Denkschriften der kaiser Akademie der Wissenschaften Vol 54-2-0093-0104

ze n tru m at 93 ers ity lib ry org / ;w ww bio log ie ÜBER DIE p:/ /w ww bio div MIT tag eL ibr a ry htt \} iod GRUNFELD VORGELEGT nlo ad fro m Th eB Dß E ive rsi ty He ri VON DER SITZUNG AM FEBRUAR 1888 ge ,M A) ;O rig ina lD ow IN Ca mb rid Das System linearer liomogener j tiv eZ oo log y( + a, {.v) ij^+ + (x) y„ «,-„ / = 2, , n, (x), .«,„ (x) Functionen von x bedeuten, die in der zu, welche er zufolge der Art, Sauvage Umgebung des gezeigt hat/ ein Fundamentalsysteia wie sich dieselben in dieser Umgebung verbalten, nach einer of von Lưsungen an {x), «,i eindeutig und endlich sind, lässt, wie Herr Mu x^O se um welchen die Coefficienten the in Punktes of C om z= an (x) y^ pa -^ a; 1) Differeufialgleicliiingen: rL ibr ary von Thoine'' herrührenden Bezeichnung reguläre Lösungen nennt durch das zuerst Herr Fuchs eines Verfahrens, welches analog dem- die Existenz eines Fundamentalsystems von Integralen der nach rns ist, Sau vage ,E jenigen tM ay Zur Herleitung dieses Resultates bedient sieh Herr und das im Wesentlichen hat, in ers ity ihm benannten linearen Differentialgleichung wter Ordnung nachgewiesen rd U niv Folgendem besteht the Ha rva Zuvörderst wird gezeigt, dass sich w unendliche Reihen: fi (x) = Cin + Cn x + Cio j,-*+ « = 1, 2, w tis ed by 2) Dig i bestimmen lassen, die innerhalb eines bestimmten, um den convergiren und von denen mindestens eine zum Exponenten 3) y,, = X'-' tp, {x) , //ji = x'-'^p^ (a;) singulären Punkt r, , r= beschriebenen Kreises gehört,^ derart, dass die n Ausdrücke: , y„i = Siehe die Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Sup6rieure, i Siehe Grell e's Journal, Bd 75, S 266 Siehe zu dieser Bezeichnung: Fuchs, Crelle's Journal, Bd 66, S 155 a; III Serie, x'-< t y„ {x) III, annäe 1886, pag 391—404 1 94 E genügen, wobei 1) identisch — der — diejenige — — auf den Punkt x =^ braischen Gleichung wten Grades damentalgleichung für ist, r^ l, r^ von den Wurzeln r, r^, r^ bezüglichen determiuirenden Fun- welche keine der Differenzen: — r^—r^ r„ l, — — r, dem Gleichungssysteme (1) die Substitution: ;w ww bio log ie in ze n tru Null oder einer ganzen positiven Zahl gleich wird Macht man alsdann einer gewissen alge- r„ , m at dem Gleichungssystem Grünfeld, ity lib + bii(x)z3+ +h,„{x)Zn / = 2, 3, .n bio div bi2{x)z^ ers X j^ z= 1') ry org / so ergibt sich das Gleichungssystem: weniger hat; dabei p:/ /w ww dessen Coefficienten von derselben Beschaffenheit wie die des Systems 1) sind, das aber eine Unbekannte ry — i^z2, n q^ tag eL q,- ibr a =z z, / htt ist: ^^ früher für 1), lässt daher auch jetzt für das Gleicliungssystem 1') eine reguläre Lösung: Th sicli eB Wie iod ive rsi ty He ri (x)'f-^z^ +a (x)'^z L^-« r dx -""'W^^(^)^E+ -+"i.W^^(^^^„ bestimmen, mittelst welcher aus den Gleichungen 4) und 5) eine zweite reguläre Lösung: —2 fro ad gewonnen Verfährt wird nlo 1) derselben Weise, wie zuerst mit 1), ow in so gelangt man rig Unbekannten, damit zu einer zweiten regulären Lösung von 1) selbst, u w s man nunmehr mit dem Gleichungs- zu einem Gleichungssysteme 1") mit nur 1') und zu einer dritten regulären Die Frage, wann den so erhaltenen Lösungen Logarithmen auftreten, wurde von Herrn Erwägung gezogen Indem selbst an die diesbezügliche icli eines Fundamentalsystems von regulären sich die Existenz Zuhilfenahme der Gleichungssysteme 1") pa Frobenius 1'), bei der Integration der ' u s Sauvage Untersuchung heranschritt, fand Lösungen des Gleichungssystems w in sehr einfacher Weise darthun lässt, Fuchs 'sehen Differentialgleichung gethan 1) dass ich, auch ohne wenn man , wie hat, die Coefficienten om dies Herr Ca mb rid in tiv eZ oo log y( nicht in Lösung A) ;O von 1') ina lD systeme n Vm des Gleichungssystems Vti^-'-y ge ,M Vn' m ^21? ^3i'-*-' ^«1 se um of C der Reihen 2) und damit auch die ersteu Theile der auf Null reducirten Gleichungen 1) als von den Wurzeln Die letzteren Gruppen von der Art ein, the theile ich in Mu der determinirenden Fundamentalgleichung abhängig darstellt dass jede nur solche Wurzeln enthält, die sich um ibr ary of Null oder ganze Zahlen von einander unterscheiden; die Wurzeln einer Gruppe werden dabei in eine solche ist Einer ay rL Keihenfolge gebracht, dass von zwei derselben die voranstehende nicht kleiner als die nachfolgende Gleichungssystems so beschaffen sind, dass sich die Bedingungen für das Nichtvorhandensein von ity ,E 1), die ers in denselben ohne Schwierigkeit ermitteln lassen ed sei Dig i tis Es by the Ha rva rd U niv Logarithmen rns tM solchen Gruppe von Wurzeln entspricht eine Gruppe von untereinander linear unabhängigen Lösungen des 1) > Siehe Crelle's Journal, Bd 76, S 214—235 95 Integration linearer Differentialgleichungen Nummer, wo das Gleichungssystem 1) der vorigen ^i 2) +«vi =—^:E dx (i/) +", 2^2 //, und werde zur Abkürzung a,t.= aa{x) + +a,„!/„ = i n 2, 1, 3) (x) a'lk + ah-c+ah-e^ + a^Itx ;=1, 2, log ie k= //; bio = sei: 1, 2, n Es seien ry org / ;w (tiic durch convergente, ze n sich dieselben tru gemachten Voraussetzung lassen liber die Coefficienten a^- ww Gemäss der nach ganzen positiven Potenzen von x fortschreitende Reihen darstellen: Es m at gesetzt = + CiiX-hCaX^ + C,3x'^- Cio i=l, 2, n ww bio «,: div 4) ers ity lib ferner: den Ausdrücken 2) für y^=x'|(^, ij^—x'-u^, y„ = a;"-«,, von x unabhängige Grösse so ist, nehmen dieselben die Gestalt an: eB r eine Th wo iod ive rsi 5) Producte: y,, ij^,-.-y„ die ibr a in tag eL man He ri Substituirt ry c,k ty Coefficienten htt p:/ /w n unendliche, nur ganz positive Potenzen von x enthaltende Reihen mit den vorderhand noch unbestimmten = m + bnx+b,2 x^+ ) t 1, .n = 1, 2, « ina lD / -a.JiCi,i._i+ +(ô", /A-)c,i +ô!, -ic,_i,i -I- +rt,^i_iC,_i,i_i+ aji +a"i+ic,+i,i tv,4— i + ff,' ,-)-ic,+ + +a?iC„i i,i_i+ 4-rt,'4C„,t_, Ca mb ge ,M rt?,cu- rid ,6,4= A) ;O rig woselbst für jedes positive ganzzahlige k und ow nlo (biti fro = x' (x''u) ad Äi 6) +aiiCio ;-lCi_in i pa -«.,,, tiv eZ oo log y( 7) dem Gleichungssysteme of C verlangt, dass die Functionen 5) 1) identisch genügen sollen, so muss für se um Wird om ist the = i zu Ij .11 ibr ary of ^»^ 8) Mu A=0,l,2, ay rL sein statt: ity ,E rns tM Für k -=0 finden demnach die folgenden n Gleichungen rva rd U niv ers Ki-'O ^10 c^o+ -+ + «— 'O^io- «1 '-,0 ff" c = — >-)c„„ = •„ i-a+i, ri,+i, von der Oten, für Ordnung u s w., daher = r^ von i\ (a— ])teu und c,oür(/-) der obigen Gruppe die Grösse c^„ wenigstens von der aten Ordnung Null wird of höchstens von der lOten von der «ten, für r-=ra+i= = rt von der 6ten, für r —ri,+i= /•„ se um u s = r4+, = r— i\ = r^ = = Mu man = von der aten, für r >/, the Fasst = fUr pa r=r„^t (-,„ , om die ;-| of C r^+i, der cten tiv eZ oo log y( Sind hingegen die Wurzeln der Gruppe 3) nicht alle von einander versi'hieden und etwa für r^i-t, die Ausilrücke 1, (x''«), rL ibr 2) ay tM nach r genommen für r = rti , ^„ (a;'' ?«) gleich- dieser Null werden, also die n simultanen Gleichungen stattfinden: ers ity ,E letzteren ^^ (x'' m) (a— l)ten Ableitungen mindestens von der aten Ordnung verschwinden; es müssen somit die rns zeitig ary Den Gleichungen zufolge müssen daher ist Dig i tis ed by Nun the Ha rva rd U niv :0 dr"-' - ~^ rfS [d^^^) "*"'* 'd^^^ *"• '^'''" •„ ers ;r= für ;w ww ' log ie rf'ằ-*(a;'-ô/j() rfr"-' bio d-(i nicht verschwände, u wenn K{^r+k) für rz=ra nicht Null, d h ibr ary s w Es sind daher allgemein bu, b2A, -b„i für r^ra endlich, keine der Zahlen: ers ity ,E rns tM ay rL /.; rd U = 1, r/„_i — Damit dasselbe auch noch für k ^= c/a-i statt- für r^=.}-a Ha muss Je tis ed by the finde, sind bi4, b„4 endlich für rva Demgemäss niv ist Dig i sein Sind aber bi,;, .b,,i für A; = Schlussweise ergibt, für kz=(/n^ auch K{r + k) Da b,4 (/i,_i i + endlich, so sind sie es auch noch, wie sich durch Fortsetzung der obigen l, r/„_, lür k ^='ja-i endlich + 2, (7a_2 — 2, ^a_2 — 1, wesshalb dann wieder zufolge 6) und 7) ist aber: K(ra-i-k) b,, = jj^^,.^_^ 1) K^r^ + 2) K(:r, + k—l) : — : 102 E Grünfeld, und von den Zahlen r = — 1, _r/„_2~2, , (/„.Ij vorstehenden Bruches gleich Null somit einer der Factoren im Nenner des eine gleich ^„-i, 2, kann so ist, für ii(r„+Ä:)b,/, /i; = nur dann endlich sein, (/„_2 wenn für r„ = A,,^_, für b,i = Ä- einen endlichen Werlh habe, mnss nebst der Gleichung 9) noch die (7„_2 tru Damit auch ze n wird m at 9) = = r„ ry org / i>- ww dr L ;w \^±^] bio log ie folgende stattfinden ity lib In dieser Weise fortschliessend gelangt man zu dem Ergebnisse, dass die nothwcndigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass die Lösung 6) der Nummer keine Logarithmen enthalte, durch die Gleichungen ausgedrückt werden: [fl^] htt =0 A,7, durch die Gleichung S) und