Đại số giải tích 11 bài tập tự luận và trắc nghiệm lê hồng đức

Long thời gian không và, theo chủ trương của BGI& DĨ các trường đại học, ao dang va trung học chuyền nghiệp xẻ chuyển sang hình thức tuyển vữnh bàng phương pháp trắc nghiệm Và để cá được

31 DAI HOC QUOC GIA HA NOI

LÊ HỒNG ĐỨC - LÊ BÍCH NGỌC

ĐẠI SỐ + GIẢI TÍCH

11

BAI TAP TU LUAN & TRAC NGHIEM

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HA NOI

MO DAU

Âm việt của phương pháp thí trắc nghiệm đã và dang được chứng mình

từ nHững nHớc có nếm giáo đục tiên tiến trên thể giới bởi những tt điểm nhưy nuh hach quan, tinh bao quát và tính kính tế

Long thời gian không và, theo chủ trương của BGI& DĨ các trường đại học, ao dang va trung học chuyền nghiệp xẻ chuyển sang hình thức tuyển vữnh bàng phương pháp trắc nghiệm Và để cá được thời gian chuẩn bị tới nhất các bài kiểm tra Âiên thức trong chương trình THCS và THIPT cũng sẽ

66 pian trac nghiém dé cde em học xinh làm quen

Ty nên, việc biên soạn các cản hởi trắc nghiệm cần thản thủ một xố

véên cán cơ bản vẻ mặt lí luận sư phạm và ý nghĩa đích thức của các số liệu

thon: kẻ Ngoài ra, một để th môn toán được chăm hoàn toàn chứa trên kết

qua tác nghiêm chắc chắn sẽ chưa phù hợp với hiện trạng giáo dục của nước tạ bởi nhiều lí đo, từ đó dân tới việc không đảm bảo được tính khách quan trong việc đánh giá kết qua học tập của học xinh Để khắc phục nhược

dién này Nhóm Cự Món chúng tôi để vuất hướng thực hiện nhàí sau:

I— Với mới đẻ thí hoặc đề kiên tra vẫn tuân thủ đúng cẩu trúc chúng và

diểm trác nghiệm không quá 3Š điểm

Trong những cản hồi có phan tì tác nghiệm sẽ được hiểu là "trắc

“nghiệm và-tự luận" Ở dày thông thường các em học xinh sẽ phải

lựa chọn một trong bốn đáp số và cần biết rằng xố điểm da của cản

hoi nay ditoc chia lam doi:

- + wes oe te # ~ a ot

"Nếu lựa chọn đúng lời giải trắc nghiệm sẻ nhận được : diém

® New thc hién ding loi giải tự luận cho cáu hỏi sẽ nhận được 5

điểm còn lại

Đây chính là yếu tố dé dam bảo tính khách quan bởi:

| Với những học xinh clủ mò mẫm đáp án hoặc nhận được nó thông quá những vớn tờ vụng quanh vẽ chủ nhận được tối đa : điểm với

víc Audt 2S%

Với những học vinh hiểm chợt nội đụng cậu hỏi từ đó định hướng

được các phép thử bằng tay hoặc bằng máy tính ƒt — 570MS chắc

chan xẻ nhận được 5 điểm

& Voi nhing hoc xinh khá hơn biểu hiện bằng việc hiểu được nội dung cat hoi va c6 thé thite hién due mot phan cau hoi nay digi dang ur

luan xẻ nhận dua khodng * + * = “ưng,

2 4 4

+ Cưới củng, với nhưng học sinh biết cách thực liện cản hỏi dưới dạng trí luận sẽ nhận chược a điểm

Dựa trên tự tưởng này, Nhóm Cự Món dưới xự phụ trách cia Lé Hong

Đức xin trần trọng giới thiệu tới bạn đọc bộ xách:

BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRÁC NGHIỆM MÔN TOÁN THPT

Bộ sách này sẽ cung cấp cho bạn đọc một ngân hàng bài tập ur luận và trắc nghiệm môn toán THPT có chất lượng theo đúng thứ tự của chương triinh

Toán PTTH bởi về hình thức bạn dọc sẽ nhận thấy rằng bộ sách này chinln là những cuốn sách giải bài tập của bộ sách Học và Ôn tập Toán (dược wiếi theo lớp 10, II, 12) do NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ấn hành

Cuốn ĐẠI Số VÀ GIẢI TÍCH 11 cược chía thành 6 chương:

Chương lÏ: Giới hạn của hàm số

Chương II: Hàm số liên tục

Chương IV: Hàm số mũ - Hàm số logarit

Chương V: Phương trình, bất phương trình và hệ mũ

Chương VỊ: Phương trình, bất phương trình và hệ lôgarit

Cuối cùng, cho dù đã rất cố gắng nhìnng thật khó tránh khỏi những thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế; rất mong nhận được những ÿ kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần và Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ tới: Địa chỉ: Nhóm tác giả Cự Môn do Lê Hồng Đức phụ trách

Số nhà 20 - Ngõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hồ - Hà Mội Điện thoại: (04) 7196671 hoạc 0893046689

E-mail: cumon@hn.vnn.vn hoặc lehongduc39@ yahoo.com

Hà Nội, ngày | thang 4 năm 20106

NHÓM CỰ MÔN - LÊ HỒNG ĐỨC

Một dãy số thường được xác định bằng một trong các cách:

Các 1 Dây số vác định bởi một công thức cho xố hạng tổng quát dụ

Các 2 Dây số vác định bởi một công thức truy hồi, tức là:

" Trước tiên, cho số hạng đầu (hoạc vài số hạng đầu)

= Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó

Các 3 Dây số vác định bởi một mệnh đề mô tỉ các số hạng liên tiếp của nó

3 DAY SO DON DIEU

Địmh nghĩa Ú (Dây số tăng): Dãy số (H„) được gọi là tăng nêu Vn € NỈ, uy< tại

Dimh nghia 2 (Day s6 giảm): Dây xố (0) được gọi là giảm nếu Vn € NỀ, uy > tại

Dimh nghia § (Day sé hi chan): Day sé (u,) duoc goi là bị chặn nều nó vừa bị

chàim rên va bị chặn dưới, tức là:

qm,Me R:m<u,<M,VneN’

Chuumy |: Day xố - Cấp xổ công - Cấp số nhân

H PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DANG TOAN LIEN QUAN VÀ BÀI TẬP

" - Xác định xem a là số hạng thứ mấy của dãy số Câu hỏi này được thự

hiện bằng việc giải phương trình ẩn n

BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRÁC NGHIỆM

Bài tập 1 Cho dãy số (u,) với ư, = =a

b Tim xem x là số hạng thứ mấy của dãy số ?

1 ưc usu) Quy Œ tạ

(D'4n

a Tim Uy, Uy), Urns Ure et

4 ate 8 SEB ay

9 12; 2n; 2n + 1

5°13" Qn+l’ n+l a

Em xem Ú là số hang ther may cua day so 2

Tim vem Phase hang thermay cua day so?

Baitao 4 Cho day so (u,) sae định như sau:

u, Í

5

|ừ, - 3#ữ, ;# k #3

© Tay viet 6 86 hang dau cua day so,

io dy eddy E27, Ss 2047, 4 1;5‡;4:8: lô: 32

> Tim xem TT là số hạng thứ mãy của dãy số 2

au trụ 1 uy, UW tụy 4 Khong co

Bái toán 2: Sử dụng phương pháp quy nạp chứng mình diy s6 (u,) thoa mintinh chat K

PHUONG PHAP CHUNG

Tathuc hién theo cic bước sau:

Bwe 1: (Bước cơ vở): Chứng mình ràng số hạng đầu thoả mãn tính chất K Bước 3-— (Bước quy nạp): Giả sử số hạng uy thoả mãn tính chất K Ta đi

chứng minh sỏ hạng u,,, cũng thoả mãn tính chất K

Bưuïc 3- ˆ Kết luận dãy số (u,) thoả mãn tính chất K

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài tp 6 Cho dãy số (u,) với uy = 13" — 1 Chứng mình rằng mọi số hạng

cla diy so nay đều chia hết cho 12

Bai tip 7 Cho dãy số (u,) xác định như sau:

" uy, =]

tụ =2u, 2 + tụ ;n>»3

Clứng minh rằng mọi số hạng của dãy số này đẻu là số lẻ

Bai tip 8 Cho dãy so (u,) voi u, = 2"'* Chimg minh rang u, > 2n+5 VneN’

Chương |: Dây só — Cấp xà cong — Cap sti nhan

Bài tập 9 Cho dãy số (u,) xác định như sau:

u, =l,u; =2 U„=u,,;+2u,,,n>3

Chứng minh ràng u„ = (e, + ne;)r" với e,, e; là các hằng số phụ thuộc a b

và r là nghiệm kép của phương trình x” - cx - d=0

Chứng minh rằng u, = e¡r` +eạr;' với e,, e; là các hằng số phụ thuộc a b

và rạ, r; là hai nghiệm phân biệt của phương trình x” - cx — d = 0

PHUONG PHAP CHUNG

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của u,

Cách 2: Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bước:

Bước !: — Viết một vài số hang đầu của dãy, từ đó dự đoán

công thức cho u,

Bước 2: Chứng minh công thức dự đoán bàng phương pháp quy nạp

BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRÁC NGHIÊM

Bai tap 12 Cho day so (u,) sie dink nhu sau:

ju, 4

fu, 2u, jn >2 Xác định cong thuc tinh u, theo n $ b

Chương 1: Day $6 Cap so cong Cap so nhân

| Bai toán 4: Xét tính đơn điệu của một đãy số (u,)

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách ?- Thực hiện theo các bước:

Bước Í- — Lập hiệu IÍ=u,,, - uạ, từ đó xác định đấu của H

Bước 2: Khi đó:

" Nếu lI>0 với Vn c NỈ thì dãy sö (u,) tang

"= Nếu <0 với Vn c ÑN thì dãy số (u,) giảm

Cách 2: Nếu u„>0 với Vn c NỈ ta có thể thực hiện theo các bước:

Bước l- — Lập tỉ số P= -****, từ đó so sánh P với 1

u

Bước: Khi do:

= NéuP> 1 voi Vn © N’ thi day so (u,) tang

" Nếu P<l với Vn © N’ thi day so (u,) giam

BAI TAP TU LUAN VA TRAC NGHIEM

Bài tập 17 Xét tính đơn điệu của các dãy số (u,), biết u„ = tt - 4"

Bài tập 18 Xét tính don điệu của các đãy số (u,), biét u, = n + sin’n

Bai tap 19 Xét tính đơn điệu của các dãy số (u,), biét u, = [- 3] j

Bài tập 20 Xét tính đơn điệu của các dãy số (u,), biết u„ = as i

Bài tập 21 Xét tính đơn điệu của các đấy số (u,), biết u„ = - a rt

n° +

Bai tap 22 Xét tính đơn điệu của các đãy số (u,), bidt uy = | _

nt

Bài tập 23 Xét tính đơn điệu của đãy số (u,) biết:

u, =2

u, =2u,,-Ln>2

Baitap 24 Net tinh don dieu cua day so (u,) biết

4 Tang ad Giảm GA Không tạng, không giam

Bài tập 2Š Xét tính đơn điệu của dãy số (u,), biết:

u, = > { v2 fod V2 (n dau can)

Bài tập 26 Cho day so (u,) voiu, =, va day so (S,) xac dinh nhu sau:

non

[S, uy

Is, (Pn 8 ;tuyn>2 "

+ XéLtính đơn điệu của các dãy số (u,)

3 Xét tính đơn điệu của các dãy số (S,)

3 Xét tính đơn điệu của dãy số (P,)

Xác định cong thifc tinh P, theo n

+ Nếu 1McR:u,<M,Vn c N thì (u,) bị chặn trên

+ Nếu 1mec R:u,>m, Vn c N thì (u,) bị chặn dưới

+ Nếu 1m,.MeR:m<u,<M,Vn c NỈ thì (u,) bị chặn

Chỉ ý: Dựa trên kết qua:

* Mọi dãy số (u„) giảm luôn bị chặn trên bởi u,

', , Mọi dãy số (u¿) tăng luôn bị chặn dưới bởi uụ

Chương Í: Dây số — Cấp số công - Cáp sổ nhân

BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRÁC NGHIÊM

Bài tập 30 Dãy số (u,), biết u,= -——- là:

n+]

Bài tập 31 Dãy số (u,), biét u, = LL + 1, + + } la

Bài tập 32 Day s6(u,), bietu,= - + 13 3.5 + +———L—— là: (2n-1)(2n+ 1)

Bài tập 33 Cho dãy số (u,) xác định như sau:

u, =2 u,_,+8

a Chứng minh ràng (u,) bị chạn trên bởi 8

n>2'

b Chứng minh rằng (u,) tăng Suy ra (u,) bị chặn

Bài tập 34 Cho dãy số (u,) xác định như sau:

Bai ap 35 Cho day so (u,) xdc¢ dinh nhu sau:

J" I

uy tl + Chứng minh ràng (u,) bị chạn trên bởi Ì.5

L Chứng miính rang (u,) bị chạn đưới bởi l

Bai tap 2 5 số hang dau cua day 1a 0; ahi pee ey ee Ve “

va0° Jas" V52° Jor "10

Baitap 3 Tacéu,= —,u,=1,u,, = 1,u,,,;= —-—iu,=0vau,, = 1

Baitap 1 6 so hang đầu của dãy là 3: 5 i

Bài tập 4 6 s6 hang dau cua day la 1; 3, 7; 15: 31,63 Va u, = SIL

Baitap 5 Taco u, = 9; uy = 549 va khong ton tại số hạng có gid tri bang 11

suy Au,,¡: 12 bởi 12 13*: 12 và (13*- 1): 12

Vậy, mọi số hạng của dãy số (u,) đều chia hết cho 12

‘Ta di chttmg minh uy, , , le, thật vậy:

0,,¡= 2u, + uý là tổng của một số chân và một số lẻ, nên uy, , lẻ

Xây, mọi số hạng của đãy số này đều là số lẻ

Chương I: L2ây vò Cap se cong Cápxo nhân

“Thật vậy:

.h.hhhÌh

(JG) Go

Vậy, ta luôn có u„ < (3) ,Vne N’

Bai tap 10 Ban doc lam theo huéng dan

Bai tap IL Tuong tu bai 10

Bai tap 12 Tac6 u, = 4 = 2”; u,=2.2? = 2°; u,=2.2'=2'

Tir d6, bang phuong phap quy nap ta chimg minh dugc rang u, = 2"''

Bài tập 13 Ta có u,= V2 =2 a = 2cos

Từ đó; bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được rằng u„ = 2cOs - =

Cũng theo vẻ các đang thức trên, tì được:

Từ do, bảng phương pháp quy nạp ta chứng minh duge rang u, =

BH: tấp E6 Ta có, = l:u,= 3:u,=l:u0,= 3

Bai tap 18 Ta co(u,) tang bang cach lap hicu:

H=u,,, uy=[(n+l)+sin(n+l) | (n+šinn)

=(1_ sinn)+sin(n+I)>0

Bai tap 19 Khong tang, khong giain

Bai tap 20 Ta co(u,) giam bảng cách lập tí số hoặc lập hiệu

Bai tap 2T Ta có(u,) giảm bang cach lap tí số lập Lí số

Bai tap 22 Khong tang khong giảm

Bai tap 23 Ta co (u,) tang và có thể trình bày theo hai cach sau:

Cách T: Xét hiệu:

II=u,,,- u,=(2u,- l)-uạ=u, - 1

Ta se di ching minh u, > 1, Vn c NÍ bàng quy nạp - Ban doc tự làm

Do dé 11> 0, tird6 suy ra day (u,) tang

Cách 3: Trước tiên, ta đi chứng minh u, > I,VncN- Bạn dọc tư làm

Xét LÍ SỐ:

Vay, day (u,) tăng

Bai tap 24 Ta c6(u,) tang bang cach lap hicu HW = u,,, — u,

Chương |: Dây số Gap scons Capsenheu

Bai tap 27 Taco (a, tang (P,) giam va P, =

ntl) Bai tap 28 Viet lau, duoi dang:

Vậy, đấy (u,) chỉ bị c hàn dưới

Bài tập 29 Ta có 0 < u, - : suy ra day (u,) bi chan

Bài tập 30 Ta có i <u, <1 suy raday-(u,) bi chan

Vậy, ta được Ö < u, < 4 suy ra day (u,) bi chan

Bai tap 32 Tuong tr bai 31 suy ra day (u,) bi chan

Bai tap 33

a Chứng minh bảng phương pháp quy nạp

b Sử dụng kết quả cảu á,

` Bai tap 34 Ta co u, = 2cos x ¡ Suy ra 0 < uy < 2 suy ra day (u,) bi chan 2u:

Bài tập 35 Chứng mình bàng phương pháp quy nạp

16

CHU DE 2

GIGI HAN CUA DAY SO

1 TOM TAT LY THUYET

2 CÁC ĐINH LÍ VỀ GIỚI HẠN CUA DAY SỐ

Định lí T: (Diểu kiện cầu để dãy xó có giới hạn): Nếu mọt dãy xổ có giới hạn thí nó bị chăn

Dinh li 2: Dinh li Vaiostrat = Điều kien du dé ddy xố có giới hạn):

"Một dạy xô tăng và bị chân trén thì có giới hạn

= Mot day sé gidm va bi chan dưới thì có giới hạn

Định li 3: (Tính duy nhất của giới hạn): Nếu một đây số có giới hạn thì giới

lim —" = ***— , voi limb, #0

nape)

Định lí 5: Nếu hơi dây số (a,) và (bạ) có giới hạn và ay Š bạ với Vn > Nà Nịc NỈ thì

lima, < limb,

noe now Dimh li 6: (Nguyen li kep giitay: Cho ba diy s6 (a), (b,) Va (C,) sao cho a, <b, < cy,

Vn >N,Noc Nova lima, = lime, =A thi limb, =A nor non nor

3 ‘CAC GIOL HAN CO BAN

Ta có:

ĐẠI HỌC GỊ

G TÂM T

"nà

3 limg" =0, vai lq] <1 howe

Chương | Dây số - Cấp số vòng — Cấp số nhân

4 DAY SO DẦN TỚI VÔ CỰC

Định nghĩa: Dây sở (uụ) gọi là đẩn tới +2 nếm với mọi sô dương M tì Ý, bổn

tai sé nenhién N sao cho vai moi n> N thiu, > M

“Ta có các kết quả sau:

I Nếu limu, =+ z thì lim K =0 nà nou,

uy TẾ sø„ Ì

2 Nếu limu, =0 thi |lim—| = +00 non ny "

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN VÀ BÀI TẬ.P

">2

|» toán 1: Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng limu,„ =u

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước I: Với Ve >0, xuất phát từ bất đẳng thức:

Bai toán 2: ¢ ing mình n mot days SỐ CÓ giới “hạn

, PHUONG PH AP CHUNG

Sử dụng định lí Vaiơstrat, cu thể:

® Mot day so tang va bi chan trén thi co gidi han

= Mot day so giam va bi chan duGi thi co gidi han

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài tập 4 Cho day so (u,) voi u, = 1 + yy to t Chứng mình rang

các định lí về Ê giới hạn

PHƯƠNG PHÁP ( Cc CHUNG

Bài toán 3:

“Ta lựa chọn một trong hai cách:

Gach 1, Đưa dãy số cần tìm giới hạn vẻ dạng tổng hiệu, tích, thương của

` những đãy số mà ta đã biết giới hạn

“Ta có các kết quả sau:

I.~ limC <C, với C là hàng số noe `

2 lim bề =0, với >0

3 limg" =0, vai |ql <1 now

4 Néu limu, =+ thi lim `, =0

Chương |: Dây số - Cấp số công - Cấp số nhân

BÀI TẬP TU LUAN VA TRAC NGHIỆM

Bài tập 7 Tính các giới hạn sau:

Bái tập TÔ Tính các piới hạn sau:

4e° |

VWc>0,1NcN: ln vn lL <evan>Ne> lim (Vn vn -}=Ẳ

b Bạn dọc tư làm

Bài tập 4 Bảng việc chứng mình (u„) đơn điệu tang và bị chan trên td 2 (cu

thể u,< 2 - — ) chúng ta kết luận được đây sỏ có giới hạn

n

Bai tap 5 Ta sẽ đi chứng minh (u„) đơn điệu giảm và bị chạn dưới

a - Vì uạ >0 với mọi n, nên ta xét tỈ số:

Vậy, dãy (uạ) có giới hạn

Bài tập 6.- Với các kết quả đã biết trong những bài tập trước ta có (0) đới điệu tăng và bị chạn trên bởi 2 do đó nó có piới hạn

Bài tập 7

d +2

"u là số hạng đảu tiên

"- dlàcông sai

Đặc biệt khi d = 0 thì (úị) là đầy so trong đo tắt cả các số hạng đều tàng chau

2 CAC TINH CHAT

" Số hạng thứn dược cho bơi công thức:

u, =u, +(n— I)d

# Uns Un ys Uy 42 1a ba so hang lien ticp của cấp số cộng (uạ) nếu:

uU, = ~(u, + u,,>5)

5 net

" Tổng của n số hạng đầu tiên S, được cho bởi công thức:

pit ONG PH ape HUNG

Câu hỏi thường được đạt ra là:

"Cho ba sa, bh, lắp thành cáp só công, chứng mình tính chất È " khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bude 1: Từ giả thiết a, b, c lấp thành một cấp số cộng, ta được:

a+c=2h

hoặc biểu thức tương dươnga b=b -c= 2 (a-c)

Bước 2: ` Chứng minh tinh chat K

24

BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRÁC NGHIÊM

Bai tp 1 Cho ba so a b ¢ lap thanh mot cap so cong Ching minh rang:

a’ +8be = (2b4+c)’

Bai tip 2 Cho (a,) là một cấp số công Chứng mình rang:

aA cay tdy,=@y ta, ¿vu VớỚk=l,2, n

b (qo na,t(r p)a,+(p- g)a, =0:

WAY Aas Ave wees Bn ps eee

By, yy Age oe Adge ose

Bài np 4 Cho (a,) là một cấp số cộng Hỏi các đãy số sau có phải là cấp số

congkhong ?

a (a, +p), voi p là số thực tuỳ ý

E_ (p.a,), với p là số thực tuỳ ý

Bài ap 5 Cho ba số a`, b, c” lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0

Ching minh rang ba so - ` ! = A cũng lập thành mot cap s6 céng

bre c+a atb

Bai ap 6 Cho ba so đương a, b, c lập thành một cấp số cộng Chứng minh-

im điều Kiến của tham số đe bà số lắp thành một cấp số cộng

PHƯƠNG PH ÁP CHUNG

Để ba số a, b, € lập thành cập số công, điều kiến là

+ = 9h, bài toán được chuyen vẻ việc giải phương trình Chú ý: Với bài toán “Vin điên kiện cỉa tham vò dc phương trình có các

nghiệm lập thành cáp và cóne” chúng ta cần sử dụng phương pháp điều kiện

cần và đủ để thực hiện

BÀI TẬP TỰ LUẬN VA TRAC NGHIEM

Bài tập7 Tim x dé ba so sau lap thanh mot cap so cong:

có 3 nghiệm phân biết x x x, lập thành cấp sò công

Q b=0,a<0 U b=0,a>0 U a=b=0 UO a=lb=2

Bai tap 9 Cho phương trình:

x'+ax’+ bx +c=0

có 3 nghiệm phân biệt x,

số cộng khi và chỉ khi 2a „ X: Chứng minh rằng 3 nghiệm đó lập thành cấp

Bài toán 4: Tìm các phản ti cua mot cap so cong (u,)

PHƯƠNG PHAP CHUNG

Thong thường bài toán duoc chuyen ve sac dink u, va cong sad

BAL TAP TU LUAN VA TRAC NGHIEM

Bai tap 11 Cho cap so cong (u,) thoa manu, ou, + u, = 10 va u, + u, = 26

Tim so hang dau tien va cong sai

[ pai toán 5: Tính tổng

PHUONG PHAP CHUNG ——

“Thông thường bài toán được chuyển về tính tổng của một cấp số cộng

BAI TAP TU LUAN VA TRAC NGHIEM

Bai tap 15 Tính tổng sau:

II HƯỚNG DẪN - GIẢI - ĐÁP SỐ

Bài tập l Sử dụng điều kiện 2b= a +c

c+a a+b _ (c +a)(a + bị) (a+b)(bLc)(C+a)”

Từ (1) và (2) do điều kiện ba số a”, bỶ, cÝ lập thành một cấp số cộng suy ra:

bte cta ath

Bai tap 6 ‘Tir gia thiét a, b,c ap thành một cấp số cộng, ta được:

a+c=2b<+a -b=b-c= "¬ €)

28

<> X),X),X, lap thanh cap so cong

Vậy, điều kiện cần và đủ để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng là:

2a‘ Dab + 27c = 0

29

Chương |: Dây số Cap Mục Cái

Bai tap 10

a Sử dụng phương pháp đúcu Kien cần và đủ tị thức hiện nhữ xa:

Điển Kiện can: Gia su phướn: trình có bà nglicm phản biết thành cấp s cộng, khi đó:

Bai tap 12 u, = 3 hoacu, = 17 vad = 3

Bai tap 13 2; 4; 6; 8 hoac 8; 6: 4; 2

Bai tap 14 1; 3; 5; 7, 9 hoac 9.7; 5; 3; 1

Bai tap 15 S = 73255

Bai tap 16 S = 20100

30

CHỦ ĐỀ 4

CẤP SỐ NHÂN

I TOM TẤT LÝ THUYẾT

1 ĐINH NGHIA

E 0vvo (uy) được vác đính hơi

uy, sug vne N°

(u q là hàn số thực khác Ø cho trước) được gọi là cấp số nhân

"u là số hạng đầu tiên

" qlàcông bội

Eác biết khí q = T thì (tý) là đầy số trong đó tất cả các số hạng đều bảng nhau

2 CÁC TÍNH CHẤT

" Sö hạng thứ n được cho bởi công thức u„ = u,.q"

"0.u,,¿,0„, › là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân (u,) nếu:

~PHUONG PHAPCHUNG TÔ —

Câu hỏi thường được đạt ra là:

th Cho bạ xốa, b,c lắp thành cáp xố nhân, chứng mình tính chất K "

[mà toán nl: Ching ‘inh tính :

khi ló, ta thực hiện theo các bước sau:

ước Ú- Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số nhân, ta được a.c = bỶ tước 3: Chứng mình tính chất K

BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRÁC NGHIÊM

Bài tập Í Cho bà số a, b.c lập thành một cấp số nhân Chứng minh răng:

¿ (ab+ be + ca) =abe(at b+ cy)

to (atbtea btosatbh te

‘ [ : ' 1 ! Ị \ bic? = aly bite’

31

Chương l: Day so Cap sy cone Cáp so niin

Bài tập 2 Cho cập sò nhân (a1 Có thể a.) Cling ap thanh mot cap so cérg hay không ?

Bài tập 3 Cho (a,) la mốt cấp số nhân [lối các đếy số sau có phản là cấtp tố

nhân không ?

ä_ Là cấp sö nhân 4 Khong la cap so nhan

b ạ, 4¿, đạ, dị,

Q Lacapso nhan 4 Khong la cap so nhan

Bài tập 4 Cho (a,) là một cấp so nhan wii cong borg 4 Evia, 7.0 Hoi cic

dãy số sau có phải là cấp só nhân không ”

a (a,+ p), vor p là sò thực tuỳ ý

b (p.a,), voi p la so thue khae 0)

ä_ Là cấp só nhân U Khong là cấp số nhân

BAL TAP TUE LUAN VACTRAC NGHIEM

VỐN CC SƠ + Py oan # bes

$2800 2 dap thanh mot cap se nhàn

1N 3x= §

\ 2, MES yo2v¢ yoy 4 28 lấp thành mọt cấp số công,

J i — : vat Oy J (OO) va’ xa 5-3

Bài tạp 9, Tính x theo ab de ba soy + aly + box + © lap than

Bai toan 4: lim cae phan teeta mot cap so nhan (u,)

PHUONG PHAP CHUNG

h mot cap

“Thống thường bài toán được chuyên vẻ xác định u, và công bỏi q

BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRÁC NGHIÊM

Bài tạp TT Tìm số hàng đâu tiền và cong boi Cua cap so nhân (u,) thoa man

Bai tap 12 Cho cap so nhan (u,) thoa manu, u,= 12 vau u,=

at Tim số hạng đâu tiên và công bói

J1 u,=#®vàuq =3 d1 n= lvàqg= 3

33

b Tinh tong so cua 10 so hang dau tien

Bài tập 14 Cho cấp số nhân (uạ) thoa mãn ú + u,= IDvàn,+u +0 = ởI

Tim so hang dau tien va cong bot

PHUONG PHAP CHUNG

Thông thường bài toán được chuyến vẻ tính tòng của một cạp so nhìn

BÀI TẬP TỰ LUẬN VÀ TRÁC NGHIÊM

Bai tap 16 Tinh tong sau:

Bai top PS Linh tong sau

IIL HUONG DAN - GIAL~ BAP SO

Bai up 1 Voi ba soa b,c lắp thành một cấp số nhân tà được bÌ = ac

a lad:

(ah + be + cả) = (ab+ be +b) =blatb+ey' =bb (a+b +c)

lI abeta + b +e), dpem

Bai tap § Voi ba soa, boc lap thank mot cap socnhan te duoe b= ac

Khi do:

(Vab thed ca =aabt be + casabe bho eb = bat bio

= Vb‘ (as b4+o)= Vb b(íi+h+ciz vabetat be)

e> ba so Vabe, Vab- bes casa th + hap thank mot cap so nhan

Bài tập 6 Biên dõi biểu thức:

(a + b')(b? + c7) = (ab + bey co are’ +bÍ=2ahcs>ltac bh’) = 0

<» b =ác 2> bà số a, bà c lập thành mọt cáp so nhân

Bài tập 7 x=2.x= -8

Bài tập 8 Ta lần lượt sử dụng các giả thiết:

a Cac so 5x ~ y, 2X + 3y, x + 2v lắp thành möEcäp so công, suy raz

b Các số (y + L, xy + l,(x— 1) lập thành một cấp số nhân, NUỲ ra:

= VGi(y + 1x © 1) = (xy + 1), ta duge:

(y + 1)(2x ~ 2) = (2xy +2) <9 (y + Sy 2) =(ốy +2)

<>3y-4=0U<»y= : >X= ae

" Với (y + l)(x l)= (xy + 1), ta được:

(y + 1)(2x 2)=- (2xy+2)<>(y + (5y -2)<=- (5y )+2

Bíi lap 2.0, 0 2vaq = 2 S © 2046.8 = 1680

Baitap 1 Gorg sO ke cong bor cua cap se nhan Cu), Gt co

Vậy, tòn tại hai cấp số nhân thoa mãn điệu kiến đâu bài,

Bai tap 1S Ba so khac khong bang nhau bat ki

Chưnng 1 Day su Cap so cong Capsonhian

Bai tap 20 Ta vict lai S = 601 + 11+ TL +

Nét hai đầy so:

* Cap so nhân (u,) cou, = 1 va cong borg = 10

=® Day so(s,)= {loll tile

li (OX) Sele ves, 16 > OF [Ss — X„| #:ð Bi có Mts) dL <e

Đình nghĩa 2 (Dinh nghia gioi han cud han so bang stoi han cua div so):

hind tix) = / > Vor moi day {x} > x, tacd foxy) >

2 CAC DIMELI VE GIOLHAN CUA HAM SO

Dinh lil: Vinh duy nhat cua vidi han): Neu mot ham và có giỏi hạn thí giới

ham đó là dụ nhất

Đnh lí 2: (Cúc phép toàn trêu các giai hạn cha hàm xo ); Néu hai hàm và

/fv1\2 0f\) có tot han hiv > x thi ta cd

lim [fo ' g(X)|= tim foxy + lim g(x)

lim [(X).p(x)J= lim f(x) lim gtx)

lim fox) (x) von 4

gtX) lim gtx) ‘

lim y foxy = lim fix) vr fox) > 0

Dinh le 3: (Negieven te hep gitta): Cho ha hin so fy), x) va hid sea che

fi sg shodva tim toy) = tim hoy = Eth tim g(x) = 0,

3 GIỚI ILAN CƠ BAN

Trice

1 tim C= Cl ver C ta hang so

Neu ham so fix? xac dink tar diem x thi dim ECX) = EU)

Chường HE Gio han cus hain se

4 GIOLHAN MOT PHILA

Định nghĩa 3 Tủ có

a Giới han trải:

lim f(x)=#z >2», lÄS0; Gee Ve Oth lar a i<k

b Gioi han phai:

lim Í(x)=a+»*:>0, 1ä>0:0<x vy <dthi vì al <i

Định lí 4: Điệu Kiện cần và dù để: hm ECx)= a là: lùn ECvi= Tìm tesi=a

5 GIOLHAN 6 VO CUC

Đỉnh nghĩa 4 Ta có

limf(x)=a<c>*:>0,31A>0:/x >/VXucó fis) al <e

Đỉnh nghĩa Š- Tà có

lim f(x) =ac> Ve>0, IM<O:x<Mtacd (Mx) al <t

Định lí 6: (Nguyên lí kẹp gittay: Cho ba him so fir), gx) va lity) sao cho

f0) Se) Shiv) va lim f(x) = lim h(x) =L thi lim g(x) = Lb

6 GIGLHAN VO CUC

Định nghĩa 6: Tu có:

lim f(x) =~ o> Ve>0, >0: [x x) <dtacd | fly) >e

ILLPHUONG PHAP GIAT CAC DA}

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước T Với Vẽ >0, xuất phát từ bát đăng thức:

l Ifixy al<n six ox <6)

Bước 2 Dat = le)

Bước š — Vậy, tà được:

VE>, lŠ=ð()3>Ú: Xx XI <ð1adeó ĐẾN ạ <i

so lim ft) =a