hướng dẫn giải một số dạng toán đồ thị hàm ẩn

GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Contents I-DẠNG 1: DẤU HIỆU ĐỒ THỊ TƯƠNG GIAO TRỤC HOÀNH ĐỊNH LÝ 1: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm K ĐỊNH LÝ 2: Cho hàm số y = f (x ) xác định, liên tục khoảng (a;b ) x Ỵ (a;b ) II-DẠNG 2: TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ Tịnh tiến theo phương hoành Tịnh tiến theo phương tung Tịnh tiến theo phương hoành tung III-DẠNG 3: HÀM HỢP: IV-DẠNG 4: ĐỒ THỊ y = f ¢ (x ) TƯƠNG GIAO VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG KHÁC y = h(x ) 13 V-DẠNG 5: SO SÁNH GIÁ TRỊ f (a ); f (b); f (c) 18 VI-DẠNG 6: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 22 CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM ẨN I-DẠNG 1: DẤU HIỆU ĐỒ THỊ TƯƠNG GIAO TRỤC HOÀNH ĐỊNH LÝ 1: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm K a Nếu f  (x ) > 0, "x ẻ K thỡ hàm số y = f (x ) đồng biến K b Nếu f ¢ (x ) < 0, "x Î K hàm số y = f (x ) nghịch biến K Chú ý: Xét đồ thị hàm số y = f ' (x ) sau GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN f ¢ (x ) = đồ thị có điểm chung với trục hồnh suy nghiệm x = nghiệm đơn, kép(bội chẵn) f ¢ (x ) > đồ thị nằm trục hoành suy khoảng đồng biến tương ứng với phần đồ thị f ¢ (x ) < đồ thị nằm trục hồnh suy khoảng nghịch biến tương ứng với phần đồ thị Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) ta ta nhận thấy: y= f ¢ (x ) =  x = -1  x = giao điểm đồ thị với trục Ox f ¢ (x ) > x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số g = f ¢ (x ) nằm phía trục hồnh Khi x < -  x > f ¢ (x ) < x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số g = f ¢ (x ) nằm phía trục hồnh Khi - < x < Bảng biến thiên hàm số y = f (x ) x – ∞  y' ‐1  +   0  2  –   0  + ∞  +     + ∞  y – ∞    Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) ta ta nhận thấy: y= f ¢ (x ) =  x = a  x = b  x = c giao điểm đồ thị với trục Ox nghiệm đơn f ¢ (x ) > x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số g = f ¢ (x ) nằm phía trục hồnh GV: PHAN HUY HỒNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Khi a < x < b; x > c f ¢ (x ) < khì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số g = f ¢ (x ) nằm phía trục hoành Khi x < a;b < x < c Bảng biến thiên hàm số y = f (x ) x – ∞  y' a  –   0  b  +   + ∞  0  c  –   0    + ∞  +   + ∞  y     ĐỊNH LÝ 2: Cho hàm số y = f (x ) xác định, liên tục khoảng (a;b ) x Ỵ (a;b ) Nếu hàm số y = f (x ) có đạo hàm khoảng (a;b ) đạt cực trị x f ¢ (x ) đổi dấu x qua x Từ định lý ta có: a Nếu hàm số y = f (x ) đạt cực đại điểm x f ¢ (x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x b Nếu hàm số y = f (x ) đạt cực tiểu điểm x f ¢ (x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x Chú ý: Xét đồ thị hàm số y = f ' (x ) sau Chú ý:  Đồ thị cắt trục hồnh gọi nghiệm đơn  Đồ thị tiếp xúc trục hồnh gọi nghiệm kép (nghiệm bội chẵn)  Qua nghiệm đơn f ¢ (x ) đổi dấu, qua nghiệm kép khơng đổi dấu  Nghiệm đơn xác định cực trị Nghiệm kép(bội chẵn) không cực trị GV: PHAN HUY HỒNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN f ¢ (x ) = đồ thị có điểm chung với trục hoành suy nghiệm x = f ¢ (x ) > đồ thị nằm trục hồnh suy khoảng đồng biến f ¢ (x ) < đồ thị nằm trục hồnh suy khoảng nghịch biến Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) ta ta nhận thấy: y= f ¢ (x ) =  x =  x = nghiệm đơn f ¢ (x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x = f ¢ (x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x = Từ ta có kết luận:  Cụ thể x = điểm cực tiểu x = điểm cực đại hàm số Bảng biến thiên hàm số y = f (x ) x – ∞  y' 0  –   0  + ∞  1  +   + ∞  0  –     y   – ∞  Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) ta ta nhận thấy: y= f ¢ (x ) =  x = a  x = b  x = c nghiệm đơn f ¢ (x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x = b f ¢ (x ) đổi dấu từ dương sang âm hai chỗ x qua x = a; x = c GV: PHAN HUY HỒNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Từ ta có kết luận:  Cụ thể x = b điểm cực tiểu x = a; x = c hai điểm cực đại hàm số Bảng biến thiên hàm số y = f (x ) x – ∞  y' a  +   b  0  –   0    c  +   0  + ∞  –     y – ∞    – ∞  II-DẠNG 2: TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ Tịnh tiến theo phương hoành Hàm số y = f ' (x ) có đồ thị (C) hàm số y = f ' (x + a ) có đồ thị (C’) cách tịnh tiến theo phương trục hoành đoạn a Nếu a âm tịnh tiến qua phải a đơn vị ngược lại Ví dụ: Tịnh tiến đồ thị sang phải đơn vị y= y= Tịnh tiến theo phương tung Hàm số y = f ' (x ) có đồ thị (C) hàm số y = f ' (x ) + b có đồ thị (C’) cách tịnh tiến theo phương trục tung đoạn b Nếu b âm tịnh tiến xuống b đơn vị ngược lại Ví dụ : Tịnh tiến lên theo phương trục tung hai đơn vị y= y= GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Tịnh tiến theo phương hoành tung Hàm số y = f ' (x ) có đồ thị (C) hàm số y = f ' (x + a ) + b có đồ thị (C’) cách tịnh tiến theo phương trục trục hoành a đơn vị theo phương trục tung b đơn vị Ví dụ : Tịnh tiến đồ theo phương hoành tung đơn vị y= y= Ví dụ: Cho hàm số y = f (x ) biết hàm số g (x ) = f '(x + 1) có đồ thị hình vẽ bên Tìm điểm cực đại hàm số y = f (x ) Giải Hàm số y = f (x ) có đạo hàm y ' = f '(x ) ta nhận thấy g (x ) = f '(x + 1) hàm số có đồ thị đường cong ta tịnh tiến đồ thị y ' = f '(x ) theo chiều âm trục hoành đoạn từ suy đồ thị y ' = f '(x ) cách tịnh tiến đồ thị g (x ) = f '(x + 1) theo chiều dương trục hoành đơn vị GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Từ đồ thị y ' = f '(x ) ta thấy điểm cực đại hàm số y = f (x ) x = Ví dụ: Cho hàm số y = f (x ) biết hàm số g(x ) = f '(x ) + có đồ thị hình vẽ bên Tìm khồng đồng biến của hàm số y = f (x ) Giải Hàm số y = f (x ) có đạo hàm y ' = f '(x ) ta nhận thấy g(x ) = f '(x ) + hàm số có đồ thị đường cong ta tịnh tiến đồ thị y ' = f '(x ) theo chiều dương trục tung đoạn từ suy đồ thị y ' = f '(x ) hình vẽ bên GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Dựa vào đồ thị hàm số y ' = f '(x ) hàm số y = f (x ) đồng biến hai khoảng (-¥; 0);(2; +¥) Ví dụ: (Trích đề thi thử lần lớp 12 trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2018 – 2019) Cho hàm số y = f (x ) biết hàm số g (x ) = f '(x - 2) + có đồ thị hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f (x ) nghịch biến khoảng khoảng A (-¥;2) B ( ; ) 2 C (2; +¥) D (-1;1) Giải Hàm số y = f (x ) có đạo hàm y ' = f '(x ) ta nhận thấy g (x ) = f '(x - 2) + hàm số có đồ thị đường cong ta tịnh tiến đồ thị y ' = f '(x ) theo chiều dương trục hoành, tung đoạn từ suy đồ thị y ' = f '(x ) hình vẽ bên GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Từ đồ thị hàm số y ' = f '(x ) ta thấy hàm số y = f (x ) nghịch biến khoảng (-1;1) Chọn đáp án D III-DẠNG 3: HÀM HỢP: Từ tính chất đồ thị hàm số y = f ' (x ) suy tính chất hàm số y = f ' (u(x )) Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) ta suy tính chất hàm số h = f ¢ (u(x )) : y= f ¢ (x ) =  x =  x = suy f ¢ (u(x )) =  u(x ) =  u(x ) =  x = ìïu(x ) > f ¢ (x ) > < x < suy f ¢ (u(x )) > 0khi < u(x ) <  ïí Giải x = ùùu(x ) < ợ f  (x ) < x <  x > suy f ¢ (u(x )) < 0khi u(x ) >  u(x ) < Giải x = Xác định nghiệm đơn, nghiệm bội u (x ) cần thiết Lập bảng biến thiên Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) hình vẽ Lập bảng biến thiên hàm số y = f (x + 2) - GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y= Giải Ta tính đạo hàm y = f (x + 2) - 3; y ' = (x + 2)' f ' (x + 2) = f ' (x + 2) biến thiên hàm số y = f (x + 2) - phụ thuộc vào đấu f ' (x + 2) éx + = f ¢ (x ) =  x =  x = suy f ¢ (x + 2) =  êê  x +2 =1 ëê éx = -2 ê êx = -1 nghiệm đơn ëê ìïx > -2  -1 < x < -2 f ¢ (x ) > < x < suy f ¢ (x + 2) > 0khi < x + <  íï ïïx < -1 ỵ f ¢ (x ) < x <  x > suy f ¢ (x + 2) < Trên khoảng lại x – ∞  y' ‐2  –   0  ‐1  +   + ∞  0  + ∞  –   1  y 0  – ∞  Đồ thị minh họa hàm số y = f ¢ (x ); y = f '(x + 2) y= y= ( ) Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) ta suy tính chất hàm số h = f x - + : 10 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y= ( ) Tính đạo hàm hàm số h = f x - + 2; h ' = 2xf '(x - 1) ( ) Sự biến thiên hàm số h = f x2 -1 + phụ thuộc vào dấu giá trị hai hàm số y = x; y = f '(x - 1) éx = Ta có h ' = 2xf '(x - 1) =  êê êë f '(x - 1) = éx =  éx - = nghiệm đơn f ¢ (x ) =  x =  x = suy f ¢ (x - 1) =  êê  êê êëx =  êëx - = ( ) không trùng với nghiệm x = (có thể kết luận hàm số h = f x - + có cực trị) é-1 < x < éx - < ê ¢ ¢ f (x ) < x <  x > suy f x - < 0khi ê  êê êëx < -  x > êëx - > ( ) f ¢ (x ) > khoảng lại Giá trị hàm số y = x đổi dáu từ âm sang dương x qua x = Bảng dấu h ' = 2xf '(x - 1) x - -∞ + h' 0 -1 - + - + +∞ - Từ ta có kết luận: ( ) Hàm số h = f x - + có cực trị x = - 2; x = -1; x = 0; x = 1; x = Cụ thể x = -1; x = điểm cực tiểu x = - 2; x = 0; x = điểm cực đại hàm số Đồ thị minh họa hàm số y = f ¢ (x ); y = f '(x - 1) 11 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y= y= ( ) Hàm số f ¢ x - < âm khaỏng tính Ví dụ: (Trích đề thi thử lần lớp 12 trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2018 – 2019) Cho hàm số y = f (x ) biết hàm số y = f '(x ) có đồ thị hình vẽ bên Tìm m để hàm số y = f (x + m ) có cực trị A m Ỵ (-Ơ;2) B m ẻ [0; 3] C m Î [0; 3) D m Î (-¥; 0) Giải Hàm số y = f (x + m ) có đạo hàm y ' = 2x f '(x + m ) éx = y ' =  2x f '(x + m ) =  êê êë f '(x + m ) = éx + m = ê f '(x + m ) =  êêx + m = 1(n boi chan ) x = đồ thị y = f '(x ) tiếp xúc trục Ox ê êx + m = ë éx = -m Ta cần xét số nghiệm hai phương trình êê êëx = - m éx = -m (1) Để hàm số y = f (x + m ) có cực trị hai phương trình êê có thêm hai nghiệm đơn êëx = - m (2) khác 12 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN ì ì ï-m £ ïm ³ TH 1: ï ï  £ m < phương trình (1) vơ nghiệm nghiệm kép x = , phương í í ï ï 3-m > m đồ thị y = f ¢ (x ) năm đồ thị y = nghĩa x < -  x >  f ¢ (x ) - < ngược lại  f ¢ (x ) - = giao điểm y = f ¢ (x ); y = nghĩa x = -  x = Chú ý: toán cho yêu cầu g = - f ¢ (x ) biện luận ngược lại  - f ¢ (x ) < đồ thị y = f ¢ (x ) năm đồ thị y = nghĩa x < -  x >  - f ¢ (x ) > ngược lại  - f ¢ (x ) = giao điểm y = f ¢ (x ); y = nghĩa x = -  x = Xét đồ thị hình bên hai hàm y = f ¢ (x ); y = x 13 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y=x y = f '(x )   Từ đồ thị ta nhận xét dấu g = f ¢ (x ) - x  f ¢ (x ) - x > đồ thị y = f ¢ (x ) nằm phía đồ thị y = x nghĩa - < x <  x >  f ¢ (x ) - x < ngược lại  f ¢ (x ) - x = x = -  x =  x = giao điểm hai đồ thị y = f ¢ (x ); y = x Chú ý: toán cho yêu cầu g = h(x ) - f ¢ (x ) biện luận ngược lại giống phần Ví dụ: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) hình bên y = f '(x )   lập bảng biến thiên hàm số g (x ) = f (x ) - x , Giải Ta có g ' (x ) = f ' (x ) - g ' (x ) =  f ' (x ) - =  f ' (x ) = Vẽ thêm đường thẳng y = ta có đồ thị bên 14 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y = f '(x )   Dựa vào đồ thị ta có: g ' = f ' (x ) - =  x = -1  x =  x = g ' = f ' (x ) - âm -1 < x < 1;1 < x < dương vói x < -1; x > Bảng biến thiên Ví dụ: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) hình bên y = f '(x )   Lập bảng biến thiên hàm số g (x ) = f (x ) - x Giải 15 GV: PHAN HUY HỒNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Ta có g ¢ (x ) = f ¢ (x ) - 2x ; g ¢ (x ) =  f ¢ (x ) = x Vẽ thêm đường thẳng y = x ta đồ thị hình bên y=x y = f '(x )   éx = -2 ê Dựa vào đồ thị, suy g ¢ (x ) =  êêx = ê êëx = g ¢ (x ) = f ¢ (x ) - 2x dương -2 < x < 2; x > âm x < -2; < x < Bảng biến thiên x – ∞  g' ‐2  –   0  2  +   0  + ∞  4  –   0  + ∞  +     + ∞  g      Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f   x  hình vẽ: y= Lập bảng biến thiên hàm số g (x ) = f (x ) + 2x - 4x - Trên [ - 5; 5] Giải 16 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Tính g '(x ) = f '(x ) + 6x - Ta có : g '(x ) =  f '(x ) - (-6x + 4) =  f '(x ) - (-3x + 2) =  f '(x ) = -3x + Vẽ thêm đồ thị hàm số y = -3x + Từ đồ thị bên ta thấy đồ thị y = f '(x ); y = -3x + Có điểm chung x = (nghiệm bội chẵn) đồ thị y = -3x + nằm đồ thị y = f '(x ), "x Ỵ (- 5; 5) nên ta có: g '(x ) =  f '(x ) - (6x + 4) = x = thuộc khoảng(- 5; 5) g '(x ) ³ "x Ỵ (- 5; 5) có bảng biến thiên x g' –     0    +        +    0 g  Ví dụ: ĐỀ CHÍNH THỨC 2018 –ĐỀ 103 Cho hai hàm số y = f (x ) , y = g (x ) Hai hàm số y = f ¢ (x ) y = g ¢ (x ) có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số y = g ¢ (x ) y y  f x    10   O   1011 y  g x  17 x GV: PHAN HUY HỒNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN ỉ 3ư Hàm số h (x ) = f (x + 4) - g ỗỗỗ2x - ữữữ ng bin trờn khong no di õy? ứữ ố A ổ 31ữử ỗỗ5; ữ çè ÷÷ø ỉ9 B çç ; 3÷÷÷ çè ø÷ ỉ 31 C çç ; + Ơữữữ ữứ ỗố D ổ 25 ửữ ỗỗ6; ữ ỗố ữữứ Gii ổ 3ử Tớnh h ' (x ) = f ' (x + 4) - 2g ' ỗỗỗ2x - ữữữ ứữ ố ổ 3ử Để h’ (x ) ³ giá trị f ’ (x + 4) phải lớn hai ln giỏ tr g ỗỗỗ2x - ữữữ ữứ ố Từ đồ thị ta nhận thấy hàm số y = g ' (x ) ln có giá trị nhỏ 5, hàm số y = f ¢ (x ) cần có giá trị lớn 10 ta làm sau Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) A (3;10); B(a;10) , a Ỵ (8;10) ïìï f (x + 4) ³ 10, £ x + £ a ïìï f (x + 4) ³ 10, - £ x < 6; voi < a < 10 ïï ï  ùớ ỗổ Khi ú ta cú ổỗ ửữ 3ử 25 ùùg ỗ2x - ữữ Ê 5, Ê 2x - Ê 11 ùùg ỗ2x - ữữữ Ê 5, Ê x Ê ỗ ỗ ùợù ố ùợù ố ữứ 2 ữứ 4 ỉ 3ư Do h ¢ (x ) = f  (x + 4) - 2g  ỗỗỗ2x - ÷÷÷ > £ x < ø÷ è Vì ta loại đáp án A, C, D Chỉ đáp án B thỏa kq £ x < toán V-DẠNG 5: SO SÁNH GIÁ TRỊ f (a); f (b); f (c) Dựa vào bàng biến thiên dòng cuối miền giá trị Ta xét giá trị cực đại, cực tiểu dựa vào điều kiện đề để so sánh Ví dụ: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm f ¢ (x ) Đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) cho hình vẽ bên Biết f (0) + f (3) = f (2) + f (5) So sánh giá trị f (0); f (2); f (5) Giải Từ đồ thị ta có bảng biến thiên éëê 0; 5ùúû 18 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Từ bảng biến thiên ta thấy f (2) nhỏ ba giá trị cần so sánh Mà đề cho f (0) + f (3) = f (2) + f (5)  f (0) - f (5) = f (2) - f (3) <  f (0) < f (5) Từ ta có kết quả: f (2) < f (0) < f (5) Chú ý: muốn so sánh hai giá trị ta dồn hai giá trị vế để so sánh Ví dụ: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm f ¢ (x ) Đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) cho hình vẽ bên Biết f (0) + f (1) - f (2) = f (4) - f (3) So sánh giá trị f (0); f (2); f (4) Giải Từ đồ thị suy bảng biến thiên é 0; 4ù êë úû Dựa vào BBT ta có f (2) lớn ba giá trị cần so sánh Ta lại có: f (1) < f (2); f (3) < f (2)  f (1) + f (3) < f (2)  f (2) - f (1) - f (3) > f (0) + f (1) - f (2) = f (4) - f (3)  f (0) - f (4) = f (2) - f (3) - f (1) >  f (0) > f (4) Từ ta có kết quả: f (4) < f (0) < f (2) Ví dụ: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm  , đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) hình vẽ bên So sánh giá trị f (a ); f (b;); f (c) 19 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y y= f   x a O  c b x Giải Từ đồ thị hàm số y = f ' (x ) ta có bảng biến thiên sau: x -¥ y, - b a + +¥ c - + f (b ) y f (a ) f (c ) Dựa vào bảng biến thiên f (b ) lớn giá trị đề yêu cầu so sánh Bây ta cần so sánh hai giá trị lại Trong khơng so sánh hai ví dụ ta phải dựa vào dấu hiệu diện tích hình phẳng Theo quan sát hình vẽ b c a b ò f ' (x )dx > 0; ò f ' (x )dx < điện tích hình phẳng giới hạn éêëa;b ùúû lớn hình phẳng giới hạn éêëb; c ùúû nên Ta có f (c ) - f (a ) = c ò f ' (x )dx = a b ò c f ' (x )dx + ò f ' (x )dx >  f (c ) > f (a ) a b Vậy f (a ) < f (c ) < f (b ) Ví dụ : Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm f ¢ (x ) liên tục  đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) hình vẽ bên So sánh giá trị f (-1); f (2); f (6) y = f '(x )   20 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Từ đồ thị hàm số y = f ' (x ) ta có bảng biến thiên sau: -2 x -1 + y, - + f (-1) f (6) y f (2) Ta có: f (2) nhỏ giá trị nên cần so sánh hai giá trị lại Ta có: f (6) - f (-1) = ò f ' (x )dx = -1 ò -1 f ' (x )dx + ò f ' (x )dx >  f (6) > f (-1) Vậy f (2) < f (-1) < f (6) Ví dụ Trích đề thi quốc gia 2017 Cho hàm số y = f (x ) Đồ thị hàm số y = f ¢(x ) hình bên Đặt h(x ) = f (x ) - x Mệnh đề ?                   A h(4) = h(-2) > h(2) B h(4) = h(-2) < h(2) C h(2) > h(4) > h(-2) D h(2) > h(-2) > h(4) Giải Tính đạo hàm h '(x ) = f '(x ) - 2x h '(x ) =  2f '(x ) - 2x =  f '(x ) = x vẽ thêm đường thẳng y = x vào đồ thị hình bên               21     GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN h '(x ) =  x = -2; x = 2; x = giao điểm đường cong đường thẳng hình h '(x ) >  f '(x ) - 2x > khoảng (-2;2);(4; +¥) h '(x ) <  f '(x ) - 2x < khoảng lại Bảng biến thiên x – ∞  y' ‐2  –   0  2  +   4  0  –   0  h(2) + ∞  + ∞  +   + ∞  y h(-2) h(4) Từ bảng biến thiên ta nhận thấy h (2) lớn giá trị cực trị Chỉ cần so sánh hai giá trị cực tiểu lại Ta có: h(4) - h(-2) = ò -2 h '(x )dx = ò -2 h '(x )dx + ò h '(x )dx >  h(4) > h(-2) Vậy thứ tự là: h(2) > h(4) > h(-2) đáp án C VI-DẠNG 6: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ ìï f (x ) x >  Hàm số y = f x = ïí có đồ thị (C’) cách: ïï f (-x ) x £ ïỵ ( ) + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy bỏ phần (C) nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy ìï f (x ) f (x ) > có đồ thị (C’) cách:  Hàm số y = f (x ) = ïí ïï-f (x ) f (x ) £ ïỵ + Giữ ngun phần đồ thị (C) nằm Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm Ox qua Ox bỏ phần đồ thị (C) nằm Ox Ví dụ: Cho hàm số y = f (x ) có đạo hàm  đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm y = f ' (x ) ( ) Hàm số g (x ) = f x + 2018 có điểm cực trị ? y = f '(x )   Giải 22 GV: PHAN HUY HỒNG Ta có f ' (x ) = có nghiệm thực x = a < 0; x = b > 0; x = c > DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN f ' (x ) > khoảng (a ;b ) (c; +¥) f ' (x ) < khoảng (-¥; a ) (b; c ) Bảng biến thiên x – ∞  y' a  –   0  b  +   + ∞  0  c  –   0  + ∞  +     + ∞  y     Vì hàm số y = f (x ) có cực trị có cực trị có hồnh độ dương ( ) Thực biến đổi đồ thị hàm số dạng y = f x Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung, lấy đơi xứng ( ) phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung (hình vẽ đây) đồ thị hàm số y = f x y = f(x )  ( ) ( ) Ta thấy đồ thị hàm số y = f x có cực trị suy đồ hàm số g (x ) = f x + m có cực trị với giá trị m ( ) Vậy hàm số g (x ) = f x + 2018 có cực trị Ví dụ: Cho hàm số y = f (x ) xác định, liên tục  có f (-2) < đồ thị hàm số y = f ¢ (x ) hình vẽ bên Hàm số g (x ) = f (x ) có cực trị y = f '(x )   Giải 23 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số f ¢ (x ) = có hai nghiệm là: x = -2; x = f ¢ (x ) =  x = -2  x = f ¢ (x ) > x < -2; x > f ¢ (x ) < khoảng lại Bảng biến thiên x – ∞  y' ‐2  +   2  0  –   0  + ∞  +   f(‐2)