Tõ ®ã hai tam gi¸cIKS vµ IVJ b»ng nhau.[r]
(1)PhÇn II Néi dung A Phơng pháp chung
Trong ti ny khuôn khổ, giới hạn đề tài đa số dạng , số tập khó nâng cao tốn có yếu tố trung điểm, không đa nhiều cách giải mà minh hoạ đờng lối, phơng pháp , thói quen thờng gặp bậc THCS Đó gặp tốn có yếu tố trung điểm ta nghĩ đến việc tạo đờng phụ theo hớng sau:
+ Hớng 1: Lấy thêm đoạn thẳng để với đoạn cho có chung trung điểm từ sử dụng tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm lớp 7, tính chất hình bình hành lớp
+ Hớng 2: Lấy thêm trung điểm thứ hai để tạo đờng trung bình tam giác, hình thang, tứ giác có nhiều đờng trung bình liền tốt, từ sử dụng tính chất đờng trung bình
+ Hớng 3: Nếu trung điểm trung điểm cạnh huyền tam giác vuông đăc biệt lại cạnh huyền chung nhiều tam giác vng ta kẻ thêm đ ờng trung tuyến thuộc cạnh huyền để sử dụng tính chất đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông
+ Hớng 4: Nếu trung điểm trung điểm dây cung đờng trịn ta kẻ đờng kính đờng trịn qua trung điểm để sử dụng tính chất đờng kính qua trung điểm dây cung đờng tròn
Sau tơi xin giới thiệu số tốn minh họa cho kinh nghiệm mà tơi có đợc năm trực tiếp làm nhiệm vụ giảng dạy bồi dỡng học sinh giỏi
B Một số toán quen thuộc chơng tr×nh.
Trong chơng trình tốn nghiên cứu trờng hợp tam gíac để giúp học sinh nắm vững kỹ ,vận dụng thành thạo kiến thức ta giới thiệu cho học sinh toán sau:
Bài toán 1: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại có độ dài nửa cạnh
Ta hớng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất trung điểm cách: Trên tia đối tia NM lấy điểm P cho NP = NM,
P N
M
C B
(2)Khi hai đoạn AC MP có chung trung điểm N, từ tính chất trung điểm chung ta có cặp tam giác (ANM, CNP) (AMP, MBC) dẫn đến hai đoạn MP, BC song song từ ta có điều cần chứng minh
Sau chứng minh xong, ta cho học sinh chứng minh toán ngợc lại Qua học sinh đợc hình dung tính chất đờng trung bình tam giác
Cịng nh v©y ta cho học sinh làm toán sau:
Bi toỏn 2: Trong tam giác vuông Chứng minh đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền
Ta hớng dẫn cho học sinh tạo trung điểm M trung điểm chung hai đoạn BC AD
Khi sử dụng tính chất trung điểm chung ta chứng minh hai tam giác ABC CDA để có hai đoạn BC AD nhau, từ ta có điều cần chứng minh toán
Sau ta cho hoc học sinh chứng minh toán ngợc lại Từ toán ta cho học sinh chứng minh toán sau:
Bài toán 3: Chứng minh tam giác vng có góc 60° cạnh kề góc nửa cạnh huyền
Để giải ta sử dụng đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền AM Từ việc xét tam giác cân MAB có góc B 60 suy MAB tam giác ng° ợc lại, từ cạnh AB nửa cạnh BC dẫn đến tam giác MAB dẫn đến góc B 60 ° Cũng từ tốn ta lại có toán sau:
Bài toán 4: Một tam giác có góc 60 mà hai cạnh kề góc có một° cạnh nửa cạnh tam giác vng
D M
C B
A
A
D C
(3)Ta cã thĨ híng dÉn cho häc sinh lµm bµi nµy nh sau:
Ta lấy điểm D cho A trung điểm BD xét đặc điểm tam giác CBD với trung tuyến CA quan hệ cho ta có iu cn chng minh
Hoàn toàn tơng tự ta cho học sinh lớp làm toán sau:
Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông A có AM trung tuyến Chứng minh góc BAM lớn góc CAM cạnh AB bé cạnh AC
Hng lm: Xét hình tốn 2, ta thấy: Việc so sánh góc BAM với góc CAM nh cạnh AB với cạnh AC ta so sánh góc ADC với góc DAC cạnh CD với cạnh AC tam gíac ACD ( Sử dụng quan hệ cạnh góc đối diện tam giác)
Bài toán 6: Chứng minh rằng: tam giác độ dài đờng trung tuyến bé nửa tổng hai cạnh lại
Hớng làm: Cũng tơng tự hình tốn 2, sử dụng bất đẳng thức tam giác tam giác ACD ta có điều cần chứng minh
Đến ta khẳng định giá trị to lớn tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm
Từ việc sử dụng tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm ta chứng minh tính chất đờng trung bình tam giác, tứ ta chứng minh tính chất đ-ờng trung bình hình thang, tính chất “ Đđ-ờng trung bình tứ giác”
Bài tốn 7: Chứng minh đờng trung bình hình thang song song với cạnh đáy có độ dài nửa tổng hai đáy
Hớng làm: Xét thêm trung điểm I đờng chẻo AC,Ta có IM,IN đờng trung bình tam giác ADC vầ ABC
Khi sử dụng tính chất đờng trung bình tam giác ta chứng minh đợc toán
Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD có M, N trung điểm cạnh AD, BC Chứng
minh độ dài đoạn MN AB+CD
2
I N
M
C D
(4)Hớng làm: Xét tứ giác ABCD mà có AB song song với CD thí theo tính chất hình thang ta có MN nửa tổng AB v CD
còn AB không song song với CD, ta lấy I trung điểm AC
Khi MI, NI đờng trung bình tam giác ACD ABD đơng thời xet quan hệ ba cạnh tam giác MNI ta có điều cần chứng minh
Tõ c¸c toán toán ta cho học sinh lµm bµi sau:
Bài tốn 9: Chứng minh rằng: Một tứ giác hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối nửa tổng hai cạnh lại
Cũng với tính chất đờng trung bình tam giác, ta cú bi toỏn sau:
Bài toán 10: Cho tø gi¸c ABCD cã M, N, P, Q lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành
Việc giải tốn khơng khó với học sinh lớp với học sinh lớp ta thay đổi số tên gọi cho phù hợp trở nên hấp dẫn, với học sinh lớp việc chứng minh toán phải sử dụng nhiều kiến thức: Tính chất đờng trung bình tam giác, đờng thẳng song song, hai đoạn thẳng song song nhau, hai tam giác nhau,
Tõ toán học sinh có thêm tính chất h×nh häc:
Các “đờng trung bình tứ giác” gặp trung điểm chúng Cũng từ tốn 10 ta có tốn tổng qt sau:
Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q, E, F, G, H lần lợt trung điểm đoạn: BC, DA, AB, CD, MA, MB, NB, NC
Chứng minh đờng MN, PQ, EF, GH đồng quy
C C¸c toán nâng cao phát triển
I. Bài toán chứng minh
Bi toỏn 12: Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác vuông cân A ABM ACN Chứng minh đờng thẳng chứa trung tuyến AI tam giác ABC chứa đờng cao AH tam giác AMN
I
N M
B
C A
(5)Hớng làm: Đây tốn khó học sinh lớp 7, toán lại đ-ợc gặp lớp 8, nên lớp ta dùng ngôn ngữ sau:
Do có trung điểm I BC nên ta nghĩ đến việc tạo I trung điểm chung hai đoạn, cụ thể tia đối tia IA lấy điểm D cho I trung điểm AD
Khi từ tính chất trung ơiểm chung I hai đoạn AD , BC ta có đợc hai đoạn CD AB song song từ ta có đợc hai tam giác ACD, MAN nhau, sử dụng góc hai tam giác tính chất góc đỉnh A ta có đợc AH vng góc với MN
Từ toán ta có toán sau:
Bài toán 13: Cho tam giác ABC, dựng phía tam giác hình vuông ABDE ACHF, vẽ hình bình hành AEQF,
Chứng minh ba đờng QA, HB, DC đồng quy
Hớng làm: Theo 12 ta có QA vng góc với BC, ta cần chứng minh BH vng góc với QC CD vng góc với QB (bằng cách xét cho tam giác
D H
I
N M
C B
A
B C
A
P
H F
E
D
(6)AQC , CBH tam giác AQB, BCD nhau) QA, HB, DC chứa ba đờng cao tam giác QBC nên ba đờng QA, HB, DC đồng quy
T¬ng tù nh ta có toán sau:
Bài toán 14: Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC,Dựng phía ngòai hình vuông ABDE, ACHF có tâm I, J
Chứng minh tam giác MIJ vuông cân
Hớng làm: Nhìn vào hình vẽ ta thấy hai tam giác AEC vµ ABF b»ng
⇒ hai đoạn EC, BF vng góc với mà MI, MJ đờng trung bình hai tam giác BEC CBF nên ta chứng minh đợc hai đoạn MI, MJ băng vng góc với
Từ toán ta có loạt toán sau:
Bài toán 15 :Cho hình bình hành ABCD, phía hình bình hành tam giác ABM vuông cân M; ACN vuông cân N; BDP vuông cân P; CDQ vuông cân Q
Chứng minh tứ giác NMPQ hình vuông
B C
A
H F
E
D
I
J
M
B C
A
D N
Q
P M
(7)Hớng làm: Từ kết toán 14 ta có tam giác IMN, INQ, IQP, IPM vng cân I từ suy tứ giác MNQP l hỡnh vuụng
Từ toán ta lại đa toán sau:
Bài toán 16: Cho hình bình hành ABDC, phía hình bình hành hình vuông ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gọi S, G, R, H lần lợt tâm hình vuông
Chứng minh tứ giác SGHR hình vuông
Tiếp tục toán trên, Nếu tứ giác ABCD hình bình hành mà tứ giác liệu tứ giác SGHR có tính chất không? Ta có toán sau:
Bài toán 17: Cho hình tứ giác ABCD, phía tứ giác dựng hình vuông ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gọi V, S, J, K lần lợt tâm hình vuông Chứng minh KS = VJ vµ KS VJ
Hớng làm: Do có V, S, J, K trung điểm đờng chéo hình vng nên để sử dụng đờng trung bình tam giác ta xét thêm trung điểm I AC Từ kết toán 14 ta có IV, IK vng góc nh hai đoạn IS, IJ vng góc Từ hai tam giácIKS IVJ Suy hai đoạn thẳng KS VJ vng góc với
B
C A
D
M F
E
Q
K L N
P
G
H
R S
D C
B A
P Q
M N
F
E
H G
V
K
J
(8)Đối với toán việc vẽ đờng phụ quan trọng.ngoài việc biết khai thác yếu tố trung điểm nh nêu học sinh cần áp dụng kiến thức hai tam giác nhau, kiến thức tam giác cân, tam giác , đợc học vào giải tốn.Từ học sinh t tìm tịi lời giải Giáo viên khơng nên đa lời giải mà phải hớng dẫn để học sinh tìm lời giải cho toỏn
Bài toán 18: Cho tam giác ABC cạnh AB, AC lấy điểm M, N cho BM = CN, gäi E, F lµ trung điểm đoạn BC, MN Chứng minh EF song song với phân giác góc A
Hng làm: Trong tốn có hai trung điểm M, N nên ta nghĩ đến việc lấy thêm trung điểm để với hai trung điểm cho tao đờng trung bình tam giác giúp ta giải toán, cụ thể nh sau:
(9)Ta biết từ toán chúng đa nhiều yêu cầu kh¸ hay nh:
+ Chứng minh đờng thẳng MN tạo với hai đờng thẳng AB, AC góc
+ Khi M,N thay đổi chứng minh trung điểm đoạn MN nằm đờng cố định
Bài toán 19: Chứng minh tam giác Trọng tâm, Trực tâm Tâm đờng tròn ngoại tiếp nằm đờng thẳng ( Đờng thẳng Ơ le).
Hớng làm: Có nhiều cách chứng minh tốn này, cách sử dụng tính chất trung điểm để tạo đờng trung bình tam giác để chứng minh: Khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh ln gấp đơi khoảng cách từ tâm đờng trịn ngoại tiếp đến cạnh đối diện với đỉnh (HA = OM)
Sau lại sử dụng tính chất đờng trung bình IK tam giác GAH để chứng minh hai tam giác: GIK GOM từ có đợc ba điểm G, H, O thẳng
M I
K
O G H
C B
A
S G
Y X
L
K I
P
N M
F
E
D C B
A
A
B
M N
E F
I
(10)hàng ( Xin phép không trình bày chi tiết phép chứng minh toán điển hình mà biết)
Bài toán 20: Cho lơc gi¸c ABCDEF cã M, N, P, I, K, L lần lợt trung
điểm cạnh: AB, CD, EF, BC, DE, FA Chøng minh hai tam giác MNP IKL có chung trọng tâm
Hớng làm: Từ kết toán 10, gọi S trung điểm đoạn BE hai đoạn MP LS nh hai đoạn IK SN có chung trung điểm X Y, NX LY đờng trung tuyến tam giác MNP IKL, đồng thời NX LY đờng trung tuyến tam giác SNL mà NX LY cắt G nên G trọng tâm tam giác
Vậy hai tam giác MNP IKL có chung trọng t©m
Bài tốn 21: Cho tứ giác ABCD có M, N trung điểm cạnh AB, CD.Trên đoạn MN lấy điểm I bất kỳ, đờng thẳng d qua I cắt AD, AC, BD, BC lần lợt E, F, G, H
Chøng minh: EA
ED +
FA FC +
RB
RD +
HB
HC
IM IN
Hớng làm: Do có trung điểm M,N nên ta nghĩ đến đờng trung bình, mà tốn lại có tỷ số nên ta lại nghĩ đến định lý Talet, từ buộc ta phải nghĩ đến việc tạo đờng thẳng song song cụ thể qua A, B, C, D kẻ đờng thẳng song song với MN chúng lần lợt cắt đờng thẳng d A’, B’, C’, D’ Khi IM, IN đ-ờng trung bình hình thang ABB’A’, DCC’D’, sử dụng tính chất đđ-ờng trung bình hình thang định lý Talet ta có biểu thức vế trái đợc thay tổng sau:
AA'
DD' +
AA'
CC' +
BB' DD' +
BB'
CC' = (A’A + B’B)(
1 CC' +
1
DD' )
= (A ' A+B ' B) (C ' C+D ' D)
C ' C.D ' D
(11)Nhiều thành kỹ sử dụng trung điểm, mà tốn khơng cho trung điểm dự đốn tạo trung điểm, nh toán sau:
Bài tốn 22: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đờng trịn tâm O có BN đờng phân giác Từ A kẻ đờng thẳng vng góc với tia BN, cắt BC H Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm đờng tròn
Đối với toán xảy hai trờng hợp hỡnh v
Trờng hợp 1: H O nằm phía với AC Hình 1 Trờng hợp 2: H O nằm khác phía với AC H×nh 2
Khi có đờng phân giác tam giác ta tạo tam giác cân để đờng phân giác đờng cao, đờng trung tuyến từ ta làm nh sau:
Hớng làm:(Trờng hợp 1) Qua A kẻ đờng vng góc với phân giác góc ACB ABC có giao điểm nh hình vẽ.Khi IK đờng trung bình tam giác APH từ ta có góc IKC góc KCB, mà tứ giác AIOK nội tiếp nên góc IKO góc OAI từ ta có hai góc OAH OCH
Do bốn điểm A,O,H,C nằm đờng trịn
B i tốn 23à :Cho đờng tròn hai dây AB, CD cắt M, đờng thẳng qua M trung điểm N BD cắt AC K
Chøng minh: KA
KC =
MA2 MC2
Q I P K
N M
D
C
B A
(12)Hớng làm: Ta thấy có trung điểm N BD nên ta kẻ qua C đờng song song với MN cắt AB P, từ P lại kẻ đờng song song với BD cắI MN, CD I, Q Ta có I trung điểm PQ dẫn đến M trung điểm CQ, từ ta có tứ giác ACPQ nội tiếp
⇒ MA.MP = MC.MQ = MC ❑2 ⇒ MP = MC
MA
Khi : KA
KC =
MA
MP = MA : MC
2
MA =
MA2 MC2
Bài tốn 24: Cho đờng trịn tâm O hai đờng kính AB, CD Trên đờng kính CD lấy hai điểm M,N cho O trung điểm MN, tia AM, AN cắt đờng tròn E, F, đờng thẳng EF cắt CD S
Chứng minh SB tiếp tuyến đờng tròn (O)
Hớng làm: Ta thấy tốn có O trung điẻm chung hai đoạn MN AB nên ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất trung điểm chung
Cụ thể ta nối BM,BN đặt giao điểm P, Q (hình vẽ) Từ tính chất trung điểm chung, tính chất song song góc nội tiếp ta có BE // PQ tứ giác BQFP nội tiếp
⇒ Gãc BEF = Gãc FBP = Gãc BAF = Gãc ABM mµ: Gãc ABM + Gãc ABF = 90°
⇒ Góc ABF + Góc FBP = 90 ° ⇒ SB tiếp tuyến đờng tròn (O)
P
Q F S
E
N
M O
D C
(13)Bài tốn 25: Cho đờng trịn tâm O, qua trung điển I dây cung AB kẻ hai dây cung CD MN, gọi P, Q giao điểm CN, DM với AB Chứng minh I trung điểm PQ
Hớng làm: Đây toán Con bím” nỉi tiÕng !
Ta thấy tốn có trung điểm dây cung nên ta kẻ đờng kính qua trung điểm I dây cung AB, nh ta kẻ đờng kính qua trung điểm dây cung CD, MN (hình vẽ )
Khi xét tứ giác nội tiếp PIOE, QIOF từ tam giác đồng dạng ICN, IMD dẫn đến tam giác ICE, IMF đồng dạng dẫn đến tam giác OPQ cân O (vì có đờng cao phân giác) từ suy I trung điểm ca PQ
Bài toán Con bớm cã tam gi¸c:
Bài tốn 26: cho tam giác ABC có I trung điểm cạnh BC, đờng trẳng d qua I cắt AB, AC M, N Đờng thẳng d’ qua I cắt AB, AC P, Q Gọi E, F giao điểm MP, NQ với BC Chứng minh IE = IF
Bài toán Con bớm tứ giác:
O F
E
Q
P N
M D
C I
B
A
(14)Bài toán 27: Cho tứ giác ABCD Qua giao điểm I hai đờng chéo kẻ đờng thẳng d cắt AB, BC, CD, DA lần lợt M, N, P, Q Chứng minh rằng: I trung điểm MP I trung điểm NQ
Việc kẻ thêm đờng phụ có yếu tố trung điểm đợc thực toán chứng minh, chứng ta thực toán khác
II Toán dựng hình
Bài tốn 28: Dựng tam giác ABC vng A có AC = AB cạnh BC có độ dài a cho trớc
Hớng làm: việc phân tích tìm tịi lời giải ta thấy có điều kiện AC gấp đơi AB ta ln cho học sinh có thói quen “ có đoạn gấp đơi, gấp ba, , đoạn đoạn ta lấy điểm chia đơi, chia ba, “ Tong tốn ta lấy I trung điểm AC để có AI = IC = AB
Khi kẻ đờng cao AH lấy thêm trung điểm K HC ta có hai tam giác
ABH CIK nhau, từ suy ra: BH = IK =
2 AH =
4 HC
Vây ta có cách dựng tam giác AHB từ dựng tam giác ABC
Bài toán 29: Cho tứ giác ABCD có M, P cạnh AB, CD Dựng hình bình hành MNPQ cã N, Q trªn BC, DA
Hớng làm: Do tứ giác MNPQ hình bình hành nên trung điểm O MP trung điểm NQ, hay O tâm đối xứng hình bình hành MNPQ Từ ta dùng phép đối xứng tâm O để xác định N, Q đẻ có hình bình hành MNPQ
Bài toán 30: Cho đờng thẳng a, b, c, d (khơng có hai đờng song song) điểm O Dựng hình bình hành ABCD nhận O tâm có đỉnh nằm đờng thẳng cho
Hớng làm: Do tâm O hình bình hành tâm đối xứng, nên ta xét phép đối xứng tâm O để xâc định điểm A, B, C, D,
Bài tốn 31: Cho góc xOy khác góc bẹt điểm A nằm góc Dựng đờng thẳng qua A cắt hai cạnh góc xOy C, D cho A trung điểm CD
K
I H
B
(15)Hớng làm: Đây toán quen thuộc lớp nhng víi häc sinh líp cịng xem lµ hấp dẫn ! Ta khai thác yêu tố trung điểm toán theo hớng:
+ Tạo A trung điểm chung hai đoạn OE CD ta có đợc hai đoạn song song CE // OD DE // OC từ ta có cách dựng CD
+ Tao AI đờng trung bình tam giác DOC ( AI // Ox) I trung điểm CD từ ta có cách xác định điểm D đờng thẳng DC
Bài toán 32::Cho tam giác nhọn ABC M điểm cạnh BC, gọi E, F hình chiếu M AB, AC Tìm vị trí điểm M cho độ dài đoạn EF nhỏ
Hớng làm: ta thấy có hai tam giác vuông chung cạnh huyền AEM AFM, nên ta nhanh chóng lấy thêm trung điểm I AM để có trung tuyến thuộc cạnh huyền hai tam giác vuông Từ đặc điểm tam giác cân IEF có góc EIF khơng đổi EF nhỏ AM nhỏ nhất, AM đờng cao Bài tốn 33: Cho góc vng xOy điểm A nằm góc Một góc vuông đỉnh A quay xung quanh A cạnh góc cắt Ox, Oy M, N Xác định vị trí góc vng đỉnh A để đoạn MN nhỏ
Hớng làm: Ta thấy có hai tam giác vng chung cạnh huyền OMN AMN, nên ta nghĩ đến việc sử dụng trung tuyến thuộc cạnh huyền chung Khi độ dài đoạn MN IO + IA, xét quan hệ ba đoạn OA,
I F
E
M C
B
A
I
N M
A
y x
(16)AI, IO ta có MN nhỏ đoạn OA, I trung điểm đoạn OA từ ta có cách xác định vị trí điểm M N
III
To¸n q tÝch
Bài tốn 34: Cho tam giác ABC có điểm M thay đổi BC Tìm quỹ tích trung điển I AM ?
Hớng làm: Bài tốn khơng khó, yếu tố trung điểm đợc khai thác trực quan qua số vị trí điểm M, nên ta nhanh chóng nghĩ đến việc tạo đờng trung bình tam giác khai thác tính chất đờng trung bình để giải tốn
Bài tốn 35: Cho góc vng xOy đoạn thẳng AB có độ dài cho trớc thay đổi cho điểm A, B nắm tia Ox, Oy Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn AB ?
Hớng làm: Trong tốn có trung điểm lại có tam giác vng mà cạnh huyền lại có độ dài không đổi, nên ta nghĩ đến việc kẻ thêm đờng trung tuyến thuộc cạnh huyền sử dụng tính chât trung tuyến thuộc cạnh huyền để tìm mối quan liên hệ điểm I điểm O đẻ có kết
Bài tốn 36: Cho góc vng xOy điểm A nằm góc đó, góc vng có đỉnh A quay xung quanh A, cạnh góc cắt Ox, Oy M, N Tìm quỹ tích trung điểm I MN ?
Hớng làm: Cũng nh 33 ta nối IO,IA sử dụng tính chất trung tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông OMN, AMN để từ có đợc : IO = IA trả lời toán
Bài toán 37: Cho tam giác ABC vuông cân A, đờng cao AH Điểm M thay đổi đờng cao AH, đờng thẳng qua A vng góc với BM cắt BC N Tìm quỹ tích trung điểm I NM ?
K
I N
M
H
C B
(17)Hớng làm: Từ giả thiết ta có MN song song với AC, tam giác vng HMN có HI trung tuyến thuộc cạnh huyền HI cắt AC tai trung điểm K AC từ ta có I thuộc đoạn HK
Bài tốn 38: Cho hình vng ABCD, góc vng đỉnh A quay xung quanh A xAy Tia Ax cắt BC, CD M, N; tia Ay cắt BC, CD P, Q Tìm quỹ tich trung điểm I, K NP, MQ
D.
Bµi tËp tù lun
.
Bài tập 1:ở miền hình vng ABCD lấy điểm E cho Góc EAB = Góc EBA = 150 Chứng minh : CDE tam giác đều.
Bài tập 2 : Cho hình thang cân ABCD, (AB // CD) có O giao điểm hai đ ờng chéo Gọi M, N, P trung điểm OA, OD, BC, biÕt gãc AOB b»ng 60 °
Chứng minh tam giác MNP
Bài tập 3: Cho hình vng ABCD, O giao điểm đờng chéo AC BD gọi M N trung điểm OB CD chứng minh A; M; N; D thuộc đờng tròn
Bài tập 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính AC Trên tia AB lấy điểm D cho AD = 3AB Đờng thẳng Dy vng góc với DC D cắt tiếp tuyến Ax đờng tròn (O) E Chứng minh tam giác BDE tam giác cân
Bài tập 5: Cho tam giác ABC, phía ngồi tam giác dựng hình vng ABEF; ACMN; BCPQ Chứng minh đờng cao tam giác AFN; CMP; BQE xuất phát từ A, B, C đồng quy
Bài tập 6: Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác BCA’, ABC’ Gọi M, N, P trung điểm AC, BC’, BA’ Chứng minh tam giác MNP
Bài tập 7: Cho tam giác ABC, dựng phía ngồi tam giác BCA’, CAB’, ABC’ Gọi M, N, P lần lợt trung điểm đoạn CA’, AB’, AC’.Chứng minh hai đoạn MN, CP tạo với góc 60 °
Bài tập 8: Cho tam giác ABC dựng phía ngồi hình vuông Gọi I, J, K trung điểm cạnh hình vng đối diện với cạnh BC, CA, AB Chứng minh AI, BJ, CK đồng quy
Bài tập 9 Chứng minh Một tứ giác nội tiếp đờng thẳng đI qua trung điểm cạnh vng góc với cạnh đối diện ng quy
Bài tập 10: Cho tam giác ABC có điểm M nằm tam giác, tia AM, BM, CM cắt BC, CA, AB A, B, C Gọi X, Y, Z trung điểm BC, CA, AB X, Y, Z trung điểm BC, C’A’, A’B’
(18)Bài toán 11: Cho tam diác ABC, dựng phía ngồi tam giác MBC, NCA, PAB tơng ứng đồng dạng với Chứng minh rằng: Hai tam giác ABC MNP có trọng tâm
Bài toán 12: Cho đa giác có chu vi 2p Chứng minh phủ kín đa giác hình trịn có đờng kính p
KÕt luËn
Giảng dạy áp dụng sáng kiến mang lại hiệu việc bồi dỡng học sinh giỏi mơn tốn Nhiều học sinh chủ động tìm tịi, định hớng sáng tạo nhiều cách giải tốn khơng cần góp ý giáo viên Từ mang lại kết bất ngờ từ việc giải tốn thơng qua phơng pháp sáng tạo tìm lời giải tốn cho học sinh
Chính giáo viên nói chung thân tơi nói riêng cần hiểu rõ khả tiếp thu đối tợng học sinh để đa tập phơng pháp giải toán cho phù hợp, giúp em làm đợc sáng tạo cách giải gây hứng thú cho em, từ nâng cao kiến thức từ dễ đến khó
Để làm đợc nh giáo viên cần tìm tịi tham khảo nhiều tài liệu để tìm toán hay, với nhiều cách giải khác để tung cho học sinh làm, phát cách giải hay
(19)Trên vài kinh nghiệm việc båi dìng häc sinh kh¸, giái
Rất mong bạn bè,đồng nghiệp, thầy giáo góp ý để kinh nghiệm đợc áp dụng rộng rãi hoàn thiện