Bài toán quy hoạch tuyến tính

Tình huông: Mot công ty cân lên mot kê hoch qung cáo cho sn pham c mình trên sóng phát thanh và sóng truyên hình. Chi phí cho 1 phút qung cáo trên sóng phát thành là 80.000 ñ, trên sóng truyên hình là 400.000 ñ. ðài phát thanh ch nhan qung cáo các chương trình dài ít nhât 5 phút. Còn ñài truyên hình ch nhan phát các chương trình tôi ña 4 phút. Theo các phân tích xã hoi hoc, cùng mot thi lưng 1 phút qung cáo trên truyên hình se có hieu qu gâp 6 lân trên sóng phát thanh. Công ty d ñnh ch chi tôi ña là 1.600.000 ñ cho qung cáo. Hi cân ñat thi lưng qung có trên sóng phát thanh và sóng truyên hình như thê nào cho ñt hieu qu nhât? Mô hình hóa: G
i thi lưng công ty ñat qung cáo trên sóng phát thanh là a phút. Trên sóng truyên hình là b phút . chi phí cho viec này là 80.000*a + 400.000*b ≤ 1.600.000 ñ. Trong ñó; a ≥ 5; b ≤ 4; a ≥ 0; b ≥ 0. Hieu qu chung c a qung cáo là a + 6.b Bài toán: Xác ñinh a; b sao cho a + 6b
Max Vi ñiêu kien : 80.000*a + 400.000*b ≤ 1.600.000 ñ. a ≥ 5; b ≤ 4 và: a ≥ 0; b ≥ 0. Bài toán có câu trúc như trên là mot ví d vê bài toán QHTT. Chú ý : do Maxf(x) = -Minf(x) nên t nay vê sau ta ch nói ti bài toán tìm Minf(x)

2.Bài toán quy hoạch tuyến tắnh (QHTT)

Tình huống: Một công ty cần lên một kế hoạch quảng cáo cho sản phẩm củ mình trên sóng phát thanh và sóng truyền hình Chi phắ cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thành là 80.000

ự, trên sóng truyền hình là 400.000 ự đài phát thanh chỉ nhận quảng cáo các chương trình dài ắt nhất 5 phút Còn ựài truyền hình chỉ nhận phát các chương trình tối ựa 4 phút Theo các phân tắch xã hội hoc, cùng một thời lượng 1 phút quảng cáo trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh Công ty dự ựịnh chỉ chi tối ựa là 1.600.000 ự cho quảng cáo Hỏi cần ựặt thời lượng quảng có trên sóng phát thanh và sóng truyền hình như thế nào cho ựạt hiệu quả nhất?

Mô hình hóa: Gọi thời lượng công ty ựặt quảng cáo trên sóng phát thanh là a phút Trên sóng truyền hình là b phút chi phắ cho việc này là 80.000*a + 400.000*b ≤ 1.600.000 ự Trong ựó; a ≥ 5; b ≤ 4; a ≥ 0; b ≥ 0 Hiệu quả chung của quảng cáo là a + 6.b

Bài toán: Xác ựinh a; b sao cho a + 6b
Max

Với ựiều kiện : 80.000*a + 400.000*b ≤ 1.600.000 ự

a ≥ 5; b ≤ 4 và: a ≥ 0; b ≥ 0

Bài toán có cấu trúc như trên là một vắ dụ về bài toán QHTT

Chú ý : do Maxf(x) = -Minf(x) nên từ nay về sau ta chỉ nói tới bài toán tìm Minf(x)

2.1Các ựịnh nghĩa:

Bài toán: Xác ựịnh véc tơ x=(x1;x2; ;x n) sao cho

Trong ựó I1;I2;I3 là tập các chỉ số không giao nhau kắ hiệu i =I1∪I2∪I3 ;a ii;b ii;c j là các

hệ số; xj j:=1,2,Ầ,n là các biến

+Hàm f(x) gọi là hàm mục tiêu

+Hệ (1.1) ựến (1.4) gọi là hệ ràng buộc ( hệ ựiều kiện) của bài toán

Với mỗi chỉ số i ta có một phương trình hoặc bất phương trình tương ứng và ựược gọi là ràng buộc thứ i.Các hệ số ở vế trái trong mỗi ràng buộc thứ i là một véc tơ dòng

+ Phương án: một véc tơ x thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán gọi là một phương án của bài toán Trong ràng buộc thứ i nếu dấu Ộ=Ợ xảy ra thì ta nói phương án x thỏa mãn chặt ựối với ràng buộc thứ i; còn nếu xảy ra dấu ≤ hoặc (≥ ) thì phương án x là lỏng ựối với ràng buộc thứ i + Phương án tối ưu: là phương án mà hàm mục tiêu ựạt ựược Min

+ Phương án tốt hơn Nếu f(x1) ≤ f(x2) thì phương án x1 gọi là tốt hơn phương án x2

Một bài toán tồn tại phương án tối ưu gọi là bài toán giải ựược, nếu không có phương

án tối ưu gọi là bài toán không giải ựược

+Phương án cực biên: Một phương án thỏa mãn chặt n ràng buộc ñộc lập tuyến tính ñược gọi

là phương án cực biên (PACB)

* phương án cực biên thỏa mãn chặt ñúng n ràng buộc gọi là phương án cực biên không suy biến, thỏa mãn chặt hơn n ràng buộc gọi là phương án cực biên suy biến

Ta có:

)2

;1

;1

;1

;

0

(

)2

;0

;5

;2

;2(

)1

;0

;1

;1

1

;10

0

;15

1

;12

1

;02

1

5 4

3 2

20522

10111

Với x1 = ( 0; 0; 13; 0; 0) ; x2 = ( 0; 0; 1; 0; 30) ñây là hai phương án của bài toán

Phương án x1 thỏa mãn chặt ñối với ràng buộc (2) và là lỏng ñối với (1) và (3) và x3 ≥ 0 Phương án x2 thỏa mãn chặt ñối với (2) và lỏng ñối với (1); (3) và x3 ≥ 0; x5 ≥ 0

Do f(x1) < f(x2) nên phương án x1 tốt hơn thực sự phương án x2

Thí dụ 2: f(x) = - x1 - 6x2
Min

80.000.x1 + 400.000x2 ≤ 1.600.000 x1 ≥ 5; x2 ≤ 4

.x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 Các phương án x1 = ( 5;3); x2 = ( 0;4); x3 = (20;0) là các phương án cực biên của bài toán

• Nếu tất cả các phương án cực biên của bài toán ñều không suy biến thì bài toán gọi là không suy biến; trái lại, gọi là bài toán suy biến

2.2.Các dạng ñặc biệt của bài toán QHTT

a Dạng chính tắc:

n j

x

m i

b x a

Min x

c x f

j

n j

i j ij

n j j j

, ,2,10

, ,2,1

)(

1 1

ràng buộc ñó) Khi ấy trị tối ưu của hàm mục tiêu trong hai bài toán là trùng nhau, từ phương

án, phương án tối ưu của bài toán này suy ra phương án, phương án tối ưu của bài toán kia Thí dụ 3: Bài toán ở thí dụ 1 tương ñương với bài toán chính tắc sau:

f(x) = - x1 - 6x2
Min

80.000.x1 + 400.000x2 + x3 = 1.600.000 .x1 - x4 = 5

.x2 + x5 = 4 xj ≥ 0; j =1,2, ,5

b.ðặc ñiểm của phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc

ðịnh lý 1: Phương án x của bài toán dạng chính tắc là cực biên khi và chỉ khi hệ thống các véc tơ {Aj } tương ứng với các thành phần dương của phương án là ñộc lập tuyến tính

( Hiển nhiên vì khi ñó hệ các ràng buộc là hệ Crame nên có nghiêm duy nhất, hay nghiệm ñó chính là một phương án cực biên của bài toán)

0

;10

000.400

;01

000.80

5 2

véc tơ ñộc lập tuyến tính nên x1là phương án cực biên

c Cơ sở của phương án cực biên: ( với bài toán dạng chính tắc)

Một hệ gồm m véc tơ {Aj} ñộc lập tuyến tính bao hàm hệ thống các véc tơ tương ứng với các thành phần dương của phương án cực biên x là cơ sở của phương án cực biên ấy, ký hiệu một cách quy ước là j, trong ñó J = {J: Aj thuộc cơ sở }

+ Với phương án x = (x1;x2;,…,xn) gọi thành phần xj ( j ∈J) là thành phần cơ sở; xk

(k∉ ) là thành phần phi cơ sở Dễ nhận thấy các thành phần phi cơ sở của phương án cực J

biên luôn bằng 0 Một phương án cực biên không suy biến thì mọi thành phần cơ sở ñều dương, còn phương án cực biên suy biến thì có ít nhất một thành phần cơ sở bằng 0

Trong thí dụ 3 ở trên phương án x1 là phương án cực biên (PACB) không suy biến

d Bài toán dạng chuẩn:

Nếu bài toán dang chính tắc trong ñó bi ≥ 0 với mọi i:=1,2,…,m và mỗi phương trình trong hệ ràng buộc ñều có một biến số với hệ số bằng 1 ñồng thời biến này khôn gcos trong các phương trình khác gọi là bài toán có dạng chuẩn

2.3 Các tính chất của bài toán QHTT

Tính chất 1: Nếu bài toán có phương án và hạng của ma trân hệ ràng buộc bằng n ( n là số biến số) thì bài toán có phương án cực biên

Thí dụ 1: Cho bài toán QHTT:

.x1 ≥ 0

x3 ≥ 0 .x4 ≥ 0

.x5 ≥ 0 Chứng tỏ rằng bài toán có PACB

Giải: Dễ thấy hạng của ma trân hệ ràng buộc bằng 5, thêm nữa x = ( 0; 0;0;0;0) là một phương án vậy theo tắnh chất 1 suy ra bài toán có PACB

Tắnh chất 2: Nếu bài toán có phương án và trị số của hàm mục tiêu bị chặn dưới khi f(x)
Min trên tập phương án thì bài toán có phương án tối ưu

Thắ du 2 Chứng tỏ bài toán trong thắ dụ 1 có PACB tối ưu

Giải: theo thắ dụ 1 ta ựã chứng tỏ bài toán có PACB thêm nữa do ràng buộc về dấu ta suy ra f(x) ≥ 0 trên tâp phương án Vậy theo tắnh chất 2 chứng tỏ bài toán có PACB tối ưu

Tắnh chất 3: Số phương án cực biên của bài toán QHTT là hữu hạn

3 Phương pháp ựơn hình giải bài toán QHTT

3.1.Nội dung của phương pháp

Xuất phát từ một PACB, ta tìm cách ựánh giá PACB ựó, nếu nó chưa tối ưu thì tìm cách di chuyển sang một phương án cực biên mới tốt hơn, quá trình này ựược tiếp tục lặp Vì

số phương án cực biên là hữu hạn, nên sau một số hữu hạn bước lặp, hoặc ta tìm ựược phương

án cực biên tối ưu, hoặc là ta kết luận bài toán không giải ựược vì hàm mục tiêu khôn gbij chặn đó là nội dung cơ bản của phương pháp ựơn hình

3.2 đặc ựiểm của phương án cực biên của bài toán dạng chắnh tắc

a Quan hệ giữa phương án cực biên và phương án của bài toán:

Xét bài toán dạng chắnh tắc

n j

x

m i

b x

x c x

f

j

i j

j

n j j j

, ,2,1:0

, ,1:a

Min)

(

n 1 ij 1

x k = ∀ ∉ Do ựó : A j X j b X j A j1b

0 0 0

j jk

A

0 0

Ước lượng của biến xk theo cơ sở J0 ký hiệu và ñược xác ñịnh bởi: ∑

k jk j

k c x c với:

cj ={c j: j∈J0}

Với những xj ( j∈J0) thì ước lượng của nó ∆j =0

ðối với cơ sở J0 nếu phương án ñang xét không là PACB tối ưu thì bằng phép ñổi cơ sở ta sẽ

ñi tới một phương án xự biên tốt hơn

3.3.Dấu hiệu tối ưu và các ñịnh lý cơ bản

ðịnh lý 2: Dấu hiệu tối ưu của phương án cực biên

Nếu ñối với PACB x0 với cơ sở J0 của bài toán dạng chính tắc mà:

)(

0 k J0

∆ với bài toán f(x)
Min thì x0 là phương án tối ưu

Chú ý : ðịnh lý 2 là ñiều kiện ñủ, tuy nhiên nếu x0 là PACB không suy biến thì ñó cũng là ñiều kiền cần ñể x0 là phương án tối ưu

ðịnh lý 3: Dấu hiệu bài toán không giải ñược

Nếu ñối với phương án cực biên x0 với cơ sở J0 của bài toán dạng chính tắc mà: Tồn tại ∆k >0mà x jk ≤0 ∀k∉J0 với bài toán f(x)
Min Thì bài toán không giải ñược ( Hàm mục tiêu không bị chặn dưới)

ðịnh lý 4: Dấu hiệu ñiều chỉnh phương án cực biên

Nếu ñối với một phương án cực biên x0 với cơc sở J0 của bài toán dạng chính tắc mà : với mỗi ∆k >0 ñều tồn tại xjk > 0 với bài toán f(x)
Min thì ta có thể ñiều chỉnh phương án cực biên x0 chuyển sang một phương án cực biên tốt hơn

3.4.Công thức ñổi cơ sở:

Trong không gian Rn cho véc tơ x0 cho hai cơ sở

i i

x x

1

0 1

Gọi T = (tij) là ma trận chuyển từ cơ sở (1) sang cơ sở (2) khi ấy t j n

n i i ij

i j ij n

i

n j

n j n i i ij j j

j i

x x

x

1

3.4.Thuật toán của phương pháp ñơn hình:

Giả sử bài toán phải giải là bài toán QHTT ở dạng chính tắc, ñã biết một phương án cực biên

x0 và cơ sở J0 không mất tính tổng quát ta giả sử J0 gồm m véc tơ ñầu tiên, tứ là cơ sở gồm m véc tơ A1,A2,… ,Am

Bước 1: Lập bảng ñơn hình ứng với phương án cực biên x0

- Dòng cj là các hệ số của các biến trong hàm mục tiêu f(x)

- Cột cj là hệ số của biến xj ứng với véc tơ cơ sở Ajx

k jk j

k c x c thí dụ ∆s =(c1.x1s+c2x2s+ +c r x rs+ +c m x ms)−c s

Bước 2: Kiểm tra dấu hiệu tối ưu của PACB

- Nếu ∆k ≤0 ∀k∉J0 với bài toán f(x)
Min thì x0 là phương án tối ưu

- Nếu ∃∆k >0thì x0 không là phương án tối ưu, chuyển sang bước 3

Bước 3: kiểm tra tính không giải ñược của bài toán

- Nếu ∃∆k >0 mà xjk ≤ 0 với mọi j∈J0 với bài toán f(x)
min thì bài toán không giải ñược vì hàm mục tiêu có trị không bị chặn dưới

- Nếu với mỗi ∆k >0ñều có ít nhất xjk > 0 thì chuyển sang bước 4

Bước 4: ðiều chỉnh PACB và lập bảng ñơn hình mới

- Chọn phương án ñưa vào cơ sở: Tìm max∆k ∀∆k >0giả sử max∆k =∆sthì véc tơ As

ñược ñưa vào cơ sở

- Tìm Min

js

j x

x0

với mọi xjs > 0 ; j∈J0 giải sử Min

js

j x

x0

=

rs

r x

x0

khi ấy véc tơ Ar bị loại khỏi

cơ sở phần tử xrs gọi là phần tử trục và ñược ñóng khung trong bảng

- Biến ñổi bảng:

+ Lập bảng ñơn hình mới thay véc tơ cơ sở vừa lựa chon ở trên cs thay cho cr trong cột cj

.xs thay cho xr trong cột cơ sở

+ Tính các dòng mới ( bắt ñầu từ cột thứ 3 trở ñi)

ðể tính dòng ứng với dòng có véc tơ xs mới ñưa vào trong bảng mới ta lấy dòng ứng với véc tơ lấy ra xr trong bảng cũ chia cho phần tử trục Dòng này gọi là dòng chuẩn

ðể tính dòng xj trong bảng mới ta lấy dòng xj trong bảng cũ trừ ñi dòng chuẩn sau khi ñã nhân dòng nó ( dòng chuẩn) với xjs

ðể tính dòng cuối của bảng mới, ta lấy dòng cuối của bảng cũ trừ ñi dòng chuẩn sau khi nhân nó (dòng chuẩn) với ∆ s

Tiến trình trên ñược lặp lại sau hữu hạn bước ta có kết luận về lời giải của bài toán ñang xét

Thí dụ 1: Giải bài toán QHTT sau:

Bài toán ñã cho có dạng chuẩn, các biến cô lập là x4;x6;x7 nên phương án cực biên là

x0=(0;0;0;16;0;52;24) cơ sở J0 là A4; A6; A7 ta lập ngay ñược bảng ñơn hình sau

Bảng ñơn hình

x0 0 0 0 16 0 52 24 x0'

Sau khi kết thúc bảng 1 từ dòng cuối ta thấy phương án x0 chưa tối ưu do có ∆2 > 0 véc tơ A2

ñược ñưa vào cơ sở

Thêm nữa Min{

Từ bảng 2 ta thấy ∆k <0 với mọi k ∉J0 nên phương án x1 là tối ưu duy nhất f(x1) = -96 Thí dụ 2: Giải bài toán sau bằng phương pháp ñơn hình

7, ,3,2,1,0

242

522

232

163

min3

.2.4)(

7 5

3 2

6 5 3

2 1

5 4 3 1

4 3 2 1

=

≥

=+

−+

=+

+

−

−

=+

++

⇒

−+

−

=

j x

x x

x x

x x x

x x

x x x x

x x x x x f

j

Ta ñưa về bài toán chính tắc sau:

Bài toán có dạng chuẩn, các biến cô lập x4; x5; x6 nên phương án cực biên

Phương án x2 =( 0;6;24;0;62;0) là phương án tối ưu duy nhất

Trên bảng tính Excel: dòng 34(dòng chuẩn) từ cột K trở ñi ñược thiết lập nhờ công thức

K34= K30/$L$30 rê chuột tuyến tính theo dòng K34 ta có kết quả ở L34;M34:…P34 Dòng 32 :K32 = K28 –K34*$L$28 rê chuột như trên ñể có các kết quả của các cột cùng dòng Dòng 33 Tương tự như trên

Dòng 35: K35 = K31-K34*$L$31

ðể tính x2;x3;x5 phải giải hệ phương trình tương ứng ở hệ ràng buộc ( các biến khác ñều bằng 0)

3.5.Các chú ý khi áp dụng thuật toán:

+ khi cần giải bài toán f(x)
Max thì ta giải bài toán –f(x)
Min

+ nếu khi chon vecto ñưa vào cơ sở hoặc ñưa ra khỏi cơ sở có nhiều véc tơ thuộc diện lựa chọn thì tùy chọn một trong số ñó

6, ,2,1:0

122

202

3

182

32)(

6 2

1

5 3 2 1

4 3 2 1

3 2 1

j x

x x

x

x x x x

x x x x

Min x

x x x f

j≥ ∀

=++

=+

−+

=+

+Trường hợp bài toán suy biến có thể dẫn tới min

js

j x

x0

= 0 với mọi xjs > 0 ; j∈J0 vẫn thực hiện thuật toán một cách bình thường

+ Khi áp dụng thuật toán cần lưu ý:

i) Phương án x0 có cơ sơt J0 là cơ sở ñơn vị ( còn gọi là cơ sở chính tắc), ma trận

các hệ số ở vế trái trong hệ ràng buộc có các cột tương ứng là tọa ñộ của vecto

Aj theo cơ sở ñó Ta lập ngay ñược bảng ñơn hình ðây là bài toán dạng chuẩn ii) Khi J0 không phải là cơ sở chính tắc ta phải tìm ma trận các hệ số trong hệ ràng

buộc phân tích qua cơ sở chính tắc J0 bằng cách biến ñổi các dòng của ma trận

bổ sung của hệ ràng buộc làm xuất hiện cơ sở J0

4 Phương pháp tìm phương án cực biên:

Có những bài toán có dạng chính tắc, nhưng không phải dạng chuẩn, ñồng thời ta chưa biết PACB, do ñó muốn áp dụng thuận toán ñơn hình ta phải tìm ñược một PACB của nó

Xét bài toán dạng chính tắc:

n j

x

m i

b x

x c x f

j

i j

j

n j j j

, ,2,1:0

, ,1:a

Min)

(

n 1 ij 1

m g g

x x

x và hàm mục tiêu là P(x;xg) Ta có bài toán phụ:

m i

x

n j

x

m i

b x x a

Min x

x

x

P

g i j

n

j

i g i j ij

m i

g i g

, ,2,10

, ,2,10

, ,2,1

Bài toán này có dạng chuẩn và hàm mục tiêu luôn

bị chặn dưới nên luôn giải ñược bằng phương pháp ñơn hình, giả sử ( ; g)

x

x là phương án tối

ưu của bài toán phụ và P(x;x g)=Pmin

i) nếu Pmin > 0 Khi ñó bài toán (I) không có phương án

ii) nếu Pmin = 0 khi ñó x là phương án cự biên của bài toán (I) ðể áp dụng thuật toán cho bài

toán (I) ta cần biết cơ sở J0 của nó Có hai trường hợp sau:

a).Trong cơ sở của phương án cực biên ( ; g =0)

x

x không có các vectơ tương ứng với

các biến giả, khi ñó cơ sở này cũng là cơ sở của phương án cực biên x Tiến hành thuật toán

bình thường

b) Trong cơ sở của phương án cực biên (x;x =0)có ít nhất một vectơ tương ứng với các biến giả, lúc này PACB là suy biến ðể tiếp tục giải bài toán (I) ta loại các cột ứng với

x phi cơ sở ra khỏi bảng, sau ñó tính lại các ước lượng ∆k theo hàm f

và tiếp tục thuật toán

Chú ý: - Khi xây dựng bài toán phụ ta chỉ cộng thêm biến giả vào những phương trình ràng buộc cần thiết ñể tạo ra cơ sở ñơn vị trong ma trận ñiều kiện

- Nếu trong quá trình giải bài toán P, ở một bước ñiều chỉnh nào ñó mà tất cả các biến giả ñều bị loại ra khỏi cơ sở thì kết thúc việc giải bài toán phụ P ( vì PACB bài toán (I) ñã tìm ñược) Tiếp tục giải bài toán (I) với PACB vừa có

Thí dụ 1: Giải bài toán sau bằng phương pháp ñơn hình:

Một biến giả bị loại khỏi cơ sở ta bỏ qua nó ở bảng ñơn hình tiếp theo

Dòng 60 do không còn phụ thuộc biến giả ta tính ∆k theo hàm f

( chẳng hạn K60 = ($h$57*k57+$h$58*k58+$h$59*k59)-k46) tương tự cho các cột còn lại của dòng 60

CHƯƠNG VI: BÀI TOÁN ðỐI NGẪU (3) Trong thực tế có những cặp bài toán QHTT có mối quan hệ mật thiết với nhau, do vậy

từ các kết quả nghiên cứu ñược của bài toán này có thể suy ra các kết quả tương ứng của bài toán kia và ngược lại người ta gọi cắc cặp bài toán như thế là cặp các bài toán ñối ngẫu nhau ðặc biệt các cặp bài toán ñối ngẫu có nội dung thực tế, việc phân tích mối quan hệ giữa bài toán ban ñầu và bài toán ñối ngẫu còn ñem lại những thông tin có ý nghĩa lý luận và thực hành

1.Cách thành lập bài toán ñối ngẫu:

)()

(

1

Max Min x

I i b

(

~

1

Min Max y

b y

f

m i i

j i

ij y c j J a

j i

a

)(

j i

.f(x) = -4x1 + x2 + 5x3 + 3x5
Min

3x1 – 6x2 – x3 + 2x4 – 4x5 ≥ -15 (1) -2x1 +3x2 +4x3 +5x4 – x5 ≤ 8 (2)

-6x2 + 3x3 +8x4 - 4x5 = 9 3x1+2x2 -3x4 + x5 ≥ 24 (3)

.x1 ≥ 0 (4); x3 ≤ 0 (5) x5 ≥ 0 (6) Giải: Bài toán ñối ngẫu: