Một số phương trình lượng giác thường gặpI/.. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạn
Trang 1Một số phương trình lượng giác thường gặp
I/ Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
0
at b+ = t trong đó a,b là các hằng số (a≠0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ: 2sin 1 0; os2 1 0; 3tan 1 0; 3 cot 1 0
2
Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
II/
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
2
0
at + + =bt c , trong đó a, b, c là các hằng số (a≠0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ:
a) 2sin2x+sinx− =3 0 là phương trình bậc hai đối với sin x.
b) cos x2 +3cosx− =1 0 là phương trình bậc hai đối với cosx.
c) 2 tan2x−tanx− =3 0 là phương trình bậc hai đối với tan x.
d) 2
3cot 3x−2 3 cot 3x+ =3 0 là phương trình bậc hai đối với cot 3x.
Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai
theo t giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện − ≤ ≤1 t 1 nếu đặt t bằng sin hoặc cos).
Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
2
)3sin 2 7 cos 2 3 0
a x+ x− = b)7 tanx−4cotx=12
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
31) 2cos2x−3cosx+ =1 0 32) cos2x+sinx+ =1 0 33) 2cos2x− 4cosx= 1
34) 2sin2x+5sin – 3 0x = 35) 2cos2x +2cosx - 2 =0 36) 6cos2 x+5sinx−2=0
37) 3 tan2x− +(1 3) tan =0x 38) 24 sin2 x+14cos 21 0x− =
39) sin 2 2cos 1
− + − =
2
4cos 2( 3 1)cosx− − x+ 3 0 =
III/ Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:
Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng
.sin sin cos os , , 0
a x b+ x x c c+ x d a b c= ≠
Phương pháp:
⊕ Kiểm tra cosx=0có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.
⊕ cosx≠0chia cả hai vế cho cos x2 đưa về phương trình bậc hai theo tan x:
Trang 2Ví dụ: Giải phương trình sau
Bài tập đề nghị:
41) 3sin2x−4sin cos +5cosx x 2 x=2 42) 2 cos2 x−3 3 sin 2x−4sin2 x= −4
43) 25sin2x+15sin 2x+9cos2x=25 44) 4sin2x−5sin cosx x−6cos2 x=0
45) 4sin2x−5sin cosx x=0 46) 4sin2x−6cos2x=0
IV/ Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :
Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng
sin cos
a x b+ x c= trong đó a b c, , ∈¡ và 2 2
0
a +b ≠
Ví dụ: sinx+cosx=1; 3cos 2x−4sin 2x=1;
Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho 2 2
a +b ta được:
2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
• Nếu 2c 2 1
a b >
+ : Phương trình vô nghiệm.
• Nếu 2c 2 1
a b ≤ + thì đặt cos 2a 2 sin 2b 2
(hoặc sin 2a 2 cos 2b 2
Đưa phương trình về dạng: sin(x ) 2c 2
a b
α + =
+ (hoặc cos(x ) 2c 2
a b
α
− =
+ ) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý: Phương trình asinx b+ cosx c= trong đó a b c, , ∈¡ R và 2 2
0
a +b ≠ có nghiệm khi 2 2 2
c ≤a +b .
Giải
Ví dụ: giải các phương trình sau:
a) sinx+cosx=1; b) 3cos 2x−4sin 2x=1;
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
47) 2sinx−2cosx= 2 48) 3sinx+4cosx=5 49) 3sin(x+ +1 4cos) (x+ =1) 5
50) 3cosx+4sinx= −5 51) 2sin 2x−2 cos 2x= 2 52) 5sin 2x−6cos2x=13;(*)
53) + +π =
sin cos
4 4
BÀI TẬP CHUNG
Bài 1 Giải các phương trình sau:
55 sin 2 1
2
x= 56 os2 3
2
c x= − 57 ( 0) 1
tan 30
3
x+ = −
58 cot 5 1
8 x 5
π
− =
59 sin 2x sin x 4
π
= − ÷
60 cot 2x 3 cot 4 5x
+ = −
Trang 361 cos 2( x+200) =sin 60( 0−x) 62 tan cot 2
+ = − −
tan 5
3
x=
Bài 2 Giải các phương trình sau:
64 2sin 3 3 0
6
x π
+ − =
65
2
cos 2x c− os2x=0 66 (tanx+1 cos) x=0
67 2
2sin x+sinx− =3 0 68 2
4sin x+4cosx− =1 0 69 tanx+2cotx− =3 0
70 2cot4x−6cot2 x+ =4 0 71 sin4x c− os4x=cosx−2
1−cos4 sin 4x x= 2 sin 2x (*) 73 3sin2x−2sin cosx x c+ os2x=0
74 cos2 x−sin2x− 3 sin 2x=1 75 2 2 1
sin 2 sin 4 2 cos 2
2
Bài 3 Giải các phương trình sau:
76 3sinx+4cosx=5 77 2sin 2x−2 cos 2x= − 2 78 3cosx−sinx = 2
sin 2 sin
2
x+ x= 80 cos 2x+ 9 cosx+ = 5 0
Bài 4 Giải các phương trình sau:
81) sin 6x+ 3 cos 6x= 2 82) cos2x+sinx+ =1 0
83) 3sinx+ 3 cosx=1 84) 5cos 2x−12sin 2x=13
sin sin 2
2
87) 4sin2 x+3 3sin 2 2cosx− 2x=4 88) 24sin2x+14cosx−21 0=
+ + + + =
2
− + − =
91) 3sin2 x+8sin cosx x+(8 3 9 cos− ) 2x=0 92) 2sin 3x+ 2 sin 6x=0
93) 3 cos2x−5 sin2 x= 1 94) sin 3cos 1
− + − =
95) 4cos 22x− ( 3 1 cos− ) x+ 3 0 = 96) sin2 x–10sin cosx x+21cos2x=0
97) cos2x−sin2x− 2sin 2x=1 98) cos 4 sin3 cosx+ x x= sin cos 3x x
99) sin cos 1
sin
x
V PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG: a sin 2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?
Lưu ý: cosx = 0 sin2 1 sin 1
2
• Khi cosx≠0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x≠0 ta được:
.tan tan (1 tan )
a x b+ x c d+ = + x
• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
Trang 4(a d t− ) +bt c d + − = 0
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1 cos2 sin2 1 cos2
.sin2 ( ).cos2 2
⇔ + − = − − (đây là phương trình bậc nhất đối với
1/ Giải các phương trình sau:
1) 2sin2x+ −(1 3 sin cos) x x+ −(1 3 cos) 2x=1
2) 3sin2x + 8sin cos x x + ( 8 3 9 cos − ) 2x = 0
3) 4sin2x+3 3sin cosx x−2cos2x=4
4) sin2 sin2 2cos2 1
2
x+ x− x=
5) 2sin2x ( 3 + 3 sin cos ) x x + ( 3 1 cos − ) 2x = − 1
VI/ Ph ương trình đối xứng : (sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
Dạng 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
4
m π
2 1 2sin cos sin cos 1(2 1).
2
• Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t Giải phương trình này tìm t thỏa t ≤ 2 Suy ra x.
Lưu ý dấu:
• cos sin 2cos 2sin
• cos sin 2cos 2sin
x− x= x+ = − x−
Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
• Đặt: cos sin 2 cos ; : 0 2
4
m
π
2
1
2
• Tương tự dạng trên Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài 1. Giải các phương trình:
1) 2sin2x−3 3 sin( x+cosx) + =8 0 2) 2 sin ( x + cos x ) + 3sin2 x = 2
Trang 51) Giải phương trình cos3x - sin3x = cos2x.
A)
x k= π x= +π k xπ = +π kπ. B)
x k= π x= + 2π k π x= +π k π .
C)
x k= π x= + 2π k π x= +π kπ D)
x k x= π = +π k xπ = +π kπ
2) Tìm m để phương trình cos2x - (2m - 1)cosx - m + 1 = 0 có đúng 2 nghiệm x ϵ ;
2 2
π π
−
.
A) - 1 < m ≤ 0 B) 0 ≤ m < 1 C) 0 ≤ m ≤ 1 D) - 1 < m < 1
3) Giải phương trình 1 + sinx + cosx + tanx = 0
A)
4
2 ,
x= +π k π x= +π kπ B)
4
x= +π k π x=−π +k π
C)
4
x= +π k π x= +π k π D)
4
2 ,
x= +π k π x=−π +kπ
4) Giải phương trình sin2x + sin2x.tan2x = 3
A)
6
x=±π +kπ B)
6 2
x=±π +k π C)
3
x=±π +kπ D)
3 2
x=±π +k π
5) Phương trình 1 + cosx + cos2x + cos3x - sin2x = 0 tương đương với phương trình
A) cosx.(cosx + cos3x) = 0 B) cosx.(cosx - cos2x) = 0
C) sinx.(cosx + cos2x) = 0 D) cosx.(cosx + cos2x) = 0
6) Giải phương trình 1 + sinx + sinx.cosx + 2cosx - cosx.sin2x = 0
A)
2 2
x=−π +k π B)
2 2
x= +π k π C) x= +π k2π D) x k= 2π
7) Giải phương trình 4(sin6x + cos6x) + 2(sin4x + cos4x) = 8 - 4cos22x
A)
3 2
k
x=±π + π B)
24 2
k
x=± π + π C)
12 2
k
x=±π + π D)
6 2
k
x=±π + π 8) Phương trình sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x tương đương với phương trình
A) sinx = 0 v sinx = 1
2 B) sinx = 0 v sinx = 1
C) sinx = 0 v sinx = - 1 D) sinx = 0 v sinx = - 1
2 9) Giải phương trình 1 - 5sinx + 2cos2x = 0
6
x= ± +π k π
x= +π k π x= π +k π
x= +π k π x= π +k π
3
x= ± +π k π
10) Phương trình sin cos 3
sin - cos
tương đương với phương trình A) cot x( +π)= − 3 B) tan(x+π)= 3 C) tan(x+π)= − 3 D) cot x( +π)= 3
Trang 611) Giải phương trình sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x).
A)
4
x= +π kπ . B)
4 2
k
x= +π π . C)
4 2
x= +π k π. D)
4 2
x= − +π k π.
12) Giải hệ phương trình 3
cos - cos 1
x y
π
− =
A) 6
6
2 2
π π
π π
= +
= − +
B)
2 3 3
2 2
π π
π π
= +
= −
C)
2 3 3
2 2
π π
π π
= +
= +
D) 2
6
2 2
π π
π π
= +
= +
13) Giải phương trình tan −sin = 2
sin cot 2
A)
4
x=±π +kπ B) 3
4 2
x=± π +k π C)
4 2
x=±π +k π D) 3
4
x=± π +kπ
14) Giải phương trình cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2) 1
sin2 1
x
4
x= ± +π k π
B)
4
x= − +π kπ
x= − +π k π x= − π +k π
4
x= − +π k π
15) Giải phương trình sin2x + sin23x - 2cos22x = 0
A)
2 , 8 k4
x= +π k xπ = +π π B)
8 4
x k x= π = +π π
C)
2 , 8 k2
x= +π k xπ = +π π D)
8 2
x k x= π = +π π
16) Giải phương trình − =
3
tan sin 1 sin cos
A)
2
x= +π kπ B) x k= 2π C) Vô nghiệm D)
2
k
x= π
17) Giải phương trình sin2x.(cotx + tan2x) = 4cos2x
A)
x= +π k xπ =±π +kπ B)
x= +π k xπ =±π +k π
C)
x= +π k xπ =±π +k π D)
x= +π k xπ =±π +kπ
18) Tìm m để phương trình 2sinx + mcosx = 1- m có nghiệm x ;
2 2
π π
−
.
A) - 3 ≤ m ≤ 1 B) - 2 ≤ m ≤ 6 C) 1 ≤ m ≤ 3 D) - 1≤ m ≤3
19) Tìm m để phương trình m.sinx + 5.cosx = m + 1 có nghiệm
Trang 720) Giải phương trình sin2x + sin23x = cos2x + cos23x.
A)
4 2
x=−π + π x= +π π
x= − +π π x= +π π
21) Tìm m để phương trình cos2x + 2(m + 1)sinx - 2m - 1 = 0 có đúng 3 nghiệm x (0;)
A) -1 < m < 1 B) 0 < m ≤ 1 C) 0 ≤ m < 1 D) 0 < m < 1
22) Giải phương trình 1 sin 1 sin 4
1- sin 1 sin 3
+ với x∈(0; )π 2 A)
12
4
3
6
x=π
23) Giải phương trình 3 - 4cos2x = sinx(1 + 2sinx)
2 2 , 6 2 , 6 2
x= +π k π x=−π +k π x=− π +k π
2 2 , 6 2 , 6 2
x= − +π k π x= +π k π x= π +k π D) 2
x= − +π k π x=−π +k π x=− π +k π
24) Giải hệ phương trình 3
sin sin 1
x y
π
+ =
A) 6
6
2 2
π π
π π
= +
= −
B) 6
6
2 2
π π
π π
= +
= +
C) 3
6
2 2
π π
π π
= +
= − −
3
2 2
π π
π π
= − +
= −
25) Giải hệ phương trình
1 sin cos
-4 3 cos sin
-4
3
2 2
π π
π π
−
−
= +
= +
2 3
( ) ( )
π π
π π
= + +
= + −
3
( ) ( )
π π
π π
−
= + +
= + −
v
5 6 2 3
( ) ( )
π π
π π
= + +
= + −
3
( ) ( )
π π
π π
−
−
= + +
2 3
( ) ( )
π π
π π
−
= + +
3
( ) ( )
π π
π π
−
= + +
= + −
v
5 6 2 3
( ) ( )
π π
π π
−
= + +
26) Giải hệ phương trình
π
+ =
3
2 3 3
tan tan
x y
Trang 8
A) 6
6
π π
π π
= +
= −
B) x 3 k
π
= +
= −
C)
2 3 3
π π
π π
= +
= − −
D) 6
6
2 2
π π
π π
= +
= −
27) Giải phương trình = −
+
cos sin 4cot2
cos sin
x
A)
4 2
x= +π k π. B)
4
x= +π kπ . C)
4 2
x= ± +π k π . D)
4 2
k
x= +π π .
28) Giải phương trình tanx + tan2x = - sin3x.cos2x
A)
k
x= π x= +π k π B)
3 , 2 2
k
x= π x= +π k π C)
3
k
x= π D) x k= 2π
29) Phương trình 2sinx + cotx = 1 + 2sin2x tương đương với phương trình
A) 2sinx = - 1 v sinx - cosx - 2sinx.cosx = 0 B) 2sinx =1 v sinx + cosx - 2sinx.cosx = 0
C) 2sinx = - 1 v sinx + cosx - 2sinx.cosx = 0 D) 2sinx =1 v sinx - cosx - 2sinx.cosx = 0
30) Giải hệ phương trình
3 cos cos
4 1 sin sin
4
v
= + + = − + +
= + − = − + −
v
= − + − = + −
v
= + + = − + +
= + − = − + −
v
= + + = − + +
= + − = − + −
32) Giải phương trình π − π + =
tan( x).tan( 2 ) 1x
A)
6
x= +π kπ. B)
3
x=− π +kπ. C)
6
x=− π +kπ. D) Vô nghiệm.
33) Giải hệ phương trình
2 3
sin x sin y
x y π
− =
A) 2
6
π π
π π
= +
= +
B) 6
6
π π
π π
−
= +
= +
C)
2 3 3
π π
π π
= +
= +
D) x 3 k
y k
π
π π
= +
=
34) Giải phương trình 8cot2x=(cos2x−sin ).sin22x x
Trang 9
A)
4
x= − +π kπ B)
4 2
k
x= ± +π π C)
4
x= +π kπ D)
4 2
k
x= +π π
35) Phương tình + +π + +2π =
tanx tan(x ) tan(x ) 3 3 tương đương với phương trình
A) cotgx = 3 B) cotg3x = 3 C) tgx = 3 D) tg3x = 3
36) Giải phương trình 2 2
2
1 sin
x tg x x
A)
3 2
x=±π +k π B)
6 2
x=±π +k π C)
3
x=±π +kπ D)
6
x=±π +kπ
37) Giải phương trình 1 + 3cosx + cos2x = cos3x + 2sinx.sin2x
A)
x= +π k xπ = +π k π B)
x= +π k xπ =±π +k π
C)
2 2 , 2
x= +π k π x k= π
38) Giải phương trình sin10 cos10 sin62 cos62
4 4cos 2 sin 2
A)
2
2
k
x= π
C)
2
2
x k x= π = +π k π.
39) Giải phương trình
cos(π + +x) cos(π −x) 1= .
A) 2
3
k
x= π . B) x k= 2π C)
3
k
3 3
k
x= +π π
40) Giải hệ phương trình
π
+ =
2 3
tan tan 3
x y
A)
3
π
= +
= − −
2 3
π
= +
= −
C) 3
3
π π
π π
= +
= −
D)
5 6 6
π π
π π
= +
= − −
42) Giải phương trình cos (1- 2sin )2 3
2cos sin -1
A)
6 2
x=−π +k π B)
6 2
x=±π +k π C)
6 2
x= +π k π D)
x=−π +k π x=−π +k π
45) Phương trình 1 cossin 1 cossin 4
3
+
+ tương đương với các phương trình.
A) sinx+ 3cosx= − 3 v 3sinx+cosx= −1
Trang 10C) sin - 3cosx x= 3 v 3sin - cosx x=1
D) sin - 3cosx x=1 v 3sin - cosx x= 3
46) Giải phương trình 5 sin sin3 cos3 cos2 3
1 2sin2
x
+
A)
3 2
x=±π +k π B)
6 2
x=±π +k π C)
3
x=±π +kπ D)
6
x=±π +kπ
47) Giải phương trình sin cos (1x x +tgx)(1 cot ) 1+ gx = .
A) Vô nghiệm B) x k= 2π C)
2
k
x= π D) x k= π
48) Giải phương trình sin22 cos22 cos44 9
cos sin sin
A)
3
x=±π +kπ B)
3 2
x=±π +k π C)
6
x=±π +kπ D)
6 2
x=±π +k π
49) Tìm m để phương trình cos2x - (2m +1)cosx + m +1 = 0 có nghiệm x ϵ 3
2 2
( ; )π π A) - 1 ≤ m < 0 B) 0 < m ≤1 C) 0 ≤ m < 1 D) - 1 < m < 0
50) Tìm m để phương trình (cosx + 1)(cos2x - mcosx) = msin2x có đúng 2 nghiệm x ;2
3
0 π
.
A) -1 < m ≤ 1 B) 0 < m ≤ 1
2 C) -1 < m ≤ 1
2
− . D) 1
2
− < m ≤ 1