UBND HUYỆN ĐÔNG SƠNPHÒNG GDĐTKỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 20182019ĐỀ THI: Môn ToánThời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)ĐỀ BÀICâu 1 (4.0 điểm)1.Cho biểu thức a. Rút gọn Mb. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên 2. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức: . Câu 2 (4.0 điểm)1.Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy2 + x +y +1 = x2 +2y2+xy2. Giải phương trình : Câu 3 (4.0 điểm)1.Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì A= ( 10n + 10n1 +…+ 10 + 1) ( 10n+1+5) +1 là số chính phương nhưng không phải lập phương của một số tự nhiên.2. Tìm các cặp số thực (x;y) thỏa mãn các điều kiện: Câu 4 (6.0 điểm)Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Các tiếp tuyến với đường
UBND HUYỆN ĐƠNG SƠN PHỊNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HĨA LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI: Mơn Tốn Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Câu (4.0 điểm) x x +3 x +2 x +2 : 1.Cho biểu thức M = 1 − x −2 + 3− x + x −5 x +6 x + a Rút gọn M b Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + abc = Tính giá trị biểu thức: A = a(4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a) + c(4 − a)(4 − b) − abc Câu (4.0 điểm) 1.Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy2 + x +y +1 = x2 +2y2+xy Giải phương trình : x − − x − = 16 x − 48 x + 35 Câu (4.0 điểm) 1.Chứng minh với n số tự nhiên A= ( 10n + 10n-1 +…+ 10 + 1) ( 10n+1+5) +1 số phương lập phương số tự nhiên y2 x2 + = 2 Tìm cặp số thực (x;y) thỏa mãn điều kiện: ( y + 1) ( x + 1) 3xy = x + y + Câu (6.0 điểm) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông A với đường cao AH Các tiếp tuyến với đường tròn (O) A B cắt M, CM cắt AH I, OM cắt AB J a Chứng minh hai tam giác MOB ACH đồng dạng b Chứng minh I trung điểm AH c Cho BC = 2R OM = x Tính AB AH theo R x d Tính giá trị lớn AH x thay đổi Câu (2.0 điểm) Cho số thực dương x, y thoả mãn điều kiện xy ( x − y) = x + y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = x+y Hết (Cán coi thi khơng phải giải thích thêm) Họ tên: SBD: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 Mơn: TỐN Câu Nội dung (3,0 điểm) a ĐKXĐ: x ≥ ; x ≠ 4; x ≠ M= 0,5 x −2 x +1 1,5 x −2 =1 − x +1 x +1 Để M nguyên => x +1∈ Ư(3) ⇔ x + 1∈ {1;3} Điểm b, M= 0,25 ( Vì x + > 0∀x ∈ ĐKXĐ) => x= ( thỏa mãn ĐKXĐ) x = ( Không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x= M nhận giá trị nguyên (1,0 điểm) 0,5 0,5 0,25 A = a(4 − b)(4 − c) + b(4 − c)(4 − a) + c(4 − a)(4 − b) − abc Ta có: a + b + c + abc = ⇔ 4a + 4b + 4c + abc = 16 0,5 ⇒ a(4 − b)(4 − c) = a(16 − 4b − 4c + bc) = a (2 a + bc ) = a (2 a + bc ) = 2a + abc 0,5 Tương tự: b(4 − c)(4 − a ) = 2b + abc , c(4 − a )(4 − b) = 2c + abc 0,5 ⇒ A = 2(a + b + c) + abc − abc = 2(a + b + c + abc ) = 0,5 1.(2,0 điểm) Ta có 2xy2 +x +y +1 = x2+ 2y2 +xy ⇔ 2y ( x- 1) – x( x-1) – y( x-1) +1 = (1) Nhận thấy x= nghiệm phương trình (1) chia hai vế cho x-1 ta 2y2 –x –y + Vì pt có nghiệm x,y nguyên nên ⇒ x ∈ {0;2} 0,5 = 0(2) x −1 nguyên nên x-1 ∈ {± 1} x −1 2 Thay x= vào (2) ta 2y –y – 1=0 => y =1; y = − Vậy (x,y) ∈ {(0;1); (2;1)} 0,75 Thay x= vào (2) ta 2y2 –y -1 = => y = 1; y = − 0,5 0,25 Câu Nội dung Điểm 2.(2,0 điểm) 2 x − − x − = 16 x − 48 x + 35 − 4x ⇔ = (7 − x )(5 − x ) 2x − + 6x − ĐK: x ≥ ⇔ (7 − x ) + 4x − 5 = 2x − + 6x − Vì x ≥ nên + 4x − > 2x − + 6x − 7 Vậy pt có nghiệm : x = Suy : − x = ⇒ x = (tm) 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 (2,0 điểm) 10 n+1 − n+1 10 + + 10 2( n+1) + 4.10 n +1 − + = ( A= 10 n+1 + Ta có = = 33 34 ) 0,5 0,5 n Vậy A số phương 2 Mặt khác 33 34 = 1666 = A n n −1 Do A Μ2 A không chia hết A lập phương số tự nhiên (2,0 điểm) Điều kiện: x ≠ −1; y ≠ −1 y2 x2 ( y + 1) + ( x + 1) = Theo gt ta có x y =1 y + x + u + v2 = x y Đặt u = , : ;v= y +1 x +1 uv = 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Nội dung 2 ( u + v )2 = u + v + 2uv = ⇔ 2 ⇔ u + v − 2uv = ( u − v ) = 1 Suy u = v = u = v = − 2 y + = 2x Nếu u = v = ⇔ x = y = (thỏa mãn) x + = y y + = −2 x 1 Nếu u = v = ⇔ x = y = − (thỏa mãn) x + = −2 y Vậy : x = y = 1; x = y = − Điểm 0,75 0,75 a (2,0 điểm) Chứng minh ∆MOB ∼ ∆ACH Ta có MA = MB ( T/c tiếp tuyến) OA = OB = R => OM trung trực đoạn AB => OM vng góc với AB J nên OM // AC => MOˆ B = ACˆ H => ∆MOB ∼ ∆ACH (g.g) b.(1,5 điểm) Trong ∆CMB có HI//BM nên ∆MOB ∼ ∆ACH => HI CH (1) = BM CB 1,5 HA CH = (2) BM OB Chia (1) cho (2) theo vế ta 2,0 HI OB = = HA CB => I trung điểm AH c.(0,75 điểm) ∆MOB vuông B nên OB2 = OJ OM => OJ = Câu Điểm 0,75 Nội dung 2 OB R = OM x 2 ∆ OJB vuông J nên BJ = OB – OJ = ( ) R2 R2 x2 − R2 R = R − => BJ = x − R với x > R x x x 4R 2 ∆ ABC vuông A nên AC = BC – AB = x 2R => AC = x Lại có BC AH = AB AC => AH = AB AC R = BC x x − R với x > R d.(0,75 điểm) Ta chứng minh: AH ≤ R (3) 2R x x −R ≤ R 0,75 2R x − R ≤ x 2 2 4R2 ( x2 – R2) ≤ x4 x4 – 4R2 x2 + 4R4 ≥ (x2 – 2R2)2 ≥ với ∀ x > R Dấu "=" xảy x2 – 2R2 = x = R Vậy AH đạt giá trị lớn R x = R (2,0 điểm) Do x, y > xy ( x − y ) = x + y ta suy x > y > xy(x-y)2 = (x+y)2 (1) Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > ; a2 ≥ 4b) 2 2 Ta có: (1) ⇔ b(a − 4b) = a ⇔ a (b − 1) = 4b 4b b 0.25 2 Suy ra: b-1 > a = b − 0.25 0.25 1 Lại có: b − = b + + b − = (b − 1) + b − + ≥ (b − 1) b − + = (theo bđt si) Do đó: a ≥ 16 Mà a > nên a ≥ ⇒ x + y ≥ 0.25 0.25 Dấu “=” xảy b − = b − ⇔ (b − 1) = ⇔ b = x = + x + y = ⇔ Khi đó: xy = (Vì x > y) y = − Vậy Min (x+y)=4 x = + ; y = − 0.25 0.25 0.25 -Hết ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 201 8- 20 19 Mơn: TỐN Câu Nội dung (3,0 điểm) a ĐKXĐ: x ≥ ; x ≠ 4; x ≠ M= 0,5 x −2... ⇔ 2y ( x- 1) – x( x-1) – y( x-1) +1 = (1) Nhận thấy x= nghiệm phương trình (1) chia hai vế cho x-1 ta 2y2 –x –y + Vì pt có nghiệm x,y nguyên nên ⇒ x ∈ {0;2} 0,5 = 0(2) x −1 nguyên nên x-1 ∈ {±... − y ) = x + y ta suy x > y > xy(x-y)2 = (x+y)2 (1) Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > ; a2 ≥ 4b) 2 2 Ta có: (1) ⇔ b(a − 4b) = a ⇔ a (b − 1) = 4b 4b b 0.25 2 Suy ra: b-1 > a = b − 0.25 0.25 1 Lại có: