CƠ sở lý THUYẾT đồ THỊ hàm ẩn

GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Contents I-DẠNG 1: DẤU HIỆU ĐỒ THỊ TƯƠNG GIAO TRỤC HOÀNH ĐỊNH LÝ 1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm K ĐỊNH LÝ 2: Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục khoảng ( a;b) x0 Ỵ ( a;b) II-DẠNG 2: TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ Tịnh tiến theo phương hoành Tịnh tiến theo phương tung Tịnh tiến theo phương hoành tung .5 III-DẠNG 3: HÀM HỢP: IV-DẠNG 4: ĐỒ THỊ y = f ¢( x) V-DẠNG 5: SO SÁNH GIÁ TRỊ TƯƠNG GIAO VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG KHÁC y = h(x) f (a); f (b); f (c) 13 VI-DẠNG 6: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ .17 CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÀM ẨN Chắc chắn tài liệu cịn nhiều thiếu sót Mong q thầy đồng nghiệp góp ý bổ sung thêm I-DẠNG 1: DẤU HIỆU ĐỒ THỊ TƯƠNG GIAO TRỤC HOÀNH ĐỊNH LÝ 1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm K a Nếu f ¢( x) > 0, " x Ỵ K hàm số y = f ( x) đồng biến K b Nếu f ¢( x) < 0, " x Ỵ K hàm số y = f ( x) nghịch biến K Chú ý: Xét đồ thị hàm số y = f '( x) sau GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN f ¢( x) = đồ thị có điểm chung với trục hồnh suy nghiệm x = nghiệm đơn, kép(bội chẵn) f ¢( x) > đồ thị nằm trục hoành suy khoảng đồng biến tương ứng với phần đồ thị f ¢( x) < đồ thị nằm trục hồnh suy khoảng nghịch biến tương ứng với phần đồ thị Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x) ta ta nhận thấy: y= f ¢( x) = Û x = - 1Ú x = 2 f ¢( x) > giao điểm đồ thị với trục Ox g = f ¢( x) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hoành Khi x < - 1Ú x > f ¢( x) < g = f ¢( x) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh Khi - < x < Bảng biến thiên hàm x –∞ y' -1 + – +∞ + +∞ y –∞ số y = f ( x) GV: PHAN HUY HỒNG Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y = f ¢( x) ta ta nhận thấy: y= f ¢( x) = Û x = a Ú x = b Ú x = c f ¢( x) > giao điểm đồ thị với trục Ox nghiệm đơn g = f ¢( x) x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hoành Khi a < x < b;x > c f ¢( x) < g = f ¢( x) khì x thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trục hồnh Khi x < a;b < x < c Bảng biến thiên hàm số x y = f ( x) –∞ a y' y – + c – +∞ + +∞ +∞ ĐỊNH LÝ 2: Cho hàm số Nếu hàm số b y = f ( x) y = f ( x) xác định, liên tục khoảng có đạo hàm khoảng ( a;b) ( a;b) đạt cực trị ti x0 v thỡ x0 ẻ ( a;b) f Â( x) đổi dấu xquax0 Từ định lý ta có: a Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực đại điểm b Nếu hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu điểm xquax0 Chú ý: Xét đồ thị hàm số y = f '( x) sau x0 x0 f ¢( x) f ¢( x) đổi dấu từ dương sang âm xquax0 đổi dấu từ âm sang dương GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Chú ý:  Đồ thị cắt trục hoành gọi nghiệm đơn  Đồ thị tiếp xúc trục hồnh gọi nghiệm kép (nghiệm bội chẵn)  Qua nghiệm đơn f ¢( x) đổi dấu, cịn qua nghiệm kép khơng đổi dấu  Nghiệm đơn xác định cực trị Nghiệm kép(bội chẵn) không cực trị f ¢( x) = đồ thị có điểm chung với trục hồnh suy nghiệm x = f ¢( x) > đồ thị nằm trục hồnh suy khoảng đồng biến f ¢( x) < đồ thị nằm trục hồnh suy khoảng nghịch biến Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x) ta ta nhận thấy: y= f ¢( x) = Û x = Ú x = f ¢( x) đổi dấu từ âm sang dương xquax0 = f ¢( x) đổi dấu từ dương sang âm xquax0 = nghiệm đơn Từ ta có kết luận:  Cụ thể x = điểm cực tiểu x = điểm cực đại hàm số GV: PHAN HUY HOÀNG y = f ( x) Bảng biến thiên hàm số x –∞ y' DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN – + +∞ – +∞ y –∞ Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x) ta ta nhận thấy: y= f ¢( x) = Û x = a Ú x = b Ú x = c nghiệm đơn f ¢( x) đổi dấu từ âm sang dương xquax0 = b f ¢( x) đổi dấu từ dương sang âm hai chỗ xquax0 = a;x0 = c Từ ta có kết luận:  Cụ thể x = b điểm cực tiểu x = a;x = c hai điểm cực đại hàm số y = f ( x) Bảng biến thiên hàm số x –∞ y' a + b – c + +∞ – y –∞ –∞ II-DẠNG 2: TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ Tịnh tiến theo phương hoành Hàm số y = f '( x) có đồ thị (C) hàm số trục hoành đoạn a y = f '( x + a) Nếu a âm tịnh tiến qua phải Ví dụ: Tịnh tiến đồ thị sang phải đơn vị có đồ thị (C’) cách tịnh tiến theo phương a đơn vị ngược lại GV: PHAN HUY HOÀNG y= DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y= Tịnh tiến theo phương tung Hàm số y = f '( x) có đồ thị (C) hàm số trục tung đoạn b y = f '( x) + b có đồ thị (C’) cách tịnh tiến theo phương Nếu b âm tịnh tiến xuống b đơn vị ngược lại Ví dụ : Tịnh tiến lên theo phương trục tung hai đơn vị y= y= Tịnh tiến theo phương hoành tung Hàm số y = f '( x) có đồ thị (C) hàm số phương trục trục hồnh a y = f '( x + a) + b đơn vị theo phương trục tung Ví dụ : Tịnh tiến đồ theo phương hồnh tung đơn vị b có đồ thị (C’) cách tịnh tiến theo đơn vị GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y= y= Ví dụ: Cho hàm số y = f (x) biết hàm số g(x) = f '(x + 1) có đồ thị hình vẽ bên Tìm điểm cực đại hàm số y = f (x) Giải Hàm số y = f (x) có đạo hàm y ' = f '(x) ta nhận thấy g(x) = f '(x + 1) hàm số có đồ thị đường cong ta tịnh tiến đồ thị y ' = f '(x) theo chiều âm trục hoành đoạn từ suy đồ thị y ' = f '(x) cách tịnh tiến đồ thị g(x) = f '(x + 1) theo chiều dương trục hoành đơn vị Từ đồ thị y ' = f '(x) ta thấy điểm cực đại hàm số y = f (x) x = GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Ví dụ: Cho hàm số y = f (x) biết hàm số g(x) = f '(x) + 2có đồ thị hình vẽ bên Tìm khồng đồng biến của hàm số y = f (x) Giải Hàm số y = f (x) có đạo hàm y ' = f '(x) ta nhận thấy g(x) = f '(x) + 2là hàm số có đồ thị đường cong ta tịnh tiến đồ thị y ' = f '(x) theo chiều dương trục tung đoạn từ suy đồ thị y ' = f '(x) hình vẽ bên Dựa vào đồ thị hàm số y ' = f '(x) hàm số y = f (x) đồng biến hai khoảng (- ¥ ;0);(2;+¥ ) Ví dụ: (Trích đề thi thử lần lớp 12 trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2018 – 2019) Cho hàm số y = f (x) biết hàm số g(x) = f '(x - 2) + có đồ thị hình vẽ bên GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Hỏi hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng khoảng A (- ¥ ;2) ( ; ) B 2 C (2; +¥ ) D (- 1;1) Giải Hàm số y = f (x) có đạo hàm y ' = f '(x) ta nhận thấy g(x) = f '(x - 2) + hàm số có đồ thị đường cong ta tịnh tiến đồ thị y ' = f '(x) theo chiều dương trục hoành, tung đoạn từ suy đồ thị y ' = f '(x) hình vẽ bên Từ đồ thị hàm số y ' = f '(x) ta thấy hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (- 1;1) Chọn đáp án D III-DẠNG 3: HÀM HỢP: Từ tính chất đồ thị hàm số Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f '( x) y = f ¢( x) suy tính chất hàm số y = f '( u(x)) ta suy tính chất hàm số h = f ¢( u(x)) : GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y= f ¢( x) = Û x = Ú x = suy f ¢( u(x)) = Û u(x) = Ú u(x) = Þ x = ìï u(x) > f ¢( u(x)) > 0khi < u(x) < Û ïí ïï u(x) < f ¢( x) > ỵ < x < suy Giải x = f ¢( x) < x< 0Ú x > suy f ¢( u(x)) < 0khi u(x) > Ú u(x) < Giải x = Xác định nghiệm đơn, nghiệm bội u ( x) cần thiết Lập bảng biến thiên Ví dụ: Từ đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình vẽ Lập bảng biến thiên hàm số y = f ( x + 2) - y= Giải Ta tính đạo hàm y = f ( x + 2) - 3; y ' = (x + 2)' f '( x + 2) = f '( x + 2) y = f ( x + 2) - phụ thuộc vào đấu biến thiên hàm số f '( x + 2) éx + = f ¢( x + 2) = Û ê êx + = Û f ¢( x) = Û x = Ú x = ê ë suy éx = - ê êx = - ê ë nghiệm đơn ìï x > - f ¢( x + 2) > 0khi < x + < Û ïí Þ - 1< x < - ïï x < - f Â( x) > ợ < x < suy 10 GV: PHAN HUY HỒNG f ¢( x) < x < 0Ú x > x DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN suy –∞ y' y f ¢( x + 2) < Trên khoảng lại -2 – -1 + +∞ +∞ – Đồ thị minh họa hàm số –∞ y = f ¢( x) ;y = f '(x + 2) y= Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x) y= ta suy tính chất hàm số ( ) h = f x2 - + : y= Tính đạo hàm hàm số Sự biến thiên hàm số ( ) h = f x2 - + 2;h ' = 2xf '(x2 - 1) ( ) h = f x2 - + phụ thuộc vào dấu giá trị hai hàm số éx = h ' = 2xf '(x2 - 1) = Û ê êf '(x2 - 1) = ê ë Ta có 11 y = x;y = f '(x2 - 1) GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN éx - = f ¢ x2 - = Û ê êx2 - = Û f ¢( x) = Û x = Ú x = ê ë suy ( ) khơng trùng với nghiệm x = (có thể kết luận hàm số ( f ¢( x) > ) h = f x2 - + éx2 - < f ¢ x2 - < 0khi ê êx2 - > Û x < 0Ú x > f ¢( x) < ê ë suy ( éx = ±1 ê ê x=± ê ë nghiệm đơn ) có cực trị) é- < x < ê ê x ê ë khoảng lại xquax = Giá trị hàm số y = x đổi dáu từ âm sang dương Bảng dấu h ' = 2xf '(x2 - 1) Từ ta có kết luận: Hàm số ( ) h = f x2 - + điểm cực tiểu x = Đồ thị minh họa hàm số có cực trị x = - 2;x = - 1;x = 0;x = 1;x = Cụ thể x = - 1; x = 2; x = 0; x = điểm cực đại hàm số y = f ¢( x) ;y = f '(x2 - 1) y= y= Hàm số ( ) f ¢ x2 - < âm khaỏng tính Ví dụ: (Trích đề thi thử lần lớp 12 trường chuyên Vĩnh Phúc năm 2018 – 2019) Cho hàm số y = f (x) biết hàm số y = f '(x) có đồ thị hình vẽ bên 12 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Tìm m để hàm số y = f (x + m) có cực trị A m Ỵ (- Ơ ;2) B m ẻ [0;3] C m Î [0;3) D m Î (- ¥ ;0) Giải 2 Hàm số y = f (x + m) có đạo hàm y ' = 2x.f '(x + m) éx = y ' = Û 2x.f '(x2 + m) = Û ê êf '(x2 + m) = ê ë éx2 + m = ê 2 f '(x + m) = Û ê êx + m = 1(n0 boi chan) ê2 êx + m = ë x = đồ thị y = f '(x) tiếp xúc trục Ox éx2 = - m ê êx2 = - m ê Ta cần xét số nghiệm hai phương trình ë éx2 = - m (1) ê ê 2 êx = - m (2) Để hàm số y = f (x + m) có cực trị hai phương trình ë có thêm hai nghiệm đơn khác ìï - m £ ï Û í ïï - m > TH 1: ỵ ìï m ³ ï Û 0£ m < í ïï m < ỵ phương trình (1) vơ nghiệm nghiệm kép x = , phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác khơng 2x.f '(x + m) = có nghiệm đơn nên có cực trị ìï - m > ï Û í ïï - m £ ỵ TH 2: ìï m < ï í ïï m ³ ỵ khơng có m thỏa u cầu toán Vậy chọn C IV-DẠNG 4: ĐỒ THỊ y = f ¢( x) TƯƠNG GIAO VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG KHÁC y = h(x) Xét đồ thị hình bên hai hàm y = f ¢( x) ;y = 13 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y=3 y = f '(x) Từ đồ thị ta nhận xét dấu g = f ¢( x) -  f ¢( x) - > đồ thị  f ¢( x) - < ngược lại  f ¢( x) - = giao điểm Chú ý: toán cho yêu cầu y = f ¢( x) năm đồ thị y = nghĩa x < - 1Ú x > y = f ¢( x) ;y = g = - f ¢( x)  - f ¢( x) < đồ thị y = f ¢( x)  - f ¢( x) > ngược lại  - f ¢( x) = giao điểm Xét đồ thị hình bên hai hàm nghĩa x = - 1Ú x = biện luận ngược lại năm đồ thị y = nghĩa x < - 1Ú x > y = f ¢( x) ;y = nghĩa x = - 1Ú x = y = f ¢( x) ;y = x y=x y = f '(x) Từ đồ thị ta nhận xét dấu g = f ¢( x) - x  f ¢( x) - x > đồ thị y = f ¢( x)  f ¢( x) - x < ngược lại nằm phía đồ thị y = x nghĩa - < x < Ú x > 14 GV: PHAN HUY HỒNG  f ¢( x) - x = x = - Ú x = Ú x = giao điểm hai đồ thị Chú ý: toán cho yêu cầu Ví dụ: Cho hàm số DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y = f ( x) g = h(x) - f ¢( x) biện luận ngược lại giống phần y = f ¢( x) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số hình bên y = f '(x) lập bảng biến thiên hàm số g( x) = f ( x) - x, Giải Ta có g '( x) = f '( x) - g '( x) = Û f '( x) - = Û f '( x) = Vẽ thêm đường thẳng y = ta có đồ thị bên y = f '(x) Dựa vào đồ thị ta có: g ' = f '( x) - = Û x = - 1Ú x = 1Ú x = g ' = f '( x) - âm y = f ¢( x) ;y = x - < x < 1;1 < x < dương vói Bảng biến thiên 15 x < - 1;x > GV: PHAN HUY HỒNG Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x) DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y = f ¢( x) có đạo hàm liên tục ¡ Đồ thị hàm số hình bên y = f '(x) Lập bảng biến thiên hàm số g( x) = 2f ( x) - x2 Giải Ta có g¢( x) = 2f ¢( x) - 2x; g¢( x) = Û f ¢( x) = x Vẽ thêm đường thẳng y = x ta đồ thị hình bên y=x y = f '(x) éx = - ê g¢( x) = Û ê êx = ê x=4 ê ë Dựa vào đồ thị, suy g¢( x) = 2f ¢( x) - 2x dương - < x < 2; x > âm x < - 2; < x < Bảng biến thiên x –∞ g' g Ví dụ: Cho hàm số -2 – + – +∞ y  f  x có đồ thị +∞ + +∞ y  f  x hình vẽ: 16 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y= Lập bảng biến thiên hàm số g(x) = 2f (x) + 2x - 4x - Trên [ - 5; 5] Giải Tính g '(x) = 2f '(x) + 6x - 2 Ta có : g '(x) = Û 2f '(x) - (- 6x + 4) = Û f '(x) - (- 3x + 2) = Û f '(x) = - 3x + 2 Vẽ thêm đồ thị hàm số y = - 3x + Từ đồ thị bên ta thấy đồ thị y = f '(x); y = - 3x2 + 2 đồ thị y = - 3x + 2nằm đồ thị y = f '(x), " x Ỵ (- Có điểm chung x = 0(nghiệm bội chẵn) 5; 5) nên ta có: g '(x) = Û 2f '(x) - (6x2 + 4) = x = thuộc khoảng (- 5; 5) " x Ỵ (- g '(x) ³ biến thiên x g' g + + 17 5; 5) có bảng GV: PHAN HUY HỒNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN Ví dụ: ĐỀ CHÍNH THỨC 2018 –ĐỀ 103 Cho hai hàm số y = g¢( x) y = f ( x) y = g( x) y = f ¢( x) , Hai hàm số có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số y = g¢( x) y  f  x y 10 O x 1011 y  g  x  æ 3ư ÷ h ( x) = f ( x + 4) - gỗ ỗ2x - ữ ữ ữ ỗ 2ứ è Hàm số đồng biến khoảng đây? ổ 31ử ỗ ữ ỗ5; ữ ữ ữ ỗ 5ứ ố A ổ ỗ ữ ỗ ; 3ữ ữ ữ ỗ ứ ố B C ổ 31 ỗ ỗ ; +Ơ ỗ ố5 ữ ữ ữ ữ ứ ổ 25ữ ỗ ỗ6; ữ ữ ỗ 4ữ ứ D ố Gii ổ 3ử ÷ h '( x) = f '( x + 4) - 2g 'ỗ ỗ2x - ữ ữ ữ ỗ 2ứ ố Tớnh ổ 3ử ữ gỗ ỗ2x - ữ ữ ÷ h’( x) ³ f ’( x + 4) ç 4ø è Để giá trị phải lớn hai lần giá trị Từ đồ thị ta nhận thấy hàm số y = g '( x) có giá trị nhỏ 5, hàm số y = f ¢( x) cần có giá trị lớn 10 ta làm sau y = f ¢( x) A ( 3;10) ;B(a;10) a Î ( 8;10) Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số , ìï f ( x + 4) ³ 10,khi £ x + Ê a ùù ùớ ổ ị 3ử ữ ùù gỗ ữ x Ê 5,khi Ê 2x Ê 11 ỗ ữ ỗ ữ ù ố 2ứ Khi ta có ïỵ ìï f ( x + 4) ³ 10,khi - £ x < 6;voi < a < 10 ïï ïí ỉ 3÷ 25 ùù gỗ ữ x Ê 5,khi Ê x Ê ỗ ữ ỗ ùùợ ố 2ữ 4 ứ ổ 3ữ ữ hÂ( x) = f Â( x + 4) - 2gÂỗ x >0 ỗ ữ Ê x Þ ff( 0) > ( 4) ff(4) < (0) < f (2) y = f ( x) y = f ¢( x) có đạo hàm ¡ , đồ thị hàm số hình vẽ bên So sánh giá trị f (a); f (b;); f (c) y f  x a O y= c b x Giải y = f '( x) Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên sau: x - ¥ a b , y + - +¥ c + f ( b) y f ( a) Dựa vào bảng biến thiên f ( b) f ( c) lớn giá trị đề yêu cầu so sánh Bây ta cần so sánh hai giá trị cịn lại Trong khơng so sánh hai ví dụ ta phải dựa vào dấu hiệu diện tích hình phẳng Theo quan sát hình vẽ b c a b ò f '( x)dx > 0; ò f '( x)dx < éa;bù é b;cù ê û úlớn hình phẳng giới hạn ë ê únên û ë 20 điện tích hình phẳng giới hạn GV: PHAN HUY HỒNG Ta có Vậy DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN c b c a a b f ( c) - f ( a) = ò f '( x)dx = ò f '( x)dx + ò f '( x)dx > Þ f ( c) > f ( a) f ( a) < f ( c) < f ( b) Ví dụ : Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ¢( x) y = f ¢( x) liên tục ¡ đồ thị hàm số hình ff(- 1); (2); f (6) vẽ bên So sánh giá trị y = f '(x) Từ đồ thị hàm số x y = f '( x) ta có bảng biến thiên sau: - , - + y - f ( - 1) + f ( 6) y f ( 2) Ta có: f ( 2) nhỏ giá trị nên cần so sánh hai giá trị lại ff( 6) - Ta có: Vậy 6 - - ( - 1) = ò f '( x)dx = ò f '( x)dx + ò f '( x)dx > Þ ff( 6) > ( - 1) ff(2) < (- 1) < f (6) ¢ Ví dụ Trích đề thi quốc gia 2017 Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Đặt h(x) = 2f (x) - x2 Mệnh đề ? 21 GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN A h(4) = h(- 2) > h(2) B h(4) = h(- 2) < h(2) C h(2) > h(4) > h(- 2) D h(2) > h(- 2) > h(4) Giải Tính đạo hàm h '(x) = 2f '(x) - 2x h '(x) = Û 2f '(x) - 2x = Û f '(x) = x vẽ thêm đường thẳng y = x vào đồ thị hình bên h '(x) = Û x = - 2;x = 2;x = giao điểm đường cong đường thẳng hình h '(x) > Û 2f '(x) - 2x > khoảng (- 2;2);(4; +¥ ) h '(x) < Û 2f '(x) - 2x < khoảng lại Bảng biến thiên x –∞ y' y Từ bảng -2 – +∞ + – h(2) + +∞ h(-2) biến +∞ h(4) thiên ta nhận thấy lớn giá trị cực trị Chỉ cần so sánh hai giá trị cực tiểu cịn lại Ta có: - - h(4) - h(- 2) = ò h '(x)dx = ò h '(x)dx + ò h '(x)dx > Û h(4) > h(- 2) Vậy thứ tự là: h(2) > h(4) > h(- 2) đáp án C VI-DẠNG 6: BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ ìï f ( x) x > ï y = f x =í ïï f ( - x) x £ ïỵ  Hàm số có đồ thị (C’) cách: ( ) + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy bỏ phần (C) nằm bên trái Oy 22 h ( 2) GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy ìï f ( x) f ( x) > ï y = f ( x) = í ïï - f ( x) f ( x) £ ïỵ  Hàm số có đồ thị (C’) cách: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm Ox qua Ox bỏ phần đồ thị (C) nằm Ox Ví dụ: Cho hàm số Hàm số y = f ( x) ( ) y = f '( x) có đạo hàm ¡ đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm g( x) = f x + 2018 có điểm cực trị ? y = f '(x) Giải Ta có f '( x) = có nghiệm thực x = a < 0;x = b > 0;x = c > f '( x) > khoảng ( a;b) ( c;+¥ ) f '( x) < khoảng ( - ¥ ;a) ( b;c) x –∞ y' y Vì hàm số y = f ( x) Bảng biến thiên a – b + c – +∞ + +∞ +∞ có cực trị có cực trị có hồnh độ dương Thực biến đổi đồ thị hàm số dạng ( ) Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung, lấy đôi xứng y=f x phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung (hình vẽ đây) đồ thị hàm số 23 ( ) y=f x GV: PHAN HUY HOÀNG DĨ BẤT BIẾN ỨNG VẠN BIẾN y = f(x ) Ta thấy đồ thị hàm số ( ) có cực trị suy đồ hàm số g( x) = f ( x ) + m có cực trị với y=f x giá trị m Vậy hàm số ( ) g( x) = f x + 2018 Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x) hình vẽ bên Hàm số có cực trị f ( - 2) < y = f ¢( x) xác định, liên tục ¡ có đồ thị hàm số g( x) = f (x) có cực trị y = f '(x) Giải Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số f ¢( x) = có hai nghiệm là: x = - 2;x = f ¢( x) = Û x = - Ú x = f ¢( x) > 0khi x < - 2;x > f ¢( x) < khoảng cịn lại Bảng biến thiên x –∞ y' -2 + – f(-2)