CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO DÃY SỐ

tài liệu nghiên cứu khoa học về dãy số, đưa ra lí thuyết, phương pháp giải và một hệ thống các bài tập từ cơ bản đến nâng cao về dãy số. một tài liệu dùng cho học sinh tự học, ôn tập, ôn thi học sinh giỏi, thi Olympic toán, đồng thời là tài liệu cho sinh viên tham khảo về phương pháp nghiên cứu khoa học.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài

Dãy số có vai trò quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực kháctrong cuộc sống Ngay từ khi học tiểu học học sinh đã bắt đầu làm quen với một

số bài toán về dãy số như tìm quy luật của một dãy số đơn giản, tính tổng dãy

số Trong chương trình trung học phổ thông hiện nay, vấn đề dãy số được đưavào chương III đại số và giải tích 11 (ban cơ bản và nâng cao) Học sinh bắt đầuđược tìm hiểu khái niệm dãy số, giới hạn dãy số, hai dãy số đặc biệt là cấp sốcộng và cấp số nhân và một số bài toán liên quan đến dãy số Ở bậc đại học, sinhviên tiếp tục được tìm hiểu, nghiên cứu sâu hơn về dãy số trong học phần toánhọc cao cấp Trong toán học, dãy số có vị trí đặc biệt không chỉ như là đối tượng

để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hìnhrời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểudiễn Dãy số cũng là một phần quan trọng của đại số

Đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán học quốc tế(IMO) hay trong những kỳ thi Olympic toán sinh viên các trường đại học và caođẳng trong toàn quốc, các bài toán về dãy số thường được xuất hiện khá nhiều

và thường được đánh giá ở mức độ khó Vì vậy, dãy số luôn thu hút được sựquan tâm của giáo viên toán, học sinh chuyên toán và sinh viên ngành toán

Hiện nay có rất nhiều tài liệu viết về vấn đề dãy số Các dạng toán về dãy

số khá là đa dạng và phong phú bao gồm các bài toán như tìm số hạng tổng quátcủa dãy số, khảo sát sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số, các bài toán tính tổng dãy

số Bên cạnh đó, một số dạng toán về phương trình hàm, cũng có thể giải quyếtthông qua công cụ dãy số

Để giải được các bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiếnthức tổng hợp về số học, đại số, giải tích và đòi hỏi sự sáng tạo tư duy lôgic cao

2 Tính cấp thiết của đề tài

Như đã trình bày trên, hiện nay có rất nhiều tài liệu viết về vấn đề dãy số,các dạng toán về dãy số khá là đa dạng và phong phú Tuy nhiên, trong các tàiliệu thì dãy số dường như mới được giới thiệu như là một kiến thức cơ sở đểnghiên cứu về hàm số, chuỗi số và ứng dụng của dãy số chưa được giới thiệunhiều Trong các tài liệu, bài tập về dãy số hầu như chưa có sự phân loại và phândạng cụ thể

Chính vì vậy, chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài “Khai thác một số dạng toán về dãy số” để nghiên cứu Nhóm thực hiện đề tài hi vọng đây sẽ là tài liệu

tham khảo tốt cho các học sinh yêu thích toán, sinh viên chuyên ngành toánquan tâm đến dãy số và các bạn sinh viên chuẩn bị tham gia vào kì thi Olympictoán sinh viên.

3 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

- Khai thác một số dạng toán về dãy số như: tìm số hạng tổng quát, tìmgiới hạn

- Đưa ra một số ứng dụng của dãy số như giải phương trình hàm, một sốbài toán chứng minh bất đẳng thức trong dãy số

- Đưa ra hệ thống ví dụ minh họa cho các dạng toán về dãy số

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

4.1 Đối tượng nghiên cứu: dãy số

4.2 Phạm vi nghiên cứu: tìm số hạng tổng quát, tính giới hạn của dãy số,

và ứng dụng của dãy số

5 Nội dung nghiên cứu

Đề tài gồm 4 chương:

Chương 1: Dãy số

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.2 Giới hạn của dãy số

1.3 Các dấu hiệu hội tụ của dãy số

1.4 Dãy truy hồi

Chương 2: Số hạng tổng quát của dãy số.

2.1 Phương pháp quy nạp

2.2 Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

2.3 Phương pháp sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân

2.4 Phương pháp sai phân

2.5 Phương pháp thế lượng giác

2.6 Phương pháp ma trận

Chương 3: Giới hạn của dãy số.

3.1 Tính giới hạn của dãy số

3.2 Xét tính hội tụ của dãy số

Chương 4: Ứng dụng của dãy số

4.1 Giải phương trình hàm

4.2 Một số bài toán về bất dẳng thức trong dãy số

6 Phương pháp nghiên cứu

Từ việc nghiên cứu các tài liệu về dãy số, nhóm đề tài tổng hợp và phânloại các phương pháp tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy số Thôngqua việc nghiên cứu về dãy số, nhóm đề tài nghiên cứu ứng dụng của dãy số vàocác dạng toán khác Trên cơ sở lí thuyết đã nghiên cứu, nhóm đề tài xây dựng hệthống ví dụ và bài tập minh họa

Để khai thác dạng toán về số hạng tổng quát của dãy số, chúng tôi sửdụng một số phương pháp cơ bản như phương pháp quy nạp, phương pháp saiphân, phương pháp truy hồi,…

Để khai thác dạng toán về giới hạn dãy số và sự hội tụ của dãy số, chúngtôi sử dụng phương pháp kẹp giữa, phương pháp sai phân,…

- Một ánh xạ u từ tập các số nguyên dương N* vào tập hợp các số thực R

được gọi là một dãy số thực (dãy số vô hạn)

u: *¥ →¡

na u n( )Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển

- dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho: u n <M, ∀n

- dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho: n

u >m

, ∀n

- dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

Nhận xét:

- dãy số bị chặn khi và chỉ khi tồn tại một số M > 0 sao cho:

,

n

1.1.3 Dãy số đơn điệu

Dãy số thực { }u n được gọi là:

- dãy đơn điệu tăng nếu: 1

- dãy đơn điệu giảm nếu: u n ≥u n+1,∀n

- dãy đơn điệu giảm nghiêm ngặt nếu: 1

- Nếu 2 dãy { } { }u n , v n

đều tăng (tương ứng giảm) và các số hạng không

âm thì dãy {u v n n}

tăng (tương ứng giảm)

- Một dãy số có thể không tăng hoặc không giảm

Ví dụ: Dãy

{ }u n

xác định bởi

( 1) , n n

và dãy { }u n được gọi là dãy hội tụ.

Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì.

1.2.2 Một số tính chất cơ bản của giới hạn:

Định lý 1.1: Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.

1 1lim n ,

u v

lim

n

n n n

n n n

u u

εε

Ta chứng minh

1 1lim

n n

lim lim lim

{ }

1 2

0 1 2

,,

1.3 Các dấu hiệu hội tụ dãy số

Định lý 1.8: (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass)

a) Nếu

{ }u n

dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ và

{ }1

lim n sup n

→+∞ = ≥

.b) Nếu

{ }u n

dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và

{ }1

lim n inf n

n u n u

→+∞ = ≥

 Nếu K là một tập hợp vô hạn thì gọi k1, k2, … là những số nguyên dương thuộc

K sao cho k1 < k2 … Dãy số thực { n

 Nếu K là một tập hữu hạn thì tồn tại một số nguyên dương k1 lớn hơn mọi sốnguyên thuộc K Vì k1

K nên tồn tại một số nguyên dương k3 > k2 sao cho

uk3 > uk2 Tiếp tục như vậy, ta được một dãy con { uk n } của dãy { un } sao cho

1.4 Dãy truy hồi

1.4.1 Dãy truy hồi cấp 1 với hệ số là hằng số.

Bước 1: Biến đổi đưa về dạng:

Khi đó ta thu được một dãy truy hồi mới theo v n đơn giản hơn

1.4.4 Dãy truy hồi cấp 2 dạng: u n+1 = f u u( n, n−1,n)

CHƯƠNG 2: SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

Trong chương 2 đề tài đưa ra các phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số như: Phương pháp quy nạp, phương pháp sử dụng hằng đẳng thức, phương pháp sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân, phương pháp sai phân, phương pháp thế lượng giác, phương pháp ma trận Trong mỗi một phương pháp chúng tôi trình bày sơ lược phương pháp, việc áp dụng các phương pháp đó vào tìm số hạng tổng quát của dãy số Bên cạnh đó chúng tôi đưa ra các ví dụ minh họa để làm rõ phương pháp đó.

2.1 Phương pháp quy nạp

2.1.1 Sơ lược phương pháp quy nạp

Phương pháp qui nạp thực sự có hiệu lực với lớp các bài toán chứng minhmột mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈

N

Để chứng minh một mệnh đề Q(n) đúng với mọi n p≥

, ta thực hiện 2 bướctheo thứ tự:

 Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề là đúng với

n p=

 Bước 2 : Giả sử mệnh đề đúng với

n k= ≥ p

, ta phải chứng minhrằng mệnh đề đúng với n k= +1

2.1.2 Sử dụng phương pháp quy nạp tìm số hạng tổng quát của dãy số

Phương pháp quy nạp là một phương pháp rất có hiệu quả trong việc đitìm số hạng tổng quát của dãy số Nó là một trong những công cụ đắc lực choviệc tìm công thức tổng quát của dãy số Sau khi tìm được công thức tổng quátcủa dãy số ta thường dùng phương pháp quy nạp để làm cho bài toán thêm chặtchẽ hơn

Trong một số bài toán đơn giản ta có thể dự đoán được công thức tổngquát của dãy số bằng cách cho một vài giá trị đầu của dãy số dựa vào công thứctruy hồi đã cho Sau đó ta dùng phương pháp quy nạp chứng minh công thứctổng quát của dãy số

Ví dụ 2.2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau :

tức là :

13.2k k

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là : 1

3.2k k

13.2n n

Trong một số trường hợp đặc biệt nhờ sử dụng các hằng đẳng thức bìnhphương của một tổng, lập phương của một tổng và khéo léo đổi biến ta cũng cóthể tìm được một số hạng tổng quát của dãy số.

Bài toán 2.1:

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)

2 1

2 1

2 1

Bằng quy nạp ta chứng minh được (1)

Ví dụ 2.4: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)

1

2 1

3 2 1

Giải Áp dụng bài toán 2.2 có

là số thực không đổi gọi là cấp số cộng.

d: gọi là công sai của cấp số cộng;

: gọi là công bội

Định lý 2.3: Cho cấp số nhân (u n) có công bội

q

Ta có

1 1

n n

1

11

n n

2.3.2 Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để đi tìm số hạng tổng quát của một

( )

g n

là đa thức bậc k +1

, có hệ số tự dobằng không và khi đó để xác định g(n) thì trong đẳng thức (1) ta cho k +1

giá trịcủa n bất kỳ ta được hệ k +1

phương trình, giải hệ này ta tìm được các hệ số củag(n)

n n

u u

2( )

g n =an +bn

Cho n=0,n=1

ta có hệ:

2 2

n n

u u

Ví dụ 2.9: Tìm công thức tổng quát của dãy

1

1

1( ) :

u u

Vậy

1 111.2n 3n 2

n

u = − − + + + +n

2.4 Phương pháp sai phân

Sai phân là một công cụ hữu ích giúp ta tìm số hạng tổng quát của dãy số.Dựa vào đó ta có thể giải bài toán một cách ngắn gọn hơn

2.4.1 Sơ lược về phương pháp sai phân

Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng.

- Giải phương trình đặc trưng

- Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

+ Nếu (*) có k nghiệm thực khác nhau là λ λ1, , ,2 λk

thì nghiệm tổng quátlà

1 1n 2 2n n

u =cλ +c λ + +c λ

(1)Trong đó c1, c2, …, ck là các hằng số tùy ý

+ Nếu trong (*) có nghiệm thực j

Trong trường hợp này, để thu được công thức nghiệm tổng quát, trongcông thức (1) ta thay bộ phận

là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất

2.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số là hằng số

Chứng minh:

Số hạng tổng quát của (2) có dạng :

( )n n

Cộng theo vế với vế của (4) với (5) ta được

a b

u =c

,

* 2n n

u =c

* 3n n

Đồng nhất hệ số ta được:

222

u c c n k + + = +

1

1 ( 1 2 ) n n

u c c n k + + = +

n n

n n

u =r c nϕ+i nϕ

ar [cos(n+2) +sin(n+2) ] [cos(n+1)

+sin(n+1) ] (cos sin ) 0

Thật vậy ta có u n là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (7) nên:

11

Ví dụ 2.15: Tìm số hạng tổng quát của dãy n

2

n n

là nghiệm kép thì

* 2 n n

u =γ µn

;

u = A Bn+ = +A Bn

và

* 2n n

u =a

.Thay

n n

A B

u =c +c

* 7n n

A B

là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất :

2(n+3)[ (a n+3) +b n( + + −3) c] 6(n+2)[ (a n+2)2 +b n( + + +2) c]

211(n+1)[ (a n+1) +b n( + +1) c] − n an( 2 +bn c+ ) =18n2 +10n−46

2.4.6 Hệ phương trình sai phân.

2.4.6.1 Hệ hai phương sai phân tuyến tính bậc nhất với hệ số là hằng số

Đó là hệ phương trình được xác định bởi:

1 1

u v

αβ

Ví dụ 2.21: Tìm số hạng tổng quát của các dãy u v n, n được xác định bởi:

1 1

7283

c c

u X

X = A X

Bài toán trở thành đi tìm lũy thừa cấp n của ma trận A vuông cấp 2

Chú ý: Phương trình đặc trưng của ma trận A chính là phương trình đặc trưng

chính là phương trình đặc trưng trong cách giải 1

2.4.6.2 Hệ ba phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số là hằng số.

x = y +

Tiếp tục xét

u u

u u

=

+

x = y

Tiếp tục xét

n n

2.5 Phương pháp thế lượng giác

Trong một số trường hợp số hạng đầu tiên của dãy số được cho dưới dạnggiá trị lượng giác của góc đặc biệt Vì vậy ta có thể sử dụng phép thế lượng giác

để đi tìm công thức tổng quát của dãy số Nhiều công thức truy hồi có thể đơngiản hơn nhờ thông qua phương pháp này

Bài toán 2.5:

Xác định số hạng tổng quát của dãy số:

2 1

2 2

2 3

1

cos 2 ;

cos 2n n

u u

αα

1 1

2

2 2

{ } 1

2 1

4cos

3

2cos (*)

3

n n

2 3

1

cos3 ;

cos3n n

u u

αα

2 2

1

3 2 2 3 2 2

n n n

Ta có:

0 0

1 1

2 3

1

3cos

34cos 3cos cos

3cos6

3cos (*)6

n n

u u u

3

7( ) :

n

u u

Bằng quy nạp ta chứng minh được:

Vậy công thức tổng quát của dãy là:

Bài toán 2.7:

Xác định số hạng tổng quát của dãy số

{ } 1

3 1

3 3

, 1 2

n n n

0 0

1 1

1

3cos , ,

2cos

2 4cos 2cos2

2cos2n (*)

n

u u

{ } 1 2

1

12:

2 2 1

, 22

n

n n

u u

1

sin6

2.6.1 Đối với phương trình sai phân

;

p p

n p

u u X

thì sẽ tìm được công thức tổng quát của dãy u n

2.6.2 Đối với hệ phương trình sai phân

Ví dụ 2.30: Tìm số hạng tổng quát của dãy

11

u v

,3

+ +

1

n n

n

u X

v

+ +

u X

u X

n n

n n n n

u v

=





CHƯƠNG 3: GIỚI HẠN DÃY SỐ

Chương 3 của đề tài trình bày các phương pháp tính giới hạn của dãy số

và việc khảo sát sự hội tụ của dãy số Đây là vấn đề khá hay thường xuất hiện khá nhiều trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi olympic toán sinh viên toàn quốc.

3.1 Tính giới hạn của dãy số

3.1.1 Tính giới hạn của dãy số dựa vào định nghĩa

Có rất nhiều phương pháp để tính giới hạn của dãy số Mỗi phương phápđều có điểm mạnh riêng, đặc trưng riêng Việc tính giới hạn dựa vào định nghĩakhông phải là phương pháp lạ Nó là phương pháp có ý nghĩa sâu sắc về mặttoán học

Để tính giới hạn của dãy số theo định nghĩa điều quan trọng là ta phải biếtcách làm trội n

n n

u

a u

+

→+∞ =

Chứng minh rằng

u u

+

→+∞ = +∞

Chứng minh rằng

1

2 1

1

N N

u

A u

+ +

≥ +

; ; 1

1

n n

u A

u − ≥ +

Nhân vế với vế ta được:

1 1

( 1)n N n

N

u

A u

1

n N N

∀

> N2,

1 1

1

n N N

u A

≥+

Khi đó, với n > N =max( N1, N2 ),

( 1)

1

n n

n i i

Việc tính giới hạn của một dãy số đôi khi trở nên khá phức tạp nếu ta tínhtrực tiếp Trong một số bài toán nếu ta thay dãy số đã cho bởi một dãy kháctương đương với nó thì bài toán trở nên dễ dàng hơn nhiều

n a

→+∞

= a ;

lim n n

Tương tự ta có : bn – 1 ~

lnb n

Do đó ( un ) và ( vn ) là hai dãy tương đương

Do đó hai dãy này hội tụ đến cùng một số

, với p và n0là hai số tự nhiên,

Điều vô lý này chứng tỏ e không thể là số hữu tỷ Vậy e là số vô tỷ

3.1.3 Tính giới hạn của dãy số cho bởi đại lượng trung bình

Đối với dãy số cho bởi đại lượng trung bình thì giới hạn của dãy số bằng nhau Sau đây là một số ví dụ.

Ví dụ 3.8: Hai dãy truy hồi { an } và { bn } cho bởi công thức

Chứng minh cả hai dãy trên đều đơn điệu và có cùng giới hạn

Giải.

Theo bất đẳng thức Cauchy ta được

an+1 =

12

n n

a + +b

Chứng minh rằng

a2 =

12

b2 – a2 =

04

b thì { an } giảm, { bn } tăng và có cùng giới hạn

Ví dụ 3.12 (olympic toán sinh viên 2011)

Cho 2 dãy { xn },{ yn } thỏa mãn:

a.Chứng minh dãy {x n + y n} {, x y n n}

là dãy đơn điệu tăng

b Giả sử dãy { xn },{ yn } bị chặn Chứng minh 2 dãy cùng hội tụ về một điểmnào đó

2 2 1

n n

3.1.4 Sử dụng định lý kẹp giữa tìm giới hạn của dãy số

Sử dụng nguyên lý kẹp ta có thể đưa bài toán tìm giới hạn của dãy đã cho

về bài toán tìm giới hạn của những dãy số ít phức tạp hơn

n n

→+∞

+ + +

Giải.

n n

Vì 1 ( )

10

k

= + + +

+L

lim n n n

→+∞

và

lim n n n

x A y

→+∞ =

Ví dụ 3.16:

( 1) ( 1)

p p n

2lim

( 1)

2( 1)

0

12

3.1.6 Tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi

Trong một số bài toán tính giới hạn của dãy số được cho bởi công thứctruy hồi ta thường phải chứng minh sự hội tụ của dãy số đã cho rồi tìm giới hạncủa dãy số đó

Thông thường dãy số cho bởi công thức truy hồi là dãy đơn điệu, ta phảichứng minh nó đơn điệu tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) nên nó hội tụ

Để tìm giới hạn của dãy số ta có thể tìm công thức của số hạng tổng quátcủa nó rồi từ đó tìm giới hạn hoặc dựa vào công thức truy hồi

Ví dụ 3.17: Giả sử { an , n = 1, 2, … } là một dãy số thực được xác định bằngcông thức truy hồi như sau:

a1 = 0, an =

1 34

n

a− +

, ( n = 2, 3, … )Hãy chứng minh rằng { an } là dãy hội tụ và tìm giới hạn của nó

Giải.

Ta có: an =

1 34

Vậy ∃

a, b sao cho: an = a

114

a b