SKKN Khai thác yếu tố trung điểm trong bài Toán hình học

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "KHAI THÁC YẾU TỐ TRUNG ĐIỂM TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC" Phần I. Mở đầu I. lý do chọn đề tài Toán học là bộ môn khoa học mang tính trừu tượng và lôgíc cao,đồng thời còn là môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc học tập các môn học khác của chương trình phổ thông. Hình học là phân môn quan trọng của Toán học vừa rèn luyện khả năng đo đạc, tính toán, suy luận lôgíc vừa phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.Khi nắm chắc kiến thức và học giỏi hình học nó còn có tác dụng làm cho các em phát huy được tính độc lập sáng tạo,linh hoạt trong cách tìm lời giải cho các bài toán nói chung và nó còn có ý nghĩa thực tiễn rất cao trong việc vận dụng kiến thức vào cuộc sống sau này. Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tôi rút ra được kinh nghiệm thực tế là: Việc bồi dưỡng HSG không đơn thuần chỉ là cung cấp cho các em các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao mà phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo, tư duy trừu tượng và suy luận lôgíc – phải biến những điều đó thành kỹ năng và cao hơn là hình thành phương pháp giải toán, học toán, ứng dụng kiến thức toán thế nào cho hiệu quả. Muốn đạt được những điều đó trước hết người thầy giáo phải nắm chắc bản chất của từng loại toán, từ đó vừa phân loại vừa liên kết được từng dạng với nhau đó chính là phương pháp dạy và học toán nói chung cũng như việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán nói riêng. Trong rất nhiều những dạng toán mà tôi đã dày công nghiên cứu, tập hợp trên hai mươi năm làm nghề dạy học qua rất nhiều tài liệu và các kênh thông tin khác nhau từ SGK trong chương trình đến các loại tài liệu tham khảo, đề thi các như : Toán về phần nguyên, Toán về diện tích, Toán về thẳng hàng, Đồng qui,Bất đẳng thức, Cực trị…, từ việc ban đầu là tâp hợp thành những dạng toán sau đó liên kết chúng để hình thành kỹ năng, phương pháp dạy và học toán như tôi đã trinh bày ở trên. Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học là một đề tài mà tôi muốn xâydựng một phương pháp học mới để đạt được những yêu cầu sau đây: - Sử dụng thành thạo kẻ đường phụ trong bài toán có yếu tố trung điểm. - Chứng minh sự bằng nhau, song song, thẳng hàng,đồng quy… - Biết được yếu tố trung điểm có nhiều trong các bài toán : Chứng minh, dựng hình, quĩ tích, cực trị… - Vận dụng được nhiều kiến thức khi giải một bài toán đó là cách hay nhất để ôn cũ biết mới và hình thành kỹ năng tư duy cho học sinh II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. Thuận lợi : Trong những năm gần đây chất lượng giáo dục được nâng lên rõ rệt, các nhà trường chú trọng vào việc đổi mới phương pháp dạy và học đặc biệt quan tâm hơn đến học sinh nhất là coi trọng năng lực tự học của các em. Môn Toán là môn học mà học sinh rất thích, có nhiều em học rất giỏi đó chính là lợi thế rất lớn để giáo viên có thể tập trung được tâm huyết và trách nhiệm cũng như lòng yêu nghề của mình. Việc dạy cho các em học kiến thức cơ bản trong chương trình rồi từ đó hình thành phương pháp học bằng việc đưa vào những chuyên đề toán thông qua các hệ thống tài liệu tham khảo dưới sự hướng dẫn của giáo viên cũng rất thuận lợi. Các kỳ thi HSG ngoài sự quan tâm chỉ đạo của các cấp quản lý giáo dục còn thu hút được sự quan tâm của đông đảo PHHS. Với hệ thống đề thi ngày càng phù hợp, vừa sát chương trình Khó khăn: Với đặc thù vùng nông thôn, điều kiện kinh tế khó khăn, vì vậy việc quan tâm đến học hành còn hạn chế cả về tinh thần và vật chất dẫn đến hạn chế việc học hành của các em đặc biệt là môn toán.Chinh vì vậy càng cần phải rèn luyện, bồi dưỡng nhằm giúp cho các em học sinh khả năng tự học, tự tìm tòi, sáng tạo trong việc học tập, nghiên cứu để chiếm lĩnh tri thức nhân loại, tích lũy kinh nghiệm cuộc sống mai sau. Vì thế càng khiến tôi tâm huyết tìm tòi, nghiên cứu để giảng dạy có hiệu quả cao nhất. PHẦN II. NỘI DUNG A. PHƯƠNG PHÁP CHUNG Trong đề tài này do khuôn khổ, giới hạn của đề tài tôi chỉ đưa ra một số dạng cơ bản , một số bài tập khó và nâng cao về bài toán có yếu tố trung điểm, ở đây tôi không đưa ra nhiều cách giải mà chỉ minh hoạ chỉ ra đường lối, phương pháp , thói quen thường gặp ở bậc THCS . Đó là khi gặp bài toán có yếu tố trung điểm ta nghĩ ngay đến việc tạo ra đường phụ theo một trong các hướng sau: + Hướng 1: Lấy thêm đoạn thẳng mới để cùng với đoạn đã cho có chung trung điểm từ đó sử dụng tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm ở lớp 7, hoặc tính chất của hình bình hành ở lớp 8. + Hướng 2: Lấy thêm trung điểm thứ hai để tạo ra đường trung bình trong tam giác, trong hình thang, trong tứ giác nếu có nhiều đường trung bình liền nhau càng tốt, từ đó sử dụng các tính chất của các đường trung bình này. + Hướng 3: Nếu trung điểm đó là trung điểm của cạnh huyền của tam giác vuông đăc biệt lại là cạnh huyền chung của nhiều tam giác vuông thì ta kẻ thêm các đường trung tuyến thuộc cạnh huyền này để sử dụng tính chất đường trung tuyến thuộc cạnh huyền trong tam giác vuông. + Hướng 4: Nếu trung điểm đó là trung điểm của dây cung của đường tròn thì ta kẻ ngay đường kính của đường tròn đi qua trung điểm đó để sử dụng tính chất của đường kính đi qua trung điểm của dây cung trong đường tròn. Sau đây tôi xin giới thiệu một số bài toán minh họa cho những kinh nghiệm mà tôi đã có được trong những năm trực tiếp làm nhiệm vụ giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi. B. MỘT SỐ BÀI TOÁN QUEN THUỘC TRONG CHƯƠNG TRÌNH. Trong chương trình toán 7 khi nghiên cứu các trường hợp bằng nhau của tam gíac để giúp học sinh nắm vững kỹ năng ,vận dụng thành thạo kiến thức ta giới thiệu cho học sinh các bài toán sau: Bài toán 1: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh còn lại và có độ dài bằng nửa cạnh đó. Ta hướng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất của trung điểm bằng cách: Trên tia đối của tia NM lấy điểm P sao cho NP = NM, Khi đó hai đoạn AC và MP có chung trung điểm là N, từ các tính chất trung điểm chung ta có các cặp tam giác (ANM, CNP) và (AMP, MBC) bằng nhau dẫn đến hai đoạn MP, BC song song và bằng nhau từ đó ta có điều cần chứng minh. Sau khi chứng minh xong, ta cũng cho học sinh chứng minh bài toán ngược lại. Qua đó học sinh được hình dung tính chất đường trung bình của tam giác. Cũng như vây ta cho học sinh làm bài toán sau: Bài toán 2: Trong tam giác vuông Chứng minh đường trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. P N M C B A Ta cũng hướng dẫn cho học sinh tạo ra trung điểm M là trung điểm chung của hai đoạn BC và AD. Khi đó sử dụng tính chất trung điểm chung ta chứng minh hai tam giác ABC và CDA bằng nhau để có hai đoạn BC và AD bằng nhau, từ đó ta có điều cần chứng minh của bài toán. Sau đó ta cũng cho hoc học sinh chứng minh bài toán ngược lại Từ bài toán này ta cho học sinh chứng minh bài toán sau: Bài toán 3: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông có một góc bằng 60° khi và chỉ khi cạnh kề góc đó bằng một nửa cạnh huyền. Để giải bài này ta sử dụng đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AM Từ việc xét tam giác cân MAB khi có góc B bằng 60° suy ra MAB là tam giác đều và ngược lại, từ cạnh AB bằng nửa cạnh BC dẫn đến tam giác MAB đều dẫn đến góc B bằng 60°. Cũng từ bài toán 3 ta lại có bài toán sau: Bài toán 4: Một tam giác có một góc bằng 60° mà hai cạnh kề góc này có một cạnh bằng một nửa cạnh kia thì đó là tam giác vuông. D M C B A A D C B Ta có thể hướng dẫn cho học sinh làm bài này như sau: Ta lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD xét đặc điểm của tam giác CBD với trung tuyến CA và các quan hệ đã cho ta sẽ có điều cần chứng minh. Hoàn toàn tương tự ta cho học sinh lớp 7 làm các bài toán sau: Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến. Chứng minh góc BAM lớn hơn góc CAM khi và chỉ khi cạnh AB bé hơn cạnh AC. Hướng làm: Xét trên hình của bài toán 2, ta thấy: Việc so sánh góc BAM với góc CAM cũng như cạnh AB với cạnh AC ta đi so sánh góc ADC với góc DAC và cạnh CD với cạnh AC của tam gíac ACD ( Sử dụng quan hệ cạnh và góc đối diện trong tam giác). Bài toán 6: Chứng minh rằng: trong một tam giác độ dài đường trung tuyến luôn bé hơn nửa tổng hai cạnh còn lại. Hướng làm: Cũng tương tự trên hình của bài toán 2, sử dụng bất đẳng thức trong tam giác của tam giác ACD ta sẽ có điều cần chứng minh. Đến đây ta khẳng định giá trị to lớn của tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm. Từ việc sử dụng tính chất của hai đoạn thẳng có chung trung điểm ta đã chứng minh tính chất đường trung bình của tam giác, tứ đó ta cũng chứng minh tính chất đường trung bình của hình thang, tính chất “ Đường trung bình của tứ giác”. Bài toán 7: Chứng minh đường trung bình của hình thang song song với cạnh đáy và có độ dài bằng nửa tổng hai đáy. Hướng làm: Xét thêm trung điểm I của đường chẻo AC,Ta có IM,IN là các đường trung bình của các tam giác ADC vầ ABC Khi đó sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta chứng minh được bài toán này. Bài toán 8: Cho tứ giác ABCD có M, N là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng minh độ dài đoạn MN ≤ 2 CDAB + . Hướng làm: Xét tứ giác ABCD mà có AB song song với CD thí theo tính chất của hình thang ta có MN đúng bằng nửa tổng AB và CD. còn nếu AB không song song với CD, ta cũng lấy I là trung điểm của AC. I N M C D B A I N M B C A D Khi đó MI, NI là các đường trung bình của các tam giác ACD và ABD đông thời xet quan hệ ba cạnh của tam giác MNI ta có điều cần chứng minh. Từ các bài toán 7 và bài toán 8 ta cho học sinh làm bài sau: Bài toán 9: Chứng minh rằng: Một tứ giác là hình thang khi và chỉ khi đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối bằng nửa tổng hai cạnh còn lại Cũng với tính chất đường trung bình của tam giác, ta có bài toán sau:. Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q. lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. Việc giải bài toán này không khó với học sinh lớp 8 còn với học sinh lớp 7 ta thay đổi một số tên gọi cho phù hợp thì bài này trở nên khá hấp dẫn, vì với học sinh lớp 7 việc chứng minh bài toán này đã phải sử dụng khá nhiều kiến thức: Tính chất đường trung bình của tam giác, đường thẳng song song, hai đoạn thẳng song song và bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, . . . Từ bài toán này học sinh có thêm một tính chất hình học: Các “đường trung bình của tứ giác” gặp nhau tại trung điểm của chúng Cũng từ bài toán 10 ta có bài toán tổng quát hơn sau:. Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q, E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các đoạn: BC, DA, AB, CD, MA, MB, NB, NC. Chứng minh các đường MN, PQ, EF, GH đồng quy. [...]... cũng là trung điểm đoạn OA từ đó ta có cách xác định vị trí điểm M và N III TOÁN QUỸ TÍCH Bài toán 34: Cho tam giác ABC có điểm M thay đổi trên BC Tìm quỹ tích trung điển I của AM ? Hướng làm: Bài toán này không khó, yếu tố trung điểm được khai thác rất trực quan qua một số vị trí của điểm M, nên ta nhanh chóng nghĩ đến việc tạo ra đường trung bình của tam giác và khai thác tính chất đường trung bình... AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN, gọi E, F là trung điểm các đoạn BC, MN Chứng minh EF song song với phân giác góc A Hướng làm: Trong bài toán này đã có hai trung điểm M, N nên ta nghĩ đến việc lấy thêm một trung điểm nữa để cùng với hai trung điểm đã cho tao ra các đường trung bình của tam giác sẽ giúp ta giải bài toán, cụ thể như sau: Gọi I là trung điểm của BM khi đó IE, IF là đường trung bình... P, Q Gọi E, F là giao điểm của MP, NQ với BC Chứng minh IE = IF Bài toán “Con bướm” trong tứ giác: Bài toán 27: Cho tứ giác ABCD Qua giao điểm I của hai đường chéo kẻ đường thẳng d bất kỳ cắt AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q Chứng minh rằng: I là trung điểm của MP khi và chỉ khi I là trung điểm của NQ Việc kẻ thêm đường phụ khi có yếu tố trung điểm được thực hiện trong bài toán chứng minh, chứng... A là trung điểm của CD Hướng làm: Đây là bài toán quen thuộc ở lớp 8 nhưng với học sinh lớp 7 cũng xem là hấp dẫn ! Ta khai thác yêu tố trung điểm trong bài toán này theo các hướng: + Tạo ra A là trung điểm chung của hai đoạn OE và CD thì ta có được hai đoạn song song là CE // OD và DE // OC từ đó ta có cách dựng CD + Tao ra AI là đường trung bình của tam giác DOC ( AI // Ox) khi đó I là trung điểm. .. Đối với bài toán này việc vẽ đường phụ là quan trọng.ngoài việc biết khai thác yếu tố trung điểm như đã nêu học sinh cần áp dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau, kiến thức về tam giác cân, tam giác đều , đã được học vào giải bài toán. Từ đó học sinh mới tư duy và tìm tòi lời giải Giáo viên không nên đưa ra lời giải mà phải hướng dẫn để học sinh dần dần tìm lời giải cho mỗi bài toán Bài toán 18:... R Bài toán 25: Cho đường tròn tâm O, qua trung điển I của dây cung AB kẻ hai dây cung bất kỳ CD và MN, gọi P, Q là giao điểm của CN, DM với AB Chứng minh I cũng là trung điểm của PQ Hướng làm: Đây là bài toán “ Con bướm” nổi tiếng ! Ta thấy trong bài toán đã có trung điểm của dây cung nên ta kẻ ngay đường kính đi qua trung điểm I của dây cung AB, cũng như vậy ta kẻ các đường kính đi qua các trung điểm. .. thành kỹ năng sử dụng trung điểm, mà trong bài toán không cho trung điểm thì chúng ta dự đoán và tạo ra trung điểm, như bài toán sau: Bài toán 22: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O có BN là đường phân giác Từ A kẻ một đường thẳng vuông góc với tia BN, cắt BC tại H Chứng minh bốn điểm A; O; H; C nằm trên một đường tròn Đối với bài toán này xảy ra hai trường hợp đối với hình vẽ Trường hợp 1:... gì không? Ta có bài toán sau: Bài toán 17: Cho hình tứ giác ABCD, về phía ngoài tứ giác dựng các hình vuông ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gọi V, S, J, K lần lượt là tâm của các hình vuông trên Chứng minh rằng KS = VJ và KS ⊥ VJ Hướng làm: Do có V, S, J, K là trung điểm của các đường chéo hình vuông nên để sử dụng đường trung bình của tam giác ta xét thêm trung điểm I của AC Từ kết quả bài toán 14 ta có IV,... giữa điểm I và điểm O đẻ có kết quả Bài toán 36: Cho góc vuông xOy và điểm A nằm trong góc đó, một góc vuông có đỉnh A quay xung quanh A, các cạnh góc này cắt Ox, Oy tại M, N Tìm quỹ tích trung điểm I của MN ? Hướng làm: Cũng như bài 33 ở trên ta nối ngay IO,IA và sử dụng tính chất trung tuyến thuộc cạnh huyền trong các tam giác vuông OMN, AMN để từ đó có được : IO = IA và trả lời bài toán Bài toán. .. tich trung điểm I, K của NP, MQ D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1: Ở miền trong của hình vuông ABCD lấy một điểm E sao cho Góc EAB = Góc EBA = 150 Chứng minh rằng : CDE là tam giác đều Bài tập 2 : Cho hình thang cân ABCD, (AB // CD) có O là giao điểm hai đường chéo Gọi M, N, P là trung điểm của OA, OD, BC, biết góc AOB bằng 60° Chứng minh tam giác MNP đều Bài tập 3: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm . TÀI: " ;KHAI THÁC YẾU TỐ TRUNG ĐIỂM TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC" Phần I. Mở đầu I. lý do chọn đề tài Toán học là bộ môn khoa học mang tính trừu tượng và lôgíc cao,đồng thời còn là môn học công. thành những dạng toán sau đó liên kết chúng để hình thành kỹ năng, phương pháp dạy và học toán như tôi đã trinh bày ở trên. Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học là một đề tài. cũng cho học sinh chứng minh bài toán ngược lại. Qua đó học sinh được hình dung tính chất đường trung bình của tam giác. Cũng như vây ta cho học sinh làm bài toán sau: Bài toán 2: Trong tam