Bài tập hay và khó về thể tích khối đa diện dành cho ôn luyện học sinh giỏi ( Có đáp án kèm theo)Phần 1: Thể tích khối chóp tam giácPhần 2: Thể tích khối chóp tứ giácPhần 3: Thể tích hình lăng trụ
TH TCH KHI A DIN I TH TCH KHI CHểP TAM GIC 1./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA=3a (vi a>0); SA to vi ỏy (ABC) mt gúc bng 600.Tam giỏc ABC vuụng ti B, ãACB = 300 G l trng tõm ca tam giỏc ABC Hai mt phng (SGB) v (SGC) cựng vuụng gúc vi mt phng (ABC) Tớnh th tớch ca hỡnh chúp S.ABC S: V = theo a 243 a 112 2./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú mt phng (SAC) vuụng gúc vi mt phng (ABC), SA = AB = a, AC = 2a, ãASC = ãABC = 90 Tớnh th tớch chúp S.ABC v cosin ca gúc S: V = gia hai mt phng (SAB), (SBC) a3 105 , cos = 35 3./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh bng a , tam giỏc SAC cõn ti S v nm mt phng vuụng gúc vi ỏy, SB hp vi ỏy mt gúc 300, M l trung im ca BC Tớnh th tớch chúp S.ABM v khong cỏch gia hai ng thng S: V = SB v AM theo a 3 a a ,d = 48 13 4./ cho hỡnh chop S.ABC , ỏy tam giỏc vuụng ti A, ãABC = 600 , BC = 2a gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn BC, bit SH vuụng gúc vi mp(ABC) v SA to vi ỏy mt gúc 600 Tớnh th tớch chop S.ABC v khong cỏch t B n mp(SAC) theo a S: V = 3 2a a ,d = 5./ Cho hỡnh chúp S.ABC tam giỏc ABC vuụng ti B, BC = a, AC = 2a, tam giỏc SAB u Hỡnh chiu ca S lờn mt phng (ABC) trựng vi trung im M ca AC Tớnh th tớch chúp S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng SA v BC S: V = a3 66 ,d = a 11 6./Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A,AB = AC = a, ãSBA = ãSCA = 900 gúc gia cnh bờn SA vi mt phng ỏy bng 600 Tớnh theo a th tớch chúp S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng BC, SA S: V = 6 a ,d = a 7./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, AB = BC = a , ãSAB = ãSCB = 900 v khong cỏch t A n mt phng (SBC) bng a Tớnh th tớch chúp S.ABC v din tớch mt cu ngoi tip hỡnh chúp S.ABC theo a S: V = a ,S = 12 a 2 8./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u; mt bờn SAB nm mt phng vuụng gúc vi mt phng ỏy v tam giỏc SAB vuụng ti S, SA = a , SB = a Gi K l trung im ca on AC Tớnh th tớch chúp S.ABC v khang cỏch gia hai ng thng a3 15 BC v SK theo a S: V = ,d = a 9./ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA=4a, BC=3a, gọi I trung điểm AB , hai mặt phẳng (SIC) (SIB) vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SAC) (ABC) bẳng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đờng thẳng SB AC theo a S: V = 12 3 a ,d = a 5 10./ Cho hỡnh chúp S.ABC, cú ỏy l tam giỏc ABC cõn ti A, AB = AC = a, ãBAC = 120 hỡnh chiu vuụng gúc ca S trờn mt phng (ABC) trựng vi trng tõm G ca tam giỏc ABC Cnh bờn SC to vi mt phng ỏy mt gúc , bit tan = S.ABC v khong cỏch t C n mt phng (SAB) Tớnh th tớch chúp S: V = 3 13 a ,d = a 12 13 11./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc cõn ti A, gúc BAC =120 Gi H, M ln lt l trung im cỏc cnh BC v SC, SH vuụng gúc vi (ABC), SA=2a v to vi mt ỏy gúc 600 Tớnh theo a th tớch k.chúp S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng AM v BC a 21 S: V = a ,d = 12./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, AC = 2a,ãACB = 300 Hỡnh chiu vuụng gúc H ca nh S trờn mt ỏy l trung im ca cnh AC v SH = a Tớnh theo a th tớch chúp S.ABC v khong cỏch t im C n mt phng (SAB) S: V = 66 a ,d = a 11 13./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SA=a ,tam giỏc ABC vuụng ti B, AB= a , AC = 2a Tớnh theo a th tớch hỡnh chúp S.ABC v khong cỏch gia hai ng thng AB v SC S: V = a3 ,d = a 2 14./ Cho t din ABCD cú ABC l tam giỏc u cnh 3a v cnh CD to vi mt phng (ABC) mt gúc 600 Gi H l im nm trờn AB cho AB = 3AH v mt phng (DHC) vuụng gúc vi mt phng (ABC) Tớnh theo a th tớch t din ó cho v khong cỏch t im D n mt phng (MAB) , bit M l trung im CD v mt phng (ABD) vuụng S: V = gúc vi mt phng (ABC) 3 777 a ,d = a 37 15./ Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc SAB u cnh a, tam giỏc ABC cõn ti C Hỡnh chiu ca S trờn mt phng (ABC) l trung im ca cnh AB gúc hp bi cnh SC v mt ỏy l 300 Tớnh th tớch chúp S.ABC theo a v tớnh khong cỏch ca hai ng thng S: V = SA v BC 3 a ,d = a 13 16./ cho hỡnh chop S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng ti A , AB = AC = a , I l trung im ca SC , hỡnh chiu vuụng gúc ca S lờn mt phng ( ABC ) l trung im H ca BC , mt phng (SAB) to vi ỏy mt gúc 600 Tớnh th tớch chúp S.ABC khong cỏch 3 t im I n mt phng (SAB) theo a h S: V = a ,d = a 12 II TH TCH KHễI CHểP T GIC 1./ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh bỡnh hnh vi AB = 2a, BC = a , BD = a Hỡnh chiu vuụng gúc ca S lờn mt phng ABCD l trng tõm G ca tam giỏc BCD , bit SG = 2a Tớnh th tớch V ca hỡnh chúp S ABCD v khong cỏch gia hai ng thng S: V = a3, d = a AC v SB theo a 2./ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh ch nht vi AB = a, BC = a Hai mt phng (SAC ) v (SBD) cựng vuụng gúc vi ỏy im I thuc on SC cho SC = 3IC hTớnh th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch gia hai ng thng AI v SB bit 15 4a a ,d = 33 S: V = AI vuụng gúc vi SC 3./ cho hỡnh chúp S.ABCD cú SA vuụng gúc vi mt phng ( ABCD ) v ỏy ABCD l hỡnh ch nht AB = a, AD = 2a Gi M l trung im ca BC , N l giao im ca AC v DM , H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn SB Bit gúc gia SC v mt phng ( ABCD) l , vi tan = 10 Tớnh th tớch chop S.ABMN v khong cỏch t H n (SMD) S: V = a a , d= 18 4./Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, mt bờn SAD l tam giỏc vuụng ti S, hỡnh chiu vuụng gúc ca S lờn mt phng (ABCD) l im H thuc cnh AD cho HA = 3HD Gi M l trung im ca AB Bit rng SA = 2a v ng thng SC to vi ỏy mt gúc 300 Tớnh theo a th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch t M n mt phng (SBC) S: V = 66 a ,d = a 11 5./ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh thang vuụng ti A v D; SA vuụng gúc vi mt ỏy (ABCD); AB = 2a ; AD = CD = a Gúc gia mt phng (SBC) v mt ỏy (ABCD) l 60 Mt phng (P) i qua CD v trng tõm G ca tam giỏc SAB ct cỏc cnh SA, SB ln lt ti M, S: V = a3 N Tớnh th tớch chúp S.CDMN theo a 27 6./ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a tõm O, hỡnh chiu ca nh S trờn mt phng (ABCD) l trung im ca AO, gúc gia mt phng (SCD) v mt phng (ABCD) l 600 Tớnh th tớch ca chúp S.ABCD v khong cỏch t trng tõm S: V = a3,d = a tam giỏc SAB n mt phng (SCD ) 7./ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, SA vuụng gúc vi ỏy Gúc gia mt phng (SBC) v (SCD) bng 600 Tớnh theo a th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch t D ti mt phng (SBC) S: V = a3,d = a 8./ cho hỡnh chop S.ABCD, cú ỏy l hỡnh ch nht, AB = a, AC = 2a SA vuụng gúc vi mt phng (ABCD), SC to vi mt phng (SAB) mt gúc 300 , Gi M l mt im trờn cnh AB cho BM = 3MA.Tớnh th tớch chop S.DCM v khong cỏch v khong cỏch t A n mt phng (SCM ) S: V = a3,d = 34 a 51 ã 9./ Trong mt phng (P), cho hỡnh thoi ABCD cnh a, gúc ABC = 1200 Gi G l trng tõm ã tam giỏc ABD, trờn ng thng vuụng gúc vi mp(P) ti G ly im S cho ASC = 900 Tớnh th tớch chúp S.ABCD v khong cỏch t G n (SBD) theo a a ,d= a 10./ Cho hỡnh chúp S ABCD cú ỏy l hỡnh thang vuụng ti A v B vi BC l ỏy nh Bit rng tam giỏc SAB l tam giỏc u cú cnh vi di bng 2a v nm mt phng vuụng gúc vi mt ỏy, SC = a v khong cỏch t D ti mt phng ( SHC ) bng 2a ( S: V = õy H l trung im AB ) Hóy tớnh th tớch k.chúp theo a S : VS ABCD = 4a 3 11./ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a Gi M v N ln lt l trung im ca cỏc cnh AB v AD; H l giao im ca CN vi DM Bit SH vuụng gúc vi mt phng (ABCD) v SH = a Tớnh th tớch chúp S.CDNM v tớnh khong cỏch gia hai S: V = ng thng DM v SC theo a 3 a ,d= a 24 19 12./ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B với AB = BC = a; AD = 2a Các mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt đáy (ABCD).Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 60 0.Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai đờng thẳng CD SB s : V = a3 2a ;d= 13./ Cho hỡnh chúp S ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB = a, AD = a , tam giỏc SAB cõn ti S v mt phng ( SAB ) vuụng gúc vi mt phng ( ABCD ) Bit gúc gia mt phng ( SAC ) v mt phng ( ABCD ) bng 600 Tớnh th tớch chúp S ABCD Gi H l trung im cnh AB tớnh cosin ca gúc gia hai ng thng CH v SD s : V = a3 11 ; cos = 33 14./ Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AB = a, AD = 2a Hỡnh chiu vuụng gúc ca im S trờn mt phng (ABCD) trựng vi trng tõm tam giỏc BCD ng thng SA to vi mt phng(ABCD) mt gúc 450 Tớnh th tớch ca chúp S.ABCD v khong cỏch gia hai ng thng AC v SD theo a s : V = 2a a ;d= 11 III TH TCH KHI LNG TR 1./ Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.A ' B 'C ' vi A '.ABC l hỡnh chúp tam giỏc u cnh ỏy AB = a , cnh bờn AA ' = a Gi l gúc gia hai mt phng ( ABC) v mt phng ( A ' BC) Tớnh tan v th tớch chúp A '.BCC ' B ' s: V = a 2./ Cho lng tr ng ABC.A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B vi AB = a , AA' = 2a , A'C = 3a Gi M l trung im cnh C'A', I l giao im ca ng thng AM v A'C.Tớnh theo a th tớch IABC v khong cỏch t A ti mt phng (IBC ) 2a s: V = a ,d= 3./ Cho hỡnh lng tr tam giỏc ABC.A'B'C' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B; AB = a Hỡnh chiu vuụng gúc ca im A' lờn mt phng (ABC) l im H thuc cnh AC cho HC = 2HA Mt bờn (ABB'A') hp vi mt ỏy (ABC) mt gúc bng 60 Tớnh theo a th tớch ca lng tr ABC.A'B'C' v khong cỏch gia hai ng thng AB v CC' s: V = 3 a a ,d= 4./ Cho hỡnh lng tr ABCD.A ' B 'C ' D ' cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a , cnh bờn AA' = a, hỡnh chiu vuụng gúc ca A ' trờn mt phng (ABCD ) trựng vi trung im I ca AB Gi K l trung im ca BC Tớnh theo a th tớch chúp A'.IKD v khong cỏch t s: V = I n mt phng (AKD) 3 a ,d = a 16 5./ Cho hỡnh lng tr ABC.ABC, vi AB = a, BC = 2a, ãABC = 600 , hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn mt phng ( ABC ) trựng vi trng tõm G ca ABC gúc gia AA v mp(ABC) bng 600 tớnh th tớch chop A.ABC v khong cỏch t G n mp(ABC) a3 51 s: V = ,d = a 51 6./ Cho hỡnh lng tr ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A v ãABC = 300 Bit M l trung im ca AB , tam giỏc MAC u cnh a v nm mt mt phng vuụng gúc vi mt phng ỏy hỡnh lng tr Tớnh theo a th tớch lng tr ABC.ABC v khong gia hai ng thng AC , BB s: V = a ,d = a 7./ Cho hỡnh hp ng ABCD.ABCD, cú ỏy l hỡnh thoi cnh bng a v ãBAD = 600 Gi M , N ln lt l trung im ca CD v BC bit rng MN vuụng gúc vi BD Tớnh th tớch hp ABCD.ABCD v khong cỏch gia hai ng thng s: V = MN v BD theo a 3 a ,d = a 4 8./ Cho lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A, AB = a, BC = 2a, mt bờn ACCA l hỡnh vuụng Gi M, N, P ln lt l trung im ca AC, CC, AB v H l hỡnh chiu ca A lờn BC Tớnh th tớch chúp A.HMN v khong cỏch gia hai ng s : V = thng MP v HN 9./ Cho hỡnh lng tr ABC.A'B'C' cú AA' = a a ,d = 32 a 10 ,AC = a , BC = a, ãACB = 1350 Hỡnh chiu vuụng gúc ca C' lờn mt phng (ABC) trựng vi trung im M ca AB Tớnh theo a th tớch ca lng tr ABC.A'B'C' v gúc to bi ng thng C'M vi mt phng (ACC' A') s : V = a , = 30 10./ Cho lng tr ng ABC.ABC ỏy ABC l tam giỏc cõn ti C, AB = AA= a Gúc to bi ng thng BC vỡ mt phng (ABBA) bng 600 Gi M, N, P ln lt l trung im ca BB, CC v BC Tớnh th tớch lng tr ABC.ABC v khong cỏch gia hai s : V = ng thng AM v NP theo a 15 a 15 a ,d = 11./ Cho lng tr ABC.A1B1C1 cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A , AB = 2, BC = Hỡnh chiu vuụng gúc ca im A1 trờn mt phng ( ABC ) trựng vi trung im ca AC Gúc gia hai mt phng ( BCC1 B1 ) v ( ABC ) bng 600 Tớnh th tớch lng tr ó cho v khong s : V = 3 ,d = cỏch gia hai ng thng AA v BC ... phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt đáy (ABCD).Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 60 0.Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai đờng thẳng CD SB s : V = a3 2a ;d= 13./ Cho hỡnh chúp S ABCD cú