Tổng hợp đề thi KSTN môn toán từ năm 20152017 Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 Lời Dẫn co m Kĩ sư Tài chương trình đào tạo đặc biệt ĐH Bách Khoa Hà Nội Để thi vào chương trình em tân sinh viên cần có đủ điều kiện ( điểm xét điểm mơn Tốn Lý) Sau phải thi thi Tốn Lý tự luận Nội dung nửa ôn thi đại học nửa ơn thi HSG Do nhiều em cịn bỡ ngỡ nên mở lớp ôn thi Kĩ sư Tài với team dạy có trình độ (Thủ khoa, Olympic sinh viên, HSG, ) có kinh nghiệm : đào tạo nhiều em đỗ Kĩ sư Tài ( 80%) Khóa học Khai giảng vào 9/7 trước có buổi học FREE để giải đáp thắc mắc bổ túc kiến thức Tốn ngày 8/7 Chúng tơi có lời mời đến tất bạn học sinh, anh chị sinh viên quý phụ huynh tham gia Xem thêm: goo.gl/jXPbQi on th ik st n Liên hệ: Fanpage : https://www.fb.com/onthikisutainangk60/ Fb admin : https://www.fb.com/vuvandung.bkhn Hotline : 0162 978 0443 Gmail : luyenthikstn@gmail.com Website: onthikstn.com Trang Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 on th ik st n co m ĐỀ THI Website: onthikstn.com Trang Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2015 Bài 1: Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm dương phân biệt: x3 − 3(m + 1)x2 + (6m + 3)x + 4m3 − 3m = √ Bài 2: Giải phương trình x2 − = 5x2 − 6x co m Bài 3: Cho khai triển (3 + 2x + x2 )20 = a0 + a1 x + a2 x2 + + a39 x39 + a40 x40 Xác định a5 Bài 4: Cho hình chóp có 10 cạnh cạnh có độ dài a Tính thể tích hình chóp (1 − x2 ) Bài 5: Tính tích phân 2015 (1 + x)dx on th ik st n Bài 6: Các học sinh khối 12 bắt buộc phải đăng kí thêm mơn: Tốn,Lí, Văn Sau kết thúc đăng kí có 23 học sinh đăng kí mơn Tốn, có 76 học sinh đăng kí học Văn, có 76 học sinh đăng kí học Tốn Văn, có 37 học sinh đăng kí hai mơn Lí Tốn Hỏi khối 12 kể có học sinh? Website: onthikstn.com Trang 21 Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2016 Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H(1;3) nội tiếp đường tròn (C) tâm I(2;4) Đường cao AH cắt BC D(2;2) Tính diện tích tam giác ABC .co m Bài 2: Một ghế đặt quanh bàn trịn có 10 chỗ ngồi thứ tự đánh số từ đến 10.Sắp xếp ngẫu nhiên tổ gồm 10 học sinh gồm nam nữ vào 10 ghế quanh bàn trịn Tính xác suất để có học sinh nữ ngồi cạnh Bài 3: Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp liên tục [a; b] tồn f (x) [a; b] cho f (x) ≥ 0∀x ∈ [a, b] f (x) > 0∀x ∈ (a, b) Chứng minh với m ∈ [a, b] ta có f (x) ≥ f (m) + (x − m)f (m)∀x ∈ [a, b] st n Bài 4: Cho tia chéo Aa Bb điểm C D chạy tia Aa Bb cho AC=BD Tìm quỹ tích trung điểm M CD Bài 5: Tìm số ngun khơng âm x, y, z thỏa mãn : 3x − 2y = 2016z ik Bài 6: Chứng minh với n số tự nhiên cho trước, phương trình n (ak cos(kx) + bk sin(kx)) = x k=1 on th có nghiệm với ak , bk ∈, k = n Website: onthikstn.com Trang 22 Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2017 Bài 1: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số: y =x+ √ x2 − Bài 2: Cho số phức z thảo mãn phương trình z − z + = Tính giá trị biểu thức: A = z 2018 − z 2017 co m Bài 3: Cho số thực x,y thỏa mãn x2 + y = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x5 + y Bài 4: Trong mặt phẳng (α) cho điểm A, B cố định Trên nửa đường thẳng Bx nằm (α) vng góc với AB lấy điểm C, đường thẳng Ay vng góc với (α) A lấy điểm D cho BC+AD=l (l>0 cho trước ) Xác định vị trí C, D cho mặt phẳng (β) qua trung điểm CD vng góc với AB, cắt tứ diện ABCD theo thiết diện có diện tích lớn st n Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Ozy cho hình chữ nhật ABCD Gọi E điểm đối xứng với D qua A H hình chiếu vng góc D BE Đường trịn ngoại tiếp tam giác BDE có phương trình (c) : (x − 4)2 + (y − 1)2 = 25 đường thẳng AH có phương trình 3z − 4y − 17 = Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng AD qua điểm M(7;2) vsf điểm E có tung độ âm Bài 6: Cho số tự nhiên n>2 Chứng minh rằng: a1 cos x + a2 cos 2x + + an cos nx = b1 sin x + b2 sin 2x + bn sin nx ik a1 = a2 = = an = b1 = b2 = = bn = Bài 7: Giải phương trình: √ √ cos4 x + 2cos2 x + = 2 on th + sin4 x + Website: onthikstn.com Trang 23 Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 on th ik st n co m LỜI GIẢI Website: onthikstn.com Trang 24 Team KSTN K60 Tham khảo từ tungbk.me Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2015 co m Bài 1: Giả sử m thỏa phương trình cho có nghiệm dương phân biệt Đặt f (x) VT phương trình cho Theo Vi-ét :   a + b + c = (m + 1) > ab + bc + ca = 6m + >  abc = 3m − 4m3 > √ ⇒0 có bậc x lớn Chỉ cần xét hạng tử có k = 0, 1, Dễ dàng tính a5 Bài 5: 2015 (1 − x2 ) (1 + x) dx 1 2015 (1 − x ) = Website: onthikstn.com 2015 (1 − x2 ) = dx + dx + (1 − x2 ) 2015 d (1 − x2 ) 1 4032 Trang 54 Team KSTN K60 Tham khảo từ tungbk.me Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 n (1 − x2 ) dx In = = x(1 − x2 ) n 1 x.n.(1 − x2 ) − d (1 − x2 ) n−1 (1 − x ) = 2n n−1 (1 − (1 − x2 )) dx Đáp án cần tìm: 4030!! 4031!! + 4032 co m = 2n (In−1 − In ) , ∀n > 2n In−1 ⇒ In = 2n+1 2n.(2n−2) 2n!! = (2n+1)(2n−1) I0 = (2n+1)!! on th ik st n Bài 6: Nhìn nhận theo lí thuyết tập hợp, u cầu tìm lực lượng hợp ba tập hợp học sinh đăng kí Tốn, Lí Văn Ta cần tính thêm số học sinh học Tốn, Lí Văn Số học sinh học Toán bao gồm loại học sinh: học Toán, học mơn Tốn Văn, học hai mơn Tốn Lí, học mơn Suy số học sinh học môn: 23 + 37 + 36 − 79 = 17 Số học sinh khối: 76 + 76 + 79 − 35 − 36 − 37 + 17 = 140 học sinh Website: onthikstn.com Trang 55 Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2016 co m Bài 1: Gọi M trung điểm BC HA qua H, A nên có PT x + y − = BC vng góc với HA qua A nên có x − y = Biết I pt BC suy M (3; 3) HA = 2M I nên A(−1; 5) Suy R tìm độ dài BC, đáp số 12 Bài 3: Khai triển Taylor ta có: st n Bài 2: Số cách xếp 10 người nam nữ vào bàn tròn đánh số: 10! Làm theo bước để xếp theo yêu cầu toán: * Chọn bạn nữ ngồi cạnh nhau, chọn thứ tự trước sau, có cách * Chọn cặp vị trí cho bạn nữ, có 10 cách * Chọn vị trí cho bạn nữ cịn lại, có cách * Chọn vị trí cho bạn nam cịn lại, có 7! cách 7!.10.6.4 = Xác suất cần tìm: 10! F (x) = F (m) + (x − m)F (m) + (x − m)2 Suy đpcm Bài 4: F (c) với c nằm x m AC + BD Do gọi u, v vector đơn vị AC, BD thì: u+v OM = AC ik Chỉ : OM = Suy quỹ tích cần tìm đường thẳng, dễ đường on th Bài 5: Xét : * y = Dẫn đến z = 0, VT chia dư 0, VP chia dư 0, VT chia hết cho dẫn đến x = 0, từ suy vơ nghiệm *y=0 Dẫn đến z = theo tính chẵn lẻ, pt cho trở thành : 3x − 2y = Xét y = 1, 2, Với y > 2y chia hết cho 16 nên 3x − chia hết cho 16, suy x = 4k ⇒ (9k − 1)(9k + 1) = 2y Duy có hai số và lũy thừa 2, đến gặp mâu thuẫn Đáp số: (x, y, z)=(1,1,0),(2,3,0) Bài 6: Website: onthikstn.com Trang 56 Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ôn thi fb.com/onthikisutainangk60 n (ak cos(kx) + bk sin(kx)) = x(1) k=1 n (ak cos(kx) + bk sin(kx)) − x, cho x tiến tới +∞ f (x) tiến tới −∞, Xét f (x) = k=1 on th ik st n co m đại lượng lượng giác hệ số chúng bị chặn Tương tự cho x → −∞ f (x) → +∞ Theo định lí giá trị trung gian pt f (x) = có nghiệm, suy đpcm Website: onthikstn.com Trang 57 Team KSTN K60 Tổng hợp đề thi lời giải Đăng kí ơn thi fb.com/onthikisutainangk60 2017 Bài 1: Ta thấy hàm số khơng có tiệm cận đứng, có tiệm cận ngang y=0 tiệm cận xiên y=2x Bài 2: Nhân phương trình ban đầu với z+1 thu z = −1 Do co m A = (z )672 (z − z) = (−1)672 (−1) = −1 Bài 3: Ta thấy (x2 + y )5 − (x5 + y )2 = 5x2 y (x6 + y ) + 9x4 y (x2 + y ) + x4 y (x − y)2 ≥ 0∀x, y Do −32 ≤ P ≤ 32 st n Đẳng thức vế trái xảy ra, chẳng hạn (x,y)=(-2,0) Đẳng thức vế trái xảy ra, chẳng hạn (x,y)=(2,0) Bài 4: Khơng khó để nhận thấy thiết diện hình chữ nhật có đỉnh M,N,P,Q trung diểm CA,AB,BD,DC Do diện tích thiết diện S = MN ∗ NP = (BC + AD)2 l2 BC ∗ AD ≤ = 16 16 on th ik Đẳng thức xảy BC=AD=l/2 Bài 5: Bạn đọc tự vẽ hình Gọi I(4,1) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BED Chú ý IE AH vng góc ( chứng minh) ta có phương trình IE 4x+3y-19=0 Kết hợp với IE=5 suy E(7,-1) Do phương trình AE x=7 Từ phương trình AE phương trình AH tìm A(7,1) Từ phương trình AE ID=5 tìm D(7,5) Từ phương trình AH Eh vng góc với DH suy tọa độ H ( có điểm H) Từ tọa độ H, viết phương trình EH AB suy tọa độ B Bài tốn có nghiệm Bài 6: Gọi f(x) =Vế trái= Vế phải Nhận thấy f(x) vừa hàm chẵn , vừa hàm lẻ nên đồng Nhận thấy cos(nx) đa thức bậc n theo cos(x) Thật vậy, ta chứng minh quy nạp, giả sử cos(kx) đa thức bậc k cos(x) với k