • • •] bri dg e, MA ); O rig ina lD ow nlo ad f rom Th + |{2/-'7''+3rri'/''+l{8/-'T+5r'!?" + -|rr>^+r*y") + genannten Ausdrücke log folgendem Zusammenhange stehen: Co mp ara tiv eZ oo in die F, Q, B, S, y( Ca m Ehe wir weiter gehen, wollen wir vorher noch erwähnen, dass B„ = d{Q„_;) , C.' dC the of S„^i:' IV* d(B„_,) dt noch wesentlich vereinfachen, worauf wir später zurückkommen werden ,E lässt sich ity Die Gleichung 10*) rns tM ay rL ibr a ry } dli Mu se um of ^"-'n—l nach steigenden Potenzen von d h sie ^j (z) bequemere Form, rva Daraus folgt: Dig i tis ed by the Ha wir uns der Bedeutung von^: _ i_v/i^2/f^ 2/-C ,^_ ^^ l + \/l— 2/f"C* f'C 2f+fy " ü C \/i—2ff"c^ die der Gleichung 8*), entwickeln und nach denselben ordnen Dazu erinnern rd zurückführen, Un iv ers Vorläufig wollen wir sie nur noch auf eine für die Berechnung von f 2p 2f—fy E Weiss 156 ""n = ^i°-^^"[ 479001 600 ^"'- 72^60 ^^- 24^20 ''^ '"'^"^ 1^0 '^""^ 2^)0 ''^ ^''^ 12167 ,,,,., j^j^r^ 908-55 ctgHI)f' -"b-T 43200- „_+ -— , ctg J/y^ '' ^ 120960 30240 , „ ,; etg^iW (15968-3927 )/' • (5424128— 3373953ctg«iW)y^^^ 30800 ctg31/)y''' -—l-— 1430287ctgi/— o " T 1814400 ^ m at 725760 unserem specielleu Falle: Potenzen uucli dessen steigenden r, 1—«/' und da hier 7>, dem mit A', Gleichung 8) entwickelt wurde, lautet Factor sin M" behaftet ist, in wird es sich ive rsi t z in ylib rar y Der Ausdruck: org /; w ww bio lo gie ze n tru - ggTi^göö (180403983 ctgiV/-15754200 ctg-^iVv/] auch früher schon mit demselben Buchstaben bezeichnete Function: bio d die, ://w ww empfehlen, zur Abkürzung einzuführen ^^^siniW_ XIV ary htt p — scosM ibr Nach diesen Vorbereitungen lassen sich jetzt eB iod ive rsi ty He ri tag eL Die Gleichung 8) gestaltet sich dann folgenderma>:sen: oben genannten Probleme mit grosser Leichtigkeit rom Th alle A = E ina lD In diesem Falle haben wir zu setzen: — f'" = f"— = rig = f" ; e, y' MA ); O = M] f eträgt selbst für ina letzte £ z= 0-4 im rig Das lD ow '^-4'' „ rsi 195299 756ÜÖÖ , eB iod 5133 , Th /ll , rom = log - r^^m [^ r^- ggöö ''*+ , ,/ nlo ad f log ty He ri und hierauf unter ibr ary htt p 11_ ,/ '" zunächst: liefert rsi t _j_ ~ org /; w ww ist Die Weiterentwickelung der Formel XVII •' bio lo bequemer zu berechnen ive sie itf ' bio d welcher M— ^L ctg + ://w ww in '/^^„^^ ctg gie ze n = i¥+ E, — ^ ^'" E m at so erhält Gleichung IS) die Gestalt: wenn man den sich sehr einfach, gestaltet ftilfswinkel y mittelst der Relation bri dg v? MA ); O Secunde es wurde daher eine weitere Transformation desselben Die Berechnung von e, theile einer Maximum nur wenige Bruchnicht der Mühe werth gehalten eZ oo log y( Ca m einführt: Co mp ara tiv Es wird dann: ^ c ^ of r; -4 =: Sin «/ Mu se um v/i Es wurde eben bemerkt, dass s = 0-4 dns Glied A, ctg il/^ nur noch wenige Bruchtheile einer of the selbst für ry Bedenkt man nun, dass bei der gewöhnlichen Entwickelung det e^cöhtristeheü Anoibr a erreicht rL Bogensecunde =;0-25 noch das Glied mit eine ähnliche Genauigkeit zu erlangen, so rns sielit man daraus ^öhl ,E genommen werden muss, um £ tM ay malie nach vielfachen des Sinus der mittleren Anomalie bereits bei sin 12M mit- aufs Deutlichste, Un iv ers ity wie vortheilhaft das successive Mitnehmen eines Theiles der Glieder höherer Ordnung auf die Convergenz der wenn man einfach schreibt: n E = i¥ + r v-; 13 M+ am y T , • '' so ist Dig i tis ed by the Ha rva rd entstellenden Reihen wirkt Ja der Maximalfehler, den man begehen kann: für £ = 0-25 / = C = —sincosMi¥— !- tg V ° // -^ £ £ \ / zum Lagrange'i^chen Entwickelungen lieversionstheorem, 159 etc B —a — 1— £CosK ist: daber = f = " =: f" = = cosilf = f" = '^"" = 1/ sin £ '^' '^^" £ sofort: rar y.o =+ X^ sin^ilf £ M sin^ilf COS £ /w X, ibr ary htt p:/ X = — -3 £sini¥* ge L "* 907 = + ^^ (20 ms ive rsi ty iod Th eB ow nlo ad f sinif cosi¥ ' 223 rig ina lD Xr" sin 1/« £ rom X = + (4 — 46 ctg«M) He rita 17 = — jjj£sinM*cosM A'^ = 'i^'* ylib liefern = '/ = '/ = Jf rg/ ;w ww bi — — Die Gleicliungen XIII sin z at + coüM £ en tru m olo gie z = — ers it y ww bi od iv Hier XVIII /1072 am b rid ge ,M A) ;O V315^360 (C 91119 Zo olo ive 53 om pa rat 17802611 of C 169504 51975 eu m / 8966081 1814400 the > Mu s _ - ctg^¥)£sin3/i''cosil/ 90 28800 ^^'1 /4S52742017 of ary ,^ ^'^ ""^^ + 4404983 1814400 479001600 ''''' 72 ^ , '"/ „A ' ''"'" , „ ^i^ Er wenn man bedenkt, dass £ sinilf = 1(1 — £ coslT), bervorgebf ive rsi ty, woraus,, ns tM ay r Lib r V 1" gy ~5040 ctgôjƠj Ê sinilf V567 Un ard ?^- ^ ed by + -? 1072 ^ô -^ - + -4 Cô- 368 3^5 the Ha rv COSilf) [(l -H , 17 ctgilZl^l „ • 98177 907 , — j^^ 567 "^360^ 169504 51975 ,, " "^ ' " ^ "/ + 17802611 ,, 20160^ "^ 1814400^ 1814400 tis 0- 4852742017 239500800 Dig i -^ =: fio + 19) 223 9199 if'*'"('-^«'+ii« + 24^ ct„ ^i^^3 4c'^ctg.y*(f J5 ^ + + 8966081 302400 £ ^p^g^^j ' Diese Eeilie hat genau dasselbe Bildungsgesetz wie die Reihe für die excentrische Anomalie (Gleichung und kann daher genau ebenso behandelt werden wie diese: mau vergenz die Grösse ähnliche Form v, 8) kann auch hier zur Vergrösserung der Con- statt t einführen und dann diese Gleichung ebenso wie Nr 18 auf eine der Gleichung 18**) Da indess der Radius vector selbst nur selten gebraucht wird, wollen wir uns dabei bringen man gie ze n bio lo s cosJ/), so wird: =+? rsi t f' = log(] — unseren Formeln o in log-=l0g(l— £C0SE) ylib rar y f^cln-eibt org /; w ww C tru m at nicht aufhalten, sondern sogleich zur Entwickelung von dessen Logarithmus schreiten Es sei also: = +4'ctgil/— C^ — — ?— ctgJ/C'+Sf-^ f'" — — C ctgM+(4— ctg^JJf )^''+12 ctgi¥f— 6^ y" = +t+15ctgi/C''— 10(2— Sctg^il/)^ ' 60ctgJ//C*+24f\ f" = +Ê ctgiƠ 16 15 ctgôiV/)c* 30(5 ctg.¥— ctgilP)c:''+30(4— ctgif2)^^*+3G0ctgi¥f 120f f" = — C— 63 ctgi¥4'' + 14( 13— 30 ctg*i/)f»+210(7 ctgM— ctgM»)C*— 840(1— ctg^M)^''— htt p ://w ww bio d ive y" He ri tag eL ibr ary f'* " eB iod ive rsi ty ( Th —2bm'^+ )XlX rom nlo ad f —5040 (3 ctgi¥— lD _ +t;+255 ctgifC^-lO (164—441 ctgil/^if!*— 1260(22 ctgiW— 15 ctgj¥3)£*+ — +4 ctgj¥— (256— 255 ctg^if)?'- 30(475 ctg if— 147 ctgi¥=')t3+ = — C 1023 ctgil/; ^+ ctgiƠ* )| + e, Ca m bri y" dg f' MA ); O rig ina y'v C ctg >/+( 6463 ctgôiƠ)C'*+84(18 ctgiƠ ctgilPjlằ 126(16-60 ctg JV/2+ ctgilf*)!*— ow f'"— oo log y( f"——^(iigM+ Co mp ara tiv eZ I liefert: of Dies in die Gleichungen XIII eingesetzt, = X, = + sin X, = — sin il/3 A; = — sin il/* X, = + sin M-' r^T A; = + sin um A'i ^] ry ^/[-| ctgil/t— 4- ay rL ibr a of the Mu se +4sini¥ ctg 17? 2— rns tM r4 £+ e»1 ers ity ,E -J- Un iv MC— ^ (16—3 ctg^ ilf)?^— ctg M^^+ 1 *] Ha rva rd [1^ ctg the 245 ctg^Ơ)t> |^ dg 3H' -L 83 ( ctgô ilf )£»—^ ctg il/?'* + 4- -^1 ] Dig i tis ed by ( iƠô[||^ ctgilfl ;^ (736375 ctg^Ơ)t2- ^i (33 ctg.¥— ctgil/=')?='+ + ^ (16—9 ctg2i¥)c*+ ctg iƠC'' -^ c"] V X, =-s:n TirrT orw ir- Tir iir[^^(2i)44-15blctgôilf),+ > ^ (41 307 ctgiƠ 12 ^^- — ctgil/''' ctgi¥— ctg^if )t *+ „ ,^ 448— 375 ctg^¥ , ,uo — (4—3 ctg^M)^-'+ — 4" ctg M .1 XX : Kntmickehmgen zum Lagrange' sehen Reversionsfheorem, V irsT • 11U11 r.^n 1, , 68608— 64967 ctgM/ > -ii, 161 etc 4646clgx¥~495ctgM/„„ , + ^(1408— 1660ctg^i/+l5ctgiJ/*)5"*+ JL(49ctgil/— 6ctg^»)c:^— = ,,,.,1-/17802611 53 ,^ ^ ^ 1084109 „ ^ /33783535^ „ >, " " _,^ , J „ I \ , ^Y ^"^ / 1043 -040 "'^""^ 80379^ -, / ^•••J „.v,, i Einem wieder gleicli "°^^ 479001600 1814400 ""^^^^ ••] = / man ohne Potenzen von ctg i¥ ordnet und wie früher mit /»^ (-) m den Modul des Logarithmeusj'stems bezeichnet: 1131437.,, 9.,, 87., 16169.,,,, 7-4 ,^ r/^2 ^+ = log (1- cos il/)+4(f^-^ « ^ ,«+ ^33^ , ^^^-^P+ nacli /i n ^ A) ;O log unter rig ina lD , wenn man weitere Müiie (uach Formel 17), rom erhält ow nlo ad f Damit Th eB iod ive rsi ty L', ge L inJi He rita A„_ ibr ary htt p:/ , /w ,,,_ ww bi od iv V40320^^^" 8966081 96 ylib _ /292897 ,,,,1-/169504 ^ ^^^^ ctgip) £*+ ^+ _,^ +""^''L(^628OT^*-^^''~W'^*^"^y'-(l4175-^4lI^ " en tru m ^ 720 V /42376 ^, , ) ^ 24 ers it '''•• f^^ ctg ^"^ i¥- _! eto-J/*! '^^ ^^ ^ ^" olo gie z _ ^6616 _ 9433 ^2835 2880 '^ .n., 21 ,^ ^ at /107063 rg/ ;w ww bi ,„^ ^ rar y.o 9199 ir9r^l072 • \ 29, ge ,M /l (^2 ? + rid ^^5 86579., 2017.c' ^2Q ^^^ (C am b + ctgiM ive Zo olo gy ~ om pa rat ctgiVi„/J_-,-_^;2^>8 ^^^^cQ + 195679 ^^32^ ,„ t + 53583581 ,„ 3628800 ' 16185378277 479001600 54168577 ,, "^ 3628800 ^ of C ^2^ , fl3_,_ 20) n ••^- of the Mu s eu m 2279 , 957367 ,3 -.3/2 „ ^ ^^-^^ (9-^^-1440^ -^129600*— ~ auch diese Gleichung den früheren (18 und 19) ganz analog gebaut; auch Er ns sieht, ist -n statt t viel ty, durch Einführung von ist nämlich in -n ausgedrückt , ,1 - , cos.¥ ) ^9 « 1157 84961 r^ ^n^-j^r.^^ 2835 " " + 4(r/ .*+ 3Tl85Ö s ,., ,, '^^ + " Dig i tis ed , the = log by /r\ log (-) Ha rv ard Un Reihe für die excentrische Anomalie Es , sie wird convergenter, verhält sich überhaupt in jeder Beziehung ganz so wie die ive rsi Wie man tM ay r Lib r ary _ctgM*(if|c'^- )] ,^ + /l Mi(^ 11 , 517 371 „ - 2801 6691 ,„ , 4134701 5979427 ,, ,, , ^.".H-??^.'3_ -Hg^gQ^O \^^r, ^^^^r i/3fl.«— ctg JU Ctg _etgM*(i^ ^- )+ ] Denkscliriften der mathena.-uatiirw Gl XLIX- Bd 21 : : 162 E Weiss Bereits das iu ctg M^ multipliciite auf die fünfte Decimale von log f — Glied und das j für keinen der Planeten unseres liat M* auch in ctg Sonnensystems einen Einfluss keinen mehr auf die siebente Schreibt man nun wieder r , 29 , 1157 g 84961 ,,, n ,, 371 2801 g 5979427 ,„ i , l 7^ COS w zz: rl L2 — n" 11 , 517 , n -I 6691 , 24 4134701 ^ 3628800 n — , ,, v/ ^720^ 'fi 8064 -I ' t J ylib rar y org /; w ww bio lo g gie ze n r tru m at „ ive 20**)^ htt p so ctgili+ ^, Ji XXI wie früher, die letzten beiden Gleichungen von ary mau auch Her, \ man weiter, so erhält ibr Entwickelt —sm M) + r„" + y COS £ bio d ( a ://w ww — = log 1— log rsi t so wird: 6005 - 415867 „ He ri 517 , -24^' +720^^ n ,, -• -8064-^' +453000^' ty 11 , ' " J = log [^-ny — «Tj^ 11 „ XXP 1463 ^^^-* 19489 1440''' 45360 , /;'*— ,, rr- 6784589 , '"' 14515200 '" 119 , 4789 6048 , 240^ 3468263 3628800 MA ); O 12^ , ' , "^ "' • • • bri dg e, ~ rig ina log 3228163 2116800 , +3528^ 3528 Th 4789 , ' 20 rom ^^ ' nlo ad f 17 12 ow - lD ^'^^ eB iod ive = '4J'' rsi rl ^ tag eL successive Ca m Die bei der Bildung der Gleichung 20) gewählte Gruppirung der Glieder ist zweifellos die einfachste y( man beim XX log Betrachten des Systenies der Gleichungen und auf den ersten Blick, oo naturgemässeste; doch erkennt Nimmt dem Ausdrucke: beispielsweise aus Mu se um of man Co mp ara tiv eZ dass auch das Zusammenfassen der Glieder nach anderen Principieu zu brauchbaren Resultaten fỹhrt '' Vsinô j/ / ^ Vsin^ iƠ / ry of the Vsin i¥/ dann die drittletzten u s w heraus, so ergibt sich: rns + (P— ^ f + ,E ) ^^—^ |«+ i i"— ~ 4'' 4-Ctgil/(f— f + f— ?9 + C"— ?''+ ) — the Ha rva rd Un iv ers ity cos ilf by £ ed = log(l— [j (4*— ^''+4'— C'^+t"— • • -i ctgJ/^(e«— 2C'+3^"*— 4?-"'+ )] )+ tis (-) Dig i log tM ay rL ibr a zuerst die sämmtlichen letzten Glieder, hierauf die vorletzten, -[^ctgi¥(17f— 254' + 334'*— 4U"+49;'ọ ^ [^ (184ô 234ằ+ 284'ô 334'*+ • •) ) — — ctgil/-'( 4-9-34"+ 61'»- .)] - ^ctgôiƠ(84ô-254ô+504'-834'*+ j ^ ctgil/\4'* •)] £ zkw Lagrange'schen Entwickelungen Feversionstheorem, + r^ ctgiU(907c:'— 1535|9+2323cr"— 3271c''''+ + ) 163 etc ^ctgiH3(84«— 33£"+83|»3— -[2^ (414f-603C"+827Cằô- .) ctgiƠ^3568Êằ 92SU"H-18866r* )J_ ^ die leicht ersichtlichen )] + Summationen ans und geht man dabei zugleich von den m dem Modul man: über, so erh.ält p:/ /w ww bi od iv ers it natürlichen auf künstliche Logarithmen mit etgil/\?»^ rar y.o hierin ^ ylib man nun )+ rg/ ;w ww bi + Fuhrt olo gie z en tru m at 4i4£»+639c"'+260C'* ibr ary ge L f» ive rsi ty He rita + ctgil/(^.j iod (!+ÊƠ )lP+9i' 907f'+118ò|9+439C Th eB 720 + f)^ rom (l ow nlo ad f U ^^ - ) , -I- + n-4-f2)ô^48 (1+D* 48 2^^ ;-i- (l+f^^^* (1 f) A) ;O rig ina lD ^8 ) htt 2835' ge ,M f '* N Zo olo gy (C am b rid / jedoch im Grunde genommen sie om pa rat ive Diese Gleichung Hesse sich jetzt wohl noch wesentlich reduciren; da Form der Eutwickelung nach steigenden Potenzen von v vorstellt, wollen wir uns damit aufhalten Ähnliche Bemerkungen Hessen sich auch an die Gleichung 22) knüpfen endlich die Eutwickelung der wahren Anomalie betrifft, so sei: the Mu s Was eu m weiter nicht of C nur eine andere of v=2 ary arctg /v/l + £ ^ tg vy 1117 * , E>, — — = arctg /sinEv/lcos E— ( ) '* / V tM ay r Lib r D ( Er ns = arctg ^ ty, hat jetzt y ^ *S^) 2" setzen, und erhält damit: £ COSilf tis ed by the Ha rv ard Un ive rsi Man =_y'[?ctgiW— 2f] f" =+»'[£+ 6f« Ctg Jf—6f] Dig i f'" \ f = + y'|f ctg Jf— 2(4— ctg2 !/)£*— 36 f = _r^'[^V30f ctgi¥— 30(2— f" ctgiWf +24t*] ctgili^iv^— 240 ctgMC*+ 120f ] = — ^'[fctgil/— 2(16— 15ctgi¥2)|2— 90(5ctgil/— ctgilf*)C'+120(4— 9ctgi¥*)f +1800ctgi¥|5 f"'~ + /[f4-126 ctgJ/|ô 42(13 30 ctg iƠ2)c=' 840(7 ctg.Ơ ctgJ/ằ)f*+ • ] 21* ]' XXII E Weiss 164 y'[CctgJ/— 2(64— 63 ?' — + - -252(18 ctg3f— ctgi¥'')t^- = -y'[?+510ctgilff— ] z - ctgiV/s)?-'' XXII f '[£ ctg 31— ] gie ze n X lauten nun: bio lo Die tru m at f"' = X, = -[4^4e«-^r],' sinil/^ a; = X.^ = org /; w ww X^ 11 ,- ctgilif +1 ,sin 3] / M ibr ctg J/- eL [1 He ri tag - ary htt p ://w ww bio d ive rsi t ylib rar y -h f' sin JA rsi ty -ic*]o'sinit/^ c 4^ctgi/£3^4 40 ive "^ Th eB iod L24 ^ '^ ilctgJ/f+^(14-60ctgjy^)C-|^ ' -3 ow nlo ad f rom ^ —4 —— »tgj/t* -g-ctgj/t*— ctg t'^Jy'si]in J/'' (~541-6Ö + TM) ''^^^^^- 2Ä0 (2431-750 ctgi/^)!^- ^"^«^^'^ e, {t^Ü dg = bri X, MA ); O rig ina lD _i ctgjƠô)f 259 ctgMô)f*+ :iV ^^ ctg iƠ|^' .]'/ < { sin si 3/ ' j^ ctgilf- tiv [^ ( 47545-16128 Co mp ara - ctgil/^)C- ^ (4873 ctgi¥-120 vtgiP)^ + ' of X eZ oo log y( Ca m — ^ (169 ctgM ctg.Ơ3)^3+ -^ 33 630ctgM^)|-^+ -V(21 ctgil/ ctgil/3)f_ 9-ỹử'"^^- J/» ],' sin iiy-' um 1^'sin ctgil/— 20160 ctglf^U— ibr a ry + [j-^ (47545—16128 ctg 1/»)+^^^ (755191 ay rL X, of the Mu se rns tM — oA.n (309268—201285 ctgil/«)f — j^ư (762 ctg 1/— 55 I0I44O ct8i¥-')C='- ers ity ,E iOO Un iv —+ [362^ (755191 ctgM-20160 ctgAP)- g^r^j^ (7231801-4954260 ctgi¥'')C- Ha rva rd Y (466129 ctgilf— 38892 ctgiV/=*)f + y'sinl/"' (180403983 ctg iV/— 15754200 ctgM")^— .ly'siniVy" J^ x = ~[ Dig i tis ed by the _ 3628800 (7231801-4954260 + X, / ctg M') + [—15754200 -[55^'+ Es wachsen also jetzt, abgesehen von dem mit ctg ausnahmsweise verschwindet, die Potenzexponenten von dies früher überall der Fall war, der Factor ctg itf bereits bei um iV/* multipliciiten Gliede, t bei jeder auf der Coefficient von C* höheren Potenz von ctg je drei Einheiten, sondern nur den Gliedern zweiter Ordnung wo um Wollte je eine Einheit, man daher die M nicht mehr, wie und es tritt überdies Berechnung der Mittel- punktsgleichung, so wie die der excentrischen Anomalie und die des Radius vectors blos auf zwei Tafeln, eine mit einfachem und eine mit doppeltem Eingange, zurückführen, so würde die letztere bereits Glieder : : L agr an ge^ sehen zum Entwickelungen Beversionstheorem, zweiter Ordnung enthalten, die an der Grenze der Tafel (bei £ = 0-4) etc XQ,lt auf mehr als 3° ansteigen desshalb vortheilhafter, zwei Tafeln mit einfachem Eingange au/.ulegeu, welche mit Es dem Argumente ist log c geben _9>_1>3 184 ,^ 29 , 539 der übrigen Glieder, welche wir mit — ^ IX V r sin *'„ man selireibt: I XXIV I htt p:/ y., noch etwas einfacher, wenn cos V bezeichnen wollen, in eine Tafel mit doppeltem l'^ rar y.o stellt sich ylib Eingange zu vereinigen Die Berechnung ^ 8064 - olo gie z 43301,, " 240 rg/ ;w ww bi ^ ers it Summe 24 ww bi od iv und nur die ^ /w 1.2 en tru m at 28 ^-— sm " M He rita sin(jV+F) 0^ 23*) f- ' Was die Grösse von v^ Asteroidenbahnen vorkommen, kaum /;.y v^, einer mit den 9' wenn wir convergiren beträchtlich rascher, ,a, Argumenten £ und 1/ zu ent- in werden dann: denselben ^ wieder durch r, A) ;O ersetzen; sie und und c übersteigt es bei den stärksten Excentricitäten, die unter den betrifft, rig ina lD Die Ausdrücke für log Th eB und Feiner Tafel mit dem Argumente rom Vf, sind ow nlo ad f wobei log nehmen iod ive rsi ty v—M = ge L ibr ary Die Mittelpunktsgleichung lautet dann ge ,M 37 65 T o ^cosT=2.-3.3+_, v+ , am b rid XXIV* (C gy — —r/ TT''' 24 + ive sin l , Zo olo 17 , om pa rat (• ,, Mu s eu m of C Die Weitereutwickelung dieser Formeln liefert •D = ^-''-J^^"+ 48 70840 ' 240 4032t) zunächst: 379691 T^W.^''+ 10321920 15360 ' Lib r ary of the 0, 79 ay r _ ^ -T'' T6 61303 8Ö64Ö 48Ü'''' ty, hierauf: ive rsi und Er ns tM 17 ''^ d3 r,^— = log(2-n)—mL^ V96 Un ard »^ , ' 9923 by ed tis Dig i , ^^^-^^ -»-^ 46080 1114009 '"""''"" 0« '«- 22224320 ' XXIV the Ha rv log ~ 61_ _1_ ""' 847 '"' 192 "'' 15360 Die Gleichung 18) oder die ihr gleichgeltende 18**) _ 81023 '"''" 73T28Ö liefert meiner Ansicht nach, unter der Voraussetzung praktisch brauchbare Lösung der Keppler'scheuGleichung Auf das Aufsuchen bequemer Auf lösungsmethoden für dieselbe, haben sich aber bisher alle Arbeiten auf diesem derConstruction geeigneter Ililfstafeln die erste Gebiete beschränkt Die Lösung des eigentlichen Problemes der Planetenbewegung, nämlich die Ermittelung des Radius vector und der wahren Anomalie unmittelbar aus der Epoche, hat man, so viel ich weiss, überhaupt noch nie versucht, wenn man von den bekannten Reihenentwickelungen nach Vielfachen der mittleren Anomalie absieht, die wohl Cosinussen und Sinussen der eiu gewisses theoretisches Interesse, aber gar keinen Weiss E 1G8 praktischen Werth besitzen Die hier vorgeführten Gleicliungen 19), 20) und 23) geben uns aber das Mittel an die Hand, ans der Epoche die wahre Anomalie und den Radius vector eboiso einfach und trische leicht, wie die excen- Anomalie zu berechnen Diese Untersuchungen haben daher auch zu den ersten praktisch verwertlrbaren Formeln zur unmittelbaren Berechnung des Ortes eines Planeten in seiner Bahn aus seiner mittleren Anomalie gie ze n tru m at geführt Durch die Anwendung des Formelsystemcs 11) und VI des § org /; w ww bio lo Đ ' auf die Keppler'sclie (Tleichung würden ?> rsi t des eben angezogenen Paragraphen mit demselben Buchstaben bezeichneten identisch die in unserem Falle übergeht in Verwendung kam Die Ein- in: htt p jj, bio d den dortigen Erörterungen zu Folge, dieses Formelsystcm im Grunde schon führung der Grösse v;, ://w ww ist, am Ende ive welche mit der ylib rar y wir keine von den obigen wesentlich verschiedeneu Resultate erlangen, indem durch die Einführung der Grösse ary ^l + r/'—S^leL ibr 2i 9i-2 So lautet bei der excentrischen Anomalie die E^, genannte Grösse Th beträchtlich verkleinern eB iod ive rsi den Reihenentwickelungen nur die Coefticienten der höheren Potenzen, von der fünften angefangen - r; 5- Dig i tis ed by the Ha rva rd Un iv ers ity ,E rns tM ay rL ibr a ry of the Mu se um of Co mp ara tiv eZ oo log y( Ca m bri dg e, MA ); O rig ina lD ow E„ =•',+ rom in nlo ad f würde ty He ri tag l+V^l- in r, und^j ausgedrückt: —— — Entwkkeltmgen zum = M-hj} E — =1 cos (J/+^>)| £ 169 etc ' — =1 — £C0s(M+»3) „ „ = M+v E oder auch scosiM-i-p) — = log[] — Reversionstheorem, a log ^ — =:log[l SCOS{M+r))] 24) — und log bis :' S^ olo gie z + arctg ) VI— da cos(il/+^>) oder coa{Al+-o) selbst mit einer Grösse erster Ordnung sind, nuütiplicirt ist haben wir bis einschliesslich sechster Potenz der sind, so htt Wollen wir jedoch Näherungswerthe, die genauer £^ auf Grössen vierter Ordnung ein- ww bi od iv genau — ^ VI— i^^ /w schliesslich — zu bemerken, das8 die Gleichungen für ist = arctg „ „ ^_ £* -: rg/ ;w ww bi Vi— — = aictg" siu{M+n].\/l—i^ COh(J/+yj)— /) „ rar y.o ^—=^- + arctg S/l— S* Dabei „ " 5;^ p:/ =z arctg ~- ylib ^ ers it — = arctg m\(M-hp).\/u^i^ COS{M+p)—B r en tru m at log Lag rang ersehen £ y/]+2fL {M+p) ^ smil/ He rita rsin C E=ij ge L ibr ary immer einfach genug: * J -^ ive rsi ty Excentricität noch '^^ = i-.cosrj7+-,X_(ii^i^-,.ctgj/+y)] l Th eB iod -i ,, /sin(JJ/+»j) 'J smil/ sin(.¥+>5) M+ i-— ^ ctg yj ;O cos £ / „ yj« iV+ p5*) ,^-, ) ge ,M A) — N *= rig ina lD V^l+,j2V ow nlo ad f „ rom oder einfacher w am b rid u s 19), 20), 20*) und 23) gestattet uns auch noch aus Zo olo gy (C Die Einfachheit und Übersichtlichkeit der Eeihen 18), ist: om pa rat ive diesen für die durch sie dargestellten Functionen, interessante Näherungswerthe herzustellen So E = if+C -^ = (1— £CosiV)[l+£^(l + -Cctgil7)] + + "^ ? ctgi¥j +Glieder fünfter und hưherer Ordnungen vierter „ „ vierter „ „ „ „ dritter „ „ „ the Mu s ( cos M) +m ^« ^1 + — ^ ctg 31 + of £ ary — = log — „ j = 2C[l + ^^ctgJ/] tM + ty, Er ns » ay r Lib r log eu m of C 9^'(l ive rsi 1+f ctgil/ = Un Erinnern wir uns nun, dass ^„ so können wir die obigen Gleichungen auch so — scosilr P ard = jV/+C — — Ha rv E genau ' vi cos M — ={l— cos M) + ^^\/ — cos 31 , bis einschliesslich Glieder vierter Ordnung the B tis s Dig i s ed by -^ stellen log^ « V = log(l— £Cosir)+m( — ^^ — =.y ^\/l = 31+ Auf diesen 2f £ cosM eigentlich ziemlich nahe liegenden B 99, p 31) Herr Dr N Herz aufmerksam gemacht Denkschriften der mathem.-naturw Gl VT.TY Bd „ „ „ dritter n „ „ „ „ dritter „ „ „ „ „ zweiter n 26) scoäM'^ = - Vi— „ Näherungswerth hat eigcnthümlicher Weise erst vor Kurzem (Ast Nach Alle anderen, hier angegebenen sind, so viel ich weiss, neu 22 — 170 E Weiss Enfwickelungen zum Lagniiicje'' sehen Reversionstheorem Noch etwas genauere NäheruDgswerthe erhalten wir, wenn wir von den Gleichungen ausgehen: ^= (1— -cosil/)[l + + i.^ctgiiy)] log— = log(l — cosjy')+ mrt^il + — ctgi/j r,2(l /• ^ / C dann: bio lo ist org /; w ww dieser Näherungswerthe = M+ri — = 1— COS M) 4- n^\/l—sc.QsM a ylib rar y E ://w ww = „ £ COSÜ/ tis ed by the Ha rva rd Un iv ers ity ,E rns tM ay rL ibr a ry of the Mu se um of Co mp ara tiv eZ oo log y( Ca m bri dg e, MA ); O rig ina lD ow nlo ad f rom Th eB iod ive rsi ty He ri tag \/ htt p — 31+ Vi— SCOSilf ary V — -n^ W/ ibr « — £COSil/) + eL r log— =:log(l bio d ive rsi t £ ( Dig i Das System gie ze n tru m at £ ) ' 27) ... ist: the Die Convergenz der Glieder am Ende om pa rat ive Diese Gleichung macht uns mit einer neuen Form der Anfang.sglieder der of bereits bis auf einschliesslich Glieder dritter Lib r „ „... Bau des Restes dieser genau wiedergegeben wird, tag eL hei denen in der Regel blos eine bestimmte Anzahl von Anfangsgliedern ganz verschiedener He ri det, der Glieder höherer Ordnung ein Diese... bereits in der Einleitung hervorgehobene Moment in wenn mau beim Gliede «-Ordnung stehen bleibt, nebst allen Gliedern einschliesslich der « Ordnung, auch noch einen Theil der Glieder höherer