thể tích khối đa diện tư luận

GV Thầy Lê Chung ĐT: 0984.507799 – 0888 050015 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I KIẾN THỨC HÌNH PHẲNG Các hệ thức lượng tam giác vuông Cho DABC vuông A , AH đường cao, AM trung tuyến Ta có: A B 2  BC = AB + AC M H   AB = AH.BC , AC = CH.BC C AH = AB + AC Þ AH =  AB AC = BC AH AB.AC AB2 + AC  BC = AM Các tỉ số lượng giác góc nhọn tam giác vuông A đối kề B  sina = đố ề α  cos a = huyền ề ề C đố  tana = ề ề  cota = đố Các hệ thức lượng tam giác thường “Cần cù bù thông minh” a Định lý hàm số cosin  a = b + c - 2bc cos A Þ cos A = b2 + c - a 2bc  b = a + c - ac.cos B Þ cos B = a2 + c - b2 ac  c = a + b - ab.cos C Þ cos C = a2 + b2 - c ab NHĨM TỐN THẦY CHUNG –Nguyễn Đình Chiểu – P9 – TP Đà Lạt A b c B a C GV Thầy Lê Chung ĐT: 0984.507799 – 0888 050015 b Định lý hàm sin A c b R O B C a a b c = = = R , R bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC sin A sin B sin C c Định lý đường trung tuyến A ma b c mb a B  ma2 = b2 + c - 2a2  mb2 = G mc C a + c - 2b  mc2 = a + b - 2c d Cơng thức tính diện tích tam giác A c “Cần cù bù thông minh” B  S = 1 a.ha = b.hb = c.hc 2  S = p.r  b H C a  S = 1 ab.sin C = bc.sin A = ac.sin B 2  S = abc 4R p.( p - a).( p - b).( p - c) (cơng thức Hê-rơng) NHĨM TỐN THẦY CHUNG –Nguyễn Đình Chiểu – P9 – TP Đà Lạt GV Thầy Lê Chung ĐT: 0984.507799 – 0888 050015 p : nửa chu vi DABC , p = a+b+c r : bán kính đường tròn nội tiếp DABC R : bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC Các cơng thức tính diện tích thường gặp  Tam giác vng  S =  Diện tích tam giác vng tích hai AB AC BC  AM = cạnh góc vng  Tam giác  Diện tích tam giác SD = (  Đường cao tam giác ) √ ( A M B a2  S = ).√  Hình vng  AH = A a a 2  S = a  Diện tích hình vng S = ( ℎ) C B H A a C D  AC = a  Độ dài đường chéo: ( ℎ) √2 B C  S = AB AD = a.b  Hình chữ nhật  Diện tích hình chữ nhật S = dài.rộng A b D a C B  Hình thang  Diện tích S = đá đá é  S = đườ AB + CD AH A D “Cần cù bù thơng minh”  Hình thoi  Diện tích hình thoi S=  S = tích hai đường chéo B C H AC.BD B A C D NHĨM TỐN THẦY CHUNG –Nguyễn Đình Chiểu – P9 – TP Đà Lạt GV Thầy Lê Chung ĐT: 0984.507799 – 0888 050015  Hình bình hành  S = a.h1 = b.h2  Diện tích hình bình hành a B S = đường cao cạnh tương ứng C h1 b A D h2 II CÁC CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH  Thể tích khối chóp S Vchóp = B.h Với B : diện tích đáy; h : đường cao B  Thể tích khối lăng trụ h Vlt = B.h Với B : diện tích đáy; h : đường cao B  Thể tích khối hộp chữ nhật c V = a.b.c b Với a , b , c độ dài ba cạnh a  Thể tích khối lập phương V = a3 a a “Cần cù bù thông minh” Với a độ dài cạnh lập phương a NHĨM TỐN THẦY CHUNG –Nguyễn Đình Chiểu – P9 – TP Đà Lạt GV Thầy Lê Chung ĐT: 0984.507799 – 0888 050015 III CÁC MƠ HÌNH THƯỜNG GẶP S Hình chóp S ABC có SA vng góc đáy  Đáy DABC  Đường cao SA  Cạnh bên SA , SB , SC C A  DSAB , DSAC tam giác vng A   Góc cạnh SB đáy góc SBA B   Góc cạnh SC đáy góc SCA S Hình chóp tam giác S ABC  Đáy DABC  Đường cao SG , với G trọng tâm DABC C A  Cạnh bên SA , SB , SC hợp với đáy góc G  ( hay SGC  , SGB  )  Góc cạnh bên với đáy góc SAG M B  Mặt bên SAB , SBC , SCA hợp với đáy góc   Góc mặt bên với đáy góc SMG Hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật (hoặc hình vng) SA vng góc với đáy S  Đáy hình chữ nhật (hoặc hình vng) ABCD  Đường cao SA  Cạnh bên SA , SB , SC , SD D A O  DSAB , DSAC , DSAD tam giác vuông A B C  , SCA  , SDA   Góc SB , SC , SD đáy SBA Hình chóp tứ giác S ABCD S  Đáy hình vng ABCD  Đường cao SO , với O = AC Ç BD “Cần cù bù thông minh”  Cạnh bên SA , SB , SC , SD hợp với đáy góc  , SBO ,  Góc SA , SB , SC , SD đáy SAO  , SDO  SCO  Mặt bên SAB , SBC , SCA hợp với đáy góc D A M O B C  , với M trung điểm cạnh đáy  Góc mặt bên đáy SMO NHĨM TỐN THẦY CHUNG –Nguyễn Đình Chiểu – P9 – TP Đà Lạt GV Thầy Lê Chung ĐT: 0984.507799 – 0888 050015 Hình chóp S ABC (hoặc S ABCD ) có mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy S S C A D A H H B B C  Đáy tam giác ABC (hoặc ABCD )  Đường cao SH , với H trung điểm AB  , SBH  , SCH  , SDH   Góc cạnh bên SA , SB , SC , SD đáy SAH Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương A B A c C A' A D C B a C B A' B' D' b  Hình lăng trụ đứng a A' a D' a C' B' C' D  Hình hộp chữ nhật Đường cao cạnh bên AA¢ , Thể tích V = abc BB¢ , CC ¢ Đường chéo C' B'  Hình lập phương Thể tích V = a a + b2 + c Đường chéo a IV MỘT SỐ CƠNG THỨC GIẢI NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Hình vẽ CT1 Cho hình chóp với mặt phẳng (SAB) , (SBC ) , Thể tích A “Cần cù bù thơng minh” SAC đơi vng góc , diện tích tam giác SAB , VS ABC = SBC , SAC S1 , S2 , S3 S C 2S1 S2 S3 B NHĨM TỐN THẦY CHUNG –Nguyễn Đình Chiểu – P9 – TP Đà Lạt GV Thầy Lê Chung ĐT: 0984.507799 – 0888 050015 S α β CT2 Cho hình chóp S ABC có SA ^ ( ABC ) , VS ABC =  =a, (SAB) ^ (SBC ) , BSC C A SB3 sin 2a.tan b 12  =b ASB B VS ABC = CT3 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam a 3b - a 12 Khi a = b tứ diện giác cạnh a , cạnh bên VS ABC = b S CT4 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy VS ABC = a mặt bên tạo với đáy góc a a3 12 A β a tan a 24 C CT5 Cho hình chóp tam giác G S ABC có cạnh bên α M VS ABC = B b cạnh bên tạo với 3b3 sin b cos b đáy góc b CT6 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy VS ABC = a cạnh bên tạo với a tan b 12 đáy góc b VS ABCD = S “Cần cù bù thơng minh” CT7 Cho hình chóp tứ giác a 4b - a Khi chóp tứ giác có tất S ABCD có cạnh đáy a , D β A cạnh bên b α O B cạnh a M C NHĨM TỐN THẦY CHUNG –Nguyễn Đình Chiểu – P9 – TP Đà Lạt VS ABCD a3 = GV Thầy Lê Chung ĐT: 0984.507799 – 0888 050015 CT8 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a VS ABCD = , góc tạo mặt bên mặt a tan a đáy a CT9 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a  = b , với , góc SAB VS ABCD a tan b - = ỉp pư b Ỵ çç ; ÷÷÷ çè ø CT10 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , cạnh bên 4a3 tan a VS ABCD = b , góc tạo mặt bên mặt đáy a , với (2 + tan2 a) ỉ pư a ẻ ỗỗ0; ữữữ ỗố ứ S CT11 Cho hình chóp tam giác S ABC , có cạnh N E F đáy a Gọi ( P ) mặt phẳng qua A , song song với A C x G BC vng góc (SBC ) , VS ABCD = M a cotg a 24 B góc ( P ) đáy a A CT12 Khối tám mặt có B D C VS ABCD = đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a “Cần cù bù thơng minh” D' A' B' a3 C' CT13 Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập VS ABCD æ a ửữ3 a ữữ = = ỗỗỗ çè ø÷÷ 27 phương NHĨM TỐN THẦY CHUNG –Nguyễn Đình Chiểu – P9 – TP Đà Lạt GV Thầy Lê Chung ĐT: 0984.507799 – 0888 050015 VẤN ĐỀ TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP A.BÀI TẬP TỰ LUẬN HÌNH CHĨP CĨ MỘT CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, BC  2a Hai mặt bên  SAB  SAD vng góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 60 a) Tính thể tích khối chóp; b) Tính góc hai mặt phẳng  SBC   ABCD  Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , chiều cao SA Cạnh bên SB hợp với đáy góc  a) Tính thể tích hình chóp; b) Định  để thể tích khối chóp Bài a3 Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy, mặt bên  SCD  hợp với đáy  ABCD  góc 60 Tính thể tích khối chóp góc SC  SAB  Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD la hình thang vng A B , AB  BC  a, AD  2a Cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ A đến ( SBC ) Bài Cho tứ diện SABC với SAB, SBC , SCA vng góc với đơi có diện tích tương ứng 24 cm , 30 cm , 40 cm Tính thể tích khối tứ diện Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với diện tích 12 Hai mặt bên ( SAB) ( SAD) vng góc với đáy Các mặt bên ( SBC ) ( SCD) tạo với đáy góc 30 , 60 Tính thể tích khối chóp S ABCD Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc  ABC  60 ; SA vng góc với đáy, góc SC đáy 45 Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách AC “Cần cù bù thông minh” SB Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , hình chiếu vng góc S lên ( ABCD) H thuộc cạnh AB , cho AH  AB , SA  a Tính: a) Thể tích khối chóp S ABCD b) Tính góc giữ SC ( ABCD) c) Tính khoảng cách từ A đến ( SBC ) NHĨM TỐN THẦY CHUNG –Nguyễn Đình Chiểu – P9 – TP Đà Lạt GV Thầy Lê Chung ĐT: 0984.507799 – 0888 050015 HÌNH CHĨP CĨ MỘT MẶT BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY Bài   30 Mặt bên SAB Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B góc BAC tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính thể tích khối chóp S ABC Bài 10 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A , AB  AC  a Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên lại hợp với mặt đáy góc 60 Hãy tính thể tích khối chóp S ABC ABC  60 ; SBC tam giác Bài 11 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A  cạnh a hai mặt phẳng ( SAB) ( ABC ) vng góc với Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ A đến ( SBC ) Bài 12 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân với AB  AC  a , mặt bên ( SBC ) vng góc với mặt đáy ( ABC ) SA  SB  a a) Chứng minh tam giác SBC tam giác vuông; b) Cho SC  x Tính thể tích khối chóp theo a x Bài 13 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm cạnh SB, BC , CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện C.MNP HÌNH CHĨP ĐỀU: Bài 14 Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a , mặt bên tạo với đáy góc  (0    90) Tính thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng ( SBC ) Bài 15 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên a ; góc tạo hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) 60 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a  2 Tính thể tích Bài 16 Cho hình chóp tam giác S ABC có chiều cao a góc BSC khối chóp theo a  “Cần cù bù thơng minh” Bài 17 Cho hình chóp tam giác S ABC có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng ( SBC ) a , góc tạo SA đáy 60 Tính thể tích khối chóp theo a TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH Bài 18 Cho khối chóp S ABC có đường cao SA 2a , tam giác ABC vng B có AC  2a ,   30 Gọi H hình chiếu A SB Tính thể tích khối chóp H ABC BAC NHĨM TỐN THẦY CHUNG –Nguyễn Đình Chiểu – P9 – TP Đà Lạt 10 GV Thầy Lê Chung ĐT: 0984.507799 – 0888 050015 Bài 19 Cho tam giác ABC cạnh a Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng tam giác tâm O lấy điểm S cho SO  a Gọi M N trung điểm SB SC a) Tính góc đường thẳng AM BC ; b) Tính thể tích khối đa diện ABCNM Bài 20 Cho hình chóp S ABC có đường cao SA 2a , đáy ABC tam giác vuông B có AB  2a, BC  a Gọi H trung điểm SB , K chân đường cao từ A tam giác SAC Tính thể tích khối chóp S AHK Bài 21 Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SA  2a SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Gọi M , N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM  ABC  90 , Bài 22 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, AB  BC  a , BAD AD  2a, SA vng góc với đáy SA  2a Gọi M , N trung điểm SA, SD Tính thể tích khối chóp S BCNM theo a SO SÁNH THỂ TÍCH Bài 23 Cho tam giác cân ABC với AB  AC  2a BC  a Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) A lấy điểm S cho SA  a a) Tính thể tích khối chóp S ABC ; b) Tính diện tích tam giác SBC suy khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) ; c) Tìm SA điểm M cho thiết diện MBC chia hình chóp thành hai phần tích   2 Cạnh bên SA Bài 24 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi có BD  a BAD vng góc với đáy; mặt bên ( SBC ) hợp với đáy góc góc  a) Tính thể tích khối chóp S ABCD ; b) Chứng minh mặt phẳng ( SAC ) chia hình chóp thành hai phần Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) “Cần cù bù thông minh” Bài 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a Cạnh SA vng góc với đáy SA  a Gọi M điểm SA cho AM  x (0  x  a ) a) Mặt phẳng ( MBC ) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện đó; b) Xác định x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp làm hai phần tích Bài 26 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , cạnh SA vng góc với đáy SA  a Mặt phẳng ( P) qua CD cắt cạnh SA, SB M , N Đặt AM  x (0  x  a ) NHĨM TỐN THẦY CHUNG –Nguyễn Đình Chiểu – P9 – TP Đà Lạt 11 GV Thầy Lê Chung ĐT: 0984.507799 – 0888 050015 a) Tính diện tích tứ giác MNCD theo a x ; b) Xác định giá trị x để thể tích khối chóp S MNCD lần thể tích khối chóp S ABCD Bài 27 cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , đường cao SA  a M điểm thay đổi SB , đặt SM  x (  x  2a ) Mặt phẳng ( ADM ) cắt SC N a) Tứ giác ADNM hình gì? Tính diện tích tứ giác theo a x ; b) Mặt phẳng ( ADM ) chia hình chóp làm hai phần, phần hình chóp S ADNM tích V1 phần lại tích V2 Xác định giá trị x để V1  V2 TÍNH THỂ TÍCH CÁC DẠNG KHỐI CHĨP KHÁC Bài 28 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt phẳng ( SAC ) vng góc với đáy, góc  ASC  90 SA tạo với đáy góc  Tính thể tích khối chóp S ABCD Bài 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, góc nhọn tạo hai đường chéo AC BD 60 , tam giác SAC SBD tam giác cạnh a Tính thể tích khối chóp theo a Bài 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AB  a, BC  a Góc cạnh bên mặt đáy hình chóp 60 Tính thể tích khối chóp cho Bài 31 Cho tứ diện ABCD có BC  a cạnh lại a Tính thể tích khối tứ diện Bài 32 Trong mặt phẳng ( P) cho hình thoi ABCD với AB  a BD  2a Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ( P) qua giao điểm H hai đường chéo hình thoi trên, người ta lấy điểm S cho SB  a a) Chứng minh tam giác ASC tam giác vng; b) Tính thể tích khối chóp S ABCD ; “Cần cù bù thơng minh” c) Chứng minh hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAD ) vng góc với TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP TẠO BỞI THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VÀ KHỐI CHÓP CHO TRƯỚC Bài 33 Cho hình chóp S ABC có đường cao SA a , đáy tam giác vuông cân có AB  BC  a Gọi B trung điểm SB C  chân đường cao hạ từ A tam giác SAC a) Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng ( ABC ) ; b) Tính thể tích khối chóp S ABC  NHĨM TỐN THẦY CHUNG –Nguyễn Đình Chiểu – P9 – TP Đà Lạt 12 GV Thầy Lê Chung ĐT: 0984.507799 – 0888 050015 Bài 34 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , mặt bên tạo với mặt đáy góc 60 Mặt phẳng ( P) chứa cạnh AB tạo với đáy góc 30 cắt SC , SD M , N a) Tính theo a diện tích tứ giác ABMN ; b) Tính thể tích khối chóp S ABMN theo a Bài 35 Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 2a cạnh bên SA  a Một mặt phẳng ( P) chứa AB vng góc mặt phẳng ( SCD) , cắt SC SD C  D a) Tính diện tích tứ giác ABC D ; b) Tính thể tích hình đa diện ABCDDC  Bài 36 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên hợp với đáy góc  (45    90) a) Tính thể tích khối chóp theo a  b) Gọi ( P) mặt phẳng qua A vng góc với cạnh SC cắt SB, SC , SD B, C , D Hãy tính diện tích thiết diện ABC D Bài 37 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , mặt bên hợp với mặt đáy góc 3 Dựng mặt phẳng ( P) qua AB hợp với đáy góc  cắt SC SD C  D a) Tính diện tích thiết diện ABC D theo a  ; “Cần cù bù thông minh” b) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a  NHĨM TỐN THẦY CHUNG –Nguyễn Đình Chiểu – P9 – TP Đà Lạt 13 ...  Diện tích hình bình hành a B S = đường cao cạnh tư ng ứng C h1 b A D h2 II CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH  Thể tích khối chóp S Vchóp = B.h Với B : diện tích đáy; h : đường cao B  Thể tích khối. .. Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ A đến ( SBC ) Bài Cho tứ diện SABC với SAB, SBC , SCA vng góc với đơi có diện tích tư ng ứng 24 cm , 30 cm , 40 cm Tính thể tích khối tứ diện. .. mặt phẳng ( SBC ) a , góc tạo SA đáy 60 Tính thể tích khối chóp theo a TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH Bài 18 Cho khối chóp S ABC có đường cao SA 2a , tam giác