BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

BÀI : KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc Đại lượng X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị số thuộc tập hữu hạn giá trị ngẫu nhiên, khơng dự đốn trước Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Giả sử X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị { x1,x2 , ,xn } Để hiểu rõ X, ta thường quan tâm tới xác suất để X nhận giá trị xk tức số P(X = xk ) = pk với k = 1,2, ,n Các thông tin X trình bày dạng bảng sau : X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn Bảng Bảng gọi bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X Người ta chứng minh bảng 1, tổng số dòng thứ hai p1 + p2 + + pn = Kì vọng Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị { x1,x2 , ,xn } Kì vọng X, kí hiệu E(X) , số tính theo cơng thức n E(X) = x1p1 + x2p2 + + xn pn = ∑ xi pi i =1 pi = P(X = xi ), (i = 1,2, ,n) Ý nghĩa : E(X) số cho ta ý niệm độ lớn trung bình X Vì kì vọng E(X) cịn gọi giá trị trung bình X Nhận xét : Kì vọng X khơng thiết thuộc tập giá trị X Phương sai độ lệch chuẩn a Phương sai Cho X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị { x1,x2 , ,xn } Phương sai X, kí hiệu V(X), số tính theo cơng thức V(X) = (x1 − µ)2 p1 + (x2 − µ)2 p2 + + (xn − µ)2 pn n = ∑ (xi − µ)2 pi i =1 Ở pi = P(X = xi ) (i = 1,2, ,n) µ = E(X) Ý nghĩa: Phương sai số khơng âm Nó cho ta ý niệm mức độ phân tán giá trị X xung quanh giá trị trung bình Phương sai lớn độ phân tán lớn b Độ lệch chuẩn Căn bậc hai phương sai, kí hiệu σ(X) , gọi độ lệch chuẩn X, nghĩa σ(X) = V(X) BÀI TẬP Một thùng phiếu có 30 phiếu có phiếu trúng thưởng Một người bốc ngẫu nhiên phiếu Gọi X số phiếu trúng thưởng mà người bốc Hãy lập bảng phân bố xác suất cho biến ngẫu nhiên X LỜI GIẢI Gọi X số phiếu trúng thưởng ⇒ X = { 0,1,2,3} Biến cố X = có nghĩa vé không trúng Vậy P ( X = 0) = C 327 = C 330 585 812 Biến cố X = có nghĩa vé có vé trúng vé khơng trúng C13C 227 Vậy P ( X = 1) = C 330 1053 4060 = Biến cố X = có nghĩa vé có vé trúng vé không trúng Vậy P ( X = 2) = C 23C127 C 330 = 81 4060 Biến cố X = có nghĩa vé giải Vậy P ( X = 3) = C 33 C 330 = 4060 Bảng phân phối xác suất X: X P 585 1053 812 4060 81 4060 4060 Một bình đựng bi xanh bi đỏ, chọn bi Gọi X số bi đỏ: a) Lập bảng phân phối xác suất X b) Số bi đỏ trung bình sau lần lấy LỜI GIẢI Gọi X số bi đỏ X = {0, 1, 2, 3, 4} Biến cố (X = 0) có nghĩa viên bi chọn khơng có bi đỏ Vậy P ( X = 0) = C65 C10 = 42 Biến cố (X= 1) có nghĩa chọn bi đỏ bi xanh C14C64 Vậy P ( X = 1) = C10 = 21 Biến cố (X = 2) có nghĩa chọn bi đỏ bi xanh Vậy P ( X = 2) = C 24C63 C10 = 10 21 Lý luận tương tự ta có : P ( X = 3) = C 34C62 C10 Bảng phân phối xác suất X: X P 10 42 21 21 = C 4C1 , P ( X = 4) = 45 = 21 42 C10 21 42 Một nhóm có người, gồm có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Gọi X số nữ chọn a) Hãy lập bảng phân bố xác suất X b) Tính kỳ vọng E ( X ) phương sai V ( X ) LỜI GIẢI Gọi X số nữ chọn ⇒ X = { 0,1,2,3} Biến cố X = có nghĩa là, người chọn nam Vậy P ( X = 0) = C 34 C73 = 35 Biến cố X = có nghĩa là: chọn nữ nam Vậy P ( X = 1) = C13C 24 C73 = 18 35 Biến cố X = có nghĩa là: chọn nữ nam Vậy C 2C1 12 P ( X = 2) = 3 = 35 C7 Biến cố X = có nghĩa chọn bạn nữ Vậy P ( X = 3) = Bảng phân phối xác suất X: X P 18 35 35 Kì vọng: E ( X ) = ∑x p i =1 i i = 12 35 35 18 12 + + + = 35 35 35 35 C 33 C73 = 35 Phương sai: V ( X ) = n ∑ i =1 xi2pi ( − E ( X) ) 2 18 12  9 24 = + 12 + 22 + 32 −  ÷ = 35 35 35 35   49 Một tổ gồm nam nữ Chọn em lao động Gọi X số nữ: a) Lập bảng phân phối X b) Tính E(X) LỜI GIẢI a) Khơng gian mẫu chọn bạn 10 bạn có n ( Ω ) = C10 cách chọn Tập giá trị X {0, 1, 2, 3, 4} giá trị X ngẫu nhiên khơng đốn trước nên X biến ngẫu nhiên rời rạc Để lập bảng phân phối xác suất X, ta tính xác suất P ( X = 0) , P ( X = 1) , P ( X = 2) , P ( X = 3) , P ( X = 4) P ( X = 0) xác suất bạn chọn bạn nữ, tức bạn chọn nam: P ( X = 0) = C64 C10 = 14 P ( X = 1) xác suất bạn chọn có bạn nữ bạn nam: P ( X = 1) = Tương P ( X = 4) = C14C63 C10 = 21 P ( X = 2) = tự: C 44 C10 = C24C62 C10 = , P ( X = 3) = C 34C16 C10 = 210 X P 14 21 35 210 b) Tính Kì vọng: 8 E ( X ) = ∑ xi pi = 0× + 1× + + + = 14 21 35 210 i =1 Bài 3: Một nhóm trẻ gồm bé trai bé gái Chọn ngẫu nhiên bé Gọi X số bé gái bé chọn a) Lập bảng phân phối xác suất biến X b) Tính kỳ vọng E ( X ) phương sai V ( X ) , 35 LỜI GIẢI Gọi X số bé gái ⇒ X = { 0,1,2,3} Biến cố X = có nghĩa bé chọn khơng có bé gái (chọn bé bé trai) Vậy P ( X = 0) = C63 C10 = Biến cố X = có nghĩa bé chọn, có bé gái bé trai C14C 62 Vậy P ( X = 1) = C10 = Biến cố X = có nghĩa bé chọn, có bé gái bé trai C 24C16 Vậy P ( X = 2) = C10 = 10 Biến cố X = có nghĩa bé chọn bé gái Vậy P ( X = 3) = C 34 C10 = 30 Bảng phân phối xác suất X: X P 1 Kì vọng: E ( X ) = 30 10 ∑ x p = + + 10 + 30 = i =1 Phương sai: V ( X ) = i i n ∑ i =1 ( xi2pi − E ( X ) ) 2 1  6 14 = 02 + 12 + 22 + 32 −  ÷ = 10 30   25 Một xạ thủ có xác suất bắn trúng hồng tâm 0,3 Xạ thủ bắn lần Gọi X số lần bắn trúng hồng tâm Lập bảng phân phối xác suất X Tính E(X), V(X) LỜI GIẢI Gọi Ai biến cố "Xạ thủ bắn trúng hồng tâm lần thứ i" Theo đề ( ) ta có P ( A i ) = 0,3 ⇒ P A i = 0,7 P ( X = 0) có nghĩa lần bắn xạ thủ không bắn trúng hồng tâm lần ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P ( X = 0) = P A ∩ A ∩ A ∩ A = P A P A P A P A = ( 0,7) = 0,2401 P ( X = 1) có nghĩa lần bắn có lần bắn trúng hồng tâm cịn lần khơng trúng ( P ( X = 1) = P A ∩ A ∩ A ∩ A ∪ A ∩ A ∩ A ∩ A ∪ A ∩ A ∩ A ∩ A ∪ A ∩ A ∩ A ∩ A ( ) ) ( ) ( ) ( ) = P ( A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) + P ( A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) + P ( A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) + +P ( A ) P ( A ) P ( A ) P ( A ) = 4.( 0,7) 0,3 = 0,4116 = P A1 ∩ A ∩ A ∩ A + P A1 ∩ A ∩ A ∩ A + P A1 ∩ A ∩ A ∩ A + P A1 ∩ A ∩ A ∩ A 4 4 3 Tương tự ta tính : P ( X = 2) = P(A ∩ A ∩ A ∩ A ∪ A ∩ A ∩ A ∩ A ∪ A ∩ A ∩ A ∩ A ∪ A ∩ A ∩ A ∩ A ∪ A ∩ A ∩ A ∩ A ∪ A ∩ A ∩ A ∩ A 4) P ( X = 2) = 6.( 0,3) ( 0,7) = 0,2646 2 P ( X = 3) = 4.( 0,3) 0,7 = 0,0756 P ( X = 4) = ( 0,3) = 0,0081 Bảng phân phối xác suất X: Bảng phân phối xác suất X: X P 0,240 0,411 0,264 0,075 0,008 E ( X ) = ∑ xi pi = 0.0,2401+ 1.0,4116 + 2.0,2646 + 3.0,0756 + 4.0,0081 = 1,2 i =1 n ( V ( X ) = ∑ xi2pi − E ( X ) i= ) = 02.0,2401+ 12.0,4116 + 22.0,2646 + 32.0,0756 + 42.0,0081− 1,22 = 0,84 Ba xạ thủ độc lập bắn vào bia Xác suất bắn trúng bia người 1, 2, 0.6, 0.7, 0.8 Ký hiệu X số viên đạn trúng bia a) Lập bảng phân phối xác suất X b) Tính E(X), V(X) LỜI GIẢI a) X số viên đạn trúng bia ⇒ X = { 0,1,2,3} Gọi A biến cố "Người thứ bắn trúng bia", theo đề có ( ) P ( A ) = 0,6 ⇒ P A = 0,4 Gọi B biến cố "Người thứ hai bắn trúng bia", theo đề có ( ) P ( B) = 0,7 ⇒ P B = 0,3 Gọi C biến cố "Người thứ bắn trúng bia", theo đề có ( ) P ( C ) = 0,8 ⇒ P C = 0,2 ( ) ( ) ( ) ( ) P ( X = 1) = P ( A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ) = P ( A ∩ B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ) P ( B) P ( C ) + P ( A ) P ( B) P ( C ) + P ( A ) P ( B) P ( C ) P ( X = 0) = P A ∩ B ∩ C = P A P B P C = 0,4.0,3.0,2 = 0,024 = 0,6.0,3.0,2 + 0,4.0,7.0,2 + 0,4.0,3.0,8 = 0,188 ( ) ( ) ( = P ( A ) P ( B) P ( C ) + P ( A ) P ( B) P ( C ) + P ( A ) P ( B) P ( C ) ) ( P ( X = 2) = P A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C = P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C ) = 0,6.0,7.0,2 + 0,6.0,3.0,8 + 0,4.0,7.0,8 = 0,452 P ( X = 3) = P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ) P ( B) P ( C ) = 0,6.0,7.0,8 = 0,336 Bảng phân phối xác suất X: X P 0,02 0,18 b) Ta có : Kì vọng: 0,45 0,33 E ( X ) = ∑ xi pi = x0p0 + x1p1 + x2p2 + x3p3 = 0.0,024 + 1.0,188 + 2.0,452 + 3.0,336 = 2,1 i=0 Phương sai: n ( V ( X ) = ∑ xi2pi − E ( X ) i =1 ) = o2.0,024 + 12.0,188 + 22.0,452 + 32.0,336 − ( 2,1) = 0,61 Một người từ nhà đến quan phải qua ngã tư A, B, C có điều khiển giao thơng Xác suất để gặp đèn đỏ theo thứ tự ngã tư A, B, C 0.2, 0.4, 0.5 Gọi X số lần gặp đèn đỏ ngã tư A, B, C a) Lập bảng phân phối xác suất X b) Biết thời gian chờ đèn đỏ ngã tư phút Hỏi trung bình lần từ nhà đến quan người phải chờ đèn đỏ phút? LỜI GIẢI Gọi X số lần gặp đèn đỏ ngã tư A, B, C ⇒ X = { 0,1,2,3} ( ) Gọi A "Gặp đèn đỏ ngã tư A" ⇒ P ( A ) = 0,2 ⇒ P A = 0,8 ( ) Gọi C "Gặp đèn đỏ ngã tư C" ⇒ P ( C ) = 0,5 ⇒ P ( C ) = 0,5 P ( X = 0) = P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ) P ( B) P ( C ) = 0,8.0,6.0,5 = 0,24 P ( X = 1) = P ( A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ) = P ( A ∩ B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ) P ( B) P ( C ) + P ( A ) P ( B) P ( C ) + P ( A ) P ( B) P ( C ) Gọi B "Gặp đèn đỏ ngã tư B" ⇒ P ( B) = 0,4 ⇒ P B = 0,6 = 0,2.0,6.0,5 + 0,8.0,4.0,5 + 0,8.0,6.0,5 = 0,46 ( ) ( ) ( = P ( A ) P ( B) P ( C ) + P ( A ) P ( B) P ( C ) + P ( A ) P ( B) P ( C ) ) ( P ( X = 2) = P A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C ∪ A ∩ B ∩ C = P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C + P A ∩ B ∩ C ) = 0,2.0,4.0,5 + 0,2.0,6.0,5 + 0,8.0,4.0,5 = 0,26 P ( X = 3) = P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ) P ( B) P ( C ) = 0,2.0,4.0,5 = 0,04 Bảng phân phối xác suất X: X P 0,24 0,46 0,26 0,04 b) Bước ta phải tính Kì vọng X: E ( X ) = 0.0,24 + 1.0,46 + 2.0,26 + 3.0,04 = 1,1 Vậy thời gian người phải chờ đèn đỏ trung bình từ nhà đến quan 1,1.1 = 1,1 phút Một cổ tú lơ khơ rút a) Tính xác suất để ách b) Tính xác suất để hình(con tây) c) Gọi X số tây lấy Lập bảng phân phối xác suất X d) Gọi Y số đỏ rút (gồm Rô Cơ) Lập bảng phân phối xác suất Y LỜI GIẢI Một cổ tú lơ khơ có 52 bài, tổng trường hợp rút 52 lá: n ( Ω ) = C 352 a) Gọi A biến cố "Rút ách" Có nghĩa rút ách ách lại 48 lại Số trường hợp xảy thuận lợi cho A là: n ( A ) = C14.C 248 Vậy P ( A ) = n( A ) n( Ω) = C14.C 248 C 352 = 1128 ≈ 0,204 5525 b) Gọi B biến cố "Rút hình" Có nghĩa rút hình 12 hình lại 40 lại Số trường hợp xảy thuận lợi cho B là: n ( B) = C112.C 240 Vậy P ( B) = n ( B) n( Ω) = C112.C 240 C 352 = 36 ≈ 0,4235 85 c) Gọi X số tây lấy X = {0, 1, 2, 3} Trong Tú lơ khơ có 12 tây (J, Q, K) 40 lại tây P ( X = 0) = Cả lấy tây: Có tây tây: P ( X = 1) = Có P ( X = 2) = C12 C140 C 352 tây = không C 340 C 352 38 85 = C112.C 240 C 352 phải = 36 85 tây: 132 1105 P ( X = 3) = Cả tây: C12 C 352 = 11 1105 Lập bảng phân phối xác suất X: X P 38 36 132 11 85 85 1105 1105 d) Gọi Y số đỏ rút Y = {0, 1, 2, 3} Trong Tú lơ khơ có 26 đỏ (gồm Rơ Cơ) 26 lại đen (gồm Chuồn Pich) Cả đen: P ( Y = 0) = C 326 C 352 = 17 Có đỏ đen: P ( Y = 1) = C126.C 226 Có đỏ đen: P ( Y = 2) = C 226.C126 C 352 C 352 = 13 34 = 13 34 C 326 = 17 Bảng phân phối xác suất Y: Y P 13 13 34 17 Cả đỏ: P ( Y = 3) = C 352 17 34 11 Xác suất người bắn trúng hồng tâm 0,3 a) Người bắn lần độc lập liên tiếp Gọi X số lần bắn trúng hồng tâm Lập bảng phân phối xác suất X Tính kỳ vọng X b) Trong câu giả sử người bắn n lần độc lập liên tiếp Tính n biết xác suất để bắn trúng lần n lần 0,7599 LỜI GIẢI a) Gọi Ai biến cố "Xạ thủ bắn trúng hồng tâm lần thứ i" với ≤ i ≤ 3,i ∈ ¥ ( ) Theo đề ta có P ( A i ) = 0,3 ⇒ P A i = 0,7 P ( X = 0) có nghĩa lần bắn xạ thủ không bắn trúng hồng tâm lần ( ) ( ) ( ) ( ) P ( X = 0) = P A ∩ A ∩ A = P A P A P A = 0,73 = 0,343 P ( X = 1) có nghĩa lần bắn có lần bắn trúng hồng tâm lần không trúng ( P ( X = 1) = P A ∩ A ∩ A ∪ A ∩ A ∩ A ∪ A ∩ A ∩ A ( ) ) ( ) ( ) ) P ( A ) P ( A ) + P ( A ) P ( A ) P ( A ) + P ( A ) P ( A ) P ( A = P A1 ∩ A ∩ A + P A1 ∩ A ∩ A + P A1 ∩ A ∩ A = P( A1 3 ) = 3.( 0,7) 0,3 = 0,441 Tương tự ta tính : P ( X = 2) = P(A ∩ A ∩ A ∪ A ∩ A ∩ A ∪ A ∩ A ∩ A 3) = 3.( 0,3) 0,7 = 0,189 P ( X = 3) = P ( A ∩ A ∩ A ) = ( 0,3) = 0,027 Bảng phân phối xác suất X: X P 0,34 0,44 0,18 0,02 Kì vọng X: E ( X ) = ∑ xi pi = 0.0,343 + 1.0,441+ 2.0,189 + 3.0,027 = 0,9 i =1 b) Gọi A biến cố n lần bắn độc lập có lần bắn trúng hồng tâm Biến cố đối A n lần bắn độc lập lần bắn trúng hồng tâm ( ) Theo đề ta có P ( A ) = 0,7599 ⇒ P A = 1− 0,7599 = 0,2401 ( ) n Ngồi có P A = 0,7 Từ suy 0,7n = 0,2401 ⇔ 0,7n = 0,74 ⇔ n = ... bạn có n ( Ω ) = C10 cách chọn Tập giá trị X {0, 1, 2, 3, 4} giá trị X ngẫu nhiên không đoán trước nên X biến ngẫu nhiên rời rạc Để lập bảng phân phối xác suất X, ta tính xác suất P ( X = 0) , P... Một người bốc ngẫu nhiên phiếu Gọi X số phiếu trúng thưởng mà người bốc Hãy lập bảng phân bố xác suất cho biến ngẫu nhiên X LỜI GIẢI Gọi X số phiếu trúng thưởng ⇒ X = { 0,1,2,3} Biến cố X = có... bé gái Chọn ngẫu nhiên bé Gọi X số bé gái bé chọn a) Lập bảng phân phối xác suất biến X b) Tính kỳ vọng E ( X ) phương sai V ( X ) , 35 LỜI GIẢI Gọi X số bé gái ⇒ X = { 0,1,2,3} Biến cố X =