SKKN VẼ ĐƯỜNG PHỤ VÀ YẾU TỐ TRUNG GIAN TRONG CM HÌNH HỌC

Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, PHẦN THỨ NHẤT MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Hiện nay, nghiệp giáo dục đào tạo đổi trước yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá đại hoá đất nước Hướng đổi giáo dục đào tạo đào tạo người động, sáng tạo, chủ động học tập, dễ thích ứng với sống lao động Bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững nội dung kiến thức, giáo viên phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư sáng tạo, biết tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trình học tập Từ nhu cầu nhận thức hình thành động thúc đẩy trình học tập tự giác, tích cực tự lực học tập để chiếm lĩnh tri thức Những thành đạt tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ mà kiến thức trở thành “tài sản riêng” em Học sinh nắm vững, nhớ lâu mà biết vận dụng tốt tri thức đạt để giải vấn đề nảy sinh học tập, thực tế sống lao động mai sau Đồng thời, học sinh có phương pháp học lớp học phương pháp tự học để đáp ứng đổi thường xuyên khoa học công nghệ ngày Trong trình dạy học tốn nói chung q trình dạy học giải tốn hình học nói riêng, người dạy người học cần phải tạo cho thói quen là: Sau tìm lời giải toán, dù đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, tìm rồi, lại tiếp tục tìm tìm mối liên hệ vấn đề, tìm kết thú vị Trong trình tìm kiếm lời giải, học sinh phải biết cách đưa hình quen thuộc để vận dụng trực tiếp kiến thức biết Ngoài việc phải vẽ hình xác, tổng qt theo kiện tốn (tránh vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt, học sinh dễ ngộ nhận hình) biện pháp có hiệu sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học thơng qua vẽ hình phụ Việc vẽ hình phụ đa dạng, khơng theo khn mẫu định đòi hỏi học sinh phải biết dự đoán tốt, sở suy luận hợp lý Vì vậy, cần thiết bồi dưỡng cho học sinh phát triển lực Đã giảng dạy toán dạy toán lớp 8, chúng tơi tích cực, tự bồi dưỡng hướng dẫn em học sinh bồi dưỡng kiến thức nâng cao, quan tâm đến việc khai thác tốn Ở tơi khơng muốn đề cập tới dạng tập, hệ thống câu hỏi gợi mở Mà muốn nêu lên số cách hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho tốn hình học lớp 8, thơng qua việc vẽ hình phụ sử dụng yếu tố phụ để chứng minh Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, Với lí trên, chúng tơi xin trình bày đề tài “Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, 9” hy vọng góp phần vào giải vấn đề II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8, lớp THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm – Duy Vinh – Duy Xuyên – Quảng Nam Phạm vi nghiên cứu: Chương trình hình học lớp 8, lớp THCS PHẦN THỨ HAI NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Đặc điểm lứa tuổi học sinh THCS muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự khám phá, tìm hiểu trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy, giáo Hình thành phát triển tư tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh q trình lâu dài *Tư tích cực, độc lập sáng tạo học sinh thể số mặt sau: - Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khn, máy móc - Có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh khác - Có óc hồi nghi, ln đặt câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Cơ sở nào? Liệu có mối liên hệ khác khơng? - Tính độc lập cịn thể chỗ biết nhìn nhận vấn đề giải vấn đề - Có khả khai thác vấn đề từ vấn đề quen biết *Khai thác, phát triển kết tốn nói chung có nhiều hướng như: - Nhìn lại tồn bước giải Rút phương pháp giải loại tốn - Rút kinh nghiệm giải tốn - Tìm thêm cách giải khác - Khai thác thêm kết có tốn, đề xuất tốn - Biết tìm mối quan hệ đại lượng để tìm hướng giải II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Qua q trình cơng tác giảng dạy, thấy: Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, - Đa số học sinh, sau tìm lời giải cho tốn em hài lịng dừng lại, mà khơng tìm lời giải khác, khơng khai thác thêm tốn, khơng sáng tạo thêm nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân để tìm hướng giải ngắn gọn - Học sinh cịn học vẹt, làm việc rập khn, máy móc Từ dẫn đến làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Học sinh yếu tốn nói chung yếu hình học, đặc biệt yếu giải tốn chứng minh hình học nói riêng chủ yếu kiến thức hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư trình học tập, khơng có liên hệ, khơng có khai thác triệt để Đa số học sinh sử dụng sách giải, tập bạn học sinh để giải vấn đề tập nhà - Khơng học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao - Học không đôi với hành, làm cho thân học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân khơng phát huy hết - Một số giáo viên chưa thực quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo toán tiết dạy nói riêng cơng tác dạy học nói chung Một số giáo viên chưa hệ thống phương pháp cho học sinh để có sở giải toán chứng minh - Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ toán với nhau, phát triển toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức Quan trọng nâng cao tư cho em học sinh, giúp học sinh có hứng thú học tốn - Tìm hiểu qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy thân thấy học sinh có lỗ hổng từ tiếp cận với tập chứng minh hình lớp nói chung, việc vận dụng yếu tố trung gian học sinh lúng túng, chưa nhận biết biết cần vận dụng vào chứng minh tốn hình - Khi thăm dò khảo sát chất lượng học tập mơn Tốn học sinh khối lớp năm học 2008 2009 giải tốn có vận dụng yếu tố trung gian chứng minh có kết sau: Chất lượng Giỏi Khá Trung bình Yếu - Kém Qua điều tra thử nghiệm với học sinh học lớp tơi thấy số học sinh vận dụng yếu tố trung gian vẽ hình phụ chứng minh hình học có em đạt %, số cịn lại khơng biết cách giải giải khơng hồn chỉnh Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, Trước thực trạng địi hỏi phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Qua toán mà học sinh giải được, định hướng cho em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm lời giải, kết tốn Bằng hình thức như: - Kiểm tra kết quả, xem xét lại cách lập luận - Nghiên cứu, tìm tịi, với việc tập trung giải vấn đề như: Liệu toán cịn có cách giải khác hay khơng? Có thể thay đổi kiện cho để đề xuất toán khơng? Bài tốn cho có liên quan với tốn khác khơng? Trong đề tài này, xin minh họa cách khai thác, phát triển từ kết toán quen thuộc để tìm hướng giải Nhằm giúp học sinh thấy hay, đẹp, thú vị học tốn nói chung học hình học nói riêng Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo học toán; giúp học sinh thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết học tập mơn tốn IV NỘI DUNG CỤ THỂ : Từ kết toán đơn giản ban đầu, chịu khó suy xét tiếp ta khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển toán, tạo chuỗi toán hay thú vị khác Sau ví dụ minh hoạ: Thực chất phương pháp dựa vào kết luận, lựa chọn điều kiện cần có, gợi hướng vẽ hình phụ để từ giả thiết suy luận đến yếu tố trung gian để suy kết luận Dạng 1: Chứng minh đoạn thẳng ( Hai đại lượng nhau) Bài tập1.1: Cho ∆ ABC, kẻ đường phân giác góc B C cắt I CMR: I thuộc đường phân giác góc A Phân tích tìm lời giải: Ở để chứng minh I thuộc đường phân giác, ta có hai hướng giải sau: · · - Chứng minh: BAI = CAI - Chứng minh: Điểm I cách hai cạnh AB AC - Vậy với điều kiện ta cần thể điều ? · · - Để cm: BAI = CAI ta quy chứng minh tam giác nhau?(yếu tố khó khăn) - Chứng minh: Điểm I cách hai cạnh AB AC - Điểm I có đặc điểm gì? So với cạnh góc B, góc C ? - Từ đặc điểm ta cần thể điều gì? ( kẻ đường vng góc IM, IN, IP) Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, - Nhận xét độ dài đoạn thẳng này? Từ rút kết luận điểm I so với cạnh góc BAC Lời giải: Kẻ IM ⊥ BC; IN ⊥AB; IP ⊥ AC A Vì I thuộc đường phân giác góc B nên IM = IN (1) P N Vì I thuộc đường phân giác góc C nên IM = IP (2) Từ (1) (2) suy ra: IN = IP I => I thuộc đường phân giác góc A B M C Bài tập 1.2: Cho ∆ ABC vuông A, kẻ đường phân giác góc B C cắt I Gọi N P chân đường vng góc hạ từ I xuống AB, AC CMR: AN = AP Phân tích tìm lời giải: Ở để chứng minh: AN = AP ta cần có A P N hướng giải nào? - Cm: Hai tam giác chứa hai đoạn thẳng AN, AP I - Chứng minh: ANIP hình vng B M C Với sở ta cần chứng minh I thuộc phân giác góc A Như ta khai thác tương tự tập 1.1 - Chứng minh: Điểm I cách hai cạnh AB AC · Bài tập 1.3: Cho ∆ ABC, kẻ đường phân giác góc BD CE cắt I, BAC = 600 CMR: ID = IE Phân tích tìm lời giải: Ở để chứng minh ID = IE ta cần chứng minh điều gì? - Để cm: ID = IE thông thường, ta quy chứng minh tam giác nhau?(yếu tố khó khăn) Vì yếu tố đặt đoạn thẳng trung gian - Với yếu tố đề cho ta có kết gì? · · - Ta tính BIC không? ( BIC = 1200 ) · - Như CID = ? Ta liên tưởng từ kết này? · - Kẻ phân giác IF BIC chứng minh ID = IE A (sử dụng yếu tố phụ đoạn thẳng trung gian IF) Lời giải: µ µ B + C 1800 − µ A · µ µ Xét ∆ IBC có DIC = B1 + C1 = = = 600 E · Kẻ IF cho CIF=600 2 ∆ IDC= ∆ IFC (g - c - g ) => ID = IF (1) Tương tự: ∆ IEB= ∆ IFB (g - c - g ) => IE = IF (2) Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 D I B F C Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, Từ (1) (2) =>ID = IE Bài tập 1.4 ˆ Bài 54 trang 96/sgk Toán 8: Cho xOy =900; A nằm góc xOy; A B đối xứng qua Ox; A C đối xứng qua Oy Chứng minh B C đối xứng qua O Phân tích tìm lời giải: - GV: Để chứng minh B C đối xứng qua O ta cần chứng minh điều ? (OB= OC; O ∈ BC) - Ở ta xét chứng minh OB =OC - H: Để chứng minh OB = OC ta cần chứng minh điều ? ( chứng minh hai tam giác dài) o ( Yếu tố trung gian đặt đoạn thẳng OA) o GV gợi ý yếu tố phụ cần kẻ đoạn thẳng OA Lời giải: Ta có C A đối xứng qua Oy ⇒ Oy đường trung trực AC ⇒ OC = OA (1) y E C Ta có B A đối xứng qua Ox A ⇒ Ox đường trung trực AB ⇒ OB = OA (2) O Từ (1)&(2) ⇒ OB = OC K Chứng minh tiếp tục để O trung điểm BC x B Bài tập 1.5 Bài tập 4/Đề thi tuyển 10 – Quảng Nam (2010 – 2011) Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Vẽ bán kính OC vng góc AB Gọi K điểm nằm B C Tia AK cắt đường tròn (O) M a/ Tính · ACB , · AMC b/ Vẽ CI vng góc với AM ( I ∈ AM ) Chứng minh AOIC tứ giác nội tiếp c/ Chứng minh hệ thức: AI.AK = AO.AB C M · d/ Nếu K trung điểm CB Tính tg MAB Phân tích tìm lời giải: Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 D A I O K B Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, - Ở ta xét câu b câu c - H: Để chứng minh tứ giác AOIC nội tiếp ta cần chứng minh điều gì? Cách 1: A, O, I, C cách điểm cho trước ( yếu tố trung gian điểm D, DA = DO = DI = DC = AC ) Cách 2: Sử dụng quỹ tích cung chứa góc Lời giải: Cách 1: Gọi D trung điểm AC AC (1) AOC vuông O nên DO = DA = DC = AC (2) AIC vuông I nên DI = DA = DC = Từ (1) & (2) => A, O, I, C thuộc đường tròn (D) đường kính AC Suy ra: AOIC nội tiếp Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh AI.AK = AO.AB ta thực nào? - H: Nhận định tích AI.AK =? Và AO.AB =? ( Yếu tố trung gian AC2 ) Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao cho ACK vuông C, đường cao CI ta có: AI.AK = AC2 (1) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao cho ACB vuông C, đường cao CO ta có: AO.AB = AC2 (2) Từ (1) & ( 2) => AI.AK = AO.AB Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng gấp đôi Bài tập 2.1 Định lý đường trung bình tam giác : Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Cách 1: Phân tích tìm lời giải: - Với u cầu đó, ta tìm đoạn thẳng BC khơng ? - Ta tăng gấp đơi đoạn thẳng DE để đoạn thẳng BC không ? ( Xác định điểm trung gian F ) A - Để chứng minh DF // BC; DF = BC ta cần chứng minh điều gì? ( BD // CF; BD = CF) E F D - Cm: ∆ ADE = ∆ CFE Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 B C Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, Lời giải: - Trên tia DE xác định điểm F cho ED = EF - ∆ ADE = ∆ CFE (c – g – c ) - => CF = AD chứng minh CF // AD - Mà D ∈ AB => BD // CF; BD = CF - => DF // BC; DF = BC - Từ suy ra: DE // BC; DE = BC Cách 2: Phân tích tìm lời giải: - Củng với yêu cầu ta khai thác theo khía cạnh làm giảm ( Định lý học trước) - Với yêu cầu đó, ta tìm đoạn thẳng DE khơng ? - Ta đoạn thẳng BC đoạn thẳng DE không ? ( Kẻ EF//AB; xác định điểm trung gian F ) - Để chứng minh EF // BD; EF = BD ta cần chứng minh điều gì? ( DE // BF; DE = BF) - Vậy với DE = FC ta cần chứng minh điều gì? ( hai tam giác chứa hai cạnh nhau) - Cm: ∆ ADE = ∆ EFC Lời giải: A Kẻ EF//AB (F ∈ BC) Ta cm: ∆ ADE = ∆ EFC => EF = AD = BD; DE = FC (1) E D Do EF // BD; EF = BD =>DE // BF; DE = BF (2) Từ (1)&(2) => DE // BC; DE = 1/2BC B C F Bài tập 2.2: Dựng phía ngồi tam giác ABC hình vng ABDE BCKF Chứng minh trung tuyến BM tam giác ABC nửa đoạn thẳng DF Phân tích tìm lời giải: F - Với yêu cầu ta có hai hướng giải D o Thứ nhất: Ta tăng BM gấp đơi o Thứ hai: Ta giảm DF nửa - Cách thứ nhất: Ta tăng BM gấp đôi B K E A M C - Giáo viên gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM ( sử dụng yếu tố phụ điểm N) - Khi ta thử tìm cách chứng minh BN = DF ( sử dụng đoạn thẳng trung gian BN) Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, - Nối NC, NA (nét đứt biểu yếu tố vẽ thêm) - Hình bình hành ABCN chứng minh cặp tam giác ∆BDF = ∆CNB (c.g.c) - Từ cho ta lời giải BN = DF hay BM = DF Lời giải: Lấy N đối xứng với B qua N - Tứ giác ABNC hình bình hành (hai đường chéo cắt trung điểm đường ) · · - Từ suy NC = AB ABC+BCN=1800 F · · - Mà AB = BD (cạnh hình vng) ABC + DBF = 3600 - (90o + 90o ) = 1800 D · · nên BD = NC DBF = BCN B - Hai BDF = CNB (c – g – c) K E A - Vậy DF = BN hay DF = 2BM C M *Cách thứ hai: Ta giảm DF nửa N GV: Đoạn thẳng nửa đoạn thẳng DF ? ( Đường trung bình BDF) GV gợi ý vẽ đoạn thẳng HK ( yếu tố trung gian đoạn thẳng HK) Vậy để chứng minh DF = 2BM ta cần chứng minh điều ? ( DF = BM hay HK = BM) Chứng minh HK = BM ta cần chứng minh điều ? ( BHK = PMB ) (yếu tố phụ điểm P) F Lời giải: Gọi H trung điểm BD; K trung điểm BF D => HK đường trung bình BDF => HK = DF/2 (1) H Chứng minh: BHK = PMB ( c – g – c) = > BM = HK (2) Từ (1) & (2) => DF = 2BM α K B α E A M K P C Bài tập 2.3: Cho ∆ ABC, đường cao BD (D∈AC), CE (E∈AB) CMR: B,C, D, E thuộc đường trịn Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh điểm thuộc đường trịn ta phải làm gì? ( Tìm tâm đường trịn bán kính) - H: Điểm cách điểm ( GV gợi ý: điểm cách B C ) - Xác định yếu tố phụ điểm O, OD, OE ( O trung điểm BC ) Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, - GV: Hãy xác định đoạn thẳng nhau? ( OD = OE = OB = OC = BC ) Lời giải: A D - Gọi O trung điểm BC E - BDC vuông D, OB = OC => OD = BC (1) B C O - BEC vuông E, OB = OC => OE = BC (2) BC ) 2 µ µ Bài tập 2.4: Cho tứ giác ABCD, có B = D = 900 CMR: A, B,C, D thuộc đường tròn Từ (1) & (2) => OD = OE = OB = OC = BC => B,C, D, E thuộc đường tròn (O; B A C O D Tương tự tập 2.3 ta xác định yếu tố phụ điểm O, OD, OB ( O trung điểm AC) Dạng 3: Chứng minh các góc ( Hai đại lượng nhau) Bài tập 3.1 Bài tập 28/79 sgkToán 9: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Tiếp tuyến tai A đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) điểm thứ hai P Tia PB cắt đường tròn (O’) Q Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến P đường trịn (O) Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh hai đường thẳng AQ // Px ta cần chứng minh điều gì? - Sử dụng dấu hiệu để chứng minh hai đường thẳng song song? A · (· AQB = xPB ) Q - H: Hãy xác định khái niệm tính chất góc nêu? O O' B 1 » ( · AQB = sđ » ; xPB = sđ PB ) AB · P x - H: Hai góc khơng? Sử dụng đại lượng trung gian nào? Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, · ( Yếu tố trung gian là: PAB ; sử dụng yếu tố phụ đoạn thẳng AB) Lời giải: Nối AB Xét (O) ta có: · · » xPB = PAB = sđ PB (1) ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến chắn cung PB) Xét (O’) ta có: · · AQB = PAB = sđ » (2) ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến chắn cung AB) AB · Từ (1) & (2) => · AQB = xPB => AQ //Px ( Vì hai góc vị trí so le nhau) Bài tập 3.2 Bài tập 27/79 sgk Tốn 9: Cho hai đường trịn (O) đường kính A B Lấy điểm P khác A B đường tròn Gọi T giao P điểm AP với tiếp tuyến B đường tròn (O) T · · Chứng minh: APO = PBT Phân tích tìm lời giải: A O B · · - H: Để chứng minh: APO = PBT ta cần chứng minh điều ? - H: Hãy xác định khái niệm tính chất góc nêu? · · » ( APO =? PBT = sđ PB ) - H: Hai góc không? Sử dụng đại lượng trung gian nào? · ( Yếu tố trung gian là: PAB ; sử dụng yếu tố phụ đoạn thẳng OP) Lời giải: · · OAP cân (OA = OP; bán kính) => APO = OAP (1) Xét (O) ta có: · · PAB = PBT = sđ » (2) ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến chắn cung PB) PB · · Từ (1) & (2) => APO = PBT Dạng 4: Chứng minh hai góc ( Góc gấp đơi góc kia) Bài tập 4.1: Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, Bài tập 16/76 Sbt Tốn Cho đường trịn (O) hai đường kính AB CD vng góc với Lấy điểm M cung AC vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) M Tiếp tuyến cắt CD S · · Chứng minh rằng: MSD = 2.MBA A M S D O C B Phân tích tìm lời giải: · · - H: Để chứng minh: MSD = 2.MBA ta cần chứng minh điều ? - H: Hãy xác định khái niệm tính chất góc nêu? ( Bài sử dụng góc nội tiếp góc tâm) · 2.MBA =? ( · AOM ) H: Hai góc khơng? Sử dụng đại lượng trung gian nào? ( Yếu tố trung gian là: · AOM ) Lời giải: · · Xét (O) ta có: 2.MBA = AOM ( hệ góc nội tiếp) · · AOM = MSD · (cùng phụ MOS ) · · => MSD = 2.MBA Dạng 5: Quan hệ góc hình học (Sử dụng góc ngồi tam giác) Bài tập 5.1 Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn tâm O, với AB > AC Kẻ đường cao AH, bán · · · kính OA Chứng minh OAH = ACB - ABC Phân tích tìm lời giải: · · · - H: Để chứng minh: OAH = ACB - ABC ta cần xét khái niệm góc trên? · - H: Vậy ABC có đặc điểm nào? Có thể quan hệ với góc nào? A - GV hướng dẫn kẻ phụ đoạn thẳng OI ⊥ AC (I ∈AC) I · · · · M · · - Từ u cầu tốn ta có: ACB = ABC + OAH ta cần chứng minh điều gì? ( ACB = OAH + AOI ) O Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 B H C Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, · · · - Mà OAH + AOI = ? ( sử dụng yếu tố trung gian OMH ) Cách giải 1: Lời giải: · · Ta có: OMH = ACB (góc có cặp cạnh tương ứng vng góc) » · · AOM = ABC (cùng sđ AC ) · · · Trong ∆OAM thì: OMH = AOM + OAH (Góc ngồi tam giác) · · · Hay ACB = ABC + OAH A · · · Vậy: OAH = ACB - ABC (Đpcm) O B H C D Phân tích tìm lời giải: · · · - H: Để chứng minh: OAH = ACB - ABC ta cần xét khái niệm góc trên? · · - H: Vậy ABC có đặc điểm nào? Có thể quan hệ với góc nào? ( CAD ) - GV hướng dẫn kẻ phụ tia tiếp tuyến AD (D ∈BC) · · · · · · - Từ u cầu tốn ta có: ACB = ABC + OAH ta cần chứng minh điều gì? ( ACB = OAH + CAD ) · · · · · - Mà ACB =? CAD + CDA ( sử dụng yếu tố trung gian CAD + CDA ) Cách giải 2: Lời giải: · · » Ta có: ABC = CAD (1) (Cùng chắn AC ) · · OAH = ADC (2) (góc có cặp cạnh tương ứng vng góc) Cộng vế (1) (2) · · · · Ta được: ABC + OAH = CAD + ADC · · · Mà CAD + ADC = ACB (góc ngồi tam giác) · · · ⇒ ABC + OAH = ACB · · · Vậy: OAH = ACB - ABC (Đpcm) Dạng 6: Chứng minh dựa vào quan hệ đại lượng trung gian Bài tập 6.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Đường tròn đường kính BC cắt AB AC E F Chứng minh OA vng góc EF Phân tích tìm lời giải: Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, - H: Để chứng minh OA ⊥ EF ta cần chứng minh điều gì? - H: Đoạn thẳng OA vng góc với đoạn thẳng nào? ( GV hướng dẫn kẻ phụ thêm tia tiếp tuyến Ax ) · - H: Như ta cần chứng minh điều gì? ( EF // Ax; xAE = · AEF ) · - H: Hai góc xAE = · AEF nào? Sử dụng phương pháp nào? ( Sử dụng yếu tố trung gian · ACB ) Lời giải: A x F Kẻ tia tiếp tuyến Ax đường trịn (O) · Xét (O) có: xAB = · ACB (cùng chắn cung AB) · Xét đường tròn đường kính BC có: · EF = · A ACB (cùng bù với BEF ) O E C B · => xAB = ·AEF => Ax // EF ( Vì hai góc vị trí so le nhau) Mà OA ⊥ Ax ( Ax tiếp tuyến (O) Suy : OA ⊥ EF Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh OA ⊥ EF ta cần chứng minh điều gì? · - GV hướng dẫn học sinh tính tổng số đo: · AEF + OAE = ? - H: Góc 900 ? ( GV hướng dẫn kẻ thêm đường kính AD, nối BD) - H: Quan hệ góc cần tính với góc có hình? ( Sử dụng yếu tố trung gian · ADB ) Lời giải: A Kẻ đường kính AD đường trịn (O) F Xét đường trịn (O) có: · ACB = · ADB (cùng chắn cung AB) · Xét đường trịn đường kính BC có: · EF = · A ACB (cùng bù với BEF ) => · EF = · A ADB Xét đường trịn (O) có: · ABD = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) E O C B D · · => · AEF + OAE = · ADB + OAE = 900 Suy : OA ⊥ EF Như ta khai thác tốn theo cách khác Bài tập 6.2 Cho tam giác ABC Kẻ đường cao BF, CE ( F∈AC; E∈AB) Chứng minh OA vng góc EF Bài tập giải tương tự Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, Bài tập 6.3 Bài 4/ Đề thi học sinh giỏi Toán (2008 – 2009) Cho hình vng ABCD M trung điểm AD BM cắt đường chéo AC H Đường thẳng qua A vng góc với BM cắt đường chéo BD N a/ Chứng minh HN ⊥ CD b/ Tính tỉ số: DN AC A M B E H O N D C Phân tích tìm lời giải: Ở ta xét câu a - H: Để chứng minh HN ⊥ DC ta cần chứng minh điều gì? - H: Quan hệ đường thẳng ta xét nào? ( DC // AB) - H: Theo yêu cầu tốn ta cần chứng minh điều gì? ( Sử dụng yếu tố trung gian AB ) - H: Nhận định điểm H tam giác ABN ( H trực tâm) Lời giải: Ta chứng minh H trực tâm tam giác ABN => NH ⊥ AB Mà AB // CD Suy : HN ⊥ CD Dạng 7: Chứng minh hai đoạn thẳng dựa vào hai tỉ lệ mẫu hay mẫu Bài tập 7.1: Cho hình thang ABCD ( AB// CD) Gọi O giao điểm AC BD Qua O kẻ đường thẳng song song AB, cắt AD M, cắt AC N CMR: OM = ON A B M N O C D Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh hai đoạn thẳng ta cần phải chứng minh điều ? GV gợi ý: Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, Lời giải: Xét ADC có OM //DC, theo hệ định lý Talet ta có: OM OA = (1) DC AC Xét BDC có ON //DC, theo hệ định lý Talet ta có: ON OB = (2) DC BD Mà AB//CD, theo định lý Talet ta có: Từ (1); (2) & (3) => OA OB = (3) AC BD OM ON = => OM = ON ( Đpcm) DC DC Bài tập 7.2: Bài ( HSG khối 8/ 2008 – 2009) Cho góc nhọn xOy Trên Ox lấy điểm A, Oy lấy điểm B cho OA = OB Hạ AH ⊥ Oy, BK ⊥ Ox ( H ∈ Oy, K ∈ Ox ) Tia phân giác Ot góc xOy cắt BK P Đường thẳng vng góc với OP O cắt đường thẳng AH C Đường thẳng HK cắt OC Q Chứng minh: x b/ HQ = HK K Phân tích tìm lời giải: A - H: Để chứng minh HQ = HK ta cần chứng minh điều gì? t P O z H B Q C Lời giải: · Ta có Ot phân giác xOy OC ⊥ Ot nên OC phân giác ·yOz => OQ phân giác ·yOz Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác OHK ta có: Lại có OHA  OKB (g – g) nên : Từ (1) & (2) => OH OA = = OK OB QH OH = QK OK (2) QH = nên suy H trung điểm QK hay HQ = HK QK Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 (1) y Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, Dạng 8: Chứng minh hai tỉ lệ dựa vào tỉ lệ trung gian Bài tâp 8.1: Cho ∆ ABC, kẻ đường phân giác A cắt BC D, kẻ đường phân giác A cắt BC E CMR: A C D DB EB = DC EC x B E - H: Để chứng minh hai tỉ lệ: DB EB = ta cần chứng minh điều gì? DC EC - GV gợi ý: Bài tập 8.2: Bài ( HSG khối 8/ 2008 – 2009) Cho góc nhọn xOy Trên Ox lấy điểm A, Oy lấy điểm B cho OA = OB Hạ AH ⊥ Oy, BK ⊥ Ox ( H ∈ Oy, K ∈ Ox ) Tia phân giác Ot góc xOy cắt BK P Đường thẳng vng góc với OP O cắt đường thẳng AH C x Đường thẳng HK cắt OC Q Chứng minh: K PK CH = a/ PB CA A - PK CH = H: Để ta cần chứng minh điều gì? PB CA t P O Phân tích tìm lời giải: z H B Q C Lời giải: Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 y Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, PK OK · = Xét OKB có Ot phân giác xOy , theo tính chất tia phân giác ta có: PB (1) OB · Ta có Ot phân giác xOy OC ⊥ Ot nên OC phân giác ·yOz CH OH = Xét OHA có OC phân giác ·yOz , theo tính chất tia phân giác ta có: CA Lại có OKB  OHA (g – g) nên : Từ (1), (2) & (3) => OK OB OK OH = = => OH OA OB OA (2) OA (3) PK CH = PB CA Việc tìm hiểu nhiều cách giải khau cho tốn có vai trị to lớn việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thơng minh óc sáng tạo cho học sinh Sở dĩ cố gắng tìm cách giải khác toán học sinh có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác tốn, hiểu sâu mối quan hệ cho phải tìm Đồng thời, việc tìm nhiều cách giải khác giúp học sinh có dịp so sánh cách giải đó, chọn cách hay tích luỹ nhiều kinh nghiệm để giải tốn Ngồi ra, với tốn khó chưa biết cách giải, học sinh biết dù khó tốn có nhiều cách giải khác em cố gắng tìm lời giải hơn; tức tính tị mị, ham hiểu biết khơi dậy học sinh V KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Trong q trình dạy học hình học, tơi áp dụng đề tài không để dạy bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi mà linh hoạt dạy cho học sinh đại trà Đặc biệt học sinh lớp 8, tốn chứng minh địi hỏi tư cao Do đó, lúc đầu nhiều em cịn “ngại” học hình nói chung “sợ” tốn chứng minh Hầu học sinh có ý thức làm tìm lời giải dừng lại khơng suy nghĩ thêm sau có kết tốn, thỏa mãn với Các em chưa thấy tác dụng mạnh việc nhìn lại tốn nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác củng cố kiến thức mình, rèn cho thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư sáng tạo, tính kiên trì, độc lập – đức tính tốt cần thiết người học toán Song, qua thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài dạy học sinh theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết em tham gia, hưởng ứng cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức thành thạo làm số dạng có liên quan từ dễ đến khó Quan trọng hơn, em khơng cịn cảm thấy hình học đáng ngại, đáng sợ Do đó, học tốn nói chung học hình học nói riêng em nhiệt tình, chủ động, tích cực hơn, có nhiều phát thể tìm tịi, sáng tạo bước đầu tích cực Thực tế, sử dụng vào giảng dạy cho khối 8, nhiều năm học liền gần kết cho thấy học sinh có ý thức thi đua học tập, hào hứng phát biểu suy nghĩ, Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, tìm tịi, phát cách giải khác, tốn mới, Và tơi thấy tinh thần học tập em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả tự nghiên cứu toán học em phát huy cách tích cực; kết học tập mơn tốn, hình học có nhiều tiến Các em khơng nắm vững kiến thức SGK, em cịn có cố gắng việc tìm hiểu giải tốn nâng cao, tốn khó, bước đầu có thói quen tốt: biết chịu khó, tích cực tìm tịi khai thác, phát triển toán cho trước Cụ thể : MINH CHỨNG KẾT QUẢ HSG KHỐI HAI NĂM QUA MINH CHỨNG KẾT QUẢ HAI KHỐI 8, MINH CHỨNG KÌ THI TUYỂN 10 VI NHỮNG KIẾN NGHỊ KHI ÁP DỤNG: - Với đối tượng học sinh trung bình trở xuống khả lĩnh hội kiến thức, tư duy, nhận thức chậm nên chuyển tải kiến thức khó khăn, dạng tốn chứng minh hình học, sử dụng yếu tố phụ học sinh Do cần có thời gian phải vận dụng linh hoạt, thường xuyên, kiên trì cần có nhiều tài liệu tham khảo liên quan - Muốn dạy học sinh biết cách “Khai thác từ kết toán”, thân GV phải thường xuyên thực điều đó, liên tục tự tìm tịi, nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm qua đồng nghiệp, sách, báo đặc biệt qua trang Web có liên quan ; GV cần có chủ động, có kế hoạch ngày, lên lớp - Việc khai thác, phát triển từ toán quen thuộc biết, giúp cho học sinh định hướng tìm lời giải tốn hình học vấn đề quan trọng thiếu cơng tác dạy học tốn nói chung dạy học hình học nói riêng Phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm trường học phong trào có tác dụng tốt, có ý nghĩa, đặc biệt xu thời đại cần sáng tạo, chủ động, tích cực lĩnh vực cơng tác Vì vậy, tơi mạnh dạn mong muốn Phòng giáo dục đào tạo cấp trì phong trào này, khích lệ động viên tập thể, cá nhân có sáng kiến hữu hiệu, tích cực; có hình thức phổ biến, trao đổi sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên PHẦN THỨ BA KẾT LUẬN: Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, Việc khai thác, phát triển tốn cho trước góp phần quan trọng việc nâng cao lực tư cho học sinh học mơn Tốn - việc bồi dưỡng học sinh giỏi Qua trình giảng dạy nghiên cứu, thân nhận thấy: - Các giáo viên giảng dạy toán đánh giá cao tầm quan trọng việc khai thác, phát triển từ toán mà học sinh giải Mở rộng, phát triển thêm toán khác (đơn giản thường phức tạp hơn) nhằm phát triển tư sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho người dạy người học - Trong trình giảng dạy học tập tốn, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết tốn quan trọng có ích Nó khơng giúp nắm bắt kĩ kiến thức dạng tốn mà cịn nâng cao tính khái qt hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá toán, từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho em học sinh, giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức cách lôgic, khoa học, tạo hứng thú khoa học u thích mơn tốn Sau thời gian kiên trì, nghiêm túc nỗ lực thực với giúp đỡ đồng nghiệp, tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài "Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, 9” Tôi mong muốn học hỏi, trao đổi thêm tất đồng nghiệp bạn đọc quan tâm vấn đề Đồng thời, hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho cơng tác giảng dạy tốn học tốn, từ nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nhà trường Bước đầu, đề tài thu nhiều kết tích cực, tạo thói quen tốt cho nhiều học sinh tính kiên trì, độc lập suy nghĩ có khả sáng tạo học toán, tự thấy phong phú, thú vị tốn học Các em ham thích với mơn tốn Mặc dù vậy, với khn khổ đề tài chưa phải cho tất đối tượng học sinh ý kiến riêng cá nhân tơi Tuy cố gắng kinh nghiệm cá nhân hạn chế nên nội dung sáng kiến kinh nghiệm chắn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết Tôi mong trao đổi, bảo đóng góp ý kiến bổ sung thầy giáo, giáo để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO: - SGK Toán 8, - NXBGD Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, - SBT Tốn 8, – NXBGD - Phương pháp dạy học môn Toán - NXBGD (dùng cho hệ CĐSP) - Nâng cao phát triển Toán – NXBGD - Các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THCS chu kì I, II, III - Một số tạp chí Tốn tuổi thơ - Một số tạp chí Thế giới ta - Toán học Tuổi trẻ ( 2) -NXBGD - 160 tập chứng minh hình học vẽ thêm đường phụ & chứng minh hình học lý thú – NSƯT Minh Trân – NXB TP HCM Bài học kinh nghiệm: Để chất lượng học tập học sinh ngày nâng cao người giáo viên cần nắm vững kiến thức dạy, kiến thức chương trình phải tốn thời gian tìm tịi suy nghĩ tạo tình dấn dắt học sinh để em học tập cách tự học Trong trình giảng dạy thực hành kiểm nghiệm giáo viên phải biết tích luỹ rút nhiều điều bổ ích cho Bên cạnh cần phải thường xun kiểm tra nắm bắt thông tin qua việc học tập kinh nghiệm đồng nghiệp, tham gia nghiêm túc việc tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu chuyên đề để bổ sung cách hợp lí chắn việc nâng cao chất lượng học sinh qua môn nói chung mơn Tốn nói riêng việc làm - Giáo viên phải nắm vững kiến thức, phương pháp có liên quan đến yếu tố trung gian nhiều - Trong phương pháp, dạng tập phải rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, tư sáng tạo, kỹ phân tích áp dụng - Thường xuyên dự đồng nghiệp để rút kinh nghiệm cho - Thường xuyên cập nhật thông tin Thư viện đề thi đề kiểm tra Wed Vấn đề cần giải sở nhằm đáp ứng yêu cầu của phát triển: Để thực yêu cầu nhiệm vụ đề tài đáp ứng yêu cầu phát triển, sở trường học phải có biện pháp xây dựng kế hoạch tổ chức cho giáo viên bước nghiên cứu tài liệu, từ định kiến thức phương phương pháp cần truyền tải đến học sinh, trao đổi với đồng nghiệp nhóm, tổ chun mơn, bước thực thơng qua dạy - Kiểm tra, đánh giá học sinh thông qua lớp, buổi phụ đạo học sinh yếu, bồi dưỡng học sinh giỏi, thông qua kiểm tra thường xuyên, định kỳ Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, - Phân chia dạng thường gặp tuỳ theo mức độ đối tượng học sinh Đầu tư nghiên cứu vận dụng phương pháp cho phù hợp đối tượng - Đầu tư hệ thống SGK, tài liệu tham khảo Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 ... dụng yếu tố trung gian vẽ hình phụ chứng minh hình học có em đạt %, số cịn lại khơng biết cách giải giải khơng hồn chỉnh Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học. .. khơng? Sử dụng đại lượng trung gian nào? Giáo viên: Lê Đức Mai - 0934495895 Sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học khối 8, · ( Yếu tố trung gian là: PAB ; sử dụng yếu tố phụ đoạn thẳng AB) Lời... chứng minh hình lớp nói chung, việc vận dụng yếu tố trung gian học sinh lúng túng, chưa nhận biết biết cần vận dụng vào chứng minh tốn hình - Khi thăm dị khảo sát chất lượng học tập mơn Tốn học sinh