MỘT số DẠNG TOÁN TỔNG QUÁT TÍCH PHÂN NGUYÊN hàm THEO XU HƯỚNG TRẮC NGHIỆM

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔNG QUÁT TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM CHỐNG MÁY TÍNH A.. Đề bài : Tính 1 giá trị tích phân còn lại khi biết 2 giá trị tích phân.. Dấu hiệu nhận biết: - Biết 2 giá trị tích ph

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔNG QUÁT TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM

CHỐNG MÁY TÍNH

A DẠNG 1:

1 Đề bài: Cho

Tính

( Trong đó ; là các hàm đã cho)

2 Kiến thưc cần nắm:

- giá trị tích phân không phụ thuộc cách ký hiệu biến

=

- cách trình bày tích phân bằng phương pháp đổi biến

- tích chất tích phân

= = -

- f(x) là hàm chẵn thì f(-x) = f(x)

- f(x) là hàm lẻ thì f(-x) = -f(x)

3 Phương pháp giải:

 Cách 1: sử dụng phương pháp đổi biến

Bước 1: = +

Sau đó đổi biến A(x)= u từ đó tính được tích phân dạng

Bước 2: đổi biến B(x)= t kết hợp tính được ở bước 1

tính được tích phân

từ đó tính được

 Cách 2: sử dụng kỹ thuật chọn hàm (áp dụng cho 1 số bài)

4 Bài tập:

Câu 1: cho tính I=

Lời giải: xét tích phân I

đặt 2x= u => du=2dx => dx =

Dổi cận : x=0 =>u=0

x=2 =>u=8

 I= = = .16 =8

Câu 2: cho tính

Đs :19

Câu 3: cho tính

Đs : 11

Câu 4 : cho tính

Đs : 8

Câu 5: cho tính I=

Lời giải:

Xét tích phân



 + 20 =16

 = -4

Xét tích phân I= = e2

- 5 Đặt x2 = u => 2xdx =du => xdx =

Dổi cận : x=0 => u=0

x=2 => u=4

 I= + e2

- 5 = .(-4) + e2- 5 = e2- 7

Câu 6: =19 tính B=

Lời giải:

Xét tích phân = 19

 + 14 = 19  =5 (1)

Xét tích phân

Đặt: 5 - 3x = u => -3dx = du => dx = - du

Dổi cận : x=0 => u=5

x=2 => u = -1

 (1)  =5  = -15

Xét tích phân B=

= =

=

Xét tích phân

Đặt 6x -7 =u => 6dx = du => dx= du Dổi cận : x=1 => u= -1 x= 2 => u= 5  B= + = (-15) + = 2 Câu 7: cho =8 tính

Câu 8: cho =12 tính

Câu 9: tính

Câu 10: tính

Câu 11: cho F(x) là nguyên hàm của hàm số y=x2 cos2x giá trị của tích phân I= cos22x)dx A: 4(F(1)- F(0)) B: 4(F(2)- F(0)) C: 8(F(1)- F(0)) D: 8(F(2)- F(0)) Câu 12: cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thảo mãn f(x)=6x2 f(x3 tính

A.2 B.4 C.-1 D.6 Câu 13 cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;3] và ;

Giá trị của tích phân: là: A.6 B.3 C.4 D.5 B DẠNG 2:

ÁP DỤNG TÍNH CHẤT

1 Đề bài : Tính 1 giá trị tích phân còn lại khi biết 2 giá trị tích phân

2 Dấu hiệu nhận biết:

- Biết 2 giá trị tích phân tính giá trị tích phân thứ 3

- Các cận liên tiếp nhau (mức độ cơ bản)

- Biểu thức dưới dấu tích phân là giống nhau đều là hàm f

- Đối với bài khó đề bài để ở mức độ khó nhận dạng hơn như: các cận không liên tiếp nhau, biểu thức dưới dấu tích phân không giống nhau khi đó ta nhận dạng dựa trên biết 2 tích phân tính giá trị tích phân thứ 3và có cùng biểu thức hàm f dưới dấu tích phân với dạng này ta kết hợp với dạng 1 để xử lý và đưa được về có đầy đủ các dấu hiệu như trên

3 Kiến thức bổ trợ

- Các tính chất ở dạng 1

- Khi làm thường kết hợp dạng 1 để xử lý

4 Phương pháp giải

- Bước 1: biến đổi kết hợp dạng 1 đưa về đầy đủ các dấu hiệu bên trên

- Bước 2: áp dụng công thức

5 Bài tập

Câu 1: Cho ; tính

Câu 2: ( Đề thi thử SGDĐT Hà Nội 2017)

cho hàm f(x) là hàm số chẵn , có đạo hàm trên [-6;6] biết rằng

; tính

Lời giải:

Do f(x) là hàm chẵn => f(-2x) =f(2x)

 tích phân =

Đặt : 2x = u => 2dx= du => dx = du

Dổi cận : x=1 => u= 2

x=3 => u= 6

 I= hay

Mà I=3 => =3 => = 6

Ta có = = 8 + 6= 14

Dáp số : 14

Câu 3 : Cho hàm f(x) là hàm số chẵn , có đạo hàm trên [-6;6] biết rằng

; tính

Câu 4 : Cho ; tính

Câu 5: Cho ;

tính

câu 6: Cho ;

tính

câu 7: Cho ; tính

câu 8: Cho ;

tính

C DẠNG 3: SỬ DỤNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Hay -

1 Dấu hiệu nhận biết Cho và tính

Hay cho và tính

Đặc biệt: nếu V’(x) = hằng số Khi đó đề bài chỉ có dạng : Cho tính (Thiếu đi 1 tích phân so với đề tổng quát) Chú ý: -ta dễ nhận thấy sẽ sử dụng tích phân từng phần để làm Nhưng trong đề mức độ nhận dạng sẽ khó đòi hỏi ta phải quan sát, cần lưu ý : + sẽ có 1 hàm chưa xác định + trong 2 tích phân xuất hiện sẽ thấy xuất hiện kí hiệu đạo hàm hoặc một biểu thức trong tích phân này đạo hàm ra sẽ chưá 1 biểu thức nằm trong tích phân kia 2 Phương pháp giải: - Lựa chọn khéo léo U và dV sử dụng phương pháp tích phân từng phần - Ghi nhớ dV=V’.dx hay V’.dx= dV (để dễ lựa chọn dV ) 3 Bài tập: Câu 1: cho hàm số thỏa mãn =8 và f(e+1)=9 Tính tích phân I=

A:-1 B: 1 C.17 D: 7

Lời giải

Ta có =

= = lnx f(x+1) -

= f(e+1) - = 9 – I  8= 9- I => I =1 chọn B Câu 2: cho hàm số f(x) xác định và luôn nhận giá trị dương trên R thỏa mãn

10 và f(1)=4 Tính I=

A:-1 B: -2 C.- D: 3 Lời giải: Đặt :



= (x+1).

-

 4. - 2 I  − 2 I => I = 3 chọn D Câu 3: cho f(x) là hàm số lẻ và thỏa mãn f(1) =2017 Tính I=

A:2017 B: 2018 C.4034 D: 4035 Câu 4: cho hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) trên đoạn [1;2] Biết 4 F(2) - F(1) =2 và

Tính I=

A:-3 B: 2 C.-4 D: 10 Câu 5: cho hàm số f(x) và g(x) liên tục có đạo hàm trên R và thỏa mãn f ’(0).f ’(2) ≠0 và g(x).f ’(x)=x(x-2).ex tính giá trị tích phân I=

A:-4 B: e-2 C.4 D: -8 Câu 6: cho hàm số y=f(x) liên tục [0;1] và thỏa mãn 10 và 2f(1) –f(0)=2 Tính

Câu 7 Cho F(x)=(x+1)ex là một nguyên hàm của hàm số f(x).e3x Tìm một nguyên hàm của hàm số f ’(x).e3x A (6-3x)ex +C B (-6x-3)ex +C C (-2x-1)ex +C D (6+3x)ex +C

Câu 8 Cho hai hàm số f(x) va g(x) có đạo hàm trên [1 ;4] và thỏa mãn hệ thức

Tính I=

A 8ln2 B.3ln2 C.6ln2 D B.4ln2

CHÚ Ý: DẠNG 1+2+3 CÓ THỂ KẾT HỢP KỸ THUẬT CHỌN HÀM

D DẠNG 4 : SỬ DỤNG KẾT QUẢ DẤU “=” XẢY RA CỦA TÍNH CHẤT

1 Tính chất:

nếu G(x) là 1 hàm liên tục và G(x) trên [a;b]

dấu “=” xảy ra (hay khi G(x)=0

2 Dấu hiệu nhận biết :

tính với f(x) được tìm từ dấu “=” xảy ra của tính chất trên trong đó f(x)

sẽ nằm trong (bị ẩn đi ,phải chỉ ra) và

- chú ý :

+ hàm thường gặp dạng =[Q(x)]2 (bình phương của 1 hàm) hay gặp dạng (a ± b)2

 đề bài thường xuất hiện yếu tố bình phương ( dấu hiệu nhận dạng)

+ có thể kết hợp dạng 3 dùng tích phân từng phần để chỉ ra được hàm

3 Định hướng cách giải:

Kết hợp dạng 3 nếu cần và yếu tố có bình phương của đề bài để chỉ ra được hàm

và tính được

Từ đó => =0 => hàm f(x)

Từ đó tính được

4 Bài tập

Câu 1: cho =-7/6

Tính

Câu 2: cho hàm f(x) 0 liên tục trên [0;1] biết =6

=-3 tính

Câu 3: cho ; =-7/6 Biết f(1)=2

Tính

Câu 4: cho ; =-7/6 Biết f(1)=2 Tính

Câu 5: (đề MH BGD 2018) Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên [0;1] thỏa mãn f(1)=0 ; =7 và Tính

A B.1 C D.4

Lời giải: Đặt

=>



(do f(1)=0)  = -3 = -3 =-1 Ta có: =7 ; = -14 ; =

 + =0

 =0

Mà nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

 -



Do f(1)=0 => C= => + =

 = =

Câu 13: cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên [4;8] và f(x) ≠0 với mọi x [4;8]

Biết rằng

=1 và f(4)= ; f(8)= tính f(6)

A B C D.

Lời giải:

Xét tích phân I=

Ta có : I=

= 1- J +1 =2 –J (với J = )

Xét J =

Đặt đặt f(x)=u => du=f ’(x)dx

 J=

= =

=4-2=2

 I=2-2=0 mà

Dấu = xảy ra khi

=>

= => = dx

 -

vì f(4)= => c = -6

 f(x) =

=> f(6) = chọn đáp án C

Bình luận : bài toán này tương đối khó vì nó theo chủ ý của người ra đề Ở đây đòi hỏi chúng ta phải phán đoán Thứ nhất là việc nhận dạng thì nó đã xuất hiện những đặc điểm trong phần dấu hiệu nhận biết Vấn đề chúng ta cần phán đoán ở đây chính là vai trò của b trong dạng (a-b) 2

đóng vai trò là một hằng số Phán đoán này là dựa trên kinh nghiệm và nhạy bén của người làm chứ không có phương pháp cụ thể Từ đó với các dữ liệu bài cho ta tính toán được hằng số đó là ½

MỘT SỐ BÀI TOÁN KẾT HỢP CÁC DẠNG

E DẠNG 5: SỬ DỤNG KỸ THUẬT ĐẠO HÀM VÀ LẤY NGUYÊN HÀM TÌM f(x)

Kiến thức cơ bản :

- F(x)= => F’(x) =f(x)

- Vi phân hàm số: d(f(x)) = f ’(x)dx

Dấu hiệu nhận biết :

- Khi xuất hiên thì đạo hàm

- Khi xuất hiện phương trình : f’(x).H(f(x)) =0 thì khi đó lấy nguyên hàm 2 vế Để dễ

làm có thể tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến: u=f(x)

Hiện vẫn còn một số dạng toán tổng quát nữa mình chưa kịp tổng hợp Các em và bạn

bè đọc tài liệu nếu thấy bổ ích thì chia sẻ giúp mình Mình sẽ viết nốt những dạng còn lại mà tự bản thân mình rút ra được và chia sẻ đến mọi người