skkn vẽ đường phụ hình học 7

PHẦN : MỞ ĐẦU THÔNG TIN CHUNG VỀ KINH NGHIỆM Tên kinh nghiệm: “Vẽ thêm yếu tố phụ từ hai tốn chương I hình học ứng dụng” Lĩnh vực áp dụng kinh nghiệm: Mơn tốn lớp học kì I Tác giả: Họ tên: Phạm Thị Giang Giới tính: Nữ Ngày tháng năm sinh: 20/11/1984 Trình độ chun mơn: Cao đẳng sư phạm Toán - Tin Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Hiệp cát Điện thoại: 01694289239 Đơn vị áp dụng kinh nghiệm lần đầu : Trường THCS Hiệp Cát Các điều kiện cần thiết để áp dụng kinh nghiệm: Phòng học, sách giáo khoa, sách tham khảo Thời gian áp dụng kinh nghiệm lần đầu: Năm học 2013 - 2014 HỌ TÊN TÁC GIẢ XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG KINH NGHIỆM Phạm Thị Giang TÓM TẮT KINH NGHIỆM Trong trường phổ thơng, hình học tiếp nối phát triển kiến thức mở đầu hình học 6, lâu theo đánh giá chung “nặng” so với phân mơn hình học cấp THCS Trong việc dạy học hình học tránh khỏi việc phải vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh - cách hay khó Kinh nghiệm “Vẽ thêm yếu tố phụ từ hai toán chương I hình học ứng dụng” xây dựng từ mơ hình hai tốn chương I hình học Đó Bài 57 (SGK tập - Trang 104) Bài 44 (BTHH7 tập - 116) Bài tốn thứ Bài 57 SGK gọi với tên gợi hình ảnh tốn “ cá” Bài toán cần phải vẽ thêm đường song song với hai đường cho trước Và từ toán ta khai thác nhiều tốn liên quan: Tính số đo góc, chứng minh hai đường thẳng song song Bài toán thứ hai Bài 44 (BTHH7 tập – 81: Chứng minh rằng: Nếu · · = x· ' O ' y ' Để giải hai góc nhọn xOy x· ' O ' y ' có Ox // O'x'; Oy // O'y' xOy tập cần phải vẽ thêm đường phụ xây dựng yếu tố trung gian Từ toán ta khai thác nhiều tập liên quan : - Chứng minh hai đường phân giác hai góc có cạnh tương ứng song song thì: Hoặc song song với hai góc nhọn hay tù, vng góc với góc nhọn, góc tù - Qua điểm vẽ đường vng góc với tia phân giác góc cho trước bị mờ đỉnh góc Kinh nghiệm giúp học sinh lớp bước đầu làm quen với việc vẽ thêm yếu tố phụ, biết tổng hợp tốn có nội dung tương tự Trong sách tập toán lớp có nhiều tốn liên quan đến toán “ cá” xếp rời rạc, học sinh khó nhận liên hệ gữa tập Sau áp dụng kinh nghiệm học sinh có hệ thống tập mà cách giải phải vẽ thêm đường song song với hai đường cho trước Do gặp tốn tương tự em khơng lúng túng Mặt khác qua kinh nghiệm học sinh biết sử dụng kết toán vào chứng minh toán khác ( Ứng dụng kết toán 2) Mà việc học hình điều quan trọng Bởi khơng có hình độc lập mà ln khai thác từ trước làm tảng cho sau Kinh nghiệm sau áp dụng đa số học sinh lớp biết khai thác, phân tích kết tốn để tổng kết thành phương pháp giải tốn, tìm tòi cách vẽ thêm đường phụ việc giải tốn hình khơng chương I mà chương khác Để kinh nghiệm ứng dụng rộng rãi phải có tiết học chun đề, giáo viên phải tìm tòi, hệ thống tập Mặt khác đòi hỏi người học phải có đầy đủ SGK, SBT cơng cụ vẽ hình cần thiết Và tất nhiệt tình người giáo viên, ham học hỏi, tinh thần cầu thị em học sinh PHẦN 2: MƠ TẢ KINH NGHIỆM ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí chọn kinh nghiệm "Thế giới chung quanh giới hình học" Viện sĩ A.D.Alecxandrow ông nêu rõ nhiệm vụ mơn hình học trường phổ thơng: ''Hình học chất thống trí tưởng tượng sinh động lơgíc chặt chẽ, dạy học hình học phải kết hợp logic trực quan Hình học bắt nguồn từ thực tế ứng dụng vào thực tế nên việc dạy học hình học phải liên hệ chặt chẽ với môn học khác, với mỹ thuật, với kiến trúc…" (Theo Hoàng Chúng - Phương pháp dạy học hình học trường Trung học sở) Luật giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: ‘‘Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học, bồi dưỡng cho nguời học lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên’’ Mục đích việc đổi phương pháp dạy học trường phổ thông thay đổi lối dạy học truyền thụ chiều sang dạy học theo ‘‘Phương pháp dạy học tích cực’’ nhằm giúp học sinh : Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen khả tự học, tinh thần hợp tác, kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú học tập; Làm cho ‘‘việc học’’ q trình kiến tạo, tìm tòi, khám phá, luyện tập, khai thác xử lí thơng tin Học sinh tự hình thành hiểu biết, lực phẩm chất Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm chân lí Chú trọng hình thành lực (tự học, sáng tạo, hợp tác, ) dạy phương pháp kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học Vậy: Làm để đạt mục đích ? Để trả lời câu hỏi này, trước tiên người giáo viên cần phải khơng ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp phương pháp dạy học học cho phù hợp với kiểu bài, đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh hướng tư chủ động, sáng tạo Vấn đề nêu khó khăn với khơng giáo viên ngược lại, giải điều góp phần xây dựng thân giáo viên phong cách phương pháp dạy học đại giúp cho học sinh có hướng tư việc lĩnh hội kiến thức môn học Ở trường THCS, học sinh học ba phân mơn tốn học, Số học, Đại số Hình học Trong ba phân mơn học sinh thường gặp khó khăn việc giải tốn Hình học Trong tìm phương pháp giải tốn hình học, ta gặp số tốn mà khơng vẽ thêm đường phụ bế tắc Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo liên hệ yếu tố cho việc giải tốn trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng Trên thực tế việc dạy nội dung có vẽ thêm yếu tố phụ khó khăn, phía giáo viên lẫn học sinh Nếu giáo viên làm không tốt việc phân tích phải làm học sinh khá, giỏi "lơ mơ" việc làm đó, thực cách thụ động mà khơng biết phân tích, tìm sở cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Chính lẽ dạy hình học giáo viên cần cho học sinh tiếp cận, làm quen, hiểu mục đích, cách thức thực việc vận dụng vào tình cụ thể đưa thêm yếu tố phụ vào hình vẽ Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ, mà sáng tạo trong giải tốn, việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải toán cách ngắn gọn công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình bản, nhiều người giáo viên tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ khơng thể giải thích rõ cho học sinh hiểu lại phải vẽ vậy, học sinh hỏi giáo viên: Tại cô (thầy) lại nghĩ cách vẽ đường phụ vậy, cách vẽ có cách khác khơng? hay: vẽ thêm giải tốn? Gặp phải tình vậy, thật người giáo viên phải vất vả để giải thích mà có hiệu khơng cao, học sinh khơng nghĩ cách làm gặp tốn tương em chưa biết cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy thấy rằng: để giải vấn đề cách triệt để, mặt khác lại nâng cao lực giải toán bồi dưỡng khả tư tổng quát cho học sinh, tốt ta nên trang bị cho em sở việc vẽ thêm đường phụ số phương pháp thường dùng vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết tốn hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ em tiếp xúc với tốn, em chủ động cách giải, chủ động tư tìm hướng giải cho tốn, hiệu cao Vì vậy, chọn kinh nghiệm “Vẽ thêm yếu tố phụ từ hai tốn chương I hình học ứng dụng” với hi vọng giúp em học sinh biết cách làm chủ kiến thức mình, thêm u mơn tốn, tự tin q trình học tập nghiên cứu sau 1.2 Đối tượng nghiên cứu: Hai toán chương I hình học tốn liên quan 1.3 Phạm vi nghiên cứu: Chương I hình học : Sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo 1.4 Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh lớp làm quen với việc vẽ thêm yếu tố phụ tập hình, biết cách làm tập tương tự biết sử dụng kết tập biết 1.5 Các phương pháp nghiên cứu 1.5.1 Nghiên cứu lý thuyết 1.5.2 Phương pháp điều tra 1.5.3 Phương pháp thực nghiệm 1.5.4 Phương pháp thống kê GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lí luận vấn đề "Vẽ thêm yếu tố phụ không theo qui tắc chung nào, mà sáng tạo "nghệ thuật" tuỳ theo u cầu tốn, giúp: + Giải số tốn hình học mà khơng vẽ thêm yếu tố phụ bế tắc + Trình bày lời giải số tốn hình học hay hơn, gọn + Phát vấn đề chưa học vốn kiến thức hạn chế, sau học đến đơn giản" (Theo Nguyễn Đức Tấn - Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 7) Việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình số tốn dựng hình Trong kinh nghiệm vẽ thêm đường thẳng song song dựa vào kiến thức sau: - Tiên đề Ơclit: “ Qua điểm đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng đó” ( SGK tốn tập I) - Hai đường thẳng phân biệt có điểm chung khơng có điểm chung ( Nghĩa song song, cắt nhau) (SGK toán tập I) 2.2 Thực trạng vấn đề: Hình học phân mơn mà học sinh cảm thấy khó học, hình học lớp Bởi năm em làm quen với hình học khơng mang tính chất trực quan túy lớp dưới, mà đòi hỏi phải có tư tổng hợp, vận dụng tiên đề, tính chất hình học để giải Hơn tốn hình học ln có tính tương tự, kế thừa phát triển Kết hay cách làm lại đem áp dụng cho tập khác Nếu em tìm mối liên quan tập cần từ tốn em giải nhiều khác Ngồi có nhiều hình vẽ hình dựa giả thiết tốn nhiều đến bế tắc Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo liên hệ yếu tố cho việc giải tốn trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng Tuy nhiên việc vẽ thêm yếu tố phụ cơng việc dễ dàng Chính lí mà dạy hình học giáo viên phải cho học sinh làm quen với việc vẽ thêm yếu tố phụ từ tốn bản, từ suy cách vẽ cho tập khác tương tự 2.3 Bài toán tập ứng dụng từ toán a 380 Bài toán 1: Bài 57 SGK tập - Trang 104 x Cho hình vẽ ( a//b), tính số đo x góc O O 1320 Hướng dẫn: Vẽ đường thẳng song song với a qua điểm O b Giải Vẽ đường thẳng c qua O song song với đường thẳng a Do có a // b (gt) Và a // c (cách vẽ ) c Suy c // b ( tính chất đường thẳng song song) Vì a // c ⇒ Ơ1 = µA1 = 380 (hai góc so le trong) ¶ + 1320 = 1800 ( hai góc phía ) Vì c // b ⇒ Ô2 + B¶ = O ⇒ Ô2 = 1800 - 1320 = 480 Mặt khác Ô1 + Ô2 = x nên x = 380 + 480 = 860 Nhận xét: Đây tập SGK mà muốn giải phải vẽ thêm yếu tố phụ Chính vậy, sau nêu đề bài, người viết sách ý đưa thêm phần hướng dẫn để học sinh làm quen Do dạy nên đặt vấn đề: Tại lại phải vẽ thêm đường thẳng c // a (c qua O)? Qua học sinh nhận thấy: Để áp dụng tính chất đường thẳng song song phải có đường thẳng song song nên cần vẽ thêm c // a Thực chất tốn giải bằng phương pháp khác (Cũng vẽ thêm đường) kéo dài AO phía O cắt b D sau áp dụng tính chất góc ngồi tam giác mà ta đề cập đến phần sau Thiết nghĩ, ôn tập (bài nằm tiết 14 - 15 ôn tập chương I), giáo viên nên chọn cần thiết phải giới thiệu qua phương pháp để học sinh tiếp cận Trong hướng dẫn học sinh trình bày lời giải, phải làm để học sinh nêu rõ cách vẽ thêm yếu tố phụ lời giải tốn Từ tốn giáo viên cho học sinh làm toán mà phải kẻ thêm yếu tố phụ tương tự Sau hai dạng bài: 2.1.1 Bài tập tính số đo góc A m n 400 Bài 1: Cho hình vẽ bên, biết mn // pq; O · · =? OAn = 400 ; ·AOB = 900 Tính OBq p B q Phân tích: Cho học sinh nghiên cứu điểm giống hình bê hình tốn 1, để từ có cách vẽ thêm yếu tố phụ Giải: Hướng dẫn học sinh tương tự toán Ta kẻ đường thẳng xy qua O xy // mn m A n 400 Do có mn // pq (gt) xy // mn ( cách vẽ) Suy xy // pq ( Tính chất ba đường thẳng song song) x O y µ = OAn · Vì mm // xy nên O = 400 ( Hai góc so le trong) p B q 10 hiện, có khác cách vẽ cần hướng dẫn em thực toán làm Giải: n Từ O kẻ Oz // Ax Do Ax //By nên Oz // By, z A v O ả ã tia Oz chia mOn thành hai góc O 400 · µ = 400 (So le trong) =O Ta có xAO ·yBO = O ¶ = 50 ( So le trong) x B O m 500 Vì Oz nằm hai tia Om On nên y ã +O ả = 400 + 500 = 900 ⇒ Om ⊥ On mOn =O Trong tập ta đề cập đến ứng dụng việc vẽ thêm đường phụ việc tính tốn Trong thực tế việc vẽ thêm đường song song vận dụng nhiều để chứng minh hai đường thẳng song song Sau xét vài trường hợp vận dụng: 2.1.2 Bài tập chứng minh song song A Bài 1: x a0 · Hình bên cho biết: xAC = a , ·yBC = b , ·ACB = a + b0 a0+b0 Chứng minh rằng: Ax// By C b0 B y Phân tích: Nhìn vào hình vẽ học sinh nhận quen thuộc Tuy nhiên giả thiết toán lại trở thành kết luận Song ta hồn tồn chứng minh tập bằng cách vẽ thêm môt đường thẳng qua C song song với hai đường Ax By Giải: Từ C kẻ Cz // Ax A (Cz nằm nửa mặt phẳng có bờ AC khác phía với nửa mặt phẳng chứa tia Ax) x a0 z b0 B C 13 y Tia Cz chia ãACB thnh hai gúc Cà1 v Cả ã Ta có Cµ1 = xAC = a0 (So le trong) Mt khỏc: Cà1 + Cả = ãACB = a0 + b0 nên C¶ = b0 = ·yBC Mà hai góc vị trí so le nên Cz // By Vậy Ax // By (Cùng song song với đường thẳng Cz) Bài 2: Chứng minh Ax // By // Cz x A Cho hình vẽ: 1200 z 1200 800 C 1600 y B · Phân tích: Trong toán cho xAC = ·ACz = 1200 Mà hai góc so le nên nhận thấy Ax // Cz Như vấn đề đặt chứng minh cho Cz // By Ax // By Việc chứng minh dễ dàng thực bằng cách vẽ thêm tia Cz’ tia đối tia Cz Bài toán giải chi tiết sau: Giải: · Vì xAC = ·ACz = 1200 Mà hai góc vị trí so le nên Ax//Cz Kẻ tia Cz' tia đối tia Cz Vì Cz // Ax nên Cz' // Ax x A 1200 z z' 1200 C 1600 B y 14 · + ·ACz ' = 1800 (hai góc phía), Ta có: xAC · mà xAC = 1200 nên ·ACz ' = 1800 − 1200 = 600 · Do tia Cz' nằm hai tia CA CB nên ·ACz ' + BCz ' = 800 · BCz ' = 800 − 600 = 200 · · ' + CBy = 1800 Mà hai góc vị trí phía nên Cz' // By hay Ta có BCz Cz // By Vậy Ax // By // Cz n · Bài 3: Cho xOy = 1200 , A ∈ Ox y m · · Kẻ tia Am xOy cho xAm = 700 1300 · B ∈ Oy, kẻ Bn xOy 1200 700 · cho OBn = 1300 Chứng minh Am // Bn x O A z Giải: n y m · Từ O kẻ tia Oz xOy cho Oz // Am, 1300 · µ +O ¶ = 1200 xAm · µ = 700 (So le trong) =O =O ta có: xOy ¶ = xOy · µ = 120 − 70 = 50 ⇒O −O 0 B 700 x A B O ¶ + OBn · = 500 + 1300 = 1800 Lại có O Mà hai góc vị trí phía Do Oz // Bn Mà Oz // Am (Cách dựng) ⇒ Am // Oz // Bn Hay Am // Bn 2.2 Bài toán tập phát triển từ toán 15 Bài toán 2: Bài 44 (BTHH7 tập - 81): · Chứng minh rằng: Nếu hai góc nhọn xOy x· ' O ' y ' có Ox // O'x'; Oy // O'y' · xOy = x· ' O ' y ' Phân tích: Nếu để nguyên hình vẽ giả thiết tốn khơng tìm mối liên qua yếu tố hình Do ta phải vẽ thêm yếu tố phụ Có nhiều cách vẽ thêm yếu tố phụ Sau tơi trình bày cách vẽ thêm yếu tố phụ mức độ đơn giản Giải: · a, Xét trường hợp O' nằm xOy Kéo dài tia O'x' phía O' cắt Oy A · ta có Ox // Ax' (gt) nên xOy = x· ' Ay (Đồng vị) O'y' // Oy (gt) nên x· ' Ay = x· ' O ' y ' (Đồng vị) · = x· ' O ' y ' (Cùng x· ' Ay ) Do xOy · b, Trường hợp O' khơng nằm xOy (Chứng minh tương tự) Mục đích việc vẽ thêm đường phụ toán nhằm làm xuất hai góc so le bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc phía bù Để giúp cho em khai thác sâu kết tốn 2, ta cho em làm tập sau Bài 1: Cho hai góc xOy x'O'y' có Ox // O'x'; Oy // O'y' Gọi Om tia phân giác góc xOy On tia phân giác góc x'O'y' Chứng minh rằng: a, Nếu hai góc xOy x'O'y' nhọn tù Om // On b, Nếu hai góc xOy x'O'y' có góc nhọn, góc tù Om ⊥ On 16 Phân tích: Trong yêu cầu học sinh thực chứng minh tia phân giác hai góc có cạnh tương ứng song song: Song song với hai góc nhọn Hoặc vng góc với góc nhọn, góc tù Vấn đề đặt vận dụng kết tốn để chứng minh Sau ta chứng minh trường hợp Chứng minh: (Xét trường hợp góc xOy nhọn, góc x'O'y' tù) Gọi A giao điểm Oy O'x' · · Ta có xOy = O ' Ay (Đồng vị) · Kẻ tia phân giác Az O ' Ay ta có Om // Az (Theo a) · · Mặt khác: x ' O ' y ' + O ' Ay = 180 (Hai góc phía) · ' Ay 1800 x· ' O ' y ' O àA = ảA ; O ả ' =O ả' + = = 900 (gt) nên ta có v 2 2 ả Trong tam giác O'AB có A1 + O '1 = 90 nên ·ABO ' = 90 hay Az ⊥ O'n mà Az // Om ⇒ Om ⊥ O'n (Định lí) Cách 2: Kẻ O'z tia đối tia O'y' Vẽ tia phân giác O'k · ' x ' ta có: góc zO O'k // Om (Phân giác hai góc nhọn theo a) (1) O'k ⊥ O'n (Phân giác hai góc kề bù) (2) Từ (1) (2) ta có Om ⊥ O'n Nhận xét: Trong toán đường song song vẽ thêm tia phân · ' Ay , tạo tam giác có tổng hai góc bằng 90 nên góc giác O lại bằng 900 từ suy Om ⊥ O'n Cách sử dụng em 17 học tổng góc tam giác Nhưng cách cách em sử dụng kết chứng minh nêu ban đầu Bài 2: Trong hình vẽ bên vết mực che đỉnh O góc xOy Hãy trình bày cách vẽ qua điểm M đường thẳng vng góc với tia phân giác góc xOy Phân tích: Bài tốn khai thác từ kết toán vấn đề đặt vận dụng bằng cách nào? Việc tạo góc có cạnh tương ứng song song giúp giải vấn đề Giải: Qua A kẻ Ax' // By, ta có góc xAx' góc xOy hai góc đồng vị hai đường thẳng song song Oy Ax' Kẻ tia phân giác Az góc xAx' Az song song với tia phân giác góc xOy (Theo kết trên) Qua M kẻ đường thẳng vng góc với Az đường thẳng d đường vng góc với tia phân giác góc xOy Nhận xét: Trong toán vừa nêu: - Việc kẻ thêm Ax' // By cho kết hai góc có cạnh tương ứng song song - Việc vẽ thêm tia phân giác góc xAx' giúp sử dụng kết toán cách dễ dàng · Bài 3: Cho xOy = α (00 < α < 1800) , điểm A nằm Oy Qua A vẽ tia Am Tính số đo góc OAm để Am // Ox 18 Phân tích: Bài tốn nêu mang tính phức tạp Trong tốn khơng xét hết trường hợp xảy bỏ kết toán, trường hợp GV cần hướng dẫn cho em xét hết khả xảy như: · Trường hợp tia Am thuộc miền góc xOy phải có OAm = 1800 - α · Trường hợp tia Am thuộc miền ngồi góc xOy phải có OAm = α Từ giúp em định hướng giải 2.4 Kết đạt sau áp dụng kinh nghiệm 2.4.1 Đề kiểm tra minh họa Kiểm tra 15’ Đề bài: A B 400 Cho hình vẽ, biết AB//EG Chứng minh rằng : AC vng góc với CE C 500 E G Đáp án: Qua điểm C kẻ HD song song với AB (2đ) · Ta có ·ACH = CAB = 400 ( hai góc vị trí so le trong) (2đ) Vì AB//EG (gt) AB//HD nên EG//HD (2đ) A B 400 H C D ( hai đường thẳng song song với đường thẳng) · · Vì EG//HD nên HCE = CEG = 500 (2đ) 500 E G ( hai góc vị trí so le trong) Vì tia CH nằm hai tia CA CE nên: (1đ) ·ACE = ·ACH + HCE · = 400 + 500 = 900 (1đ) 2.4.2 Kết khảo sát 19 Năm học 2015 - 2016 Lớp 7A 7B Sĩ số 33 33 Đểm - 10 29,6% 14,8% 6,5 -