Tuyển tập đề thi môn toán học kì 2 lớp 11 có đáp án chi tiết

đề thi thử ôn thi học kì 2 môn toán lớp 11 rất hay và sát với kiến thức thi học kì của các tỉnh, huyện giúp cho các em có 1 kì thi tốt hơn .

Câu 3 (1,0 điểm) Cho hàm số

Câu 4 (1,0 điểm) Giải phương trình y'' 0, trong đĩ y cos2x 2sinx x 2

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hàm số 3

4

x y

x Chứng minh rằng

2

2 y' y 1 ''y

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hai hàm số f x x3 x2 2x cĩ đồ thị C và g x x2 x 2 cĩ đồ thị P

a) Tìm tọa độ giao điểm A của C và P

b) Viết các phương trình tiếp tuyến của C và của P tại giao điểm A

Câu 7 (4,0 điểm) Cho hình chĩp S ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, ABC 60 , tam giác SBC là tam giác

đều cĩ bằng cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuơng với đáy Gọi H là trung điểm của BC

a) Chứng minh SH ABC

b) Tính gĩc giữa đường thẳng SA và ABC

c) Tìm gĩc giữa hai mặt phẳng SAC và ABC

d) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

Câu 1 (1,0 điểm) Tính giới hạn

Vậy

2 2

TRƯỜNG THPT NGƠ QUYỀN KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 11 THPT

NĂM HỌC 2015 – 2016

Thời gian làm bài:90 phút, khơng kể thời gian phát đề

x f x x f x f nên hàm số liên tục tại x0 1

Vậy hàm số đã cho liên tục trên tập xác định

Câu 3 (1,0 điểm) Cho hàm số

● Với m 0, ta có * trở thành 3 0 : đúng với mọi x

m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 4 (1,0 điểm) Giải phương trình y'' 0, trong đó y cos2x 2sinx x 2

3 2

2

4 1 2 sin 2 sin 2 0

3arcsin 243

Vậy ta có điều phải chứng minh

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hai hàm số f x x3 x2 2x có đồ thị C và g x x2 x 2 có đồ thị P

a) Tìm tọa độ giao điểm A của C và P

b) Viết các phương trình tiếp tuyến của C và của P tại giao điểm A

a) Phương trình hoành độ giao điểm của C và P

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của C tại A là k1 f' 1 3

Vậy phương trình tiếp tuyến của C tại A 1;2 là d y1: 3 x 1 2 3x 1

- -

Ta có g x' 2x 1

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của P tại A là k2 g' 1 1

Vậy phương trình tiếp tuyến của P tại A1;2 là d2:y 1 x 1 2 x 3

4

-

Câu 7 (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ABC 60 , tam giác SBC là tam giác

đều có bằng cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy Gọi H là trung điểm của BC

a) Chứng minh SH ABC

b) Tính góc giữa đường thẳng SA và ABC

c) Tìm góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABC

d) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC

a) Ta có tam giác SBC đều và H là trung điểm của BC Suy ra SH BC

Mà SBC ABC theo giao tuyến BC nên suy ra SH ABC

b) Vì SH ABC nên HA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ABC

Do đó SA ABC, SA AH, SAH

Trong tam giác vuông SHA, ta có tanSAH SH

AH

● Tam giác SBC đều cạnh 2a nên SH a 3

● Tam giác ABC vuông tại A nên 1

.2

Từ 1 và 2 , suy ra HE SAC nên HE d H SAC,

Trong tam giác vuông SHK, ta có

.13

SH HK a HE

2 khi 3

x

Xét tính liên tục của hàm số tại x 3

Câu 3 (2,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1

x y

6

-

Câu 5 (3,0 điểm) Cho hình chĩp S ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O cạnh a Cạnh SA vuơng gĩc với đáy

ABCD Qua A vẽ mặt phẳng P vuơng gĩc với SC cắt SB SC SD, , lần lượt tại B C D', ', '

a) Chứng minh rằng BD SAC

b) Chứng minh rằng B D' ' song song với BD

c) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng SBC và SDC khi SA a

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

Câu 1 (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau:

Vậy hàm số đã cho liên tục tại x 3

Câu 3 (2,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1

x y

b) Ta có y' cos2 'cos3x x cos2 cos3 'x x 2sin 2 cos3x x 3sin3 cos2 x x

Vậy y' 2sin 2 cos3x x 3sin3 cos2 x x

Câu 4 (2,0 điểm) Cho hàm số 1 3 2

y x x có đồ thị là C

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C tại điểm 2

0; 3

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của C tại A là k y' 0 1

Vậy phương trình tiếp tuyến là 2

Hệ số góc của tiếp tuyến của C tại M là k y a' a2 1

Phương trình tiếp tuyến là d y: 3 x 2 hay d y: 3x 6

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là 14

33

y x và y 3x 6

Câu 5 (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a Cạnh SA vuông góc với đáy

ABCD Qua A vẽ mặt phẳng P vuông góc với SC cắt SB SC SD, , lần lượt tại B C D', ', '

a) Chứng minh rằng BD SAC

b) Chứng minh rằng B D' ' song song với BD

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SDC khi SA a

8

-

a) Do ABCD là hình vuông nên BD AC 1

Vì SA vuông góc với đáy ABCD nên SA BD 2

Từ 1 và 2 , suy ra BD SAC

b) Xác định các giao điểm B’, C’, D’

Trong tam giác SAC, kẻ AC' SC C' SC

Trong mp SBC , dựng đường thẳng qua C' và vuông góc với SC cắt SB tại B'

Trong mp SCD , dựng đường thẳng qua C' và vuông góc với SC cắt SD tại D'

9

Câu 1 (3,0 điểm) Tính các giới hạn sau:

a)

2 2

2 khi 15

tại điểm x 1

b) Chứng minh rằng với mọi m, phương trình x4 mx2 m 2 x 2m 0 luơn cĩ ít nhất 1 nghiệm thực

Câu 3 (1,5 điểm) Cho hàm số y g x x3 3x 2, viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C của hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 9x y 1 0

Câu 4 (3,5 điểm) Cho hình chĩp S ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và

2

SC a Gọi H K lần lượt là trung điểm của các cạnh , AB và AD

a) Chứng minh tam giác SBC là tam giác vuơng và SH ABCD

b) Chứng minh AC SK

c) Xác định gĩc hợp bởi SA và SHK

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

Câu 1 (3,0 điểm) Tính các giới hạn sau:

a)

2 2

a) Ta cĩ

2 2

10

-

b) Ta có

2 3

2 khi 15

22

x x

x f x x f x nên hàm số không liên tục tại x 1

Vậy hàm số đã cho không liên tục trên

11

b) Hàm số f x x4 mx2 m 2 x 2m xác định và liên tục trên

Ta có f 2 20 và f 1 1

Suy ra f 2 1f 20 0

Do đó tồn tại x0 2;1 sao cho f x0 0 hay phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm thực

Câu 3 (1,5 điểm) Cho hàm số y g x x3 3x 2, viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C của hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 9x y 1 0

Gọi M a a; 3 3a 2 là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến là d y: 9 x 2 hay d y: 9x 18

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 9x 14 và y 9x 18

Câu 4 (3,5 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và

2

SC a Gọi H K lần lượt là trung điểm của các cạnh , AB và AD

a) Chứng minh tam giác SBC là tam giác vuông và SH ABCD

b) Chứng minh AC SK

c) Xác định góc hợp bởi SA và SHK

a) Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên BC a

Tam giác SAB đều nên SB AB a

Ta có SB2 BC2 2a2 SC Suy ra tam giác 2 SBC là tam giác vuông tại B

12

-

Tam giác SAB đều cạnh AB a nên 3

.2

a SH

Trong tam giác HBC, ta có 2 2 5.

7

AC AI

x Chứng minh 1 sinx y'' cos ' 2x y y 0

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hàm số y x 9 x Giải phương trình 2 y' 0

TRƯỜNG THPT TRUNG PHÚ KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 11 THPT

NĂM HỌC 2015 – 2016

Thời gian làm bài:90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 8 (3,0 điểm) Cho chĩp đều S ABCD cĩ cạnh đáy bằng 2a , O là tâm mặt đáy, cạnh bên SB 3a Gọi I J, lần lượt

là trung điểm của AB CD ,

a) Chứng minh SIJ SCD

b) Vẽ OH SJ Chứng minh OH SC

c) Tính gĩc giữa cạnh bên SA và đáy ABCD

d) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SCD

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

Câu 1 (1,0 điểm) Tính các giới hạn sau:

a)

2 1

32

3 3

Vậy

3 3

15 2

x Chứng minh 1 sinx y'' cos ' 2x y y 0

Ta có sin 1 sin cos cos2

1 sin 1 sin 1 sin

Vậy 1 sinx y'' cos ' 2x y y 0

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hàm số y x 9 x Giải phương trình 2 y' 0

Tập xác định: D

Đạo hàm

/ 2

Câu 8 (3,0 điểm) Cho chóp đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a , O là tâm mặt đáy, cạnh bên SB 3a Gọi , I J lần lượt

là trung điểm của AB CD ,

Tam giác OCD cân tại O và có J là trung điểm của CD nên có CD OJ 2

Từ 1 và 2 , suy ra CD SIJ Mà CD SCD nên suy ra SIJ SCD

Vậy SA hợp với mặt đáy ABCD một góc nhọn thỏa mãn tan 14.

2d) Ta có d I SCD, IJ d O SCD, 2d O SCD,

OJ

Gọi K là hình chiếu của O trên SJ , suy ra OK SJ 5

Tìm các giá trị của m để hàm số liên tục tại x 1

c) Cho phương trình ax2 bx c 0, biết 4a 3b 5c 0 Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm

x

y x , biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3

Câu 3 (1,0 điểm) Tìm ba số lập thành một cấp số nhân biết tổng của chúng bằng 21 và tích của chúng bằng 168

Câu 4 (0,5 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y

x Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại

điểm M cắt hai trục Ox và Oy tại hai điểm A và B, biết diện tích tam giác OAB bằng 1

2

Câu 5 (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau

và bằng 2a Gọi O là tâm của đáy

a) Chứng minh SO ABCD và SAC SBD

TRƯỜNG THPT THĂNG LONG KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 11 THPT

NĂM HỌC 2015 – 2016

Thời gian làm bài:90 phút, không kể thời gian phát đề

18

-

b) Tính cosin của góc giữa đường thẳng SA và ABCD

c) Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD

Tìm các giá trị của m để hàm số liên tục tại x 1

c) Cho phương trình ax2 bx c 0, biết 4a 3b 5c 0 Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm a) Ta có 2

Để hàm số liên tục tại x 1 khi và chỉ khi 2 2 m m 4

Vậy với m 4 thì hàm số liên tục tại điểm x 1

c) ● Nếu a 0 thì phương trình trở thành bx c 0 với điều kiện 5b 3c 0

▪ b 0 phương trình có vô số nghiệm

▪ b 0 phương trình có nghiệm duy nhất x c

nên phương trình có nghiệm

Do đó trong tất cả các trường hợp phương trình luôn có nghiệm

x

y x , biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3 a) Đạo hàm f x' 4 x3 2x / x3 2x 3 4 3x2 2 x3 2x 3;

a

M a a là tọa độ tiếp điểm

Ta có y' x2 2x , suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k y a' a2 2 a

y x

● Với a 3, suy ra M 3; 1

Phương trình tiếp tuyến y 3 x 3 1 hay y 3x 8

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 8

33

d

12.5

a d

Vậy có hai cấp số cộng cần cần tìm là: 2, 7, 12 hoặc 12, 7, 2

Câu 4 (0,5 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y

x Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại

điểm M cắt hai trục Ox và Oy tại hai điểm A và B, biết diện tích tam giác OAB bằng 1

k y a

a

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng 1 2 2 1

11

:

a a

20

-

Ta có d Ox A 2a2 2a 1;0 ,

2 2

2

a a

a a

a

a a a

M thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 5 (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên của hình chóp bằng nhau

và bằng 2a Gọi O là tâm của đáy

a) Chứng minh SO ABCD và SAC SBD

b) Tính cosin của góc giữa đường thẳng SA và ABCD

c) Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD

d) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD

a) Theo giả thiết, ta có SA SB SC SD

Tam giác SAC cân tại S và có O là trung điểm AC nên SO AC 1

Tam giác SBD cân tại S và có O là trung điểm BD nên SO BD 2

Từ 1 và 2 , suy ra SO ABCD

-

Theo chứng minh trên, ta có SO ABCD SO AC 4

Từ 3 và 4 , suy ra AC SBD

Mà AC SAC , suy ra SAC SBD

b) Vì SO ABCD , suy ra OA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ABCD

Vậy SA hợp với mặt đáy ABCD một góc nhọn thỏa mãn cos 2.

4c) Gọi I là trung điểm AB, suy ra OI AB

Gọi J là trung điểm CD, suy ra OJ CD

Gọi K là hình chiếu của O trên SJ , suy ra OK SJ 5

22

-

a) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng BC SAM

b) Tính tan gĩc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC

c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

Câu 4 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số y 3x2 3x 1 Biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng :x 3y 2016 0

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hàm số y x.cosx Chứng minh rằng 2 cosx y' x y '' y 0

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

Câu 1 (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau:

a)

2

2 1

3 cos 3 2

.sin 3 2

23

a) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng BC SAM

b) Tính tan góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC

Vậy mp SBC hợp với mặt đáy ABC một góc nhọn thỏa mãn tan 2

c) Gọi K là hình chiếu của A trên SM, suy ra AK SM 3

Gọi M x0;3x02 3x0 1 là tọa độ tiếp điểm

Ta có y' 6x 3, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k y x' 0 6x0 3

Vậy phương trình tiếp tuyến là d y: 3 x 1 1 hay d y: 3x 2

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hàm số y x.cosx Chứng minh rằng 2 cosx y' x y '' y 0

Đạo hàm: y' cosx xsinx; y" xcosx 2sinx

Vậy ta cĩ điều phải chứng minh

Câu 1 (3,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:

x cĩ đồ thị C

a) Giải phương trình y' 4 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C , biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d y: x 2016

Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình chĩp S ABC cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a , tâm O Cạnh bên SA 2a và vuơng gĩc

với mặt đáy ABCD Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD

a) Chứng minh rằng HK vuơng gĩc với mặt phẳng SAC

b) Xác định và tính gĩc giữa SO và mặt phẳng ABCD

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

Câu 1 (3,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:

NĂM HỌC 2015 – 2016

Thời gian làm bài:90 phút, khơng kể thời gian phát đề

b) Đạo hàm y' 2cos2x 4 sin x

Câu 3 (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2

2

x y

04

42

x

x x

● Với x0 0, suy ra M 0; 1 và k 1

Phương trình tiếp tuyến là d y: 1 x 0 1 hay d y: x 1

26

-

● Với x0 4, suy ra M 0; 5 và k 1

Phương trình tiếp tuyến là d y: 1 x 4 5 hay d y: x 9

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là d y: x 1 và d y: x 9

Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O Cạnh bên SA 2a và vuông góc

với mặt đáy ABCD Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD

a) Chứng minh rằng HK vuông góc với mặt phẳng SAC

b) Xác định và tính góc giữa SO và mặt phẳng ABCD

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD

a) Do H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD nên suy ra HK BD

b) Chứng minh rằng phương trình 5m4 1 x3 1 4m x2 2 1 2m x2 1 0 luơn cĩ nghiệm x trong

khoảng 0;1 với mọi giá trị của m thuộc

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: y x.cosx và y x2 3x

b) Cho hàm sốy x3 5x 3 cĩ đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc bằng 7

Câu 4 (1,0 điểm) Cho hàm số y sin 2 x Chứng minh y'' 4y 0

Câu 5 (3,0 điểm) Cho hình chĩp S ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a 2, AD a 3; SA 2a và vuơng

gĩc với mặt đáy ABCD

a) Chứng minh CD vuơng gĩc với SAD

b) Chứng minh SAB SBC và tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBC

c) Gọi gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SBD Tính cos

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

Câu 1 (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau:

b) Chứng minh rằng phương trình 5m4 1 x3 1 4m x2 2 1 2m x2 1 0 luôn có nghiệm x trong

khoảng 0;1 với mọi giá trị của m thuộc

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau: y x.cosx và y x2 3x

b) Cho hàm sốy x3 5x 3 có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7

a) Đạo hàm: y' x.cosx / x'.cosx x cosx / cosx xsin ;x

/ 2 / 2

b) Gọi M x x0; 30 5x0 3 là tọa độ tiếp điểm

Ta có y' 3x2 5, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k y x' 0 3x02 5

29

● Với x0 2, suy ra y0 1

Phương trình tiếp tuyến y 7 x 2 1 hay y 7x 13

● Với x0 2, suy ra y0 5

Phương trình tiếp tuyến y 7 x 2 5 hay y 7x 19

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 7x 13, y 7x 19

Câu 4 (1,0 điểm) Cho hàm số y sin 2 x Chứng minh y'' 4y 0

Đạo hàm: y' sin 2x / 2x /.cos2x 2.cos2 ;x

y'' 2cos 2 'x 2 2x / sin 2x 4 sin 2 x

Suy ra y'' 4y 4.sin 2x 4.sin 2x 0

Vậy ta có điều cần chứng minh

Câu 5 (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a 2, AD a 3; SA 2a và vuông

góc với mặt đáy ABCD

a) Chứng minh CD vuông góc với SAD

b) Chứng minh SAB SBC và tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBC

c) Gọi góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SBD Tính cos

a) Do ABCD là hình chữ nhật nên CD AD 1

Lại có SA vuông góc với mặt đáy ABCD nên SA CD 2

Từ 1 và 2 , suy ra CD SAD

b) Do ABCD là hình chữ nhật nên BC AB 3

Lại có SA vuông góc với mặt đáy ABCD nên SA BC 4

Từ 3 và 4 , suy ra BC SAB Mà BC SBC nên suy ra SBC SAB

- -

Gọi K là hình chiếu của A trên SB, suy ra AK SB 5

Theo chứng minh trên BC SAB BC AK 6