- 1 - Giáo án tự chọn 12 Ngày soạn : 28/09/2009 Tiết :1, 2, 3, 4. Chủ đề 4: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. LÝ THUYẾT. Kiến thức cần nắm 1. Thể tích của khối đa diện Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là 1 3 V Bh= . 2. Khối đa diện đều và thể tích khối đa diện đều Một khối đa diện được gọi là khối đa diện đều loại {p; q} nếu: Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt. Có năm loại khối đa diện đều: loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3}, {3; 5}. Chúng lần lượt được gọi là khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều. Bảng tóm tắt các yếu tố của khối tứ diện đều, khối lập phương và khối bát diện đều (quy ước cạnh của khối đa diện đều có độ dài là a). Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt Thể tích {3; 3} Tứ diện đều 4 6 4 3 2 12 a {4; 3} Lập phương 8 12 6 3 a {3; 4} Bát diện đều 6 12 8 3 2 3 a 3. Các tính chất. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm thuộc tia SA, SB, SC của hình chóp S.ABC, khi đó: ' ' ' ' ' ' . . . . S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC = . Từ công thức tính thể tích ta suy ra cách tìm khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng trong không gian, khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian: 3 ; hoac lt c V V h h B B = = . B. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN. Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, ( )SA ABCD⊥ . Tính thể tích hình chóp. HD: Đáy ABCD là hình vuông nên B = a 2 . ( )SA ABCD⊥ nên SA chính là đường cao của hình chóp, suy ra h = SA = a. Vậy thể tích hình chóp là 3 1 1 3 3 V Bh a= = . Trang 1 - 2 - Giáo án tự chọn 12 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, , SA = a, AB = 2a, AD = DC = a. a) Tính thể tích khối chóp. b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC). c) Tính thể tích khối chóp S.ADC. HD: Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a. a) Tính thể tích khối chóp. b) Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC). HD: Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a . a) Tính thể tích khối chóp. b) Tính khoảng cách từ B đến mp(SCD). HD: Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A. AB//CD, AB=AD=a, CD=2a. ( )SA ABCD⊥ , SA = 2a . a) Tính thể tích khối chóp. b) Gọi E là trung điểm của CD. Tính thể tích khối chóp SBCE. HD: Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A ’ B ’ C ’ có tất cả các cạnh đều bằng a a) Tính thể tích của khối lăng trụ b) Tính thể tích khối tứ diện A ’ BB ’ C HD: a) * Đáy A ’ B ’ C ’ là ∆ đều cạnh a . AA ’ là đường cao * Tất cả các cạnh đều bằng a * ABC.A B C V ′ ′ ′ = Bh = A B C S ′ ′ ′ .AA ’ * Tính: A B C S ′ ′ ′ = 2 3 4 a (A ’ B ’ C ’ là ∆ đều cạnh a) và AA ’ = a ĐS: ABC.A B C V ′ ′ ′ = 3 3 4 a b) A BB C V ′ ′ = 1 3 ABC.A B C V ′ ′ ′ ĐS: 3 3 12 a ( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện bằng nhau) Trang 2 S A B C D C' B' A' C B A - 3 - Giáo án tự chọn 12 Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABC.A ’ B ’ C ’ , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, C ∧ = 60 0 , đường chéo BC ’ của mặt bên (BCC ’ B ’ ) hợp với mặt bên (ACC ’ A ’ ) một góc 30 0 . a) Tính độ dài cạnh AC ’ b) Tính thể tích lăng trụ HD: a) * Xác định ϕ là góc giữa cạnh BC ’ và mp(ACC ’ A ’ ) + CM: BA ⊥ ( ACC ’ A ’ ) • BA ⊥ AC (vì ∆ ABC vuông tại A) • BA ⊥ AA ’ (ABC.A ’ B ’ C ’ lăng trụ đứng) + ϕ = BC A ∧ ′ = 30 0 * Tính AC ’ : Trong V ∆ BAC ’ tại A (vì BA ⊥ AC ’ ) tan30 0 = AB AC ′ ⇒ AC ’ = 0 30 AB tan = AB 3 * Tính AB: Trong V ∆ ABC tại A, ta có: tan60 0 = AB AC ⇒ AB = AC. tan60 0 = a 3 (vì AC = a). ĐS: AC ’ = 3a b) ABC.A B C V ′ ′ ′ = Bh = ABC S .CC ’ * Tính: ABC S = 1 2 AB.AC = 1 2 .a 3 .a = 2 3 2 a * Tính CC ’ : Trong V ∆ ACC ’ tại C, ta có: CC ’2 = AC ’2 – AC 2 = 8a 2 ⇒ CC ’ = 2 2a ĐS: ABC.A B C V ′ ′ ′ = a 3 6 Bài 8: Cho lăng trụ tam giác ABC.A ’ B ’ C ’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A ’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA ’ tạo với mp đáy một góc 60 0 . Tính thể tích của lăng trụ. HD: * Kẻ A ’ H ⊥ (ABC) * A ’ cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của ∆ ABC đều cạnh a * Góc giữa cạnh AA ’ và mp(ABC) là ϕ = A AH ∧ ′ = 60 0 * Tính: ABC.A B C V ′ ′ ′ = Bh = ABC S .A ’ H * Tính: ABC S = 2 3 4 a (Vì ∆ ABC đều cạnh a) * Tính A ’ H: Trong V ∆ AA ’ H tại H, ta có: tan60 0 = A H AH ′ ⇒ A ’ H = AH. tan60 0 = 2 3 AN. 3 = a ĐS: ABC.A B C V ′ ′ ′ = 3 3 4 a Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A ’ B ’ C ’ , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a và AA ’ = 3a. Trang 3 60 ° 30 ° C' B' A' C B A a 60 ° N H C' B' A' C B A - 4 - Giỏo ỏn t chn 12 Tớnh th tớch ca lng tr HD: * ng cao lng tr l AA = 3a * Tớnh: ABC.A B C V = Bh = ABC S .AA * Tớnh: ABC S = 1 2 AB.AC (bit AC = a) * Tớnh AB: Trong V ABC ti A, ta cú: AB 2 = BC 2 AC 2 = 4a 2 a 2 = 3a 2 S: ABC.A B C V = 3 3 3 2 a C. BI TP V NH Bi 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, cnh bờn SA vuụng gúc vi ỏy , cnh bờn SB bng a 3 . Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD theo a . Bi 2: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú AB = a v SA = b . Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD theo a v b. Bi 3: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú AB = a v gúc SAC bng 45 0 . Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD. Bi 4: Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti nh B, cnh bờn SA vuụng gúc vi ỏy. Bit SA = AB = BC = a. Tớnh th tớch khi chúp S.ABC theo a . Bi 5: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú AB = a v gúc gia mt bờn v mt ỏy bng 60 0 . Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD. Bi 6: Cho khi hp ch nht ABCDABCD cú th tớch V. Tớnh th tớch khi t din CABC theo V. Bi 7: Trờn cnh CD ca t din ABCD ly im M sao cho CD = 3CM. Tớnh t s th tớch ca hai t din ABMD v ABMC. Bi 8: Cho hình chóp SABC. SA AB, AB AC, AC SA. Gọi M, N lần lợt là trung điểm SB và SC. a. Tính tỉ số hai thể tích của hình chóp do mặt phẳng AMN chia ra. b. Cho SA=a, AB=2a, AC=3a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Bi 9: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. SA = a, SA vuông góc với đáy. a. Tính thể tích hình chóp ASBC. b. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC). Trang 4 2a 3a a C' B' A' C B A . cnh bờn SB bng a 3 . Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD theo a . Bi 2: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú AB = a v SA = b . Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD theo a v b. Bi 3: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD. tớch khi chúp S.ABC theo a . Bi 5: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú AB = a v gúc gia mt bờn v mt ỏy bng 60 0 . Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD. Bi 6: Cho khi hp ch nht ABCDABCD cú th tớch V. Tớnh. tớch khi chúp S.ABCD. Bi 6: Cho khi hp ch nht ABCDABCD cú th tớch V. Tớnh th tớch khi t din CABC theo V. Bi 7: Trờn cnh CD ca t din ABCD ly im M sao cho CD = 3CM. Tớnh t s th tớch ca hai t din