Tuyển tập các đề Olympic toán sinh viên cấp trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Tuyển tập các đề thi olympic qua các năm môn toán của trường đại học bách khoa hà nội.

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN CẤP TRƯỜNG (2012 – 2018) Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2012 Mơn: Giải tích Câu 1: Cho xn      n.lâ n  Tìm giới hạ n lim 6n   xn  n  Câu 2: Cho hà m f :  thỏ a mã n: x0  , tò n tạ i giới hạ n hữu hạ n lim f  x   g  x0  x  x0 Liệ u hà m g  x  có liên tụ c R không? Câu 3: Tìm tá t cả cá c hà m liên tụ c f :  thỏ a mã n f  x  1  f  x   x, x  R Câu 4:Cho f  x  liên tụ c  0;1 và khả vi hai là n  0;1 thỏ a mã n f    f 1  và f  x   1 Chứng minh rà ng max f "  x   x0;1 x0;1 Câu 5: Cho hà m f khả vi và liên tụ c đoạ n  0;1 Chứng minh rà ng: 1 f     f  x  dx   f '  x  dx 20 2 1 Câu 6: Cho f  x  khả vi hai là n đoạ n  0;1 Chứng minh rà ng tò n tạ i c   0;1 cho 1  f  x dx  f  0  f '  0  f " c  Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2013 Mơn: Giải tích 15  25   n5 n  n6 Câu 2: Tìm L  lim  m Với  m  max  x  x m  Câu 1: Tìm giới hạn: lim n  x 0;1 Câu 3: Cho hàm u  x  dương liên tục  0;  , hàm   x  tăng khả vi  ' t  u  t  dt Chứng  t   x  0;   ;     Biết với x  ta có: u  x     minh: u  x     x   0;  Câu 4: Cho f1  x   x3  3x, f n 1  f1  f n  Tính: lim  f n2  x  dx n  TUẤN TEO TÓP 1 Câu 5: Tìm tất hàm f  x  xác định  0;   Và khả vi lần thỏa mãn:  f '  x     f  f '  x     f  x  Môn: Đại số  1   1   Câu 1: Cho ma trận A   B     1    k 1  1   1    a Cmr A2  A  E  Tính f  A  E    1 Ak với E ma trận đơn vị cấp k 2013 b Tính B 2016 Câu 2: Cho ma trận A ma trận thực, vuông cấp n CMR det  A  At   với At ma trận chuyển vị ma trận A Câu 3: Cho ma trận A ma trận vng cấp n Vết A, kí hiệu tr  A tổng phần tử chéo A Ma trận A gọi ma trận lũy đẳng A2  A CMR: a Nếu A ma trận lũy đẳng A chéo hóa b A ma trận lũy đẳng rank  A  tr  A rank  E  A   tr  E  A  b, i  j  Câu 4: Tính định thức ma trận vuông cấp 2013 A   aij  với: aij  a, i  j b, i  j  Câu 5: Cho đa thức f  x   R  x  có nghiệm thực Chứng minh đa thức p  x   f  x   4026 f   x   2013 f   x  có nghiệm Đề thi Olympic Tốn sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2014 Mơn: Giải tích Câu Cho x  , tính giới hạn: lim n2 n  Câu Cho hàm f  x   sinx  sin   n x  n1 x   x , x  R Chứng minh không tồn số T  cho: f  x   f  x  T  , x  R Câu Cho hàm số f  x  liên tục R, giả sử tồn số x1 , x2 cho f ( x1 ) f ( x2 )  Chứng minh rằng: Tồn ba số a, b, c cho a  b  c, a  c  2b đồng thời: 15 f (a)  f (b)  2014 f (c)  TUẤN TEO TĨP Câu Tìm tất hàm số f  x  có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f    f ( x)  2014 f ( x) , x  R Câu Cho hàm số f  x  có đạo hàm  0;   Chứng minh rằng: Nếu lim  f  x   2013 f '  x    2014 lim f  x   2014 x  x  Câu Cho hàm số f  x  liên tục  0,1 ; f  x   0, x  [0,1] Chứng minh n   rằng: lim   f n  x  dx   max f  x  n  x0,1 0  Môn: Đại số Câu Cho dãy số  xn n0 ,  yn n0 ,  zn n0 xác định sau: 4 xn 1  xn  yn  zn  xn   x0  a, y0  b, z0  c 4 yn 1  xn  yn  zn , n  Đặt U n   yn  , n  4 z  x  y  z  zn  n n n  n 1 a) Xác định ma trận A cho U n1  AU n , n  Chéo hóa ma trận A b) Chứng minh rằng: lim xn  lim yn  lim zn   a  b  c  n  n  n  Câu Ma trận A  M  n, R  gọi ma trận lũy linh tồn số nguyên dương kk cho Ak  Cho P, Q  M  n, R  ma trận lũy linh a) Tìm trị riêng P Từ suy đa thức đặc trưng P b) Chứng minh PQ  QP PQ ma trận lũy linh c) Giả sử PQ  P  Q  Tính det  I  P  3Q  1  Câu Cho A ma trận cấp  2, B ma trận cấp  cho AB     1  a) Chứng minh rằng:  AB    AB  b) Tìm BA 0, i  j , b  Chứng minh Câu Cho ma trận A   aij  vuông cấp 2014, aij   i  j b , i  j rằng: A khả nghịch tìm ma trận nghịch đảo A TUẤN TEO TĨP Câu Cho đa thức f  x   2014 x 2014  a2013 x 2013   a1 x  a0 có 2014 nghiệm thực x1 , x2 , , x2014 g  x   2014 x 2013  a2013 x 2012   a2 x  a1 Chứng minh rằng: 2014 g  xi   f ' x   i 1 i Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2015 Mơn: Giải tích Câu Tìm giới hạn: lim x x    1 x  1 x  x  Câu Tính tích phân:  1 dx  tanx    Câu Tìm tât hàm số f(x)f(x) thỏa mãn f  x   f  x  1 x    f1  x   x  Câu Cho hàm số f1 , f , , f n , thỏa mãn  Giải phương f  f f x ,  n        n1 n trình f n  x   Câu Cho hàm số f  x  xác định khả vi hai lần  0,   , thỏa mãn điều kiện sau   f ' x  , x  Tìm f  x   f f ' x   f x         Câu Cho hàm số liên tục  0;1 thỏa mãn  f  x  x n dx  0,n  N Chứng minh f 1  0 Môn: Đại số Câu 1: Cho ma trận A vuông cấp 2015 Chứng minh tồn hai ma trận B, C thỏa mãn A  B  C detBC  a11 x1  a12 x2   a1n xn  a x  a x   a x   21 22 2n n Câu 2: Cho hệ phương trình:   n  3 ,  an1 x1  an x2   ann xn   aij  2i  j  4ij a) Chứng minh hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường b)Tìm số chiều khơng gian nghiệm hệ phương trình TUẤN TEO TĨP Câu 3: Cho V1 ,V2 ,V3 không gian hữu hạn chiều V Chứng minh dim V1  V2  V3   dimV1  dimV2  dimV3  dim V1  V2   dim V1  V3   dim V2 V3   dim V1 V2 V3  Câu 4: Cho không gian véc tơ thực V , với dimV  2015 f k : V  R dạng tuyến tính, với k  1, 2, ,5000 Chứng minh tồn số thực: x1 , x2 , , x5000 cho: x1 f1  x2 f   x5000 f5000  Câu 5: Chứng minh với số thực a, b, c, d cho trước ln tồn đa thức bậc hai p  x  hệ số thực cho  a  p 1   b  p     c  p  3    d  p   đạt giá trị nhỏ 2 2 Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2016 Mơn: Giải tích   f1  x   x  3x Câu 1: Cho dãy hàm số fn(x)fn(x) xác định bởi:    f n 1  x   f1  f n  x   Tính giới hạn: lim   f n  x   dx n  1  Câu 2: CMR:   2016 x 1 dx    x e 1 2016 n 1 n Câu 3: Cho hàm số f : R  R khả vi ba lần CMR tồn    1;1 thỏa mãn: f "'   f 1  f  1   f '  0 Câu 4: Xác định tất hàm số f : R  R liên tục thỏa mãn: f  x  1  f  x   x Câu 5: Tìm hàm số f có đạo hàm cấp liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn: f    f 1  0, f '    cho  f "  x  dx đại giá trị nhỏ Câu 6: CMR với x  phương trình z  xz  xác định hàm số thực z  x  Tính I   z  x  dx Môn: Đại số Câu 1: Cho số phức  k  cos 2015 thức: A   k 0  k TUẤN TEO TÓP k 2 k 2  isin , k  0,1, 2, , 2015 Tính giá trị biểu 2016 2016 2, i  j  Câu 2: Tính định thức ma trận A  aij  , đó: aij  1,  i  j  2016 x 2016  0,  i  j  Câu 3: Cho A  aij  ma trận có hạng m Chứng minh tồn ma mxn trận B  aij  nxm cho AB  I m (trong I m ma trận đơn vị cấp m) Câu 4: Kí hiệu P2  x  không gian vêcto đa thức với hệ số thực có bậc nhỏ Cho tốn tử tuyến tính: f : P2  x   P2  x  xác định bởi: f  a0  a1 x  a2 x    5a0  4a1  a2    2a0  a1  a2  x  10a0  10a1  6a2  x Xác định vêcto: f 2016   x  x  , f 2016  fofo of Câu 5: Có có thứ tự  n1 , n2 , n3  số tự nhiên thỏa mãn: n1  1, n2  2, n3  n1  n2  n3  2016 Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2017 Mơn: Giải tích 1  Câu 1: Tính giới hạn: lim  2sin x  xsin  x 0  x x 1 Câu 2: Cho f  x   sin2017 x Tính giới hạn lim  f  x   x 0 x  Câu 3: Cho dãy số an  thỏa mãn  an  1, an 1  an 1    x f   2  x f     3  x  f   2017   với n  N Chứng minh dãy hội tụ tìm giới hạn dãy  Câu 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức  f  x  dx , f hàm số liên tục đoạn  0,   thỏa mãn   0  f  x  sinxdx   f  x  cosxdx  Câu 5: Cho dãy số an  thỏa mãn a1  2, an 1   an   an  với n  N * Tính tổng Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2018 Mơn: Giải tích TUẤN TEO TĨP  a n 1 n Câu 1: Cho dãy số an  bị chặn thỏa mãn điều kiện: an 1  an  minh dãy an  hội tụ Câu 2: Tính tổng   arctan n n 1 với n  N Chứng 2n Câu 3: Cho hàm số f  x  khả vi liên tục cấp hai  0,   thỏa mãn lim xf  x   0, lim xf " x   Tính giới hạn lim xf '  x   x  x  x  Câu 4: Cho hàm số f :  0,    R lồi thỏa mãn lim f  x   Chứng minh hàm số x x 0 f  x hàm tăng  0,   x Câu 5: Tìm tất hàm số f  x  khả vi liên tục R thỏa mãn điều kiện f  x   2, f  x  f '  x   sinx với x  R Câu 6: Cho hàm số f  x  khả vi liên tục hai lần đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện f    f 1  0, f '    Tìm giá trị nhỏ biểu thức  f "  x  dx Môn: Đại số  4 1  Câu 1: Cho ma trận: A    4  a)Chéo hóa ma trận A n k A với E ma trận đơn vị cấp Tính limVn n  k 1 k ! b) Đặt Vn  E   Câu 2: Cho A B hai ma trận vuông cấp 2018 thỏa mãn: AB  2018 A  2019B  Chứng minh rằng: a) AB  BA b) rank  A  rank  B  rank  X  hạng ma trận X TUẤN TEO TÓP   x1  x2  x3   2018 x2018  2018 x1  2 x  x  x   2019 x  x 2018  2018   x3 Câu 3: Giải hệ phương trình: 3 x1  x2  x3   2020 x2018  2018    2018 x1  2019 x2  2020 x3   4035 x2018  4035 x2018  2018  Câu 4: a) Cho S  1; 2;3; ; 2018 T tập hợp tập khác rỗng S Với tập X  T , kí hiệu m  X  trung bình cộng phần tử X Tính m   m X  X T T T số phần tử T b) Với r , s hai số nguyên dương, gọi R  r , s  số người tối thiểu cho ln tìm r người đơi quen s người đôi không quen Chứng minh R  r , s   R  r  1, s   R  r , s  1 với số nguyên r , s  Câu 5: Cho đa thức f  x  , g  x  với hệ số thực, thỏa mãn xf  x 2019  2018   x g  x 2019  2018  chia hết cho đa thức  x  x  1 Đặt h  x   f  x  g  x  Chứng minh h '  2019   TUẤN TEO TÓP ... f   x   2013 f   x  có nghiệm Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2014 Mơn: Giải tích Câu Cho x  , tính giới hạn: lim n2 n  Câu Cho hàm f  x   sinx  sin   n x  n1...   i 1 i Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2015 Mơn: Giải tích Câu Tìm giới hạn: lim x x    1 x  1 x  x  Câu Tính tích phân:  1 dx  tanx    Câu Tìm tât hàm số f(x)f(x)...  3    d  p   đạt giá trị nhỏ 2 2 Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2016 Mơn: Giải tích   f1  x   x  3x Câu 1: Cho dãy hàm số fn(x)fn(x) xác định bởi:    f n 1