LE HAI CHAU
Cac dang toan
co ban & nang cao LUGNG GIAC 11
Trang 3Vài dòng mở đầu
Chương trình “Dại số uà giải tích” lớp 11 gồm hai phan:
Phan 1 Hàm số lượng giác - Phương trình uà hệ phương
trình lượng giác
Phân 3 Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân Giới hạn, hàm số
mu va ham sé légarit
Tập sách “Cac dang todn co ban uà nâng cao” lớp 11 được
biên soạn thành hai cuốn: - Lượng giác lop 11 ~ Giải tích lớp 11
Cuốn “Lượng giác lớp 11” gơm 6 dạng tốn điển hình, mỗt dạng được trình bày như sau:
a) Kiến thúc cần nắm vitng
b) Đề bài
c) Gợi ý phương pháp giải - Giải
d) Bài toán tự giải (chỉ có dap số) e) Bài tập trắc nghiệm
Ngoài ra cuối một số dạng toán còn có mục “Bạn có biết?” gồm những mẩu chuyện toán học uừa nâng cao hiểu biết, mở rộng
tầm mắt, uừa có tính chất giải trí
Hì uọng, cũng như cuốn “Các dạng tốn cơ bản nơng cao”,
bồi dưỡng đạt số lớp 10 đã xuất bản, cuốn sách này sẽ giúp ích
thiết thực cho đông đảo các em học sinh (uà cả các bậc phụ
huynh) để nâng cao trình độ toán học của mình uươn lên học giỏi mơn Tốn
Trang 4Dạng toan I
CAC HAM SO LUONG GIAC
A KIEN THUG CAN NAM VONG
Góc và cung lượng giác
1) Dé do cae géc ta dung don tị “độ”: tóc 19: Tao Sóc bet: 1' =601% 1'=60°, Ngoài ra còn có một đơn vị khác, đó là “radian” (viết tat 1A rad): 1° = bad = 0,01745rad 180 18( ‘ lrad = = dé=57°17'45", [ Độ | ao | 45° | 60" | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | Radian „ | kẻ us Eo 2m 3x 5x + | oa | 3 2 3 4 6 Trên đường tròn bán kính R, cung có số đo «@ rad có độ dài là: 1 = Ra
Nếu ư = 1 thì / = R: Cung cé sé đo 1 radian là cung có độ đài
bằng bán kính của đường tròn mang cung đó., 3) Góc bà cung lượng giác
Với hai tỉa Ox, Oy cho trước có vô số góc lượng giác cùng kí hiệu (Ox, Oy) So với góc-lượng giác kí hiệu là sđ(Ox, Oy), ta có công thức: la" +kk.360° (ke Z2) sd(Ox, Oy) = lee +k2x (keZ) Số đo của cung lượng giác ÁB là số đo của góc (Ox, Oy) còn viết là (OA, OB)
3) Dường tròn lượng giác
Trang 5Muốn biểu diễn cung ơ trên đường tròn lượng giác chỉ căn xúc định điểm ngọn của cung này Nếu œ là một số thực cho trước thì các hệ thức: sảẤN hoặc œ + k.2m (ke Z) xác định một và chỉ một điểm M trên đường tròn lượng giiíc Các hàm số lượng giác Cac gia tri sina, cosa, tana, cotœ được gọi là các giá trị lương giác của cung œ
Truc tung còn gọi là (rực sin, trục hoành còn gọi 1a truc cosin
Trang 61) Cung doi nhau: ava (-@ cos(—a) = cosa sin(=ơ) = -sinœ tan(-ư) = —tana cot(—a) = —cota 2) (Cung bu nhau: ava (x- ở) Sin(r — @) = sing cos(t — a) = —cosa tan(x — a) = —tana cot(n — a) = —cota 3) Cung hơn kém mœ ava (a+ n) sin(a + n) =— sina cos(a + m) =— cosa tan(a + 7m) = tana cot(a + =) = cota 4) Cung phu nhau: ava lš-z] : É sin| ——œ |=cosœ 2 T ) cos| ——œ |=sinœ i tan( Za) cota 2 cai Š—w ]> tang, 2
Hàm số lượng giác ngược
1) Xét hàm số y = sinx trong đoạn 1 với điều kiện -1<y <1
Trong đoạn này chỉ có một cung duy nhất x = arcsiny ma sin
bằng y Hàm số này gọi là hàm số ngược của hàm số y = sin x
Hàm số y = arcsinx có miền xác định là [ —-1; I] và tập hợp các
Trang 7Ham số y = arccosx có miễn xác định là | -1; 1] và tập hợp các
giá trị của nó là đoạn [0:z|(đọc là: y là cung có cosin bằng x) Đồ thị hai hàm số này như sau:
BÀI y = arccosx
nị
|
2) Hàm số y = arctanx có miền xác định là R va tập hợp các giá trị của nó là đoạn I-š3] (đọc là: y là cung có tang bằng x)
Hàm số y = arccotx có miền xác định là R và tập hợp các giá trị
của nó là đoạn [0:z] (đọc là: y là cung có cotang bằng x)
Đồ thị hai hàm số này như sau: _ y y T QR x 2 2 y = arccotx = tx O x O x y = arctanx x 7 _ == 2 2 3) Các tính chất
a) sin (aresinx) = x; cos (arccosx) = x
Trang 8B DE BAI
Bai 1 Trong phao binh, mot li gige = ——~ woe day Hor:
6000
a) Mot li gide bang bao nhiéu do, bao nhiéu radian?
h) 1 radian bang may li gidc, mot dé bang mAy li gide? Bài 2 Xác định dấu của:
7 :
a) thy l b) cos(sin 2)
Bai 3 Néu 0<x ae thì đấu của các tích sau là đấu gì:
T, = cos{ +x].sin SE x cot +x)?
2 (2
š (3x ã
T; =sin(x + x).cos| a tan(a—x)?
Bài 4 Với giá trị nào của ở thì ta có đẳng thức sau: 5 a)sinơœ=-V1-cos +; b)cosa = cos(2z - a); a sing - oh l-cosa c)tan = = ——— ; d)sin— = [Brae 2 1+cosa 2 2
Bài 5 Tích sin(1,5x - J).cos(0,5m + [).eot(x +3) với 0<[}< 0,5x
là dương hay âm?
Bài 6 Với giá trị nào của ƒ) thì ta có các đẳng thức sau:
7 _ ‘
a) sinp= been ~ A088 (mzn, mvà n đều dương)?
2mn
L a (5 1 2
b) sinj I*cosfl 1—cosp 11 no Tacs Dix =f BO v v + cot* 3 2n)9
Bài 7 Rút gọn các bicu thức sau:
x 9 4
sin* a sina + cosa
a)M=————— :
sinœ-€osœ tan? a@-1
Trang 9Bai 8 Tinh gid tri cua tong sin! [}+cos'B nếu: a)sinB.cos} = b)sin + cos[*- m Bài 9 Rút gọn: 8 3 a) (sinx + coe x)” +(sin x —cosx) ‹ 4 2 b) sin? y - cos" y + cos? yi ae 4 „sẽ 2 c) cos* + sin? y + sin” y€os“ y; tanz+cotz ———=lÍ it 1 tanz-cotz tanz+cotz)\sin?z cos?z/ Bài 10 Tính: ~ 8
a) sina, cosa, tana néu cot a =- jg “2 Sina > cosa;
b) tan?a+cot”« néu tanu — cota = 3; 2 z 1 c) tana + cota néu sina + cosa =—; % sina + 2cosœ đ) : néu tana=— R 2 cosa - 3sina 5 Bai 11 Chimg minh rang: 1 # + sina cosa
a) sina +cosa.cota+sina.tana + cosa =
sin + eosj3- 1+ 2cos? B — 2
sinB-cosB cos” p(tan? 8-1) 1+tanB'
b)
Bai 12 Rut gon:
Trang 10d)(sinz + tanz) (cosz+ cotz)
Bai 13
: 3đsing cco§ứử v, mua
a) Tinh —— , biết tanu = -7 và -«<d«<m
€oSŒ Ssinest 2
;
z 4 f 9 - oat, + `
b) Tinh sing = voor" u-cos* a biết sinớơ= 0,75 và x« œ< 2n Bài 14 Chứng minh răng: ˆ
sinh y+eosÌy-l —= 2 b) sin” y ~ tan® Y _ tan? —— —s— =tan”y
a) sin®y+cos'y-1 5 6 3” 3 cos” y ~cot” y Bai 15 Rut gon: cos(a - ™) SẠC £ ~ ).€os(dœ + a) A= 2 , tanta —m) cos(a +m) | sin(~ z) 1 ù cos| u + Bị 208 5
b)B= «|5 + b] sint +) + cosứr - B).sin(-J)+
cos(x + p).cos{8 -2}- tan( 5+ p}.cot( 2 +0))
dì Ốc pines - pee joni fags
l+sina Y1-sina }| V1l+cosa Y1-cosa } Bai 16 ‘a) Tinh giá trị của biểu thức:
cos@cot g — SIn (0 tan ợ wah 3
Pe = ae, bist singcos@ =p
sing - €os 0 b) Tính giá trị của biểu thức
Q = tan® p+ cot? ~,biét tang + cose =q
Bai 17
a) Bién ddi hiéu: 1-(sin® ~ + cos® y) thanh một tích
Trang 11Bai 18 Chung minh rang trong tam giác DIEF ta có các hệ thức sau a) sin a =m ; 2 2 b) cos F =—cos(D + E+2F); D+E F €) tan ——— =cot— 2 2 Bai 19 a) Tính cosơ biết:
3sin?(2x~ ơ) 7sin d(u -ủ +3=0 b) Tinh tan B biết: 9 £ Oo; sin(2z - (3) cos(x - ƒ) +sin?| 2 ~ñ |—sin?@x- 3) =0 \ Bài 20 Chứng minh hằng đẳng thức: ee 2 ewe 1l-cose sing rồi minh họa bằng dựng tam giác ABC có cạnh huyền bềng I va một góc nhọn bằng ưu
HAM SO LUGNG GIÁC NGƯỢC
Bai 21 Tính giá trị của:
3 ( ( 1
a) cos Sai.” : b) tan | areeos|=Ÿ | d) cos arecos| Ý2 of)
{ \ 2 2)
T
€) arcsin Ga §
Bai 22 Ching minh rằng:
a) arcsina +arcuosa =— (với~1sơ <1);
NIA pla
Trang 12Bài 23 a) Cho hàm số y- arecosx”, Hàm số này chẩn hay lẻ? Võ đo thị của nó b) Cho hàm số y - arecos”x Hàm số này đồng biến hay nghịch biên? Vẽ đỏ thị của nó Bài 24 Chứng minh rằng: es arecot néu x >0 x arctan X = 1 a arecot— - 7m néu x <0 ( x ‘ ` Ha a 1 Ap dụng: Vẽ đồ thị hàm số y =arctan x —arccot — x Bài 25 Cho hàm số y = arcsin(sin x)
Trang 133000, „ ĐŨN, lradian = TA giác; 1 độ= Tu giác TL « Bài 2 7
a) Với tan ta có Belen nên tan < 0;
b) Vì -1<sin2<l1 nên - 5% sin2 < 5 d6 cos(sin 2) > 0 Bài 3
Với 0<x<5 thì:
e cos{ Z+ x} <0,sin{ 2 x) <O,eot6n +x) »0,do dé T, >0;
° n<ntxcon nén sin(n +x) <0, Sx<Sm4x<On nén
cos(n +x) >0,F<n-x<n nên tan(x~— x)<0, do đó T; >0
Bài 4
a) Ta có đẳng thức sinơ =-V1-cos°œ, dow1-cos°œ là căn số học
nén sina <0, ma sina <Okvck œ tận cùng trong góc phần tư thứ
ba hoặc thứ tư tức là với (2k - 1)m < œ < k.2r (k =0,+1,32, )
b)_ Đẳng thức cosơ =cos(2x -œ) đúng với mọi ơ
Trang 14Bài 6 a) Ta có: a 2 › m“+2mn:n"-2mn (tm-nÌ sinl=-—————, = - - 2mn 2 nên dang thức này không thể xây ra ———' ——— r——= b)_ Ta có: A oe = L_?- | a Ề J2 -
1+cos{} 1-cosfs \1-cos”j Vsin2p |sinBl Do đó vế trái của đẳng thức đã cho bằng:
1 ~4#„ lÄ[1<=—— sinB |sinB] sinB| sinB| 1 }
+1 >1, Nhưng [sinB|<1
Muốn trong dấu ngoặc cuối này trở thành 2+cot?Ð thì |sinBlE-sinj tức là sinj)<0 Thật thế, trong trường hợp này
biểu thức trong ngoặc sẽ là 1+ aay Brent! B Thé thi vdi sin” sinB<0, ta có (2k +1)x< [3< (2k +9)m Bài 7 a) Biến đổi phân thức thứ hai > 9 °
sina+cosa cos a(sina+cosa) cos" a
tan? a-1 sin? a —cos? a sina —cosa
Do đó biểu thức đã cho có thể viết: ;n9 3 ;.9 3 sin” a cos’ & sin” @—cos” a M=— —= =— —, hay SinŒ —Cosœ sina —-cosa sina —cosa@ M =sina+cosa
b)_ Nhân cả hai vế với tích (1 + cosœ)(1 + cos[)(1 + cosy) được:
N= [a +cosa)(1 + cosB)(1 + cos py = (1 —cos? œ)(1 — cos” B)(1 - cos” ),
hay
NÑ =sin? œ.sin? B.sin? y
Biểu thức (1 + cosœ)(1 + cosj))(1 + cosy) không âm với mọi œ, B, y
(vì | cos œ |< 1) nên ta có:
Trang 15a) b) b) c) d) Néu sing, sin{s, siny déu duong thi N = sina sinfs siny 8
sin’ B+ cos’ B= (sin? B+ cos? (3)? - 2sin? Boos? (3
sin’ S+ cos’ B=1-2sin? Boos” [} (*).Lai cé (sin + cos)” =m", 2 m~1 “ Suy ra sinJ.cos|ì = Thay vào (*) được: 2 ¬ sin” ƒ + cosf x = (2m ~mÏ +1) 2 ` 9 ‘ Do (es 22 2 ; (sin x +cosx)” + (sin x ~ eos x)” = sin“ x + cos” x + 2sin xcosx + 2
+sin” x + cos” x-2sinxcosx =14+1=2
sin’ y —cos! y + cos” y = (sin? y + cos” y)(sin” y — cos? y) + cos” y =
‘ 2 ;
= sin? y —cosẼ y + cos” y = sin y
4 +e Ác 3? y = cos? y(cos? y +sin2 sả p2 se —
cos” y + sin” y + sin” y cos” y = cos” y(Cos” y + sin” y) + sin” y =
2 2
= €0S“ ÿ + sin“ y =1
Thừa số thứ nhất có thể viết:
tanz+cotz tanz-cotz (tanz+cotz)® -(tanz—cotz)* _
tanz—cotz tanz+cotz tan? z- cot? z
4tanz.cotz 4” 4 _ 4 sin® zcos”z = — = —=— =— tan?z-cot”z tan°z-cot?z sin2z cosiz sin" z— cosf z cos°z sin2z Thừa số thứ hai có thể viết: 2 1 1 cos” z-sin?z oo ale wine a
Sin“z cos“z sin” z.cos*z Vậy biểu thức đã cho trở thành:
¡n2 2 2 n2
4sin°zcos”z cos*z—sin Zz -4
Trang 16
Bài 10 9 15 a sin 15 snfu 225 a) Taco ngay tang =-—.thé thi ——— = hay ———=——: § COS 8 cos 64 1 225 ` 8 : —s—=—~_: Từ đó cosa = -— va sina=1 (do sina <cosa) cos œ 64 5 -
b) Néu tanu — cotu = 3 thi (tana —cota)? =9, hay
tan” ơ + cot? œ -2tanacota =9,ma tanacota = 1 nén tan? a+cot?a@ =9+2=11 2 sing | cosa _ sin a+cos* a _ 1 c) Tacoé: tana+cota= - - - i
cosa sina sina cosa sina cosa
Néu sinu + cosa = thì (sina + cosa)” = Thay 14+2sinacosa =<
Do dé Đgingeosg =2 —1=~Š Vậy tana + cota =—5 sina +2cosa d) Chia tu va mẫu của biểu thức cho cosa duge cosa —3sina 2 42 ia NOt? “hay tane=E taxed: 5, §, =F =, 1-8tana 5 1-3x2 1-8 5 T1 5 5 Bai 11
a) Biến đổi vế trái:
: costa sin? a sin?a+cos?a sin? a+cos?a sina +— + + cosa = - + = sing cosa sing cosa = + + , đúng bằng vế phải sing cosa b) Bién déi vé trai: = x8 z 2
tanB+1_cos*B —_ (tanB+1)" -tan*B-3 _
tanB-1 tan?B-1 tan? B-1
_AtanB-1) 2 "— ý nhải
Trang 17Bai 12 a) Biéu thie da cho c6 thé viét gon nhu sau: ` GOE X.€08 X.SI1 X —=l,vì tan( 2 - x] = cot x, cos(2m — x) = cosx, ` Lẻ COS X COS X 5 my Tt
sin(t - x) =sinx, sin 3 =|" cosx, cos(-x) =cosx
b) Biểu thức đã cho có thể viết: sint Bee Ìein t+cost) = [cost = cost j costsin cost| 1— }en t+cost) = cost
(cost —sint)(cost + sin t) =cos” t - sin” t ce) Bién déi tử:
1-sin’ y -cos’ y =1-(sin* y+ 2sin? y cos? y + cos" y) + 2sin? y cos? y
= 1-(sin? y + cos? y)? + 2Qsin? y cos? y =1-14 2sin? ycos” y
=2sin? y cos” y
Vậy biểu thức đã cho trở thành:
2sinÊ ycos y _ sin? y
a
1 =9tan? y
cos” y cos” y
d) Biéu thitc da cho cé thé viét:
Trang 184 2 2 cos’ sin” (+ cos” & 1 SINU + ———— —————~ = sin Œ sing sing 3 " ~.à 4 Thay sing = 0.75 3 được giá trị biểu thức là — Bải 14 a) Bién doi vé trai: 9 9 9
(sin® y + cos” y)* —2sin? y cos” y-l
(sin? y+ cos” y)(sinÏ y —sin? ycos” y + cos’ y)-1 7
_ ~9sin” y cos” y 2 sin” y cos? y _2
(in? y+cos” y)“ ~3sin? ycos? y —1 _~8sin? ycos? y 3
dung bang vé phai
b) Biến đổi vế trái:
sin® vụ = = cos” y =tan? 4 1 2 Akan?! ld y_ 4 y_ tan® 7
cos? [1 ay 1-1-cot“y cot*y sin’ y đúng bằng vế phải Bai 15 a) Do «la ~ 4 = cos{ $ - a} tan(œ - x) =—tan(r — œ); sinít - œ) = sifœ ` ầm Ẵ - 5 a : €OS(T + œ) =cosœ Và cos(a + =) =sinơ, nên biểu thức đã cho có thể viết: cosỈ - =œ A= 2 a tan(r-a)cosa sina tanacosa sina 1 sina 1 sin a sina 2 ` =1-sin? a =cos” a
b) Do cos( 2 + p| =-sinf: sin(x+)=—sinÐ; cos(t— ) =—cosf; sin(-J) = —sinJ; cos(x + B) =—cosj; cos|B - 4 =sinB,va
tan (5 + p| =cot Bi cot + ) =-tan; nên biểu thức đã cho có
Trang 19B=sinBsin Ji + cosf}sin [}—cos[ssin [} — cot Btan [} = =sin?B~—1 = ~cos j
ce) Do |sinơ|<1và [cosœ|<1nên tất cá biểu thức dưới đấu căn đều
không âm, do đó:
[L-sine - _Œ-sinz)~(1+sing)_ 2simớ
1+sinœ l-sina Hm shee loosa |
Tương tự ta có:
1-cosa@ 1+cos«u 2cosa
l+cosa 1—€o§ứư |sin ở Ï 4sin œcosœ cosa sing
Vậy Œ=—————————=Á4 .—T : |eosơœ | |sinœ| leosa| |sina|
Với cung tận cùng trên nửa đường tròn lượng giác phía trên thi sina > 0 nén lsinơl = sinơ, với cung tận cùng trên nửa dường
tròn lượng giác phía dưới thì sinư < 0 nén Isinu! = -sinu
Với cung tận cùng trên nửa đường tròn lượng giác bên phải thì
Icosal = cosa, vdi cung tận cùng trên nưa đường tròn lượng giác
bên trái thì leosœ|l =—cosœ Vậy, cuối cùng ta được:
4 nếu k.2n< œ< = +k.2m (góc phan tu 1D
-4 nếu at k.2m< œ< (3k + 1)m (góc phần tư II)
C=
4 nếu (2k + 1)x ` +k.2n (góc phần tư IIU) —4 nếu gnt kiên cứ <Đ(k + 1)x (góc phần tư IV)
Bai 16
a) Trước hết ta biến đổi P sao cho xuất hiện được tích sinocoso như sau:
cos” Q sin? 0
P= “sing _ cosy _ cosŠ = sin 9 _singoos@
Trang 20by Ta e6: Q= (anes cotoitan? o- tan@eot g + cot? o) = qq? —2-1)= qlq? -3) Bai 17 # 2 - đỗ 1 2 ụ Í „ đổi 9 : Ta có: sinPo + cos”o =(eos” a + gin” @)(eosỶ @ = sin ocos” 9 + sin? 9) 1 s3 3 i =cos° sin” GO.cos” a+ sin’ 8 - 2 $ +8 2 = cos? @(l - sin? 9) - sin” @ cos” @ + sin? @(1 - cos” @) 9 a) : 9 - 2 _
=(cos? @ + sin“@)— 3äeos” @.sin“ =1 — 3cos? ọ.sin? Q f 5 9
Tu d6 ta cé ngay: 1—(sin® » + cos" @) = 3sin? @.cos” ọ b) Ta cd: sin? @+cos 9 =
» “ 8 -: 2
= (sing +cos@)(sin?  -sinđ ocos + sin? cos? ¢ — sing cos® g + cos* @)
=(sing +cos @)| (sin! e+ cos? @)-sin gers (sin? ọ + cos? g) + sin? ọcos2 | (*)
Trang 21bị DoD+E+F=xnênD+Ex+2F=x+E Do đó: cos (D + E + 2F) = cos (xn + F) = -cosF
hay cosF = —cos (D + E + 2F) E E 5) F =tan| ——— |=cot— 3 3 2 c) tan Bai 19 a) Taco: sin(2x- a) = sin( œ) = -sinơ; in{ 3 sin § sĩ JE 1) Œ( 5 == =8 =f eee) =~8Sli ~—14|=~CU§( 2 he ia)
Như vậy biểu thức đã cho trở thành: 3sin”œ +7cos¿ + 3= Ú,
hay 3cos2œ—7cosœ- 6 =0 Giải phương trình bậc hai mà ân là
2
cosa nay được hai nghiệm cosơi = 3>1(löại) và cosơa = =
b)_ Do sin(2w-B) = sin(-B) =~sin [3
cos(x — }) =—cos fs sin( 58 = ) =~cosj
nên biểu thức đã cho trở thành: sincosjf + cos” 0 - sin“[) = 0
Chia cả hai vế cho cos2ƒ' được:
tanD+1—tanˆ0=0, hay tan?j'—-tanB—1 =0 Giải ra được tanB= a
- Bài 20
Trước tiên ta biến đổi vế trái như Šau:
sina _ sinơŒ+cosœ) _ sina(1+cosa@) _ 1+ cosu
Trang 22"Thay BA = sinu, BỊ = Ì - cosu,
BE = 1 + cogu vào (2) được hằng đăng thức ở đề bài: Sins ] + cosa 1—cose sim ứ Bài 21 a) Ta biét rang: cos(arcsinx) = V1- x? fj | O day x= sy nen cos(arcsin x) = i - (Con-cé the giai nhu sau: [3 ẤN Tv =) 1 aresin — = —,nén cos} arcsin — }=cos—=—) 2 3 3) 3 2 b) Ta có: areos| -5 = 2m an 2 3 f 1 2n [a can| a (= cos| 3) arecos| =— ||=tan— =-ý3 ăn Vv + H a ec) Ta có: 285 =0,nén:
aresin{ cos =arcsin0O = 0
d) Dat t= so a có cost = = (wig <t<®)
Lại có: eos mes-Š }"Ÿ]* cos[+t~5 ]=sint),nên
sin? t=1-cos* t,ttr dé sint = Thay gid tri cua sint vao (*) duge:
-#)-Ÿ
9S} arccos a
: 2} 2} 2
Trang 23Bài 22
a) Dat s = arcsinx, ta cé x = sins [si - t = arccosx ta có x = cost (với 0 < t< n)
Suy ra: sins = sint hay sins= sin| 5 3) (*)
T 3n ; 1 m
:Do -—<s+t<—nên Œ) cho: s=——t 0-588 9 ne (*) cho h hay s+t=— ay s+t=> Vậy arcsin x + arccos x = >
b) Tacé: tan{ — arccot x| = cot(arccot x) =x
Do đó: = arccot x = arctan x
Vay arctan x + arccot x = s
Bài 23
a) Miền xác định của hàm số là đoạn [—1; 1] Hàm số này chắn, trên đoạn [0; 1] nó nghịch biến từ „ đến 0,
Trang 24Bài 24
Với x > 0 thì rõ ràng arctans = areeotx
Néu x < 0 thi arctanx = — arctan (—x) 1 = —arecot — = —-(m = arccot x) = arceet x — 1 -x Hàm số y = arctanx — arccotx xác định với mọi giá trị của x, trừ giá trị x = 0 (vì với x = 0 thì arecotx vo nghĩa) Theo hệ thức trên thì: _ Ụ néu x >0 ~m néu x<0 Hinh 4 Đồ thị như ở hình 4 Bài 25
Trang 25re Mot cach tong quát Néu _g tkÐn XS + k.2z thì y=x—k.2n `
Nếu +k2nex< 5 +k.2n thi y =(n-x)+k.2n
Trang 26Bài 27 1 i bat arctan2 =o va arcein =P voi O-u< "VA 0<< ag x10 4 4 <5 Ì | sin 23 Từ đó: cota = 2 sin |} "` .- PE i NÀO) sin{} : voteceot fi=1 23-1 5 Nhu thé: cot(a4 jp) = 22! = SEELS 22 21 Cot + cot fs 2r3 5 Suy ra +< 2 + KT T a Rg ¬‹ h ® mơ
Nhung do 0<a< va O<ji< a nòn0 «< ø t8< sido đó chỉ có giá tri k = 0 la thich hop
Vay @+ñ=Š, tức là äretan2 + aresin _ Le
, 4 Mù 4
6 BAI TOAN TU GIA
DE BAI
Bai 28 Tính giá trị của biểu thức sau: a) siny + sin2y + sui9y khi y= 5
2
b) 2sin{45° + z)4 Scos(1a0° - 22z)—~ 4eot(902 —z) khi z= 459
Eải 29 Tìm giá trị của ( để ta có các đẳng thức sau:
1 = 1+ cot? p: b) asin? ~=1-cos(?
sin |} 2 6
a)
Bai 30 Rút gọn các biểu thức sau:
a) sin’ a +cos* a + 2(2 + sin” ơ cos” gi
b) 2(sinP œ+ cos? u) ~ 3(sin’ «+ cost a) +1
Bai 31
a) Tìm giá trị nhỏ nhat cda | tana + cotal;
b) Tim giá trị lớn nhất cúa |sinB + cosB!
Bài 32 Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
Trang 27sin® x + cos? x
a) —— —=1-sinxcosx:
sin xX +.cosx:
1-cos°y — cos” y 1-gin? =~ $ L—sin® sir y 2
b) Sg BS —P ~(tan y —cot y)* + => mse =3'— tans: 1 1 1 1 ]—cos” y 20 2v cos” y sin’ y Bai 33 Tinh - 2 : 3a
a) Ysin? a(14+ cota) + cos? a(1+ tana) néu n<a< =
- cot?| œ+ = cos” œ< 3) 8 2 ‘i
; 2 2 cot(270° —a) cot2(360"-œ)-1
b) 7 +
cot? Ẹ - 4 —cos” [« + “| 1—tan2(a—180°) cot(180° +u) `
Bai 34
a) Khir B tt x =tan?B va y =sin” p
Trang 28BẠN CÓ BIẾT?
Do dai day cua~roa véi hai rong roc
Co hai rdng roc tam O va O" ban kinh R va r (với OO’ = đ) và một
dây cua-roa có dé dai la:
AB: ĐỀ :CD + ÔA,
(AB, CD là độ đài của tiếp tuyển)
Để tính độ dài cua—roa ta tinh riéng từng phần của nó (hình 6)
Hình 6 Xét tam giác O'KO vuông tại K ta có:
O'K = AB = vd? —(R-r)?,AOB - BO'G - KO'Ø
Trang 29E CAU HOI TRAC NGHIEM
Mỗi câu hỏi có 3 đáp án A, B, C hãy trả lời đáp án đúng -
1 Cho góc a 2 +k.2x Tinh géc « sao cho |u| <2z: 5 = ‘ 7 A, ge va aot B 2 va 22: ¢ Om oi — 5 - 5 3 3 9 9 2 Kim giờ và kim phút hiện đang trùng nhau ở 12 giờ Hai kim lại” trùng nhau sau: : 12k 10k A k = gid; B ——giờ; ii C ——giờ 1a 3 Rút gọn biểu thức sau: sina l+cosơ 1+cosa sing A E ỹ B = ‡ C = :
sina cosa sing
4 Nếu x là góc nhọn và sinx =3 thì biểu thức j= SOs tes
cotx—tanx
gid tri bing:
A 3; Bo: 8 c, 25 7
5 Trong khoảng (0, 2m):
a) Tich sinx.cosx có giá trị dương khi x có giá trị là: A 0<x<= hoặc men wel
2 2
B 0<x<= hoặc “«<x<n
4 2
C m<x<2n
b) Tích tany.siny có giá trị âm khi y có giá trị là:
A m<y<2n hoặc 0<y<m
B .<y<" hoặc x<y <<
T T
Trang 3010
11
12
18
Gọi œ, [Ì và 7 la ba goe cua mot tar gic tong sina +sinf+siny có:
A Dau duong 3 âu ấm CC Bang 0
Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biêu thức: a) 1+snx là: A lva3 B.0 va 2 C.0val b) 2—cosx là: A.:0 và 2 B 1 và 2 Œ 1xà 3 Các biêu thức sau đây sau khi rút gọn: : 31 ` a) a2 sin2m+ #malbtoB TT” +btan2z có giá trị là: A.-1 B.1 C.10 * 2 2 3n ` z b) mÝ cos2z~— nÝ sin 5 +mncosn—mncos0 có ,giá trị là: A (m—n)? B (m+n)? 'Ơ m2 +nŸ, Cho 14 một góc nhọn ma sinu = 8 „ biểu thức An ni có giá trị 5 1-tạnơư bằng: A.§ B.-—1 C.7 » Gho(D 1ã một góc tù mã siaB= , biểu thức S95 E2 SP os re ar 3 :cotB bằng: 11 B2 e 10 Tính giá trị của biểu thức tan” y + cot2y biết tany +coty =p A, 2-p? B p?-4 Cop? -2
Chứng tỏ rằng biểu thức cos” acot? œ + 2cos”.a —cot? œ +sin?œ lả một hằng số (không phụ thuộc a) bang:
A.l B.2 Cc 3
Trang 3114 15 16 18 19 20 A =-1 B.1 C | Rut gon biểu thức:
sin 450° cos180° + tan 405” cot 765” + cos315°sin 4059
3
A = B.-1 C 1
3 2
Sau khi rút gọn biểu thức:
tan(2702 — œ)sin 130^sin 2702 cos 320° cot(180° — «) cos 50° sin 220° cos 360°
A cot? 50° B -cot? 50°C —cot? 40° có giá trị bằng: Chứng tỏ biểu thức: tan(90° + B) + tan(B + 270°) - tan(B- 450°)—tan(B—-90°) là một số không đổi và hằng: A.2 B.0 6 1 Rút gọn biểu thức: tan 420 + 2sin 870° - 32cos1410? A.0 B 3 Go 1 Chứng tỏ biểu thức:
tan(90° - @)cos(360° - ;p)sin(180° — @) khô hụ thuộc và 6
Trang 33Dạng toán 2
CONG THUC LUONG GIAC
A KIEN THUC CAN NAM VỮNG
Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số lượng giác
1)
2)
3)
Một hàm số fx) xác định trên tập hợp gọi là fuản hoàn nếu
tồn tại một số đương T sao cho với mọi x e Gta cd: x-Te Gvax+Tc S
fix + T) = f(x)
So nhé nhat (néu cd) trong cdc so T c6 tinh chat trén goi la chu ki của hàm số tuần hoàn f(x)
Hàm số y = sinx và hàm số y = cosx là các hàm số tuần hoàn với
chu kì 2n
Hàm số y = tanx và hàm số y = cotx là các hàm số tuần hoàn với
chu kì m
Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng (9; và nghịch biến
trên khoảng ¬ in) \ Nia 7 Hàm số y = cosx nghịch biến trên đoạn [0; zl x 0 T nt 3 y = sinx 0——" 1 —~ 1 0 x 0 x 1 2 y =cosx I1 T—, 0 ———; -Ì
Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0; : );
Trang 34x # 7 2 y = tanx _— _y» +7 0 | x 0 Tt 2 ý = aotx + TỶ Sg 0 Công thức lượng giác L) Công thức cộng:
Trang 354) Céng thitc tinh sina, cosa, tana theo t= tan > 2t sina = 5 1+t - TP cosa= 5 1tt 2t tana= e 1-t“”
5) Công thức biến đổi tích thành tổng
sinasinb = gi eosta ~b)—cosÍa + b)] cosacosb = g[cos(a -b)+cos(a + b)]
sinacosb = sisinta ~b)+ sin(a + b) ]
6) Công thức biến đổi tổng thành tích
Trang 36B ĐỀ BÀI
Công thức cộng
Bai 1 Tinh cosi5° va sin lS
ai 1 1
Bai 2 Cho cosx = = cosy = 5 và
Trang 37Bài 10 Chứng minh rằng biểu thức:
sin(x+ y +2)
tanx+tany +tanz— —-—-— ——
COS X COS Y COS Z
bang tich tanx.tany.tanz
Công thức nhân đôi
Bài 11 Chứng minh các hằng đẳng thức:
cosa + sina 1
a) —————=tan2œ+————; cosa — sin a& cos 24
b) tan2(45° —p) = 2 Sin 14+ sin 2p 2B
Bai 12 a) Chứng minh rằng:
l1+sin2ơœ _ l+tanơ = = tan(45° + œ);
cos2œ l-tana
b) Tinh sin? 26 neu b+ 4» 4, 4g, tan°B cot” sin*{} cos* {3 Bài 13 Rit gon; Ltn Btanp | cotB+ tanB
ˆ
Bài 14 Chứng minh rằng nếu A + B + © = z thì -
: cotAcotB + cotAcot€ + cotBeotC = 1
Bài 15 Chứng minh rằng:
1+tana+cota , cota
5 - 5 5 =SIndCog:
(1+tan*a)+tana (1+cot”œ)+ tan” œ - cot” œ
Bai 16 Tinh sin3a, cos3a va tan3a
Công thức hạ bậc
Bài 17 Tìm sin 2Œ 22,59), cos và tan” g
Bai 18 Cho cosa =š (270° <a < 360°), tim tang -
7 4 KỔ gs
Bai 19 Cho Shnf= và 90° <x <135", tìm sinx, cosx và tanx
Trang 38ai a si sin 2¢ sin 4h sin> — tử =—=— Ss i 8 9 Bai 21 (hung to rang biêu thức: luôn bang 1 Bài 22 Chứng minh hằng đăng thức: + 2 \ 2sin*| ~ -p ——_-/ J~ (5p) cos2jD Bài 23 Chứng tỏ rằng 2cos”ƒ'+ cos—1 bằng tích ; Sous cos i ° 2 2 Bài 24 Chứng minh hằng đẳng thức: tan (5 cp = sine 4 1+sin 2p
Công: thức tính sina, cosa, tana theo t= tan
Bai 25 Tinh gid tri ca sinc, cosa va tana biết tan =0,8
3sinơ +cosœ , a 3
——————— biết tan—=—
cosa —3sin 2 4
Bài 26 Tính giá trị của biểu thức
Bài 27 Cho tan =4 tan, chứng minh rằng:
y-x_ đsinx 2 5-8cosx `
tan
Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích Bài 28 hiến đổi tổng sau thành một tích:
sina + sin2œ + sin3a
Bài 29 Tính tổng sau:
Trang 39cosx + cos2x + cos3x + cos4x + +cosnx Bài 30 Chứng minh hằng đẳng thức: sin(a +b +) tana +tanb+tane=—————————=tanatanbtanc cosacosbcose Bai 31 Chứng minh các hàng đẳng thức: €0§ Œ + 8Ìn œ a) —————— =tan(45"° +œ); cosa@ — Sinœ b sina + cost2B—u)-_ i(3- } 1 ng ¬sinP sì » 4 p Bai 32 Chứng tỏ rằng biểu thức: l+cosx + cos2x + cos 3x 2 <1 cos x + 2cos luén bing 2cosx Bài 33 Chứng minh rằng: ˆ PB
sinơ +sin[jÌ+ siny= 4cos 5 cos 5 cos 5 nếu œ + + y =180” Bài 34 Chứng minh rằng nếu cos(œ + J3) = 0 thì
‘ sin(a + 2B) = sina
Bài 35 Ching minh rang néu 2a + 2B + 2y = 360° thi
tan2a + tan2(} + tan2y = tan2a tan2p tan2y
Bai 36 Chứng minh rằng nếu a+B+y=180° thi
sin? bu sin? Es sin? 1-1= sin sin’ sin t 2
Bài 37 Chứng minh hing dang thu:
Trang 40Bài 39 Chứng minh tich sinji sin2!} sin3}} không thể bằng 1 với mọi |) Bài 40 Tinh tong: cos + cos* Yu + cos” 8a + cos” det + cos” ne
Bai 41 Cho tana = m, tan|!=a, tany = p voi m,n, p là những số
đương và œ, Ð y là ba góc nhọn Tìm điều kiện cần va du dé tổng
T=o + +y là một góc nhọn
Bai 42 Khong dung bang hay tinh:
a) sin3° va cos3", b) sin i2” vA cos12°
Bai 43 Chứng tỏ biểu thức sau luôn bằng 0:
tan( 3 tan| =mx- p |.cos| 6 TH øị <z— # Ñ 2 9] 3 ‘ [„ 58=—————-—x———+eco| ?—5 |-ainfx =@) cos(2m - @) \Ẻ 8 7 = TL +€oS( + (ð).sin Ís- 4 Bai 44 Giải thích tại sao biểu thức: (nx 18 (3 3 5 3 T =cos| —-—n ‡+ d8 THE—y r2 +C0SỊ —nr—-—m ( 7 14 hi 14 7 14 bằng 0, biết rằng n khi chia cho 7 cho số dư là một trong ba số sau l;ä; 4 Bài 45 Tính tích sau:
P =cos«.cos 2a cos 4 cos 2" a Từ đó suy ra các giá trị của P:
a) Khi œ= man
b)œ=1;œ=2
Bai 46
Không dùng bảng hãy tính tích: = tan20” tan 40” tan 60” tan 80