Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 54-2-0075-0092

m at tru ze n ;w ww bio log ie ÜBER ers ity lib ry org / EINIGE ALGEBRAISCHE RECIPROCITATS-SÄTZE B IGEL, TECHNISrHKN ry HOCHSCIllI.F IN WIEN IN DER SITZUNG AM JÄNNER ö 188S.) 355 hat Clebsch einen merkwürdigen Reciprocitäts-Satz bewiesen, konnte ow Crelle's Jouvual, Bd 69, S aber die wichtige Combinante, die im Band diesem Satze als MuItii)licator nur in speciellen Fällen dar- auftritt, rig in A) ;O Erst 175 gibt er mit einigen Modificationen eine Mittheilung des Herrn Gordan, 70, S ge ,M stellen ina lD Ln nlo ad fro m Th eB iod (VORGELEGT ive rsi ty He ri tag eL ibr a K K htt I)«- nOCKNT AN HER p:/ /w ww bio div VON Da diese Herleitung in symbolischer rid welcher derselbe die betrefifende Combinante allgemein ableitet Ca mb und da ferner das Schlussresultat zu comjdicirt erscheint, so versuche Form zu gelangen einfacheren Gestalt der Combinante in realer ich Form im Folgenden zu einer Ich folge hiebei bis zu einem gewissen tiv eZ oo log y( geschieht, in Punkte den der Herleitung des Herrn Gordan zu Grunde liegenden Principien und modificire nur dieselben die §§ of C betrifft, so sind die §§ I und behandeln den Zusammenhang, der zwischen der und dem Satze von Clebsch gewidmet in Rede stehenden Combinante und einigen ist, the Mu Theorie der Steiner'schen Fläche auftretenden Formen besteht, und dabei zeigt es enger den Arbeiten von Clebsch als er in ' und Rosanes ^ Im erscheint § ary viel den Inhalt vorliegender Arbeit of in der om Was pa Formen se um für reale dass derselbe Rosanes im Band 75, rL ibr Analoga zu dem Satze von Clebsch repräsentirenden Reciprocitäts-Sätze des Herrn sich, werden die sich als tM ay 167 und des Herrn Frobenius im Band 77, S 247 des genannten Journals behandelt Die Sätze des Letz- rns S homogene Formen mehrerer Variabein auszudehnen niv weniger Analoga zum Satze von Clebsch, the Ha Determinanten- Sätze und in diesem Sinne werden Band 80, S 177 Alle diese Sätze sind, vielmehr Verallgemeinerungen gewöhnlicher auch hier behandelt Der in seiner sind hat im § ist dem interessanten und Abhandlung „Über zwei Berührungsprobleine", by 4, S 527 gewidmet Es wird daselbst gezeigt, dass dieser Satz eigentlich nichts weiter, Dig i tis Mathem Annalen, Bd als sie Geometrie wichtigen Satze des Herrn Brill ed für die als rd U rva ich glaube, ers gezeigt, wie dieselben auf wie Pasch ity ,E teren beziehen sich allerdings nur auf Functionen einer Variabein, allein Herr der oben erwähnte Satz des Herrn Rosanes ist Endlich wird im § ein interessanter Satz von den Steiner'schen Curven bewiesen Ci-elle's Journal, Bd G9, S über Systeme von Kegelschnitten, Mathem Annaleu, Bd .357 G, S 204 fif k* = B Igel, V6 nuu den allgemeiuen Satz zu beweisen, welchen Clebsch folgendermassen formulirt: homogene ganze Functionen Ordnung von rter ferner f^, f^, f„+t die aus ihnen gebildeten Functionnldeterminanten n Variabein x^, und p^, -i/.^, ^,,^, ww a-jj, c„; +1 log ie w seien f^, f^, f„+i bio ,,Es ze n tru Um m at § /' ity lib ry org / ;w wieder die aus den f gebildeten Fuuctionaldeterminanten Dann unterscheiden sich die ^ von den nur um einen gemeinschaftlichen Factor M, so dass man die Gleichungen liat: seien, div ww p:/ /w M unter der und man erhält aus diesem Resultate sofort von der Voraus- zweiten vorkommen, Annahme vornimmt, dass alle f von der zweiten Ordnung das allgemeine, wenn man darin statt der Coefficienten der /' Ferner mache setzt ty He ri Functionen zweiter Ordnung die zweiten Differentialquotienten der Die Functionaldeterminauten f Ansatz ive rsi dem Vorgange von Gordan, folgenden Gordan als die htt in die Bildung von /' ry wenn man des Herrn den ^ keine höheren Differentialquotienten der ibr a setzung aus, dass es, da genügt, dem Vorgange zu ermitteln, gehe ich nach bio M ferner den Factor tag eL um ers 1) ich, gleichfalls (dividirt durch passende ina lD ow nlo ad fro m Th eB iod Zahlen) erscheinen als die Coefficienten der « in der Determinante rig D = «,y, A) ;O a„+,y„+, +«.,fi tiv eZ oo log y( Ca mb rid ge ,M 2) Dig i tis ed by the Ha rva rd U niv ers ity ,E rns tM ay rL ibr ary of the Mu se um of C om pa Ebenso erhalten wir die Functionaldeterminanten ^ a, «2 «„-(-1 als Coefficienten der 3j^^ (',2 «13 , *'ll"l2''33 - fj, a,j «13 , ^''u^l2"l3> "^ "-ll '''22''l3 ^ Sff„/>,j(/,3, ^anh^id,^, 12 "^ (7,3 , '-'ll "22"l3 > - , > , ('23«, ^'^ll ''23'^13 man dieselben, nachbekommt man Deter- ww ry org / so die zweite Determinante anlangt, so sieht ity lib leicht ein, dass dieselbe die Unterdeterminante der entwickelt hat, Was nun tl, ^''ii^as'Ms 2a,,622''|3) verschwinden; denn entwickelt minanten, deren Elemente der Einheit proportional sind ers Reciproken folgender Determinante p:/ /w ww bio div man ^12''23 bio Summe Elemente derselben nach den Unterdeterminanten die -^ ''11 '^'23 ''13 ^'11 2/> 2rt,j6,2(/,3, y:a^^l>^^(l^^ Die erste uud vierte Determinante dieser dem man • - log ie S/>,, ' ) -"11 ^^,C25,f/,3, 6,iC,j(7,3, "13 ;w '^U '^12 Eft,,c23r/,3 ze n " 2a„/>,jf/,3, 2/*,, C,jr/j3, m at ^h^,c^^d^^ tru ^h^^c^^^^^, 'S:b^^c^^cl^^, ist, He ri welches als Coefficient von in dieser -' f'ii "i2''i3 ; - '11 *''l2"33 ' "^ '^l t ^'33 ''l3 -«II ''12 'As ' -«11 ''n'hi > - «U ''33*^13 11 - ' 12 -^ "11 ''33 "13 da die Factoren Minoren der Determinanten ist, -D, =-±«22^^11 -t»j = i:±rt33 6,,C,2'/,3 '-12 ''13 of C om pa Dieses Product X rid -«ll'^n'As» 13 " -'"ll'^22"l3 ' ge ,M 15) folgendes Product ow -" ''11 » ina lD ^ man Determinante auszuwerthen, bilde rig schliesslich die dritte A) ;O Um ad fro m Th eB ist ty und zwar der Coefficieat desjenigen Elementes kommt Nach einem bekannten Satze "13*^13% 3 ive rsi '''l tag eL ibr a ry htt a^tb^^c^^d^^ se um sind, Mu = d],.D].Dl of the 16) aber in folgender Weise darstellen: ay rL ibr lässt sich ary Das Product 15) S?*,, C,2(/,3, rns tM ^^11 ^,2^33, 2c„aj2rf,3, _.6j,C,2«,3, -"ll''l2 2c„«„f/,3 - ' -'^11«12"22' ^'^U^SS^IS -«11 -«11^2''l3' -«I1^I2''22' -«11^33^'l3 - "U '12 «13 " "11 '12 «33 - (Jj, C,, a,,( "12 "13 c,,a,^d 11 "12 "33 *-"ll «12"l3 22' '''33'l3 ers ity ,E -'-nrtjjf/gj, - "U -^ll'-"22'A3 -«11^2^33 "22 «13 the c,,a,grf,3, -'-11«33«I3J -'l 1*2! «13 2, -«ll^'22fA3 2a,, 0,2*7,3, 11 > by ' Ha rva rd U niv 2a,,i,jr/,3, ^(^nhaihs' 2a„ > 6,^(733, ('ij (/gj c,, n,2'Vä2 2a,, hi^d^^ Dig i tis ed 2a„6,jrf,3, > Der zweite Summand verschwindet offenbar wegen des zweiten Factors und mand gleich (7- Eine kleine Überlegung lehrt, D^ D^ dass jeder einzelne Factor gleich sein muss d,,.D,.D, es ist daher der erste Sum- Algebraische Reciprocitäts- Sätze Und da die Determinante rechts in dem Producte aus der dritten Determinante iu 14) durch Vertauschung der Colonnen entsteht, so erhalten wir endlich den Coet'licienten von •^3 in ccj 14' -^isJ m at "^(yizny tru Form du {(Szbaja^i^u'^'is)^— (-±«22^1^,2^,3) (Siưas^i^'u ^13)} bio log ie ze n in der §1 dem Producte wir aber auch in ww Zj Sa;, 8a;„ 9a;» p:/ /w Z-i 0^2 bio div ers treffen ity lib Denselben Coefficienten von x\ ry org / ;w ww • Z_j 8a;, a;, 8^3 8it;3 tag eL Behauptung bestätigt finden ive rsi also unsere ad fro m Th eB iod wodurch wir ty He ri Z_i ibr a ry htt •A, Formen, die Ca mb Clebsch oder indem Gruppe (abcd) der Form: in man x in Verbin- Da mir dieser Rede stehende Satz von Clebsch will ich auf diese die Gleichung desjenigen zerfallenden Kegelschnittes der hat, gegeben hat speciellen Fall ermittelt Steiner'schen Fläche, so willkürlich lässt, die mit leistet auch etwas näher eingehen Gruppe (ahcd), welche Gesammtheit der zerfallenden Kegel- MMM 8a;, 8a;j 8a;3 8a;, 8a;, 8.C3 3^3 8/3 fiiyy) '*^^^^ rns tM ay rL ibr ary of the Mu se um schnitte der • om X seinen Doppelpunkt M für vier quadratische Formen of C in erhält nach für diesen tiv eZ oo log y( seinerseits gute Dienste iu der Theorie der Man M Combinante Steiner'schen Fläche zu liegen scheint, denn der in tiefer pa viel ge ,M er in der Theorie der dung, indem er mit Hilfe dieser die Combinante Zusammenhang die rig Abhandlung A) ;O bringt in seiner ersten rid Clebsch schon drei Veränderlichen mit ina lD ow nlo § 8/3 8a;, "8^ '^^ '^^^^ Dig i tis ed by the Ha rva rd U niv ers ity ,E 17) 8/* 8^ ¥* 8/» ^^ = alAl+hlBl+clGl+cl^,Dl-0 Ein solches Geradenpaar, welches den Punkt x zum Doppelpunkte den Curve gehende Tangente: Über die St ein er 'sehe Fläche, Crelle's Journal, Bd DenJcscbriftea der mathem.-Daturw Gl LIV Bd X f^^yy^ 67, S AbhandluDgen von Nichtmitgliedera hat, ist das Paar der von x an folgen- tis Dig i ed by the rva Ha niv rd U ity ers ary ibr rL ay tM rns ,E of the se um Mu rid Ca mb tiv eZ oo log y( pa om of C ad nlo ow ina lD rig A) ;O ge ,M m fro eB Th ty ive rsi iod ry ibr a tag eL He ri htt ww p:/ /w ry org / ity lib ers div bio ww 18) ;w m at tru ze n log ie bio 82 8^ 8^^ Algebraische Reciprocitäts- Sätze die Identität von 19) mit 1/ nur Weise zu beweisen, und um in Factoren zu zerfallen, so weniger in seiner ze n Systeme von Kegelt ist klar, die Steiner'- dass auch die S eine der bezeichnen wollen, enthalten Die und S berücksichtigt, gleich acht of Ordnung se um schen Curven durch S und unterscheiden dieselben durch Indices Zunächst Curve auch liegt es nahe, ity demnach von der vierten Ordnung Diese zwei Systeme von Curven können nicht verschie- ers entsprechen, sind ,E rns tM ay rL ibr ary Die anderen Curven, welche respective den Curven dessen geraden Polaren rva ist, Ha er der Pol rd U niv den sein und einander eindeutig entsprechen, denn es müsste sonst der Schnittpunkt the Sclinittpunkt aller vier Curven vierter M vier mit iW f=0 sein auf der Curve = in Bezug aller M ist zerfallen, Curven ^ M= = sich in = 0, /"g = z B da einem Punkte schneiden, der diesen Widerspruch zu heben, annehmen, dass Würde man, um liegen, so würde man auf den Widerspruch stossen, dass mehr als in acht Punkten sich schneiden Es folgt daher, dass die Curven nichts Anderes als die Quadrate der das Quadrat Gerade zu by tis = Ordnung Dig i die Curven / /"= ed die Schnittpunkte der in /, Zu diesem Behufe f sind Wir wollen aber beweisen, dass auch die recurriren wir auf die charakteristische Eigenschaft von welche Doppelgeraden in Form M, in der viergliedrigen Gruppe sind Die Natur dieser Geraden bringt es mit sich, dass die ihnen entsprechende Curve Jf = das Quadrat einer Curve vierter Ordnung sein zwei Curven, welche sich gegenseitig eindeutig entsprechen, bekanntlich dasselbe Geschlecht haben, so folgt daraus, dass auch diese Curve vierter Ordnung in vier Geraden zerfallen n.uss Wären aber muss Da m* — 92 B Igel, Algebraische Beciprocitäts- Sätze diese vier Geraden andere gliedrigen Gruppe mehr dargestellten, so würde daraus folgen, dass Doppelgeraden sind, was nicht der Fall als vier zusammengefasst, M^ liefert es ist; in der vier- muss daher nun den ze n tru m at sein Alles die durch als Th eB iod ive rsi ty He ri tag eL ibr a ry htt p:/ /w ww bio div ers ity lib ry org / ;w massen dar: liefern, ww Die vier Steiner'schen Curven, welche die vier quadratischen Formen bio log ie Satz: Dig i tis ed by the Ha rva rd U niv ers ity ,E rns tM ay rL ibr ary of the Mu se um of C om pa tiv eZ oo log y( Ca mb rid ge ,M A) ;O rig ina lD ow nlo ad fro m -.^>'^XÄ,'=S^^ stellen sich folgender- ... log y( seinerseits gute Dienste iu der Theorie der Man M Combinante Steiner'schen Fläche zu liegen scheint, denn der in tiefer pa viel ge ,M er in der Theorie der dung, indem er mit Hilfe dieser... dass der Ort der Punkte, stehenden Satzes von Factoren in vier lineare log ie dass der Ausdruck 19) keit, 83 ;w Ordnung Jl/^0 vierter nicht die Durchschnittspunkte der Kegelschnitte mit der Curve... auf den Grad der Ableitungen der Erweiterung in In der That = df, = 5'f, 5(o^Y) = oY ww d{df) bio 8Y 2/- log ie ze n hat Satz citirte auch als tru Der im vorigen Paragraph Anzahl der Yariabeln,