một số dạng toán hsg lớp 12 I.Biện luận theo tham số m số nghiệm phơng trình ,hệ phơng trình bất phơng trình : 1.Phơng trình hệ phơng trình: - Cách giải: Đa toán dạng f ( x ) = g (m) ( víi m lµ tham số ) dựa vào miền giá trị hàm số f (x) để biện luận Chú ý: Phơng tr×nh f ( x) = g (m) cã nghiƯm vµ chØ f ( x ) ≤ g (m) ≤ max f ( x) -C¸c vÝ dơ : Câu Tìm m để phơng trình sau có hai nghiƯm thùc ph©n biƯt: x + + − x + ( x + 1)(8 − x ) = m Híng dÉn: Víi ®iỊu kiƯn − ≤ x ≤ XÐt hµm sè f ( x) = x + + − x + ( x + 1)(8 x) đoạn [-1;8] Víi -1 t +1 − t Suy hàm số f (t ) đồng biến khoảng (-1;3) Suy x + − − x = y + − − y ⇔ x = y ; x + + − y = m x + + − x = m, (*) ⇔ (III) y +1 − − y x = y Hay x + − − x = XÐt hµm sè g ( x) = x + + − x , víi x ∈ [−1;3] g (t ) = 2, max g (t ) = 2 Ta cã [ −1; 3] [ −1; 3] Suy ≤ g (t ) ≤ 2 Suy phơng trình (*) có nghiệm ≤ m ≤ 2 Hay hÖ (III) cã nghiƯm vµ chØ ≤ m ≤ 2 VËy (I) cã nghiƯm vµ chØ ≤ m ≤ 2 2 x + xy y = Câu 4.Tìm m ®Ĩ hƯ sau cã nghiƯm: x + xy + y = m 2t + t − = y x Hớng dẫn: Đặt t = y Ta cã , víi t ∈ (−∞ ;−1) ∪ ( ;+∞) t + t + = m y Suy m = t2 + t +1 2t + t − 2.BÊt phơng trình hệ bất phơng trình: - Cách giải: Đa toán dạng f ( x) g ( m) hc f ( x) ≤ g (m) ( víi m lµ tham sè ) vµ dùa vµo miỊn giá trị hàm số f (x) để biện luận Cụ thể: a)Bất phơng trình f ( x) g (m) cã nghiƯm vµ chØ max f ( x) g (m) b)Bất phơng trình f ( x) ≤ g (m) cã nghiƯm vµ chØ f ( x) ≤ g (m) Chó ý: i)Bất phơng trình f ( x) g (m) nghiƯm ®óng víi mäi x ∈ D f ( x ) ≥ g ( m) vµ chØ D ii)Bất phơng trình f ( x) g (m) nghiƯm ®óng víi mäi x ∈ D f ( x ) ≤ g ( m) vµ chØ max D -Các ví dụ: Câu 5.Tìm m để bất phơng trình x x m x − x + − m ≥ cã nghiÖm x ∈ [0;1 + ] Hớng dẫn: Đặt t = x x + , víi ≤ t ≤ Ta cã t − − mt − m ≥ ⇔ m ≤ t2 − (*) t +1 t2 − , víi t ∈ [1;2] ; t +1 t + 2t + 2 f ' (t ) = > , vµ f (1) = , f (2) = (t + 1) XÐt hµm sè f (t ) = Suy bất phơng trình có nghiệm m ≤ max f ( x) ⇔ m ≤ [1; ] Câu 6.Tìm m để bất phơng trình m.2 x +1 + (2m + 1)(3 − ) x + (3 + ) x < nghiƯm ®óng víi mäi x ≤ Híng dÉn: Ta cã : m.2 x +1 + (2m + 1)(3 − ) x + (3 + ) x < ⇔ 2m + (2m + 1)( 3− x 3+ x ) +( ) < 2 2m + − t −1 3+ x +t < ⇔ m < (*) ) , víi < t ≤ , ta cã : 2m + t 2t + 2 − t −1 XÐt hµm sè f (t ) = , víi < t ≤ ; 2t + − 2t − 4t + f ' (t ) = = ⇔ t = − ; f ( − 1) = − ; f (1) = − ; (2t + 2) Đặt t = ( Bảng biến thiên t -1 f'(t) + - 1- f(t) - - Suy bất phơng trình f (t ) > m nghiệm víi mäi < t ≤ vµ chØ f ( x) > m hay m < − ( 0;1] VËy với m < bất phơng trình cho đợc nghiƯm ®óng víi mäi x ≤ x + y = C©u Cho hƯ : x + + y + ≤ m Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn x ≥ Híng dÉn: Víi ®iỊu kiƯn ≤ x 9;0 y Đặt t = x , víi ≤ t ≤ y = 16 − 8t + t Ta cã (II) t + + (4 − t ) + ≤ m XÐt f (t ) = t + + (4 − t ) + đoạn [3;4] Hệ (II) có nghiệm ⇔ min[3; 4f] (t ) ≤ m ⇔ m ≥ + 2 Bài tập: Câu 8)Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: a) x + x + 24 − x + − x = m (§H2008A); b) x + + − x + ( x + 3)(6 − x) = m ; c) − x + x − + (3 − x)( x − 1) = m ; d) − x + x − − (4 − x)( x − 2) = m Câu 9)Tìm m để phơng trình sau cã nghiƯm trªn tËp sè thùc : a) x + + x − − − x − 18 − 3x = 2m + ; b) x + − x = − x + x + m ; Câu 10 Tìm m để phơng trình a) sin x + cos x + cos x = m cã nghiÖm x ∈ − ; 4 π 3π 2 3π π c) cos x cos x cos 3x + m = cos x cã nghiÖm x ∈ − ;− 8 1 π + ) = m cã nghiÖm x ∈ 0; d) sin x + cos x + (tan x + cot x + sin x cos x 2 b) cos x − (2m + 1) cos x + m + = cã nghiÖm x ∈ ; Câu 11 Tìm m để phơng trình sau có nghiệm a) sin x + cos x = m cos x (HSG TØnh 2001-2002) b) m sin x + (m + 1) cos x = c) m ; cos x cos x + sin x = m tan x cos x − sin x Câu 12 Tìm m để phơng trình x2 cã hai nghiƯm thùc ph©n biƯt log 22 x − log x − = m(log x − 3) cã nghiÖm x ∈ [ 32;+∞) a) e x + cos x = m + x b) Câu 13.Tìm m để bất phơng tr×nh : a) x − m.2 x + m + ≤ cã nghiÖm b) log ( x − x + m) + log ( x − x + m) − 10 ≤ nghiƯm ®óng víi mäi x ∈ [0;2] c) m.9 x − x − (2m + 1).6 x − x + m.4 x − x ≤ nghiƯm ®óng víi mäi 2 1 x ∈ (−∞ ;− ] ∪ [ ;+∞) 2 2 log ( d) x + x + m ) − log ( x + 1) < nghiƯm ®óng víi mäi x ( 2;3) ; Câu 14.Tìm m để phơng trình sau cã ba nghiÖm thùc − x −m log ( x − x + 3) + − x +2 x log (2 x − m + 2) = C©u 15.Tìm m để hệ sau có nghiệm : x + y = x + + y + = m II.Giải phơng trình: 1.Phơng trình vô tỉ: 1.1)Phơng pháp lợng giác hóa: Nếu phơng trình chứa hai loại : a + x , a − x , a2 − x2 ta sẻ làm từ việc ®Ỉt x = a cos t , víi t ∈ [0; π ] nh sau: t t = 2a cos ; 2 t t a − x = a − a cos t = a (1 − cos t ) = 2a sin = 2a sin ; 2 a + x = a + a cos t = a (1 + cos t ) = 2a cos a − x = a − a cos t = a (1 − cos t ) = a sin t = a cos t Câu 16 Giải phơng tr×nh : (4 x − 1) − x = x ; Híng dÉn: Víi ®iỊu kiƯn x Đặt x = cos t , víi t ∈ [0; π ] Ta cã: (4 cos t − 1) − cos t = cos t ⇔ (4 cos t − 1) sin t = cos t ⇔ sin 3t = cos t π π π t = + k 3t = − t + k 2π π ⇔ ⇔ sin 3t = sin( − t ) ⇔ t = π + kπ 3t = π − ( π − t ) + k 2π π kết hợp với điều kiện t [0; ] suy t = , t = 3π 5π π ,t = vµ t = 8 VËy nghiệm phơng trình x = cos = + ; x = cos 3π = + ( − 1) ; x = cos 5π = π 2 + (1 − ) vµ x = cos = 2 1.2)Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu: Nếu hàm số f (x) đơn điệu : f ( x1 ) = f ( x ) x1 = x Câu 17.Giải phơng tr×nh x + x = (5 − 3x) − 3x + − 3x Giải: Với điều kiện x Xét hàm sè f (t ) = t + 2t Ta có hàm số f (t ) đồng biến R x ≥ Suy f ( x) = f ( − 3x ) ⇔ x = − 3x ⇔ ⇔x= x = − 3x 29 Vậy nghiệm phơng trình x = 2 29 − 1.3)Phơng pháp nhẩm nghiệm chứng minh không nghiệm khác: Câu 18 Giải phơng trình x + x + x + + x + 16 = 14 Híng dÉn: Víi ®iỊu kiƯn x ≥ Ta có x=9 nghiệm phơng trình XÐt hµm sè f ( x) = x + x − + x + + x + 16 Ta có hàm số f (x) đồng biến [ 5;+∞) Suy x = lµ nghiƯm phơng trình Câu 19 Giải phơng trình: x − + x + + − x = x + (HSG NA 20102011) Híng dÉn: Víi ®iỊu kiƯn − ≤ x ≤ Ta cã x=0 vµ x=1 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình Xét f ( x) = x x − x + − − x trªn kho¶ng (-1;2), ta cã f ' ( x) = x − − + ; x +1 2 − x f ' ( x) = ⇔ 2(2 x − 1) ( x + 1)(2 − x ) − − x + x + = ⇔ 2[( x + + − x ) ( x + 1)(2 − x) + 1]( x + − − x ) = ⇔ ( x +1 − − x) = x = Bảng biến thiên x f'(x) -1 2 - + f(x) Suy x=0 vµ x=1 lµ hai nghiƯm phơng trình 1.4)Phơng pháp đánh giá giá trị cđa hµm sè: NÕu maxDf ( x) = f ( x0 ) = a vµ minDg ( x) = g ( x0 ) = a th× f ( x) = a f ( x) = g ( x) ⇔ ⇔ x = x0 g ( x) = a Câu 20.Giải phơng trình x + − x = x − x + 11 Híng dÉn: Víi ®iỊu kiƯn ≤ x ≤ XÐt hµm sè f ( x) = x − + − x vµ g ( x) = x − x + 11 trªn ®o¹n [2;4] Ta cã max[ 2; 4f] ( x) = f (3) = vµ min[ 2;g4]( x) = g (3) = f ( x) = ⇔ x = g ( x) = Suy f ( x) = g ( x) ⇔ Vậy nghiệm phơng trình x = 1.5)Phơng pháp phân tích thành nhân tử liên hợp: Câu 21.Giải phơng trình: x = x + + (ĐH2010D) Hớng dẫn: Với điều kiện x ≥ −2 Ta cã: x = x + + ⇔ x − = x + − ⇔ ( x − 2)( x + x + 4) = 2( x + − 2) Ta thÊy ( x + − 2)( x + + 2) = x − Suy ( x − 2)( x + x + 4) = 2( x + − 2) ( x + − 2)( x + + 2)( x + x + 4) − 2( x + − 2) = ⇔ ( x + − 2)[( x + + 2)( x + x + 4) 2] = Câu 22.Giải phơng trình: x+2 −2=0⇔ x + = ⇔ x = x + − − x + (4 x − 2) ( x + 1)(2 − x) = (HSG TØnh NA 2010-2011) Híng dÉn: Víi ®iỊu kiƯn − ≤ x ≤ Ta thÊy ( x + − − x )( x + + − x ) = x − Suy x + − − x + (4 x − 2) ( x + 1)(2 − x) = ⇔ ( x + − − x )[1 + 2( x + + − x ) ( x + 1)(2 − x ) ] = ⇔ x +1 − − x = ⇔ x +1 = − x x = 1.6)Phơng pháp vận dụng ®¼ng thøc: +Tõ h»ng ®¼ng thøc : (a + b + c) = a + b + c + 3(a + b)(b + c)(c + a) , ta cã (a + b + c) = a + b + c ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = Câu 23.Giải phơng trình: 3x x + 2001 − 3x − x + 2002 − x − 2003 = 2002 Hớng dẫn: Đặt a = 3x x + 2001 , b = −3 3x − x + 2002 , c = −3 x − 2003 , ta cã: (a + b + c) = a + b + c Mµ (a + b + c) = a + b + c ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = x = 6 x − = a + b = a + b = − 13 ⇔ b + c = ⇔ b + c = ⇒ 3 x − x − = ⇔ x = 3 x − x + 4004 = c + a = c + a = + 13 x = Bài tập : Câu 24.Giải phơng trình: a) + − x = x(1 + − x ) ; b) x − 3x = x + ; c) x − 3x = − x ; d) x − 12 x + x − = x − x C©u 25.Giải phơng trình sau : a) x 3x + + x − = (§H2006D) b) (4 x + 2)(1 + x + x + 1) + 3x(2 + x + ) = c) x − x + − x − x + 11 = − x − x − d) x x − x + 23 = (4 − x) x + e) − x − x + − x + = g) x − − − x + x − = 2 h) x + + = x − x + + x (HSG TØnh NA 2007) i) x − = (2 x − 5) + x − ; k) x + x − = − x ; l) 3x − = x − 36 x + 53x − 25 m) x + = x − x − ; n) x + 12 x − = 3x + ; p) ( x + 1) = 33 3x + + q) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän tháa m·n 2(cos A + cos 3B) − 3(cos A + cos B ) + 6(cos A + cos B) = Chứng minh tam giác ABC Híng dÉn: PT ⇔ (8 cos A − cos A) + (8 cos B − cos B) = −1 XÐt f (t ) = 8t 6t khoảng (0;1) 2 Ta cã f (t ) = f ( ) = ( 0;1) Câu 26.Giải phơng trình sau : a) x + x + 42 − − x + x + 20 + x − x − = ; b) x − x + − x + x + + x + x = ; Câu 27 Giải phơng tr×nh: a) x + − − x + x + x − = ; b) x + − − x + x − = ; c) 16 x − = x + ; d) x − x + = Câu 28 Giải phơng trình: a) 3x + + − x + x − = x − ; b) x + − x − x − + x − 8x − = ; c) x + + − 3x + x − = x + 1.7)Phơng pháp đa hệ phơng trình: Câu 29 Giải phơng tr×nh sau: a) x + x + 12 = 12 ; b) x + + − x = Híng dÉn: a)Víi ®iỊu kiƯn x Đặt u = x v = x + 12 , ta cã : u = u + v = 12 u + v = 12 u + v = 12 u + u − 11 = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ v − u = 12 (u + v)(u − v + 1) = u − v + = v = u + v = −1 Suy x = b)Với điều kiện x Đặt u = x + vµ v = − x , ta cã : 2 2 −1 +1 u + v = v = − u v = − u ⇔ ⇔ 2 u + v = u + (3 − u ) = u + u − 6u = 1.8)Phơng trình đẳng cấp bậc k P(x) Q(x) : +D¹ng : aP( x) + bQ( x) + c P( x).Q( x) = +Cách giải: Kiểm tra với P( x) = phơng trình có nghiệm hay không Với P( x) , chia hai vế phơng trình cho P(x) ta đợc: b Q( x) Q( x) Q( x) + c + a = Đặt t = P( x) P( x) P ( x) Câu 30 Giải phơng trình sau: a) x + x − = x − ; b) x + x − + x − = 3x − x + 19 ; Híng dÉn: a)Víi ®iỊu kiƯn x ≥ Ta cã: 2 x + x − = x − ⇔ 2( x + x + 1) + 3( x − 1) = ( x − 1)( x + x + 1) vµ với x=1 nghiệm phơng trình Chia hai vế phơng trình cho x-1 ta đợc: x2 + x +1 x2 + x +1 − + = Đặt t = x x −1 2t − 7t + = ⇔ t = x2 + x +1 , víi t ≥ 3 + , ta cã: x −1 x2 + x +1 Víi t = ⇒ =3⇔ x = 4± x −1 b)Víi ®iỊu kiÖn x>2 Ta cã : x + x − + x − = 3x − x + 19 ⇔ x + x − + 9( x − 1) + ( x + x − 6)( x − 1) = x − x + 19 ⇔ − x + x − 17 + ( x + 3)( x − 2)( x − 1) = ⇔ −( x + x − 3) + 10( x − 2) + ( x + x − 3)( x − 2) = Bài tập: Câu 31 Giải phơng trình: a) x + x + = ; b) 23 x + + − x = c) x + − x = ; d) x + x + + x + = Câu 32 Giải phơng trình: a) 2( x 3x + 2) = x + ; b) x + 14 x + − x − x − 20 = x + 2.phơng trình, bất phơng trình mũ lôgarit: 2.1.Phơng pháp nhÈm nghiƯm vµ chøng minh nghiƯm nhÊt: x −1 Câu 33 Giải bất phơng trình sau: x +1 + x ≥ Híng dÉn: x −1 x −1 Ta cã : x +1 + x ≥ ⇔ x +1 + x − ≥ XÐt hµm sè f ( x) = x +1 + f ' ( x) = x +1 ln + x2 x −1 x x −1 x − , víi x ≠ ln > ; vµ f ( −1) = f (1) = Bảng biến thiên: x -1 - + f'(x) +∞ + +∞ +∞ f(x) -3 -3 − ≤ x < ⇔ x ∈ [ − 1;0 ) ∪ [1;+∞) x ≥ VËy nghiệm bất phơng trình x [ 1;0) ∪ [1;+∞) Suy f ( x) ≥ 2.2.Phơng pháp chuyển thành hệ: Câu 34 Giải phơng trình: 2010 x + 2010 x + 12 = 12 (HSG TØnh NA 2010-2011) Hướng dn: Đặt u = 2010 x v = 2010 x + 12 , u>0,v>0 Suy u = ⇔ v = u + v = 12 ⇔ v − u = 12 u + v = 12 ⇔ (u + v)(u − v + 1) = u + v = 12 ⇔ u − v + = u + u − 11 = v = u + −1 +1 10 Suy 2010 x = −1 −1 ⇔ x = log 2010 2 Vậy nghiệm phơng trình x = log 2010 −1 C©u 35.Giải phơng trình: log (3 + x + 1) = log (3 x + 1) Híng dẫn: Đặt t = log (3 + x + 1) ⇒ t = log (3 x + 1) , t t 3 + x + = t 3 + t = t 3. + − = ⇔ x ⇔ 5 5 vµ x t t 3 + = 3 + = x t 3 + = t t 1 2 XÐt hµm sè f (t ) = 3. + − , f (1) = 5 2.3.Phơng pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số: Câu 36 Giải phơng trình: log x2 + x +1 = x − 3x + 2x − 2x + Híng dÉn: Ta cã log ( x + x + 1) − log (2 x − x + 3) = x − 3x + ⇔ ( x + x + 1) + log ( x + x + 1) = (2 x − x + 3) + log (2 x − x + 3) > Suy hµm sè XÐt hµm sè f (t ) = t + log t , víi t > , ta cã f ' (t ) = + t ln f (t ) ®ång biÕn khoảng (0;+) Suy f ( x + x + 1) = f (2 x − x + 3) ⇔ ( x + x + 1) = (2 x − x + 3) ⇔ x − 3x + = x = x = 2.4.Phơng pháp đổi biến số: Câu 37.Giải phơng trình: Hớng dẫn: Ta cã : ( ) 10 + 10 + ⇔ log x log x − ( ) 10 − 10 − − 10 + Đặt t = log x log x = = ( ) 10 + 2x ⇔ ( log x − ) 10 + ( ) 10 − log x − ( log x = ) 10 − 2x log x = log3 x log x , víi t > , ta đợc: + 10 t − = ⇔ 3t − 2t − = ⇔ t = t 3 10 + + 10 ⇒ Víi t = 3 log x = 10 + ⇔ x =1 Bài tập: 11 Câu 38.Giải phơng trình: a) x = x + ; b) 2003 x + 2005 x = 4006 x + (HSG TØnh NA 2004) ; c) log ( x + ) + x+ x − = (HSG TØnh NA 2005) d) x log 11 + 3log x = x Câu 39.Giải phơng tr×nh: a) 2 x − x + = b) log 22 x + log x + = Câu 40.Giải phơng tr×nh: 7 x 131x − x ) ; b) x = log (2 x + 1) + Câu 41.Giải phơng trình: log ( x + + 2) − log x = x − x + − a) x + x = − + 44 log (2 + C©u 42.Giải phơng trình: a) log x − 2x 1+ log − 8x = ; b) 2 log x 1 + log x = ; 2.5.Phơng pháp đổi biến không hoàn toàn: Câu 43 Giải phơng trình: a) x − (5 + x).2 x + 4( x + 1) = ; d) 3.25 x −2 + (3x − 10).5 x −2 + − x = ; b) x −1 − (5 + log x).2 x −1 + 4(log x + 1) = c) log 22 x +1 x +1 + (4 − x) log + = ; g) ( x + 2) log 32 ( x + 1) + 4( x + 1) log ( x + 1) − 16 = 2x 2x 2.6.Phơng pháp đa số: Câu 44 Giải phơng trình: a) log x +1 ( − x − x + 7) = ; 2 b) log (8 − x ) + log ( x + + − x ) = ; c) log ( x + 3) + log ( x − 1) = log x ; d) log x −1 (2 x + x − 1) + log x +1 (2 x 1) = 2.7.Phơng pháp phân tích thành nhân tử: Câu 45.Giải phơng trình: a) x + x + + x = 2+ x + + x + x − ; b) x + x − 4.2 x − x − 2 x + = ; c) x + x + 21− x = ( x +1) + ; C©u 46.Giải phơng trình: a) 8.3 x + 3.2 x = 24 + x ; b)12.3 x + 3.15 x x+1 = 20 III.Giải hệ phơng trình: 3.1.Phơng pháp thế: 2 2 x + xy = y 10 + y Câu 47.Giải hệ phơng trình: x + + y + = (HSG Bình Định 2009-2010) Hớng dẫn: x x x 5 x + xy = y 10 + y y = y + = y + y y y ⇔ ⇔ x + + y + = 4x + + y + = x + + y + = 12 x = x = y x = y y = ⇔ ⇔ ⇔ x = x + + x + = x = y = Câu 48.Giải hệ phơng trình: x + y + y + = y = ( x − 1) x (2 + y ) = 2 y + z + z + = a) ; b) ; c) x( y − 2) = x − − y = − x 2 z + x + x + = Híng dÉn: 13 2t + 3t + 27(2 + y ) 81(8 y + y + 2) f ( y ) = − f ' ( y ) = − c)XÐt hµm sè ; ; ( y − 2) ( y − 2) a)XÐt hµm sè f (t ) = − Trªn (−∞ ; ), f ( y ) = cã nhÊt nghiƯm y=-1; Trªn (3 ;+∞), f ( y ) = cã nhÊt nghiÖm y=2 f ( x; y ) = , ®ã f(x;y) đẳng g ( x; y ) = 3.2.Giải hệ phơng trình dạng: cấp x y Câu 49 Giải hệ phơng trình: x + x x + xy = y 2 x + x y + xy − y = a) ; b) ; xy − x + y + = x + y + y − = x + y + 2 x + x x + xy = y c) xy − ( x + y ) = − x 13 ... + 12 = 12 (HSG Tỉnh NA 2010-2011) Hng dn: Đặt u = 2010 x vµ v = 2010 x + 12 , u>0,v>0 Suy u = ⇔ v = u + v = 12 ⇔ v − u = 12 u + v = 12 ⇔ (u + v)(u − v + 1) = u + v = 12. .. x + x + 12 = 12 ; b) x + + − x = Híng dÉn: a)Với điều kiện x Đặt u = x vµ v = x + 12 , ta cã : u = u + v = 12 u + v = 12 u + v = 12 u + u − 11 = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ v − u = 12 (u +... tr×nh sau cã nghiƯm a) sin x + cos x = m cos x (HSG TØnh 2001-2002) b) m sin x + (m + 1) cos x = c) m ; cos x cos x + sin x = m tan x cos x sin x Câu 12 Tìm m để phơng trình x2 có hai nghiệm thực