PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PT, BPT

 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình  LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI  Hàm số khái niệm tốn học nói chung chương trình tốn phổ thơng nói riêng Quan điểm hàm số cần qn triệt tồn chương trình tốn trường trung học phổ thơng Các tốn khó hàm số, phương trình, bất phương trình thường có mặt kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp Lý thuyết hàm số, phương trình, bất phương trình hệ phương trình trình bày rõ ràng SGK Đại số lớp 10 nhà xuất Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp năm 2000, sách phân ban năm 2006) số sách tham khảo khác Tốn học nói chung Hàm số nói riêng có nhiều ứng dụng quan trọng đời sống ngành khoa học khác SGK Đại số lớp 10 nhà xuất Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp năm 2000 sách phân ban năm 2006 ) trình bày rõ định nghĩa tính chất hàm số; phương trình ; bất phương trình hệ phương trình Để giúp học sinh THPT đặc biệt học sinh lớp 12 tìm hiểu sâu hàm số ứng dụng làm sở để tham gia kỳ thi cuối cấp ứng dụng thực tế sống, phạm vi đề tài sáng kiến kinh nghiệm tơi xin trình bày ứng dụng hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình hệ phương trình là: Vận dụng tính đơn điệu hàm số vào việc giải phương trình ; bất phương trình hệ phương trình Đây l vấn đề nhiều người đề cập đến Trong phạm vi đề tài tơi xin nêu số tốn số tốn chương trình đề thi mà số đáp án giải phương pháp khác Trong q trình biên soạn đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp Hội đồng chun mơn nhà trường để đề tài sau tơi tốt Tơi xin chân thành cảm ơn  Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình  VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ; BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I/ Cơ sở lý thuyết:  SGK Đại số 10 định nghĩa phương trình bất phương trình ẩn sau: Cho hai hàm số: f(x) với tập xác định Df , g(x) với tập xác định Dy Đặt D = D f ∩ D y Ta đặt vấn đề tìm giá trị a ∈ D cho: f ( a) = g (a ), ( f(a) > g(a) ) Khi ta nói đẳng thức f(x) = g(x) phương trình (bất đẳng thức f(x) > g(x) bất phương trình) ẩn Số thực a gọi nghiệm phương trình (bất phương trình), D tập xác định phương trình (bất phương trình) Giải phương trình ( bất phương trình ) tìm tất nghiệm Định nghĩa nêu lên mối quan hệ hữu khái niệm hàm số, phương trình bất phương trình  Tính đơn điệu hàm số: a.Định nghĩa: - Hàm số f gọi đồng biến ( tăng ) khoảng (a;b) ∀x1 , x ∈ (a; b); x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) - Hàm số f gọi nghịch biến ( giảm ) khoảng (a;b) ∀x1 , x ∈ (a; b); x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x ) b.Tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khoảng (a;b) f ( x1 ) = f ( x ) ⇔ x1 = x ; ∀x1 , x ∈ (a; b) ( suy từ định nghĩa ) Tính chất 2: Nếu hàm số f tăng ( giảm ) khoảng (a;b) phương trình f ( x) = có khơng q nghiệm khoảng (a;b) Chứng minh: a) Trường hợp hàm số f tăng khoảng (a;b) Giả sử có hai số x1 , x ( x1 < x ) cho f ( x1 ) = f ( x ) = 0( *) Điều (*) gặp phải mâu thuẩn, x1 < x ⇒ f ( x1 ) < f ( x ) ∀x1 ∈ (a; b), x ∈ (a; b) f tăng khoảng (a;b)) b) Trường hợp hàm số f giảm khoảng (a;b) Lập luận tương tự a) , ta gặp mâu thuẫn (do hàm số  Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình  Vậy phương trình f(x) = khơng thể có nhiều nghiệm khoảng (a;b) II/ Các ví dụ: Ví dụ 1:Giải phương trình: 1 log ( x − 3x + + 2) +   2 3x− x2 −1 = 257 (1) Lời giải: Đặt u = x − 3x + thay vào (1) ta có : ( x ≤ 1, x ≥ 2) , suy u ≥ x − 3x = u − , 1−u 2 = 257 ⇔ log (u + 2) + 2u = 257 (2) 2 Đặt f (u ) = log5 (u + 2) + 2u , f’(u) > 0, ∀u ∈ [ 0;+∞ ) nên f đồng biến [0;+∞) Mặt khác f (3) = log 5 + 29 = 257 1 log (u + 2) +    2 Vì vậy, (2) ⇔ f (u ) = f (3) ⇔ u = ⇔ x − 3x + = ⇔ x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x= ± 33 ± 33 4x + log = x − 3x + (*) Ví dụ :Giải phương trình: 2007 x + x + Lời giải: Đặt u = x + ≥ 1; v = x + x + ≥ Ta có : u = v − u ⇔ log u + u = log v+v 2007 v 2007 2007 ⇔ u.2007u = v.2007 v (3) Xét hàm số: f (t ) = t.2007t [2;+∞) (*) ⇔ log Ta có f ' (t ) = 2007 t (1 + t ln 2007) > 0, ∀t ∈ [2;+∞) => hàm số đồng biến [2;+∞) nên từ phương trình (3) suy u = v, hay x + = x + x + ⇔ x − 3x + =  Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình  X =1 ≥ ⇒ X − 3X + = ⇔  X = x Đặt  X = −2 (loạ )  Với X = ⇒ x = ±1 Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = ±1 Ví dụ : Giải hệ phương trình:  x − y = sin x − sin y (*)   cos x + sin y + cos x + sin y + =  (4) Lời giải: Ta có (*) ⇔ x − sin x = y − sin y (5) Đặt f (t ) = t − sin t , với t ∈ R f ' (t ) = − cos t ≥ 0, ∀t ∈ R Vậy hàm số tăng R đó, ( 5) ⇔ f ( x) = f ( y) ⇔ x = y , vào (4) ta có phương trình : cos x + sin x + cos x + sin x + = ⇔ sin x + cos x + sin x cos x + cos x = ⇔ sinx + cosx + 2cosx(sinx + cosx) = ⇔ (sin x + cos x)(2 cos x + 1) = π * sin x + cos x = ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z ) 2π * cos x + = ⇔ cos x = − ⇔ x = ± + k 2π (k ∈ Z ) π 2π Vậy hệ cho có nghiệm: x = y = − + kπ x = y = ± + k 2π (k ∈ Z ) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 2 x + = y + y + y   2 y + = z + z + z  2 z + = x + x + x  (6) Lời giải Xét hàm số : f (t ) = t + t + t , với (6) 2 x + = f ( y )  ⇔ 2 y + = f ( z ) 2 z + = f ( x)  t∈R Khi đó: Ta có : f ' (t ) = 3t + 2t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ hàm số f(t) đồng biến R • Nếu x < y f(x) < f(y) ⇔ z + < x + ⇔ z < x ⇒ f ( z ) < f ( x) ⇒ y + < z + ⇔ y < z  Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình  Từ đó, suy ra: x < y < z < x Điều vơ lý • Nếu y < x f(y) < f(x) ⇔ x + < z + ⇔ x < z ⇒ f ( x) < f ( z ) ⇒ z + < y + ⇔ z < y Từ đó, suy ra: y < x < z < y Điều vơ lý Do , hệ có nghiệm x = y = z Thế vào hệ ta được: x + = x3 + x + x ⇔ x3 + x − x − = ⇔ ( x − 1)( x − 1) = x = = y = z ⇔  x = −1 = y = z Vậy nghiệm hệ phương trình : (1;1;1) ( -1;-1;-1)  Chú ý: Khi hướng dẫn cho học sinh phương pháp cần đặc biệt lưu ý liên tục hàm số đặc trưng tập xác định chúng Chẳng hạn tốn: Giải hệ phương trình: 1  x − x = y − y  2 y = x +  (I) (Đề thi ĐH khối A năm 2003) Rất nhiều học sinh giải tốn theo hướng : Đặt 1 f (t ) = t − ⇒ f ' (t ) = + > 0∀t ∈ R t t nên f(x) = f(y) => x = y vào phương trình lại hệ đề giải Đây sai lầm thường mắc phải em học sinh sử dụng phương pháp này, hàm số f (t ) = t − t có f ' (t ) = + > 0∀t ∈ R t2 hàm f(t) gián đoạn t = Nhận xét: Với f ' ( x) ≥ 0, ∀x ∈ D f y = f(x) liên tục Df  f ( x) = f ( y ) x = y ⇔   F ( x; y ) =  F ( x; y ) = Ví dụ 5: Giải bất phương trình 2   3 sin x + 3cos x − log 2005 ≥ (Đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi bảng B:NH 2005- 2006) Lời giải:  Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình   2    3 sin x  2 ⇔   3 2 + 3cos x − log 2005 ≥ ⇔   3 sin x sin x 3cos x + ≥ log 2005 2x sin sin x 31−sin x  2 + ≥ log 2005 ⇔   + ≥ log 2005 6 2x 3  sin sin 3 Đặt t = sin x, t ∈ [ 0;1] Bất phương trình trở thành: t t t t  2 1   + 3.  ≥ log 2005  3 9 Hàm f (t ) =   + 3.  nghịch biến với ∀t ∈ [ 0;1] ⇒ f (t ) ≤ f (0) =  3 9 Mà log 2005 > Suy ra, bất phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 6: Cho f ( x) = 2.25 x − (2m + 1)10 x + (m + 2)4 x (7) Tìm m để f ( x) ≥ 0, với ∀x ≥ Lời giải: Ta có: f ( x) ≥ với ∀x ≥ x   x  5 ⇔ 2   − (2m + 1)  + m + ≥ 0, ∀x ≥ 2    x 5 ⇔ 2t − (2m + 1)t + m + ∀t =   ≥  2 2t − t + ⇔ ≥ m, ∀t ≥ ⇔ f (t ) ≥ m 2t − [1;+∞) Đặt f (t ) = 2t − t + , ∀t ≥ 2t −  t=  4t − 4t − ⇒ f ' (t ) = =0⇔ 2 t = − ( 2t − 1)  Bảng biến thiên: t −∞ − 2 +∞  Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình  f’(t) + - - + +∞ f(t) Vậy m≤ kết qủa cần tìm Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau có nghiệm: x − x − x − = (Đại học, cao đẳng khối D – 2004) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m( + x − − x + 2) = − x + + x − − x (Đại học, cao đẳng khối B – 2004) 3.Giải phương trình: log 2x + = x − 4x ( x − 1) (Đề thi HSG tình QNgãi năm 2001) Giải phương trình: log 2007 ( x + 1) = 2007 x − Tìm m để bất phương trình (4 + x)(6 − x) ≤ x − x + m Giải đất phương trình x( x + x + 16) > 6(4 − x ) (5) Giải bất phương trình x + 12 x > 13 x (7) Giải hệ phương  tgx − tgy = y − x  trình: 2 x + y = 4π  π π − < x , y <  (*)  ∀x ∈ [ − 4;6]  Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình  Nói ứng dụng tính chất hàm số khơng có ứng dụng tơi trình bày đề tài này, mà ứng dụng vơ rộng lớn Tuy nhiên với khn khổ đề tài tính thực tiễn tơi nêu ứng dụng Trong năm qua tơi vận dụng phương pháp cho đối tượng học sinh giỏi trường THPT Ba Tơ đợt bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi đại học cao đẳng thấy học sinh tiếp thu tương đối chủ động ; đa số học sinh hiểu vận dụng tốt q trình giải dạng tập Trên số suy nghĩ đề xuất tơi, mong đóng góp đồng nghiệp để giúp đỡ học sinh khai thác tốt ứng dụng hàm số chương trình tốn học phổ thơng làm sở tham gia kỳ thi cuối cấp nghiên cứu ứng dụng thực tiễn sống sau  Quảng Ngãi, tháng năm 2007  Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình  Nhận xét, đánh giá HĐCM trường THPT Ba Tơ: Nhận xét, đánh giá HĐCM Sở GD&ĐT Quảng Ngãi